数学高一-第二章 2 2.1 生活中的变量关系 函数的概念 应用创新演练

生活中的变量关系【教材分析】现实世界充满着变量，一些变量之间存在着依赖关系，函数是揭示变量间依赖关系的重要的数学概念，它是现代数学最基本的概念，在解决实际问题中发挥着重要作用．本节内容主要学生更好的认识到生活处处有数学，只要做个有心人，我们可以随时随地学习数学【教学目标与核心素养】一、教学目标：1．通过生活中的实际例子，引起学生积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别。

2．培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力．二、核心素养1．数学抽象：初中对函数概念的理解2．逻辑推理：借助初中所学的变量之间的关系，分析生活中变量的关系，将函数运用于实际生活中，更能体现数学知识无处不在3．数学运算：根据变量之间的关系，列出相应函数关系式，从而解决实际问题4．直观想象：通过有些函数图像的画法，了解什么是分段函数。

5．数学建模:利用函数变量的关系，对于生活中，牵扯到有关变量的实际问题，我们都可以构建数学模型，更好的解决一些问题。

【教学重点】在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系【教学难点】依赖关系和函数关系的差别【教学准备】PPT【教学过程】1.知识探究：例1：图2-1是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料．储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h，油面宽度w、储汕量V是变量．思考：V，h，w之间是否具有关系结论：储油量V与油面高度h存在着依赖关系，也与油面宽度w存在着依赖关对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V和它对应．但是，取一个油面宽度w的值，却对应着两个储汕量V例2自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展．截至2017年年底，中国高铁运营里程突破25 000 km．图2-2表示的是中国高铁年运营里程的变化．思考：高铁运营里程与年份的关系结论：观察图2-2，不难看出：（1）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系；（2）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多同学回顾初中如何定义函数概念：有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．函数概念中需注意：凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．同学思考：例1中，V与h是否具有函数关系；V与w是否具有函数关系例3弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系y kx，其中k为劲度系数．对于变量“伸长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应，弹力y是伸长量x的函数．例4表2-1记录了几个不同气压下水的沸点：表2-1对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，沸点是气压的函数．例5绿化可以改变小环境气候．某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙，图2-3是这两个观测点某一天的气温曲线图．为了方便比较，将两条曲线画在了同一直角坐标系中．每一条曲线都表示了一个函数关系，反映的都是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应．例6国内某快递公司邮寄普通货物限重30 kg，从A城市到B城市的快递资费标准是:质量1 kg及以下收费12元，以后质量每增加1 kg收费增加8元，质量不足1 kg按1 kg计算．请写出邮件的质量6kg与邮资M元的函数解析式，并画出局部图象．解依题意知邮件的质量6 kg与邮资M元的函数解析式为形如上述的函数，一般叫作分段函数．生活中存在着许许多多的函数关系．正是函数概念中的关键词“每一个”“唯一”“对应”恰当地反映了事物特征．【课堂探讨】1．举出生活中具有函数关系的一些实例2．找出一个生活实例，说明两个变量之间存在依赖关系，但不是函数关系【教学反思】1．判断量与量之间的关系：是函数关系还是依赖关系2．函数关系理解：每一个自变量有惟一确定因变量的值。

