数学高一-(优化课堂)必修1试题 2.1 生活中的变量关系

§2.1 生活中的变量关系【学习目标】1.通过学习结合实例来理解生活中变量之间的依赖关系和函数关系，特别要注意这两种关系之间的区别和联系；2． 2.结合初中学习过的函数，能描述因变量随自变量而变化的依赖关系；3． 3.激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。

【学习重点】判断变量与变量间是否存在函数关系【学习难点】生活中变量关系与函数关系的区分预习案 一、相关知识 知识链接1：初中阶段我们已经知道常量与变量的含义，即在某个变化过程中，数值保存不变的量叫作______，可以取不同数值的量叫作______。

知识链接2：初中数学中函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果当变 量x 在某变化范围内任意取一个数值时，变量y 按照一定的法则总有_______确定的数值与它 对应，则称y 是x 的函数，通常_______叫自变量，_______叫因变量。

知识链接3：现实生活充满变化，在初中数学、物理等学科中我们都接触过一个变量随着 另一个变量而变化的实例，这些变量之间都有依赖关系吗？都是函数关系吗？ 二、教材助读 阅读课本p23实例分析，思考在高速公路的情况下，有哪些变量存在？哪些变量与变量之间无依赖关系，哪些变量与变量之间有依赖关系？它们是函数关系吗？ 问题1：高速公路的里程数与修建的年数之间有无依赖关系？若有它们是函数关系吗？ 问题2：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，行驶的路程与时间有无依赖关系？若有，它们是函数关系吗？问题3:观察课本 p24图2-2的高速公路加油站的图片，探究储油量v 与油面高度h ；储油量v 与油面宽度w 是否存在依赖关系？若有依赖关系，那它们是函数关系吗？为什么？问题4.进一步分析上述储油罐问题，讨论：还有哪些常量？哪些变量？ 哪些变量之间存在依赖关系？ 导学案装 订线哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？自主整理：非依赖关系：在变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值_______发生任何变化，这两个变量间具有非依赖关系。

一枚炮弹发射后，经过26 s落在地面击中目 标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位： m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130 t－5 t2. 问题1：炮弹飞行时间t的变化范围的数集A是什
么？
提示：A＝{t|0≤t≤26}．
问题2：炮弹距地面的高度h的变化范围的数集B
是什么？ 提示：B＝{h|0≤h≤845}． 问题3：高度h与时间t是否具有依赖关系？是函 数关系吗？为什么？
提示：具有，且是函数关系．因为对于数集A中
的任意一个时间t，按照h＝130 t－5 t2，在数集B中都 有唯一确定的高度h和它对应．
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对 于集合A中 任何一个 数x，在集合B中都存在 唯一确定 的
数f(x)与之对应，那么就把 对应关系 f叫做定义在集合A上
[一点通]
1．求函数定义域的方法：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R； (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的 实数的集合； (3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内 的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数
(
)
1 D．[－4，＋∞) 12 1 2 解析：∵f(x)＝x ＋x＝(x＋2) －4，－1≤x<1，
1 ∴－4≤f(x)<2， 1 即值域为[－4，2)．
答案：C
8．函数 y＝2x－ x－1的值域是________．
解析：函数的定义域是{x|x≥1}． 令 x－1＝t，则 t∈[0，＋∞)，x＝t2＋1， ∴y＝2(t ＋1)－t＝2t 15 ∵t≥0，∴y≥ 8 .
[例1]

1 生活中的变量关系1．常量与变量的区分在研究某一问题的变化过程中，数值保持不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量．谈重点正确理解常量与变量可结合生活中的实例，用辩证的观点来理解常量与变量，常量是相对于某一过程或另一个变量而言的，绝对的常量是没有的，因为物质的运动是绝对的，静止是相对的，所以物动则变．在我们的生活中容易找出众多的实例，如：(1)匀速直线运动中，速度是常量，时间和路程均为变量，但在实际运动过程中，绝对的匀速是没有的，因为人驾驶汽车在行驶过程中，不可避免地要进行加速、减速或刹车等操作．(2)电影院里，对某一场次和座位类别而言，票价是常量，而售票张数和收入均为变量．但相对于某个较长时间的间隔而言，由于演出的内容、种类、档次的不同，其票价仍是一个变量．由此可以看出，常量具有相对性，而变量是永恒的，是大量存在的．【例1】一辆汽车由南京驶往相距300千米的上海，它的平均速度是100千米/时，则汽车距上海的路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系是s＝300－100t，在这里，常量是______，变量是______．解析：判断常量与变量的关键是看它是否发生了变化，在这里，常量是南京与上海的距离300千米和汽车行驶的平均速度100千米/时，变量是汽车在行驶过程中距上海的路程s 和行驶时间t.答案：300，－100s，t2．生活中的变量关系及判断生活中的两个变量之间可能具有依赖关系，也可能不具有依赖关系，具有依赖关系的两个变量可能是函数关系，也可能是非函数关系．(1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．特别地，如果对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，那么就称这两个变量之间有函数关系．(2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不会发生任何变化，那么就称这两个变量具有非依赖关系．(3)依赖关系和函数关系的联系与区别：函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，而函数关系一定是依赖关系．例如，积雪层对越冬作物具有防冻保暖作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系．又因为作物的丰收还受其他因素的影响，如天气、施肥量等，所以下雪与来年的丰收不具有函数关系．破疑点 判断两个有依赖关系的变量之间是否是函数关系的步骤①确定因变量和自变量；②判断对于自变量的每一个取值，是否都有唯一的因变量与之对应．若满足这个条件则是函数关系，否则不是．这里要特别注意的是，满足函数关系的自变量对因变量，可以一对一，也可以多对一，但不可以一对多．【例2】下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化．冷却时间与温度计示数的关系；(2)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系；(3)商品的销售额与广告费之间的关系；(4)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；(5)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．分析：两个变量中的一个变量发生变化时，根据另一个变量是否发生变化来确定依赖关系；根据另一个变量发生变化且取值唯一来确定函数关系．解：(1)温度计示数随冷却时间的变化而变化，所以冷却时间与温度计示数存在着依赖关系．又因为对于冷却时间的每一个取值，都有唯一的温度计示数与之对应，所以，温度计示数是冷却时间的函数；(2)科学家通过实验发现，做自由落体运动的物体下落的距离(h )与时间(t )具有关系212h gt ，其中g 是常量，很显然，对于时间t 在其变化范围内的每一个取值，都有唯一的下落距离h与之对应，故这两个变量存在依赖关系，且距离是时间的函数；(3)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系；(4)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系；(5)在高速公路上行驶的汽车所走路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，所以它们之间存在着依赖关系，且路程是时间的函数．综上可知，(1)(2)(5)中的变量间存在依赖关系，且是函数关系；(3)中变量间存在依赖关系，不是函数关系；(4)中两个变量间不存在依赖关系．解技巧如何判断两个变量之间是否存在依赖关系判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化；判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．3．生活中变量关系的表示(1)通过图像反映两变量之间的关系用图像反映两变量间的关系是一种常用的表示两变量关系的方式．在解此类题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的相互依赖关系是如何变化的．例如：如图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图像回答下列问题：①上午8时的气温约是多少？全天的最高气温、最低气温分别是多少？②大约在什么时刻，气温为0 ℃？③大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？④两个变量有什么特点？它们具有怎样的对应关系？此题是一个通过图像来反映两变量关系的问题，所以回答问题时应充分利用图像所反映出的关系．①上午8时气温约是0 ℃，全天最高气温大约是9 ℃，在14时达到．全天最低气温大约是－2 ℃，在4时达到．②大约在8时和22时，气温为0 ℃.③在8时到22时之间，气温在0 ℃以上．④由图像可知随着时间的增加气温先降再升后降．对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时间t的函数；而对于气温Q的一个值可能有两个时间t 和它对应，所以时间t不是气温Q的函数．(2)通过表格反映两变量之间的关系两变量之间的关系，体现在表格中就是要求我们能从表格中找到因变量和自变量，并能判断因变量与自变量之间的对应关系，从而说明因变量如何随自变量的变化而变化．例如：口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了在不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：请回答下列问题：①请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像．②根据上述数据以及得到的图像，你得到怎样的实验结论？根据表中数据的范围绘制出F随t变化的图像如右图，于是可得实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在约37 ℃时，口香糖的黏附力最大；当温度在50 ℃时，黏附力最小．所以可通过加热的办法除去磁砖上的口香糖残留物．【例3－1】如图1是一辆汽车的速度随时间而变化的示意图．图1(1)汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高时速是多少？(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？(3)出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？(4)如果纵轴换成路程s(千米)，横轴表示时间t(时)，如图2是一个骑自行车者离家距离与时间的关系图像．在出发后8时到10时之间可能发生了什么情况？骑自行车者在哪些时间段保持匀速运动？速度分别是多少？图2分析：解用图像反映两变量之间关系的题目的关键是识图，弄清两个变量之间的关系．解：(1)汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速是80千米/时．(2)汽车在出发后2分钟到6分钟，18分钟到22分钟均保持匀速行驶，时速分别为30千米/时和80千米/时．(3)出发后8分到10分之间汽车速度为0千米/时，重新启动后，车速很快提高到80千米/时，因此在这段时间内很可能在修车、加油等．(4)在出发后8时到10时之间骑自行车者可能回家吃饭、休息等．骑自行车者在开始出发到出发后2小时时间段内匀速运动，车速为30=152(千米/时)；在出发后6小时到8小时时间段内匀速运动，车速为30=152(千米/时)；在出发后10小时到18小时时间段匀速运动，车速为80=108(千米/时)；在出发后22小时到24小时时间段内匀速运动，车速为80=402(千米/时)．【例3－2】从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：饰用K金的K________．解析：通过表格可知，饰用K金的含金量随着K数的减小而减小，对于K数的每一个取值，都有唯一的含金量与之对应，所以含金量是K数的函数，饰用K金的K数与含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高．答案：函数越高。