§1生活中的变量关系课后训练巩固提升1.下列变量间的关系是函数关系的是( ).A.匀速航行的轮船在2 h内航行的路程B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C.正方形的周长C与其边长a之间的关系D.光照时间和苹果的产量是常量,B是依赖关系,C是函数关系,D是依赖关系.2.张某种植了6 000 m2小麦,每100 m2施肥x kg,小麦总产量y kg,则( ).A.x,y之间有依赖关系B.x,y之间有函数关系C.y是x的函数D.2施肥量x之间存在依赖关系,但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响,所以x,y之间无函数关系.3.(多选题)如图是一份统计图,根据此图得到的以下说法,正确的有( ).(第3题)A.这几年人民生活水平逐年提高B.人民生活消费增长最快的一年是C.生活价格指数上涨速度最快的一年是D.虽然生活消费增长是缓慢的,但由于生活价格指数有较大降低,因而人民生活有较大的改善逐年增大的,故A正确;“生活消费指数”在~最陡,故B正确;“生活价格指数”在~最平缓,故C不正确;D显然正确.4.给出下列关系:①圆的半径与其周长之间的关系;②一个人的寿命与这个人做好事的次数之间的关系;③正整数和它的正约数的个数之间的关系.其中是函数关系的是.(填序号);②中的“寿命”与这个人做好事的“次数”之间没有因果关系,所以不是函数关系;③中正整数和它的正约数的个数之间不具有函数关系.5.下表给出的是y与x的关系,则y与x是关系.(填“函数”或“非函数”),y与x是一种确定的依赖关系,故为函数关系.6.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:min)之间有如下关系.(其中0≤x≤20)(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当提出概念所用的时间是10 min时,学生的接受能力是多少?(3)根据表格中的数据,你认为提出概念多长时间,学生的接受能力最强?(4)由表格可知,当时间x在什么范围内时,学生的接受能力逐步增强?当时间x在什么范围内时,学生的接受能力逐步降低?题表中反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系;其中提出概念所用时间x是自变量,对概念的接受能力y 是因变量.(2)由题中表格可知,当提出概念所用的时间为10min时,学生对概念的接受能力是59.(3)由题表知,提出概念所用的时间为13min时,学生的接受能力最强.(4)当时间in的范围内时,学生的接受能力逐步增强;当in的范围内时,学生的接受能力逐步降低.。

§2.2.1生活中的变量关系及函数的概念导学案重点：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。

难点：体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，正确理解函数的概念 问题导思：⒈在一个变化的过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果给定了一个ｘ值，相应地_____________________________，那么我们称__________的函数，其中ｘ是_________，y 是________．⒉给定两个非空数集A 和B ，如果按照确定的法则ｆ，对于集合A 中 ，在集合B 中都有_________________与它对应，那么就把这种对应关系f 叫作____________________，记作_________________，此时，ｘ叫做_______，数集Ａ叫做______________________________，集合 叫作函数的 . 3.值域与B 的关系是 ；4.构成函数的三要素是 、 、 .5.区间及写法设a,b 是两个实数，且a<b,则{}[]|,x a x b a b ≤≤=叫闭区间，{}()|,x a x b a b <<=叫开区间， {}|[,)x a x b a b ≤<=,{}|(,]x a x b a b <≤=叫做半开半闭区间 实数集R 用区间(),-∞+∞表示，其中“∞”读“无穷大”，“-∞”读“负无穷大”，“+∞”读“正无穷大”试试：用区间表示.（1）{x |x ≥a }= 、{x |x >a }= 、{x |x ≤b }= 、{x |x <b }= . （2）{|01}x x x <>或= . 典例分析例1、已知函数()f x =（1）求()3f 的值；（2）求函数的定义域（用区间表示）； （3）求()21f a -的值。

练一练（1）下列各式中，y 不是x 的函数是（ ） A 2y = By =C 22y x =D 32y x =（2）设函数2()1f x x x =-+-，则()()f a f a --=（ ） A 0 B 2a C 2a D 221a -（3）已知函数2()352f x x x =+-，求(3),((1)f f f a +的值。

2.1生活中的变量关系2.2.1函数概念学习目标1．通过实例，了解生活中的变量关系．(易混点)2．理解函数的概念及函数的三要素．(重点)3．会求一些简单函数的定义域和值域．(重难点)4．能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域．情景导入通过多媒体展示火箭发射的电脑模拟动画，提出问题：在火箭发射升空的过程中，随着时间的变化，你能发现哪些量也在变化？从而导出课题生活中的变量关系.一、自主学习[基础·初探]教材整理1生活中的变量关系阅读教材P23～P25内容，完成下列问题．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间具有函数关系．下列变量之间是函数关系的是()A．体重与身高的关系B．某超载检测站，通过汽车的数量与时间的关系C．在空中作斜抛运动的标枪，标枪距地面的高度与时间的关系D．数学成绩与物理成绩的关系【解析】A，B，D中两种关系不是确定的关系，不符合函数的定义，C中标枪距地面的高度与时间的关系是函数关系．【答案】 C教材整理2函数的概念阅读教材P26～P27“值域是{s|s≥0}”之间的部分，完成下列问题．1．定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数．2．记法f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.3．名称x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域．集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域，称y是x 的函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个非空集合之间都可以建立函数关系．()(2)根据函数的定义，定义域中的多个x可以对应同一个y值．()(3)在函数f：A→B中，值域即集合B.()【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理3区间的概念阅读教材P27从“研究函数常常用到区间的概念”～“例1”以上内容，完成下列问题．1．区间的定义条件：a<b(a，b为实数)．结论：(1)闭区间：符号表示[a，b]，数轴表示为(2)开区间：符号表示(a，b)，数轴表示为(3)半开半闭区间：符号表示[a，b)或(a，b]，数轴表示为或2．无穷大区间(1)实数集R也可以用区间表示为(－∞，＋∞)．(2)读法：“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)无穷大区间的表示：定义{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)几何表示集合{x|－1≤x<0或1<x≤2}用区间表示为________．【解析】结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．【答案】[－1,0)∪(1,2]二、合作探究探究一：生活中的变量关系及判断[小组合作型]下列两个变量之间是否存在依赖关系，其中哪些是函数关系？(1)圆的面积与其半径之间的关系；(2)家庭收入与消费支出之间的关系；(3)人的身高与视力之间的关系；(4)价格不变的情况下，商品销售额和销售量之间的关系．【精彩点拨】当一个变量随着另一个变量的变化而变化时，这两个变量之间存在依赖关系；存在依赖关系的两个变量，对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，这两个变量具有函数关系．【尝试解答】(1)圆的面积随圆的半径的变化而变化，所以圆的面积与其半径之间存在依赖关系，又因为对每一个半径的值，都有唯一的圆的面积与之对应，故圆的面积是半径的函数．(2)消费支出随家庭收入的变化而变化，消费支出与家庭收入之间存在依赖关系，但消费支出还要受到其他因素的影响，二者之间不是函数关系．(3)人的身高与视力之间不存在依赖关系．(4)价格不变的情况下，商品销售额随销售量的变化而变化，二者存在依赖关系，且商品销售额是销售量的函数．综上可知，(1)(4)中的变量存在依赖关系，且是函数关系；(2)中的变量存在依赖关系，不是函数关系；(3)中的变量不存在依赖关系．1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．[再练一题]1. 下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？ ①正方形的面积和它的边长之间的关系； ②姚明罚球次数与进球数之间的关系； ③施肥量与作物产量之间的关系；④汽车从A 地到B 地所用时间与汽车速度之间的关系．【解】 ①②③④中两个变量都存在依赖关系，其中①④是函数关系，②③中两个变量间有依赖关系，但不是函数关系.探究点二：函数概念的理解下列对应关系是否为A 到B 的函数． (1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1； (2)A ＝R ＋，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； (3)A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝|x －1|；(4)A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |0≤x ≤1}，f ：x →y ＝13x .【精彩点拨】 解答本题可从函数的定义入手，即对于A 中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y 值与之对应．【尝试解答】 (1)A 中的元素－1在B 中没有对应元素，故不是A 到B 的函数． (2)对于集合A 中任意一个正数，在集合B 中有两个元素±x 与之对应，故不是A 到B 的函数．(3)集合A 中元素1在B 中没有对应元素，故不是从A 到B 的函数．(4)集合A 中的任意一个元素，按照对应关系f ：y ＝13x ，在集合B 中都有唯一一个确定的实数13x 与之对应，故是从集合A 到B 的函数．判断对应关系是否为函数关系的关键：,函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”，说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”.