[读教材·填要点]1．依赖关系和函数关系在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有唯一确定的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．2．非依赖关系在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．[小问题·大思维]1．人的身高和年龄之间的关系是函数关系吗？提示：人的身高和年龄之间有一定的依赖关系，但这种关系并不是函数关系，因人的身高并不单纯由人的年龄而定，还受环境、饮食等条件的影响．2．两个具有依赖关系的变量一定具有函数关系吗？提示：不一定．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．[研一题][例1] 下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？①球的体积和它的半径；②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；④正三角形的面积和它的边长．[自主解答] ①中球的体积V 与半径r 间存在V ＝43πr 3的关系； ②中在速度不变的情况下，行驶路程S 与行驶时间t 之间存在正比例关系；③中家庭收入与其消费支出间存在关系，但具有不确定性；④中正三角形的面积S 与其边长a 间存在S ＝34a 2的关系． 综上可知①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系．[悟一法]判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．[通一类]1．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；(2)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．解：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；(2)家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系；(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系．综上可知，(1)(3)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系．[研一题][例2] 如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为0°C?(3)大约在什么时刻内，气温在0°C以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？[自主解答] (1)上午8时气温是0°C，全天最高气温大约是9°C，在14时达到，全天最低气温大约是－2°C，在4时达到；(2)大约在8时和22时，气温为0°C；(3)在8时到22时之间，气温在0°C以上，变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图像是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以θ与t具有依赖关系，也具有函数关系．[悟一法]对于这类问题，求解的关键是充分利用图像所反映的关系使其与生活中两个变量之间的变化情况相吻合，以达到用图的目的．[通一类]2．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )解析：从亮亮的体温变化，可以看出图像应为：早晨37°C 以上――→降上午37°C(中午)――→升下午37°C 以上――→降晚上37°C(半夜)，结合图像知，只有C 项符合． 答案：C[研一题][例3] 口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据： 次序项目1 2 3 4 5 6 7 8 温度(°C)15 25 30 35 37 40 45 50 黏附力(N )2.03.1 3.3 3.64.6 4.0 2.5 1.4 (1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F 随温度t 变化的图像；(2)根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？[自主解答] (1)(2)实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在37°C 时，口香糖的黏附力最大．[悟一法]对于这类通过表格来反映两个变量之间关系的问题，求解时需根据表中两个变量对应数据，分析其变化情况，即可做出判断．[通一类]3．从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：饰用K金的K数与含金量之间是________关系，K数越大含金量________．解析：通过表格可以得出K金的K数与含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高．答案：函数越高向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图(1)所示，那么水瓶的形状是图(2)中的( )[巧思] 通过图像反映的V随h增大的速度变化判断．[妙解] 通过图像反映的两个变量h与V的变化情况知，注水量随高度的变化是先快后慢，再结合选项中四个容器的形状来判断，只有B符合要求．[答案] B1．下列说法不．正确的是( )A．圆的周长与其直径的比值是常量B．任意四边形的内角和的度数是常量C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系解析：A、B、C中说法均正确，而D中，广告费用与销售量之间关系不确定，故不是函数关系．答案：D2．下列各量间不存在依赖关系的是( )A．扇形的圆心角与它的面积B．某人的体重与其饮食情况C．水稻的亩产量与施肥量D．某人的衣着与视力答案：D3．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；图中与这件事正好吻合的图像是(其中x轴表示时间，y轴表示路程)( )解析：开始一段时间路程逐渐增大，增大的速度相同，图像是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图像与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图像知选A.答案：A4．给出下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；③橘子的产量与气候之间的关系；④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．其中不是函数关系的有________．解析：由已知关系判断得，①③④中关系不确定故不是函数关系，只有②是函数关系．答案：①③④5．下列关系不是函数关系的是________．(填序号)①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；②某同学学习时间与其学习成绩的关系；③人的睡眠质量与身体状况的关系．解析：对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；而对于②，③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系．答案：②③6．通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现在课堂上学生接受一个概念的能力与教师在引入概念之前提出和描述问题的时间有关．刚开始阶段学生接受能力渐增，但随着时间延长，由于学生的注意力开始分散，因此接受能力开始下降．分析结果表明学生接受概念能力g(x)与提出和描述问题所用时间x的图像如图：问：自提出问题和描述问题开始多长时间时，学生接受概念的能力最强？解：由图像可知，当x＝13时，曲线达到最高点，即学生的接受能力最强．一、选择题1．谚语“瑞雪兆丰年”说明( )A．下雪与来年的丰收具有依赖关系B ．下雪与来年的丰收具有函数关系C ．下雪是丰收的函数D ．丰收是下雪的函数 答案：A2．下列变量间的关系是函数关系的是( ) A ．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程 B ．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C ．正方形的面积S 与其边长a 之间的关系 D ．光照时间和苹果的亩产量解析：A 是常量，B 是依赖关系，C 是函数关系，D 是依赖关系． 答案：C3．右图中，纵轴是某公司职工人数，但刻度被抹掉了，横轴是工作年数(有刻度)，则该公司中工作5年或更多时间的职工所占的百分比是( )A ．9%B ．2313%C ．30%D ．36%解析：由图知，百分比＝930×100%＝30%.答案：C4．我们知道，溶液的酸碱度由pH 确定，当pH ＞7时，溶液呈碱性；当pH ＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCl 的溶液加水稀释，那么在下列图像中，能反映HCl 溶液的pH 值与所加水的体积V 的变化关系的图像是( )解析：由题意知pH值随V的增大，先快后慢增大，但不会超过7.答案：A二、填空题5．给出下列关系：①圆的半径与其面积之间的关系；②一个人的寿命与这个人做好事的次数之间的关系；③正整数和它的正约数的个数之间的关系．其中有函数关系的是(填代号)________．解析：①中两个变量之间的关系具备函数关系．②中的“寿命”与这个人做好事的“次数”之间没有因果关系，所以不是函数关系．③中对于一个正整数，可能有多个正约数与之对应，所以正整数和它的正约数的个数之间不具有函数关系．答案：①6．下表给出的y与x的关系，则y与x是________关系(函数或非函数).x 1921192719491949＜x＜1997199719992010 y 1234567解析：由表知，y与x是一种确定的依赖关系，故为函数关系．答案：函数7．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白处.年龄/岁3035404550556065 收缩压/mmHg110115120125130135145舒张压/mmHg70737578808388解析：每增长5岁，收缩压增加5mmHg，舒张压每增长5岁按增长3，2，3，2，…的规律变化．答案：140 858．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有________．①这几年人民生活水平逐年提高；②人民生活消费增长最快的一年是2006年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2007年；④虽然2008年生活消费增长是缓慢的，但由于生活价格指数有较大降低，因而人民生活有较大的改善．解析：由题意“生活消费指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活消费指数”在2006～2007年最陡，故②正确；“生活价格指数”在2007～2008年最平缓，故③不正确；由于2008年的“生活价格指数”有较大下降，而“生活消费指数”曲线呈上升趋势，故④正确．答案：①②④三、解答题9．某地2013年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：解：从表格中可以看出，计算机行业应聘人数与招聘人数均居第一位，是最热门专业．机械、营销一般，而物流、贸易是冷门行业，从计算机、机械、营销三种行业看，营销行业就业形势较好．另外可以看出，建筑、化工行业的需求量相对较大，物流、贸易应聘人数相对较多，供大于求，预测未来建筑、化工行业的需求量较大，就业前景广阔．10．下图的曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米；(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时；(3)第一次休息时，离家17千米；(4)11：00至12：00，他骑了13千米；(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时；(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．。