[再练一题]2. 下列各式是否表示y 是x 的函数关系？如果是，写出这个函数的解析式；若不是，请说明原因．(1)5x ＋2y ＝1(x ∈R )；(2)xy ＝－3(x ≠0)； (3)x 2＋y 2＝1(x ∈(－1,0))；(4)x 3＋y 3＝1(x ∈R )．【解】 (1)5x ＋2y ＝1(x ∈R )是函数关系，解析式为y ＝－52x ＋12；(2)xy ＝－3(x ≠0)是函数关系，解析式为y ＝－3x(x ≠0)；(3)x 2＋y 2＝1(x ∈(－1,0))不是函数关系，因对于x ∈(－1,0)的任意一个值，对应的y 值有两个；(4)x 3＋y 3＝1(x ∈R )是函数关系，解析式为y ＝31－x 3.探究点三：函数的定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x |－x.【精彩点拨】 求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组．【尝试解答】 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎨⎧x ≠－1，x ≤1.所以函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}． (2)要使函数有意义，必须满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x ＜0.∴函数的定义域为{x |x ＜0}．1．当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．2．求函数的定义域，一般是将其转化为求解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．[再练一题]3. 求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)2|x |－x；(3)y ＝5－x －x －5－1x 2－9. 【解】 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3⇔x ＞－2且x ≠3.∴函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须|x |－x ＞0，解得x ＜0， ∴函数的定义域是(－∞，0)． (3)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x ≥0，x －5≥0，x 2－9≠0，得⎩⎨⎧x ≤5，x ≥5，x ≠±3.故函数的定义域是{5}． 探究点四：函数的值域 [探究共研型]探究 1 函数定义中，非空数集B 与值域{f (x )|x ∈A }之间具有什么样的关系？ 【提示】 {f (x )|x ∈A }⊆B .探究 2 函数定义中，设a ∈A ，则函数值f (a )与值域{f (x )|x ∈A }之间具有怎样的关系？ 【提示】 f (a )∈{f (x )|x ∈A }．已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值；(3)求函数g (x )的值域.【精彩点拨】 (1)将x ＝2分别代入f (x )与g (x )的函数表达式中求f (2)，g (2)；(2)先求g (3)，再求f [g (3)]；(3)利用x 2≥0求值域．【尝试解答】 (1)∵f (x )＝11＋x ， ∴f (2)＝11＋2＝13.又g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112. (3)∵x 2≥0，∴x 2＋2≥2， ∴值域为[2，＋∞)．求函数值时，首先要确定函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别.[再练一题]4. 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2.(1)求f (2)；(2)求f [f (1)]；(3)求f (x )的值域． 【解】 f (x )＝x ＋1x ＋2，(1)f (2)＝2＋12＋2＝34.(2)f(1)＝1＋11＋2＝23，f[f(1)]＝f⎝⎛⎭⎫23＝23＋123＋2＝58.(3)f(x)＝x＋1x＋2＝x＋2－1x＋2＝1－1x＋2(x≠－2)，∵1x＋2≠0，∴f(x)的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).三、课堂检测1. 下列关于函数与区间的说法正确的是()A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B．函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了C．数集都能用区间表示D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应【解析】结合函数的定义，A项值域不可能是空集，B项应该是定义域和对应关系确定后值域就确定了，C项离散的数集不能用区间表示，正确答案D.【答案】 D2. 下列图形中，不能确定y是x的函数的是()【解析】A、B、C中任意一个x的值，都有唯一的y值对应，是函数关系，D中的一个x值，如x＝3时，有两个y值与之对应，故不是函数．【答案】 D3. 已知f (x )＝x －1x ，则f (2)＝________.【解析】 f (2)＝2－12＝32.【答案】 324. 函数y ＝1－x ＋x ＋4的定义域为________．【解析】 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋4≥0，解得－4≤x ≤1.故函数的定义域为[－4,1]． 【答案】 [－4,1]5. 求函数y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)的值域． 【解】 ∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 又∵－5≤x ≤－2，∴－4≤x ＋1≤－1， ∴1≤(x ＋1)2≤16， ∴－12≤4－(x ＋1)2≤3， ∴所求函数的值域为[－12,3]． 四、 课堂小结（1）理解函数关系和依赖关系. （2）培养从一般到特殊的数学思想和数形结合的数学思想. （3）培养广泛联想能力和热爱数学的态度.。