【优化课堂】2016秋高中数学 2.1 生活中的变量关系练习北师大版必修1[A 基础达标]1．下列说法不正确的是( )A．依赖关系不一定是函数关系B．函数关系是依赖关系C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数解析：选 C.由依赖关系及函数关系的定义知A、B正确；对于C、D，如m＝n2，则n＝±m，不是函数关系，故C错误，D正确．2．明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是( )A．明明B．电话费C．时间D．爷爷解析：选 B.拨通时间为自变量，电话费为因变量．3．下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是( )A．y＝x－1 B．y＝－2 x＋1C．y＝3x2＋x D．y2＝x2解析：选D.选项D中，当x＝1时，y＝±1；当y＝2时，x＝±2，不符合函数的定义．故选D.4．某学生从家去学校，由于怕迟到，所以一开始跑步，等跑累了再走余下的路程，如图所示，纵轴表示该生离学校的距离(用d表示)，横轴表示出发后的时间(用t表示)，则四个图中符合题意的是( )解析：选 D.因为该生离学校越来越近，所以只有B，D符合，又先跑再走，故选 D.5．变量x与变量y，w，z的对应关系如下表所示：x 12315 6y －1－2－3－4－1－6w 201248z 000000下列说法正确的是( )A．y是x的函数B．w不是x的函数C．z是x的函数D．z不是x的函数解析：选 C.观察表格可以看出，当x＝1时，y＝－1，－4，则y不是x的函数；很明显w是x的函数，z是x的函数．6．某公司生产某种产品的成本为 1 000元，并以 1 100元的价格批发出去，公司收入随生产产品数量的增加而________(填“增加”或“减少”)，它们之间________(填“是”或“不是”)函数关系．答案：增加是7．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：(1)甲、乙两人中先到达终点的是________．(2)乙在这次赛跑中的速度为________m/s.解析：(1)由图像可知甲、乙到达终点所用的时间分别为12 s，12.5 s，故甲先到达终点．(2)v乙＝10012.5＝8(m/s)．答案：(1)甲(2)88．如图所示是某购物中心食品柜在4月份的营业情况统计图像，根据图像回答下列问题：(1)在这个月中，日最低营业额是在4月________日，到达________万元．(2)在这个月中，日最高营业额是在4月________日，到达________万元．(3)这个月从________日到________日营业额情况较好，呈逐步上升趋势．答案：(1)9 2 (2)21 6 (3)9 219．如图所示是某地某天气温随时间变化的函数图像，根据图像，回答下列问题：(1)什么时间气温最高？什么时间气温最低？最高气温和最低气温各是多少？(2)20时的气温是多少？(3)什么时间气温为 6 ℃？(4)哪段时间内气温不断下降？(5)哪段时间内气温保持不变？解：(1)16时的气温最高，气温是10 ℃；4时的气温最低，气温是－ 4 ℃.(2)20时的气温是8 ℃.(3)10时和22时的气温都是 6 ℃.(4)0时到4时和16时到24时这两段时间内气温不断下降．(5)12时到14时这段时间内气温保持不变．10．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)提出概念所257101213141720 用时间x对概念的接47.853.556.35959.859.959.858.355受能力y(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐渐降低？解：(1)学生的接受能力y与提出概念所用的时间x之间的关系，x为自变量，y是因变量．(2)由表格知当x＝10时，y＝59.(3)当x＝13时，y最大＝59.9.(4)当2≤x≤１3时，y逐渐增大；当13<x≤20时，y逐渐减小．[B 能力提升]1．如图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是( )解析：选 B.开始向水槽底部烧杯注水的一段时间h＝0，烧杯注满后，水开始进入水槽中直至烧杯顶部时，h的变化较快，继续注入时的变化较慢．2．长途汽车客运公司规定旅客可以随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y(元)与行李重量x(千克)之间的关系图像如图所示，当最多携带________千克的行李时不收费用．解析：由行李费用y(元)与行李重量x(千克)之间的图像可知，变量y与x成一次函数关系，设y＝kx＋b，则60k＋b＝6，80k＋b＝10，解得k＝15，b＝－6.即y＝15x－6.由15x－6＝0得x＝30.即当最多携带30千克的行李时不收费用．答案：303．如图1是一辆汽车的速度随时间变化的示意图．(1)汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高时速是多少？(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？(3)出发后8分钟到10分钟之间可能发生了什么情况？(4)如果纵轴换成路程s(千米)，横轴表示时间t(时)，如图2是一个骑摩托车者离家距离与时间的关系图像．在出发后8时到10时之间可能发生了什么情况？骑摩托车者在哪些时间段保持匀速运动？速度分别是多少？解：(1)汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速是80千米/时．(2)汽车在出发后2分钟到6分钟，18分钟到22分钟均保持匀速行驶，时速分别为30千米/时和80千米/时．(3)出发后8分钟到10分钟之间汽车速度为0千米/时，重新启动后，车速很快提高到80千米/时，因此在这段时间内很可能在修车、加油等．(4)在出发后8时到10时之间骑摩托车者可能回家吃饭、休息等．骑摩托车者在开始出发到出发后2小时时间段内匀速运动，车速为302＝15(千米/时)；在出发后6小时到8小时时间段内匀速运动，车速为302＝15(千米/时)；在出发后10小时到18小时时间段内匀速运动，车速为808＝10(千米/时)；在出发后22小时到24小时时间段内匀速运动，车速为802＝40(千米/时)．4．(选做题)如图所示是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图像，两地间的距离是80 km.请你根据图像解决下面的问题：(1)谁出发较早，早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？(2)两人在途中行驶的速度分别是多少？(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式．(4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点)；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式，并求解．①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面．解：(1)由题图可以看出：骑自行车者出发较早，早 3 h；骑摩托车者到达乙地较早，早3 h.(2)对骑自行车者而言：行驶的距离是80 km，耗时8 h，所以其速度是：80÷8＝10(km/h)；对骑摩托车者而言：行驶的距离是80 km，耗时 2 h，所以其速度是：80÷2＝40(km/h)．(3)由自行车行驶过程的函数图像设y＝kx＋b，把(0，0)，(8，80)代入y＝kx＋b，得b＝0，80＝8k＋b，所以k＝10，所以y＝10x(0≤x≤8)．由摩托车行驶过程中的函数图像设y＝ax＋d，因为x＝3时，y＝0，而且x＝5时，y＝80；所以0＝3a＋d，80＝5a＋d，解得a＝40，d＝－120.所以表示摩托车行驶过程的函数解析式为y＝40x－120(3≤x≤5)．(4)在3<x<5时间段内两车均行驶在途中．①自行车行驶在摩托车前面：10x>40x－120，所以3<x<4.②由题意得，10x＝40x－120，得x＝4.③自行车行驶在摩托车后面：10x<40x－120，得4<x<5.。

课后训练
基础巩固
1．下列说法不正确的是( )．
A．依赖关系不一定是函数关系
B．函数关系是依赖关系
C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数
D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数
2．张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量y千克，则()．
A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数D．x是y的函数
3．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图像，下面的描述符合小明散步情况的是()．
A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家
4．下列变量之间的关系是函数关系的是()．
A．光照时间与果树亩产量
B．台风的级数与交通事故
C．水稻的产量与用肥量
D．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac
5．如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压成一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图像表示为()．
6．我们知道，溶液的酸碱度由pH确定．当pH＞7时，溶液呈碱性；当pH＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCl溶液加水稀释，那么在下列图像中，能反映HCl溶液的pH与所加水的体积V的变化关系的图像是()．。

1 生活中的变量关系必备知识基础练知识点一依赖关系与函数关系的判断1．下列过程中变量之间存在依赖关系的是：_________________________________，其中哪些是函数关系：____________．(填序号)①地球绕太阳公转的过程中，二者的距离与时间的关系；②在空中作斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系；③某水文观测点记录的水位与时间的关系；④某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系．知识点二函数关系的实际应用2．在一次实验中，马达同学把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．(1)(2)弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系可以用式子表示为：________．3．如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？(3)大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？知识点三分段函数4．如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？关键能力综合练1．谚语“瑞雪兆丰年”说明( )A．下雪与来年的丰收具有依赖关系B．下雪与来年的丰收具有函数关系C．下雪是丰收的函数D．丰收是下雪的函数2．下列两个变量之间不是函数关系的是( )A．角度和它的正弦值B．正方体的边长和体积C．正n边形边数和顶点角度之和D．人的年龄和身高3．已知变量x，y满足y＝|x|，则下列说法错误的是( )A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数4．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表：( )A．5.00元 B．6.00元C．7.00元 D．无法确定5．(探究题)星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是( )A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C.从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家6．如图，李老师早晨出门锻炼，一段时间内沿半圆形路径M→A→C→B→M匀速慢跑一周，那么李老师离出发点M的距离y与时间x之间的函数关系的大致图象是( )7．一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y(升)，行驶路程为x(千米)，则y随x的变化而变化(1)在上述变化过程中，自变量是________；因变量是________．(2)用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整：8．(易错题)假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：(1)甲、乙两人中先到达终点的是________．(2)乙在这次赛跑中的速度为________ m/s.9．小芳以200米/分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度15米/分，又匀速跑10分钟，试写出这段时间里她跑步速度y(米/分)随跑步时间x(分)变化的函数关系式，并画出图象．核心素养升级练1．(一题多解)向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是图中的( )2．(情境命题—生活情境)心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位：分)之间有如下关系：(其中0≤x ≤20)(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？(4)从表格中可知，当时间x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？§1生活中的变量关系必备知识基础练1．答案：①②③④①②③④2．答案：(1)所挂物体的质量弹簧的长度(2)y＝2x＋18(x≥0)3．解析：(1)上午8时气温是0 ℃，全天最高气温是9 ℃，在14时达到，全天最低气温是－2 ℃，在4时达到．(2)大约在8时和22时，气温为0 ℃.(3)在8时到22时之间，气温在0 ℃以上．变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图象是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的趋势，所以θ与t 具有依赖关系，也具有函数关系．4．解析：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00，他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐．关键能力综合练1．答案：A解析：积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田的作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．2．答案：D3．答案：D解析：当y取一个正值时，有两个x与它对应，故D错．4．答案：C解析：∵800 g<1 000 g，∴对应表格给出的邮资标准．∵1 000<1 200≤1 500，∴应付邮资7.00元．5．答案：B解析：水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．6．答案：D解析：由题意得，从M 到A 的过程中，李老师与M 的距离在增加，由A 经C 到B 的过程中，李老师与M 的距离不变，都是半圆的半径长，由B 到M 的过程中，李老师与M 的距离逐渐减少，故选D.7．答案：(1)汽车行驶路程 油箱内剩油量 (2)48 32 (3)y ＝56－0.08x解析：(1)在上述变化过程中，自变量是汽车行驶路程；因变量是油箱内剩油量，故答案为：汽车行驶路程，油箱内剩油量；(2)56－0.08×100＝48，56－0.08×300＝32，行驶路程x (千米) 100 200 300 400 油箱内剩油量y (升)48403224(3)y 与x 的关系式是y ＝56－0.08x . 8．答案：(1)甲 (2)8解析：设甲、乙的速度分别为v 1，v 2，则v 1＝10012 ＝253 (m/s)，v 2＝10012.5 ＝8(m/s)，v 1>v 2.9．解析：前5分钟的速度y ＝15x ＋200(0≤x ≤5)； 匀速跑步10分钟，y ＝200＋75＝275(5<x ≤15)，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧15x ＋200（0≤x ≤5），275（5<x ≤15）. 如图：核心素养升级练1．答案：B解析：解法一 观察图象，根据图象的特点，发现取水深h ＝H 2 ，注水量V >V 02 ，即水深为一半时，实际注水量大于水瓶总量V 0的一半，A 项中V <V 02 ，C 、D 项中V ＝V 02 ，故排除选项A 、C 、D.∴应选B.解法二 由函数图象知，随高度h 的增加，注水量V 也增加，但随h 变大，每单位高度的增加，注水量V 的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是水瓶平行于底面的截面的半径由底到顶逐渐变小，故B 正确．2．解析：(1)反映了提出概念所用的时间x 和对概念的接受能力y 两个变量之间的关系；其中x 是自变量，y 是因变量．(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生接受能力是59. (3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强．(4)当x 在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x 在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低．。

r
w h d
思考3.储油量v与油面高度h有什么关系?储油量 v与油面宽度w有什么关系？
解析：储油量v与油面高度h存在着依赖关系，储油量v 与油面宽度w也存在着依赖关系. 对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量 v与之对应，所以，储油量v是油面高度h的函数. 而对于油面宽度w的一个值可以有两种油面高度和 它对应，于是可以有两种储油量v和它对应，所以，储 油量v不是油面宽度w的函数.
§1生活中的变量关系
每日赠言
变化是永恒不变的

变化是永恒的，我们周围的一切都在发生 着变化，如温度的变化、速度的变化、物价 的变化、股市的变化、月相的变化、季节的 变化、身高体重的变化、兴趣爱好的变化等. 总之，我们生活在一个变化的世界之中. 事物的变化有一定的规律吗？它们的变 化是如何互相影响的？如何从数学的角度对 变量和变量之间的关系进行描述？这些问题 的提出，就使得研究变化的数学内容——变 量和变量之间的关系，成为与现实世界联系 最密切的内容之一.
引例： 1.人的体重和身高是函数关系吗？ 2.小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗？
3.正方体的体积和棱长是函数关系吗？
实例分析
思考2. 一辆汽车在高速公路上行驶的过程中， 每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应. 行驶路程与时间有怎样的关系？
解析：行驶路程（因变量）随时间（自变量）的变化
而变化，行驶路程是时间的函数. 同样，汽车的速度、
耗油量也是时间的函数.
3.下图是某高速公路旁加油站的图片，加油站 常用圆柱体储油罐储存汽油.储油罐的长度d、 截面半径r是常量；油面高度h、油面宽度w、 储油量v是变量.
关系
3.会结合语言、符号、表格、图像分析变
量之间的关系