2.1 生活中的变量关系学时:1学时【学习引导】一、自主学习1.阅读课本：p23---p252.回答问题（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？（2）层次间有什么联系？（3）什么是常量？什么是变量（4）什么叫存在依赖关系？3. 完成P25练习.4. 小结.二、方法指导本节课的内容是认识生活中的变量，课本通过高速公路的实例引起思考和交流，同学们应该积极思考，动手实践，认真体会生活中的数学，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系，能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有函数关系。

【思考引导】一、提问题1. 依在高速公路的情境下，你能发现哪些函数关系？2．赖关系都是函数关系吗？3．粉笔盒的体积和棱长存在依赖关系吗？是函数关系吗？二、变题目1．下列各量中是常量的是（C ）A．圆的面积B．每天光照的时间C．北京到上海的距离D．汽车每天行使的路程2．下列各量间不存在依赖关系的是（ D ）A．矩形的面积与它的长和宽B．某人的体重与其饮食状况C．某人的年龄与体力D．某人的衣着与视力3．下列两变量之间不是函数关系的是（ B ）A．球的半径与体积B．人的身高与体重C．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间D．正n边形的边数与内角和T4．下列关系为函数关系的是（ A ）A．乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系B．某同学学习时间与其学习成绩的关系C．人的睡眠质量与身体状况的关系D．树木的高度与土壤的关系5．给出下列情境与关系：（1）某护士从上午8:00到下午2:00每小时量一次病人的体温，结果如下表：(体温单位:C) Array关系为:病人的体温与时间的关系.（2）班上有45位同学,每人都有一个不同的学号,某次数学测验共有36个不同的分数.关系为:学生的分数与学号的关系.（3）上网查阅资料时,某网页的点击率与时间t的关系.其中属于函数关系的是___________(1)(2)(3)____________.【总结引导】1．具有依赖关系的两个变量,不一定具有函数关系.2．当且仅当对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有_____唯一________,才称这两个变量之间有函数关系.3．如何区分两个变量是依赖关系还是函数关系?【拓展引导】一、课外作业：P25 1二、课外思考：1. 请列举一些与公路有关的函数关系.2. 请思考在其它环境下存在的函数关系.。

《2.1生活中的变量关系》教学案三维目标1．通过公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而使学生认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．2．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度．重点难点区分生活中的变量关系是否为函数关系．教学过程导入新课思路1.现实世界中充满了变化，静止是相对的，运动是永恒的．我们的生活中存在着各种各样的变量关系，其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型，也是数学的基本概念，函数思想是研究问题的重要数学思想之一．今天我们学习如何确定函数关系，教师引出课题．思路2.人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗？正方体的体积和棱长是函数关系吗？如何判断呢？这就是本节课学习的内容，教师引出课题．推进新课说出初中所学函数定义？如何确定两个变量之间是函数关系？讨论结果：(1)函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，y是因变量．(2)定义法：当且仅当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且，y是x的函数．应用示例例1 我国自1998年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位．(如下表)1988—2001年全国高速公路总里程单位：千米图1问：(1)高速公路里程数是年度的函数吗？(2)高速公路里程数与年度的变化有什么特点？活动：学生回顾函数的定义及确定函数关系的方法，教师适当提示或点拨．解：不难看出：(1)高速公路里程数随年度的变化而变化．所以，高速公路里程数可以看成因变量，年度看成自变量，从而高速公路里程数是年度的函数．(2)从1988年到2001年，里程数是不断增加的，其中从1999年到2000年增长得最快．点评：本题主要考查函数的定义.例2 图2是某高速公路加油站的图片，加油站常用圆柱体储油罐储存汽油．储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度h、油面宽度ω、储油量v是变量．这些变量中，请指出哪两个具有依赖关系，哪两个变量具有函数关系．图2活动：学生结合生活经验思考．教师可提示，也可介绍相关知识．解：储油量v与油面高度h存在着依赖关系，储油量v与油面宽度ω也存在着依赖关系．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v和它对应，所以，储油量v是油面高度h的函数．而对于油面宽度ω的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量v和它对应，所以，储油量v不是油面宽度ω的函数．点评：本题主要考查依赖关系和函数关系及其区别．由本题可见，函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系.例3 在学校里你能发现哪些函数关系？活动：仔细观察，联系学校中老师、学生、师生的生活、校内物品等．解：(1)学生的学号是学生的函数；(2)教学任务是老师的函数；(3)学校的用电量是时间的函数，用水量也是时间的函数．点评：本题考查观察能力及发现问题、分析问题的能力.例4 新华网北京2006年3月24日电：中国卫生部24日通报，上海市确诊一例人感染高致病性禽流感病例，患者3月13日发病，后因病情加重，经抢救无效，于3月21日死亡．为了更好地对付禽流感病毒，某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间近似满足图3所示的曲线关系．请根据图3中给出的变化曲线，试判断每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间是否构成函数关系．图3解：时间的变化范围是数集A＝{x|x≥0}，每毫升血液中含药量y(毫克)的变化范围是数集B＝{y|4≥y≥0}，并且，对于数集A中的每一个时间x，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的y与它相对应．所以每毫升血液中含药量y(毫克)是时间x(小时)的函数．点评：本题主要考查实际问题中的函数关系.。