§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识同步练测建议用时 实际用时 满分 实际得分60分钟100分一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1.设{|02}A x x ≤≤＝，{|12}B y y ≤≤＝，下列表示从集合A 到集合B 的函数图像的是( )2.已知函数1()1f x x =+，则函数(())f f x 的定义域是（ ）A.{|1}x x ≠-B.{|2}x x ≠-C.{|12}x x x ≠-≠-且D.{|12}x x x ≠-≠-或 3.已知()12g x x =-,221(())(0)xf g x x x -=≠，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ） A.15 B.1 C.3 D.304.定义域为R 的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则函数()y f x a =+的值域为（ ） A.[2,]a a b + B.[0,]b a - C.[,]a bD.[,]a a b -+5.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为221y x =+，值域为{5，19}的“孪生函数”共有（ ） A.4个 B.6个 C.8个 D.9个6.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A.2,y x y x ==B.222,4y x x y x =-⋅+=-C.331,x y y x ==D.2,()y x y x ==7.已知A B 、两地相距150千米，某人开汽车以 60千米/时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x （千米）表示为时间 (时)的函数解析式是（ ）A.60x t =B.6050x t t =+C.60(0 2.5),15050( 3.5)t t x t t ≤≤⎧=⎨->⎩D.60(0 2.5),150(2.5 3.5),32550(3.5 6.5)t t x t t t ≤<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩8.设f g ，都是由集合A 到集合A 的映射，其对应关系如下表（从上到下）： 表1 映射f 的对应关系 原像 1 2 3 4 像3421表2 映射g 的对应关系 原像 1 2 3 4 像4312则与((1))f g 的值相同的是（ ） A.((1))g f B.((2))g f C.((3))g fD.((4))g f二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)9.已知函数()f x 满足：2(21)821f x x x -=--，则()f x =_______. 10.已知函数2(0),()34(0),x f x x x x ⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩则((6))f f =_______.11．已知(21)32f x x +-＝且()4f a =，则 的值 为______.12.已知映射f A B→：，其中集合{32A =---，，，0123，，，，,集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的像，且对任意的a A ∈，在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是______.三、解答题（本大题共5小题，共52分） 13．（10分）求下列函数的定义域： （1）xx x y -+=||)1(0；（2）xxx y 12132+--+=．14.（10分）已知函数1()(x af x x a x +-=∈-R 且)x a ≠，当()f x 的定义域为11,32a a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．15.（10分）作出下列各函数的图像：(1)1,y x x =-∈Z ；(2)1(0)y x x =->．16.（10分）（1）已知A =N ，B =R ．f x y →=：2121x x -+，,x A y B ∈∈，在f 的作用下，1113的原像是多少？14的像是多少？（2）设集合A =N ，B ={偶数}，映射f A B →：把集合A 中的元素a 映射到集合B 中的元素2a a -，则在映射f 下，像20的原像是多少？（3）已知映射f A B →：，其中A =R ，(,)B x y =，x y ∈， R ，若2(11)f x x x →++：，，则A 中元素2的像是多少？B 中元素（2，2）的原像是多少？17.（12分）求下列函数的解析式：(1)已知：(+1)2f x x x ＝＋，求()f x 的解析式；(2)已知2()f x ax bx c =++，若(0)0f =，且 (1)()1f x f x x +=++，求()f x ．§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识同步练测答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案二、填空题9． 10． 11. 12.三、解答题13.14.15.16.17.§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识同步练测参考答案1.D 解析：A 、B 选项不满足集合A 中的每个实数在集合B 中都有实数对应，故不正确；选项C 对集合A 中不等于2的实数在集合B 中都有两个实数对应，不符合唯一确定的要求，所以也不正确；D 选项的图形符合函数图像的要求，故选D.2.C 解析：由10x +≠，得1x ≠-，故函数(())f f x 中()1f x ≠-，即111x ≠-+，得1x ≠-且2x ≠-.3.A 解析：令1()2g x =,得1122x -=，解得14x =.所以22115111416151241164f f g ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，故选A. 4.C 解析：因为函数()f x 的定义域为R ,所以 的取值范围也是R ,因此函数()y f x a =+的值域与函数()f x 的值域相同，是 .5.D 解析：令2215x +=得2x =±；令22119x +=得3x =±，故使得函数值为5的情况有三种， 即2,2,2x =-±，使得函数值为19的情况也有三种，即333x =-±，，，则“孪生函数”共有3×3=9（个）．故选D ．6.A 解析：B 、C 、D 三个选项中的两个函数的定义域不相同，不能表示同一个函数，A 选项中的两个函数的定义域与对应关系都相同，表示相同的函数.故选A.7.D 解析：从Ａ地到Ｂ地需用1502.560=(小时),当0 2.5t ≤<时,60x t =. 因为在B 地停留1小时,所以当2.5 3.5t ≤≤时, 150x =.汽车经过3.5小时开始返回,由B 地到A 地需用150350=（小时）,因此当3.5 6.5t <≤时, 15050( 3.5)32550x t t =--=-.综上所述, 60(0 2.5),150(2.5 3.5),32550(3.5 6.5).t t x t t t ≤<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩8.A 解析：由题意知，(1)4g =，((1))(4)1f g f ==. 对于A ：((1))(3)1g f g ==，故A 正确； 对于B ：((2))(4)2g f g ==，故B 不正确； 对于C ：((3))(2)3g f g ==，故C 不正确； 对于D ：((4))(1)4g f g ==，故D 不正确，故选A ．9.4223x x + 解析：令21t x =-，得212t x +=，故()f t =222(1)182142t t ++⨯-⨯-，整理得42()23f t t t =+，即42()23f x x x =+．10.25-解析：∵ (6)4620f =-=-<，∴ 22((6))(2)235f f f =-==---. 11.5 解析：∵37(21)32(21)22f x x x +=-=+-，∴37()22f x x =-.又()4f a =，即37422a -=，解得5a =.12.5 解析：∵ 对应关系为{32101234}f a a A →=---：，，，，，，，，， ∴ 0,1,2,3,4a =，共5个值，故集合B 中元素的个数为5.13.解：（1）由⎩⎨⎧>-≠+,0||,01x x x 得⎩⎨⎧<-≠,0,1x x 故函数x x x y -+=||)1(0的定义域是{|01}x x x <≠-且．（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠>-≥+,0,02,032x x x 即3,22,0.x x x ⎧≥-⎪⎪<⎨⎪≠⎪⎩∴ 0223≠<≤-x x 且.故函数的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<≤-0223x x x 且．14.解：()11()1a x f x a x a x--+==-+--.当13a +≤x ≤12a +时，12a --≤x -≤13a --，12-≤a x -≤13-，3-≤1a x-≤2-， 于是4-≤11a x-+-≤3-，即()f x 的值域为[4,3]--.15.解：(1)因为x ∈Z ，所以函数图像是由一些点组成的，这些点都在直线1y x =-上(如图①).(2)所给函数可化简为1(1),1(01),x x y x x -≥⎧=⎨-<<⎩是一条折线(如图②).16.解：(1)由21112113x x -=+，解得6x =，故1113的原像是6. 又214127214129⨯-=⨯+，故14的像是2729．（2）由220a a -=，解得5a =或4a =-. 又a ∈N ，故5a =，即20的原像是5．（3）把2x =代入2(11)x x ++，，可得2的像是(21)+，3. 由212,12,x x +=⎧⎨+=⎩解得1x =，故（2，2）的原像是1．17.解：(1)方法一 (配凑法)：222=()2+11=(1)1x x x x x +-+-+， ∴22(1)(1)1(11)()1(1)f x x x f x x x +++≥=≥＝-，即-． 方法二(换元法)：令1t x =+，则2(1)1x t t =-≥，.代入原式得()222()(1)2(1)21+22=11f t t t t t t t t =--=+-≥+--，即()()2 1 1f x x x ≥＝－．(2)∵()00f c ＝＝，∴22(1)(1)(1)(2)f x a x b x c ax a b x a b ＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋， ()2211(1)1f x x ax bx x ax b x ＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋.∴ 211a b b a b +=+⎧⎨+=⎩，⇒1,21.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()21122f x x x ＝＋.。

§1生活中的变量关系课后训练巩固提升1.下列变量间的关系是函数关系的是( ).A.匀速航行的轮船在2 h内航行的路程B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C.正方形的周长C与其边长a之间的关系D.光照时间和苹果的产量是常量,B是依赖关系,C是函数关系,D是依赖关系.2.张某种植了6 000 m2小麦,每100 m2施肥x kg,小麦总产量y kg,则( ).A.x,y之间有依赖关系B.x,y之间有函数关系C.y是x的函数D.2施肥量x之间存在依赖关系,但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响,所以x,y之间无函数关系.3.(多选题)如图是一份统计图,根据此图得到的以下说法,正确的有( ).(第3题)A.这几年人民生活水平逐年提高B.人民生活消费增长最快的一年是C.生活价格指数上涨速度最快的一年是D.虽然生活消费增长是缓慢的,但由于生活价格指数有较大降低,因而人民生活有较大的改善逐年增大的,故A正确;“生活消费指数”在~最陡,故B正确;“生活价格指数”在~最平缓,故C不正确;D显然正确.4.给出下列关系:①圆的半径与其周长之间的关系;②一个人的寿命与这个人做好事的次数之间的关系;③正整数和它的正约数的个数之间的关系.其中是函数关系的是.(填序号);②中的“寿命”与这个人做好事的“次数”之间没有因果关系,所以不是函数关系;③中正整数和它的正约数的个数之间不具有函数关系.5.下表给出的是y与x的关系,则y与x是关系.(填“函数”或“非函数”),y与x是一种确定的依赖关系,故为函数关系.6.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:min)之间有如下关系.(其中0≤x≤20)(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当提出概念所用的时间是10 min时,学生的接受能力是多少?(3)根据表格中的数据,你认为提出概念多长时间,学生的接受能力最强?(4)由表格可知,当时间x在什么范围内时,学生的接受能力逐步增强?当时间x在什么范围内时,学生的接受能力逐步降低?题表中反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系;其中提出概念所用时间x是自变量,对概念的接受能力y 是因变量.(2)由题中表格可知,当提出概念所用的时间为10min时,学生对概念的接受能力是59.(3)由题表知,提出概念所用的时间为13min时,学生的接受能力最强.(4)当时间in的范围内时,学生的接受能力逐步增强;当in的范围内时,学生的接受能力逐步降低.。

高一数学生活中的变量关系试题1.明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（）A．明明B．电话费C．时间D．爷爷【答案】B【解析】根据函数的定义：对于函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应．解析：拨通时间为自变量，电话费为因变量．故选B．点评：函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，其中x叫自变量，y叫x的函数．2.下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是（）A．y=x﹣1B．y=C．y=3x2+D．y2=x2【答案】D【解析】一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数．记做y=f（x）．分别利用函数的定义去判断，其中D中x对应y的取值不唯一．解：根据函数的定义可知A，B，C满足函数的定义．在D中当x=1时，y=±1；当y=2时，x=±2，不符合函数的定义．故选D．点评：本题考查函数的定义，函数的定义要求对于A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素对应．否则不能构成函数．3.如图所示，不可能是函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数的定义分别判断，D图中，一个x对应两个y，所以D不成立．解：在D项中，取x=1，则对应有两个y值，所以D项不可能是函数y=f（x）的图象．故选D．点评：本题主要考查函数的定义以及函数图象的判断和识别，利用函数的定义是解决本题的关键．4.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在如图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则如图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查的是分段函数的图象判断问题．在解答时应充分体会实际背景的含义，根据一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，即可获得随时间的推移离学校距离大小的变化快满，从而即可获得问题的解答．解：由题意可知：由于怕迟到，所以一开始就跑步，所以刚开始离学校的距离随时间的推移应该相对较快．而等跑累了再走余下的路程，则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间应该相对较慢．所以适合的图象为：故选B．点评：本题考查的是分段函数的图象判断问题．在解答的过程当中充分体现了应用问题的特点，考查了对变化率知识的应用能力．值得同学们体会反思．5.如图所示某购物中心食品柜在4月份的营业情况统计图象，根据图象回答下列问题：（1）在这个月中，日最低营业额是在4月日，到达万元．（2）这个月中最高营业额是在4月日，到达万元．（3）这个月从日到日营业额情况较好，呈逐步上升趋势．【答案】（1）9 2；（2）21 6；（3）9 21．【解析】结合函数图象以及对应的关系确定答案．解：（1）由图象可知当日期在9日时，日营业额最小，此时为2万元．（2）由图象可知当日期在21日时，日营业额最大，此时为6万元．（3）从图象可知当在[9，21]时函数图象单调递增．故答案为：（1）9 2；（2）21 6；（3）9 21．点评：本题的考点是利用函数图象研究函数性质．比较基础．6.给出下列关系：①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；③橘子的产量与气候之间的关系；④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．其中不是函数关系的有．【答案】①③④．【解析】利用函数的定义分别判断．解：判断两个变量之间是否是函数关系，只需利用函数的定义．①中，一个人拥有的财富，不仅与他的年龄有关，还与他的工作态度、方法、付出程度等因素有关，因此人的年龄与他（她）拥有的财富之间不是函数关系；②中，由于抛物线上的任一点的坐标是唯一确定的，是一一对应的，因此抛物线上的点与该点坐标之间的关系是函数关系；③中，橘子的产量除了与气候有关外，还受施肥、管理等因素的影响，所以橘子的产量与气候之间不具有函数关系；④，该同学的数学考试成绩只与他的数学基础水平、学习方法、勤奋程度等因素有关，而与他的随机考试号没有关系，故二者不存在依赖关系，更不是函数关系．综上可知，②是函数关系，①③④不是函数关系．故答案为：①③④．点评：本题主要考查函数定义的应用，利用函数的定义是解决本题的关键．7.某公司生产某种产品的成本为 1000元，并以1100元的价格批发出去，公司收入随生产产品数量的增加而（填“增加”或“减少”），它们之间（填“是”或“不是”）函数关系．【答案】增加，是．【解析】利用条件建立函数关系式，根据函数关系式确定结果．解：设生产数量为x，则公司收入y=（1100﹣1000）x=100x，为单调递增函数，所以公司收入随生产产品数量的增加而增加．它们之间是函数关系．故答案为：增加，是．点评：本题主要考查函数的概念以及构成要素，比较基础．8.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内．【答案】140，85．【解析】由题意知表格中的收缩压和舒张压形成一个等差数列和一个有两个等差数列交叉组成的数列．其中收缩压是一个公差是5的等差数列，舒张压是一个是有两个等差数列交叉组成的数列，公差分别是2和3．解：由题意知表格中的收缩压和舒张压形成一个等差数列和一个有两个等差数列交叉组成的数列，其中收缩压是一个公差是5的等差数列，∴135+5=140，舒张压是一个是有两个等差数列交叉组成的数列，∴83+2=85，故答案为：140，85．点评：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力．提高学生分析问题和解决问题的能力．9.在日常生活中，我们常常会用到弹簧秤，下表为用弹簧秤称物品时弹簧秤的伸长长度与物品质量之间的关系：如果用y表示弹簧秤的伸长长度，x表示物品质量，则（1）随x的增大，y的变化趋势是怎样的？（2）当x=3.5时，y等于多少？当x=8时呢？（3）写出x与y之间的关系式．【答案】（1）y也随之增大；（2）当x=3.5时，y=7；当x=8时，y=16；（3）由题意，弹簧秤的伸长长度与物品质量之间的关系为y=2x．【解析】（1）利用所给数据，可得y也随之增大；（2）由于弹簧秤的伸长长度是物品质量的2倍，可得结论；（3）根据弹簧秤的伸长长度是物品质量的2倍，可得关系式．解：（1）y也随之增大；（2）当x=3.5时，y=7；当x=8时，y=16；（3）由题意，弹簧秤的伸长长度与物品质量之间的关系为y=2x．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．10.如图（1）是一辆汽车速度随时间而变化的情况示意图．（1）汽车从出发到最后停止共经过多少时间？它的最高时速是多少？（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？（4）如果纵轴表示路程s（千米）．如图（2），横轴表示时间t（时）．这是一个骑自行车者离家距离与时间的关系图象．在出发后8小时到10小时之间可能发生了什么情况？骑自行车者在哪些时间段保持匀速运动？速度分别是多少？【答案】（1）汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速是80千米．（2）汽车在出发后2分钟到6分钟，出发后18分钟到22分钟均保持匀速行驶，时速分别为30千米和80千米．（3）出发后8分到10分之间汽车速度为0千米/时，重新出发后，车速很快提高到80千米/时，因此在这段时间内很可能在修车．（4）在出发后8小时到10小时之间骑自行车者可能回家吃饭、休息等．骑自行车者在开始出发到出发后2小时时间段内匀速运动，车速为=15（千米/时）．在出发后6小时到8小时时间段内匀速运动，车速为=15（千米/时）．在出发后10小时到18小时时间段匀速运动，车速为=10（千米/时），在出发后22小时到24小时时间段内匀速运动，车速=40（千米/时）．【解析】（1）根据图（1），可得结论；（2）根据图（1）速度不变的时间段，可得结论；（3）在这段时间内很可能在修车；（4）在出发后8小时到10小时之间骑自行车者可能回家吃饭、休息等．骑自行车者在开始出发到出发后2小时时间段内匀速运动，车速为=15（千米/时）．解：（1）汽车从出发到最后停止共经过了24分钟，它的最高时速是80千米．（2）汽车在出发后2分钟到6分钟，出发后18分钟到22分钟均保持匀速行驶，时速分别为30千米和80千米．（3）出发后8分到10分之间汽车速度为0千米/时，重新出发后，车速很快提高到80千米/时，因此在这段时间内很可能在修车．（4）在出发后8小时到10小时之间骑自行车者可能回家吃饭、休息等．骑自行车者在开始出发到出发后2小时时间段内匀速运动，车速为=15（千米/时）．在出发后6小时到8小时时间段内匀速运动，车速为=15（千米/时）．在出发后10小时到18小时时间段匀速运动，车速为=10（千米/时），在出发后22小时到24小时时间段内匀速运动，车速=40（千米/时）．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2.1生活中的变量关系2.2.1函数概念学习目标1．通过实例，了解生活中的变量关系．(易混点)2．理解函数的概念及函数的三要素．(重点)3．会求一些简单函数的定义域和值域．(重难点)4．能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域．情景导入通过多媒体展示火箭发射的电脑模拟动画，提出问题：在火箭发射升空的过程中，随着时间的变化，你能发现哪些量也在变化？从而导出课题生活中的变量关系.一、自主学习[基础·初探]教材整理1生活中的变量关系阅读教材P23～P25内容，完成下列问题．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间具有函数关系．下列变量之间是函数关系的是()A．体重与身高的关系B．某超载检测站，通过汽车的数量与时间的关系C．在空中作斜抛运动的标枪，标枪距地面的高度与时间的关系D．数学成绩与物理成绩的关系【解析】A，B，D中两种关系不是确定的关系，不符合函数的定义，C中标枪距地面的高度与时间的关系是函数关系．【答案】 C教材整理2函数的概念阅读教材P26～P27“值域是{s|s≥0}”之间的部分，完成下列问题．1．定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数．2．记法f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.3．名称x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域．集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域，称y是x 的函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个非空集合之间都可以建立函数关系．()(2)根据函数的定义，定义域中的多个x可以对应同一个y值．()(3)在函数f：A→B中，值域即集合B.()【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理3区间的概念阅读教材P27从“研究函数常常用到区间的概念”～“例1”以上内容，完成下列问题．1．区间的定义条件：a<b(a，b为实数)．结论：(1)闭区间：符号表示[a，b]，数轴表示为(2)开区间：符号表示(a，b)，数轴表示为(3)半开半闭区间：符号表示[a，b)或(a，b]，数轴表示为或2．无穷大区间(1)实数集R也可以用区间表示为(－∞，＋∞)．(2)读法：“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)无穷大区间的表示：定义{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)几何表示集合{x|－1≤x<0或1<x≤2}用区间表示为________．【解析】结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．【答案】[－1,0)∪(1,2]二、合作探究探究一：生活中的变量关系及判断[小组合作型]下列两个变量之间是否存在依赖关系，其中哪些是函数关系？(1)圆的面积与其半径之间的关系；(2)家庭收入与消费支出之间的关系；(3)人的身高与视力之间的关系；(4)价格不变的情况下，商品销售额和销售量之间的关系．【精彩点拨】当一个变量随着另一个变量的变化而变化时，这两个变量之间存在依赖关系；存在依赖关系的两个变量，对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，这两个变量具有函数关系．【尝试解答】(1)圆的面积随圆的半径的变化而变化，所以圆的面积与其半径之间存在依赖关系，又因为对每一个半径的值，都有唯一的圆的面积与之对应，故圆的面积是半径的函数．(2)消费支出随家庭收入的变化而变化，消费支出与家庭收入之间存在依赖关系，但消费支出还要受到其他因素的影响，二者之间不是函数关系．(3)人的身高与视力之间不存在依赖关系．(4)价格不变的情况下，商品销售额随销售量的变化而变化，二者存在依赖关系，且商品销售额是销售量的函数．综上可知，(1)(4)中的变量存在依赖关系，且是函数关系；(2)中的变量存在依赖关系，不是函数关系；(3)中的变量不存在依赖关系．1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．[再练一题]1. 下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？ ①正方形的面积和它的边长之间的关系； ②姚明罚球次数与进球数之间的关系； ③施肥量与作物产量之间的关系；④汽车从A 地到B 地所用时间与汽车速度之间的关系．【解】 ①②③④中两个变量都存在依赖关系，其中①④是函数关系，②③中两个变量间有依赖关系，但不是函数关系.探究点二：函数概念的理解下列对应关系是否为A 到B 的函数． (1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1； (2)A ＝R ＋，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； (3)A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝|x －1|；(4)A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |0≤x ≤1}，f ：x →y ＝13x .【精彩点拨】 解答本题可从函数的定义入手，即对于A 中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y 值与之对应．【尝试解答】 (1)A 中的元素－1在B 中没有对应元素，故不是A 到B 的函数． (2)对于集合A 中任意一个正数，在集合B 中有两个元素±x 与之对应，故不是A 到B 的函数．(3)集合A 中元素1在B 中没有对应元素，故不是从A 到B 的函数．(4)集合A 中的任意一个元素，按照对应关系f ：y ＝13x ，在集合B 中都有唯一一个确定的实数13x 与之对应，故是从集合A 到B 的函数．判断对应关系是否为函数关系的关键：,函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”，说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”.[再练一题]2. 下列各式是否表示y 是x 的函数关系？如果是，写出这个函数的解析式；若不是，请说明原因．(1)5x ＋2y ＝1(x ∈R )；(2)xy ＝－3(x ≠0)； (3)x 2＋y 2＝1(x ∈(－1,0))；(4)x 3＋y 3＝1(x ∈R )．【解】 (1)5x ＋2y ＝1(x ∈R )是函数关系，解析式为y ＝－52x ＋12；(2)xy ＝－3(x ≠0)是函数关系，解析式为y ＝－3x(x ≠0)；(3)x 2＋y 2＝1(x ∈(－1,0))不是函数关系，因对于x ∈(－1,0)的任意一个值，对应的y 值有两个；(4)x 3＋y 3＝1(x ∈R )是函数关系，解析式为y ＝31－x 3.探究点三：函数的定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x |－x.【精彩点拨】 求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组．【尝试解答】 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎨⎧x ≠－1，x ≤1.所以函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}． (2)要使函数有意义，必须满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x ＜0.∴函数的定义域为{x |x ＜0}．1．当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．2．求函数的定义域，一般是将其转化为求解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．[再练一题]3. 求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)2|x |－x；(3)y ＝5－x －x －5－1x 2－9. 【解】 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3⇔x ＞－2且x ≠3.∴函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须|x |－x ＞0，解得x ＜0， ∴函数的定义域是(－∞，0)． (3)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ≥0，x －5≥0，x 2－9≠0，得⎩⎨⎧x ≤5，x ≥5，x ≠±3.故函数的定义域是{5}． 探究点四：函数的值域 [探究共研型]探究 1 函数定义中，非空数集B 与值域{f (x )|x ∈A }之间具有什么样的关系？ 【提示】 {f (x )|x ∈A }⊆B .探究 2 函数定义中，设a ∈A ，则函数值f (a )与值域{f (x )|x ∈A }之间具有怎样的关系？ 【提示】 f (a )∈{f (x )|x ∈A }．已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值；(3)求函数g (x )的值域.【精彩点拨】 (1)将x ＝2分别代入f (x )与g (x )的函数表达式中求f (2)，g (2)；(2)先求g (3)，再求f [g (3)]；(3)利用x 2≥0求值域．【尝试解答】 (1)∵f (x )＝11＋x ， ∴f (2)＝11＋2＝13.又g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112. (3)∵x 2≥0，∴x 2＋2≥2， ∴值域为[2，＋∞)．求函数值时，首先要确定函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别.[再练一题]4. 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2.(1)求f (2)；(2)求f [f (1)]；(3)求f (x )的值域． 【解】 f (x )＝x ＋1x ＋2，(1)f (2)＝2＋12＋2＝34.(2)f(1)＝1＋11＋2＝23，f[f(1)]＝f⎝⎛⎭⎫23＝23＋123＋2＝58.(3)f(x)＝x＋1x＋2＝x＋2－1x＋2＝1－1x＋2(x≠－2)，∵1x＋2≠0，∴f(x)的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).三、课堂检测1. 下列关于函数与区间的说法正确的是()A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B．函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了C．数集都能用区间表示D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应【解析】结合函数的定义，A项值域不可能是空集，B项应该是定义域和对应关系确定后值域就确定了，C项离散的数集不能用区间表示，正确答案D.【答案】 D2. 下列图形中，不能确定y是x的函数的是()【解析】A、B、C中任意一个x的值，都有唯一的y值对应，是函数关系，D中的一个x值，如x＝3时，有两个y值与之对应，故不是函数．【答案】 D3. 已知f (x )＝x －1x ，则f (2)＝________.【解析】 f (2)＝2－12＝32.【答案】 324. 函数y ＝1－x ＋x ＋4的定义域为________．【解析】 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋4≥0，解得－4≤x ≤1.故函数的定义域为[－4,1]． 【答案】 [－4,1]5. 求函数y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)的值域． 【解】 ∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 又∵－5≤x ≤－2，∴－4≤x ＋1≤－1， ∴1≤(x ＋1)2≤16， ∴－12≤4－(x ＋1)2≤3， ∴所求函数的值域为[－12,3]． 四、 课堂小结（1）理解函数关系和依赖关系. （2）培养从一般到特殊的数学思想和数形结合的数学思想. （3）培养广泛联想能力和热爱数学的态度.。

课后训练基础巩固1．下列说法不正确的是( )．A．依赖关系不一定是函数关系B．函数关系是依赖关系C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数2．张大明种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量y千克，则()．A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数3．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图像，下面的描述符合小明散步情况的是()．A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家4．下列变量之间的关系是函数关系的是()．A．光照时间与果树亩产量B．台风的级数与交通事故C．水稻的产量与用肥量D．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac5．如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压成一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图像表示为()．6．我们知道，溶液的酸碱度由pH确定．当pH＞7时，溶液呈碱性；当pH＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCl溶液加水稀释，那么在下列图像中，能反映HCl溶液的pH与所加水的体积V的变化关系的图像是()．7．某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入__________，它们之间是__________关系．8．圆柱的高为10 cm，当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，__________是自变量，__________是因变量．设圆柱底面半径为r(cm)，圆柱的体积V(cm3)与r(cm)的关系式为__________，当底面半径从2 cm变化到5 cm时，圆柱的体积由__________(cm3)变化到__________(cm3)．能力提升9．向平静的湖面投一块石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆．(1)在这个变化过程中，有哪些变量？(2)若圆的面积用S表示，半径用R表示，则S和R的关系是什么？它们是常量还是变量？(3)若圆的周长用C表示，半径用R表示，则C与R的关系是什么？10．如图表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回到家，根据这个图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息了多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间内停止前进并休息用午餐？11．在工作的状态下，饮水机会通过自动对水加热使机中水的温度保持在一定范围内．下图表示在饮水机的水温达到最高后，饮水机处于工作状态中的水的温度的变化情况：根据下图，设计一个问题，并解答所设计的问题．参考答案1．C点拨：根据依赖关系与函数关系的区别可知A，B正确．若变量m是变量n的函数．因为满足函数关系的自变量n对因变量m可以是多对一，此时若把m换成自变量，n 换成因变量，显然对于m的每一个取值，会有多个n与之对应，所以变量n不是变量m的函数．2．A点拨：虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y 还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系．3．B点拨：水平的一段线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．故答案为B.4．D点拨：果树的亩产量不仅与光照时间有关，还与施肥量、管理等因素有关，故二者不是函数关系；交通事故与很多因素有关，如道路状况、司机的技术和状态等，故这两个变量不是函数关系；同理，水稻的产量与用肥量也不是函数关系；当a，c是常数，b为自变量时，由判别式Δ＝b2－4ac可以知道，对于b的每一个取值，都有唯一确定的Δ与之对应，这说明Δ是b的函数，故选D.5．B点拨：圆柱钢锭的体积不随高的变化而变化．6．C点拨：HCl溶液呈酸性，其pH值总小于7，随着加入水的体积增大，其pH值会越来越接近7.7．增加函数8．圆柱底面半径圆柱体积V＝10πr240π250π点拨：圆柱的体积为V＝πr2h(其中r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高)．9．解：(1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量．(2)圆的面积S与半径R存在着依赖关系，对于半径R的每一个取值，都有唯一的面积S与之对应，所以圆的面积S是半径R的函数，其函数关系式是S＝πR2.圆的面积S.半径R 都是变量．(3)C＝2πR.10．解：(1)最初到达离家最远的地方是在12时，此时离家30千米．(2)10：30时开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)从11：00到12：00，他离家的距离由17千米增加到30千米，所以他骑了13千米．(5)在9：00～10：00行驶的路程为10千米，所用时间为1小时，他的平均速度101＝10(千米/时)；在10：00～10：30行驶的路程为17－10＝7(千米)，所用时间为0.5小时，他的平均速度为70.5＝14(千米/时)．(6)在12：00～13：00停止前进并休息用午餐．11．解：设计问题就是从图像中获取有关信息．例如，提出下列问题：问题1：饮水机中水的最高温度是多少？最低温度是多少？解：水的最高温度为96 ℃，最低温度为91 ℃.问题2：水温上升到最高温度后，再经过10分钟饮水机中水的温度多高？35分钟时水的温度多高？解：10分钟后水的温度约93 ℃高，35分钟时水的温度约95 ℃高．问题3：哪段时间水的温度在不断下降？哪段时间水的温度在持续上升？解：约从开始到27分钟时水的温度在不断下降，从27分钟到32分钟时水的温度在不断上升，后面又有一个相同的下降与上升的过程．。

2.1生活中的变量关系·函数概念一、选择题1．已知f(x)＝x－1x＋1，则f(2)＝()A．1 B.12 C.13 D.14【解析】f(2)＝2－12＋1＝13.【答案】 C2．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝x－1和y＝x2－1 x＋1B．y＝x0和y＝1 C．y＝x2和y＝(x＋1)2D．f(x)＝(x)2x和g(x)＝x(x)2【解析】A中y＝x－1定义域为R，而y＝x2－1x＋1定义域为{x|x≠1}；B中函数y＝x0定义域{x|x≠0}，而y＝1定义域为R；C中两函数的解析式不同；D中f(x)与g(x)定义域都为(0，＋∞)，化简后f(x)＝1，g(x)＝1，所以是同一个函数．【答案】 D3．用固定的速度向如图2－2－1所示形状的瓶子中注水，则水面的高度h 和时间t之间的关系是()图2－2－1【解析】 水面的高度h 随时间t 的增加而增加，而且增加的速度越来越快．【答案】 B4．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[1,2]D ．[1，＋∞) 【解析】 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2， 所以函数的定义域是{x |x ≥1且x ≠2}．【答案】 A5．函数f (x )＝1x 2＋1(x ∈R )的值域是( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1]【解析】 由于x ∈R ，所以x 2＋1≥1,0<1x 2＋1≤1， 即0<y ≤1.【答案】 B二、填空题6．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________．【解析】 结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．【答案】 [－1,0)∪(1,2]7．函数y ＝31－x －1的定义域为________． 【解析】 要使函数有意义，自变量x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥01－x －1≠0解得：x ≥1且x ≠2.∴函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．【答案】 [1,2)∪(2，＋∞)8．设函数f (x )＝41－x，若f (a )＝2，则实数a ＝________. 【解析】 由f (a )＝2，得41－a ＝2，解得a ＝－1. 【答案】 －1三、解答题9．已知函数f (x )＝x ＋1x， 求：(1)函数f (x )的定义域；(2)f (4)的值．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ≠0，得x >0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)f (4)＝4＋14＝2＋14＝94.10．求下列函数的定义域：(1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －2. 【解】 (1)要使y ＝－x 2x 2－3x －2有意义，则必须⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得x ≤0且x ≠－12，故所求函数的定义域为{x |x ≤0，且x ≠－12}．(2)要使y ＝34x ＋83x －2有意义，则必须3x －2>0，即x >23，故所求函数的定义域为{x |x >23}．11．已知f (x )＝x 21＋x 2，x ∈R ， (1)计算f (a )＋f (1a )的值； (2)计算f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)的值．【解】 (1)由于f (a )＝a 21＋a 2，f (1a )＝11＋a 2， 所以f (a )＋f (1a )＝1.(2)法一 因为f (1)＝121＋12＝12，f (2)＝221＋22＝45，f (12)＝(12)21＋(12)2＝15，f (3)＝321＋32＝910，f (13)＝(13)21＋(13)2＝110，f (4)＝421＋42＝1617，f (14)＝(14)21＋(14)2＝117， 所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝12＋45＋15＋910＋110＋1617＋117＝72.法二 由(1)知，f (a )＋f (1a )＝1，则f (2)＋f (12)＝f (3)＋f (13)＝f (4)＋f (14)＝1，即[f (2)＋f (12)]＋[f (3)＋f (13)]＋[f (4)＋f (14)]＝3，而f (1)＝12，所以f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝72.。

2021年高中数学 2.1生活中的变量关系练习北师大版必修11.下列过程中，变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？（1）地球绕太阳公转的过程中，二者的距离与时间的关系；（2）在空中作斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系；（3）某水文观测点记录的水位与时间的关系；（4）某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系。

2.下列过程中，变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？（1）设一长方体盒子高为10cm，底面是正方形，求这个长方体的体积V与底面边长a的关系；（2）秀水村的耕地面积是106平方米，求这个村人均占有耕地面积X与人数n的关系；（3）设地面气温是20摄氏度，如果每升高1km，气温下降6摄氏度，求气温t与高度h的关系。

3.我们知道，溶液的酸碱度由pH确定，当pH＞7时，溶液呈碱性；当pH＜7时，溶液呈酸性。

若将给定的HCl溶液加水稀释，那么在下列图像中，能反映HCl溶液的pH与所加水的体积V的变化关系图像是（）4.某项运动的运动速度曲线如图所示，以下运动中，其速度变化最符合图中的曲线的是（）A.钓鱼B.掷标枪C.100米短跑D.10000米长跑5.某电器商店以450元的价格购进了一批MP4，然后以600元的价格售出，随着售出数的变化，商店获得的收入是怎样变化的？其收入与售出的个数之间存在函数关系吗？6.在一定范围内，某产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买100吨，每吨80元；如果购买200吨，每吨70元，那么客户购买500吨，单价应为（）元。

7.如果你要给外地的亲戚打长途电话，3分钟内收费2.4元，然后超1分钟加收1元，那么打了五分钟，要收多少元？t（分钟）与花费y（元）之间是怎样的关系？是函数关系吗？8.从人口统计年鉴中可以查的我国从1949年到xx年人口数据资料，你能根据这个表说出我国人口变化情况吗？时间与人口数之间存在函数关系吗？9.某市出租车收费标准如下：3km以内的路程按起步价10元收费，超过3km的路程按2.5元/km收费，请写出收费额与路程的关系式。

《生活中的变量关系》同步练习
1．明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是( )。

A．明明 B．电话费 C．时间 D．爷爷
2．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( )。

A．大气层中的臭氧空洞的面积与时间(年份)
B．圆的周长与半径
C．正n边形的内角和与边数
D．月份与年
3．下列各选项中，两个变量之间的关系不能被看成函数的是( )。

A．小车下滑过程中下滑时间t与支撑物高度h之间的关系
B．三角形一边上的高一定时，三角形面积S与该边的长度x之间的关系
C．骆驼某日体温随时间的变化曲线所确定的温度与时间的关系
D．y表示一个正数x的平方根，y与x之间的关系
4．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图像中与故事情节相吻合的是( )。

5．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图像，下面的描述符合小明散步情况的是( )。

A ．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B ．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了 C
．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了
D ．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min 后才回家。