2.1 生活中的变量本节教材分析在学生学习用集合语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系。

生活中的变量关系一节，从高速公路的实例引入，“思考交流”则引导学生对类似的情景，如邮局、机场等进行思考并于同伴交流。

安排了函数关系与非函数关系的对比.三维目标：1。

知识与技能：通过公路上的实际例子，引起积极的思考和交流,从而使学生认识到生活中处处可以遇到变量监督依赖关系。

2.过程与方法：能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系.3。

情感态度与价值观：培养学生广泛的联想能力,树立热爱数学的态度.教学重点：区分生活中的变量关系是否为函数关系.教学难点:同上教学建议：教学中一定要注意以人为本，要尊重学生,为了学生,调动学生参与到教学中;在教学中一定要给学生“留白”，即为学生留下必要的时间和空间让其自主地活动.对于教材中的“思考交流”应该组织学生进行讨论,不能一说而过。

新课导入设计导入一:现实世界中充满了变化，静止是相对的，运动是永恒的。

我们的生活中存在着各种各样的变量关系,其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型，也是数学的基本概念，函数思想是研究问题的重要思想之一。

今天我们学习如何确定函数关系,教师引出课题。

导入二:人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产量余亩施肥量是函数关系吗：正方体的体积和棱长是函数关系吗？如何判断呢？这就是本节课学习的内容，教师引出课题。

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高中数学第二章函数2.1 生活中的变量关系教案2 北师大版必修1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章函数2.1 生活中的变量关系教案2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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生活中的变量关系★教学目标1．知识目标:通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．2．能力目标：培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力．3．情感目标:培养学生合作交流的意识及广泛联想的能力和热爱数学的态度.★教学重难点：1．重点:生活中变量之间有依赖关系，掌握变量之间的函数关系。

2．难点：变量之间的依赖关系不一定都是函数关系。

★授课类型:新授课★教具：多媒体、实物投影仪★教学方法:启发式、交互式教学★教学过程：一、创设情景,引入课题多媒体展示“神舟七号”发射的电脑模拟动画，提出问题：在“神七”发射升空的过程中，随着时间的变化，你能发现哪些量也在变化？从而导出课题生活中的变量关系.(板书课题生活中的变量关系）二、新课讲解1、温故知新：◇初中学习的函数定义是什么？◇下图为运行中的电梯，它离地面高度h与时间t是否存在函数关系?◇下图为行驶中的汽车，它行驶速度v与时间t是否存在函数关系？2、知识探究: 阅读课文23-24页,在高速公路情境下的函数问题（1）课本高速公路情景下研究了哪些函数关系?请指出它们的自变量和因变量。

"【创新方案】2013版高中数学 第二章 2.1 2.1.1 第一课时变量与函数的概念创新演练 新人教B 版必修1 "1．下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x .A ．4B ．3C ．2D ．1 答案：B2．下列函数中，与函数y ＝1x 有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝1x ＋x ＋1B ．f (x )＝1x [C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝x ＋－x解析：函数y ＝1x 的定义域为{x |x >0}． 对于A ，要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x ＋1≥0，即x >0，因此定义域为{x |x >0}．答案：A3．下列各组函数表示相等函数的是( )[ A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3 B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：A 中两函数定义域不同，B 、D 中两函数对应法则不同，C 中定义域与对应法则都相同．答案：C4．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，则方程f (x 2)＝35的解为( ) A ．x ＝4B ．x ＝2[C ．x ＝±2D ．x ＝2或－3 解析：∵f (x )＝x －1x ＋1， ∴f (x 2)＝x 2－1x 2＋1.由题意得x 2－1x 2＋1＝35. 整理得x 2＝4，解得x ＝±2.答案：C5．函数f (x )＝x －2＋2－x 的定义域是________，值域是________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2－x ≥0，即x ＝2，∴定义域为{2}．又当x ＝2时，f (x )＝0，∴值域是{0}．答案：{2} {0}6．设f (x )＝11－x，则f [f (x )]＝________. 解析：f [f (x )]＝11－11－x ＝11－x －11－x＝x －1x . 答案：x －1x(x ≠0，且x ≠1) 7．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝1x ＋1； (2)y ＝x 2－1＋1－x 2；(3)y ＝2x ＋3；(4)y ＝x ＋1x 2－1. 解：(1)要使函数有意义，即分式有意义，需x ＋1≠0，x ≠－1.故函数的定义域为{x |x ≠－1}．(2)要使函数有意义，需 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1≥0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2≥1，x 2≤1. 所以x 2＝1，从而函数的定义域为{x |x ＝±1}＝{1，－1}．(3)函数y ＝2x ＋3的定义域为{x |x ∈R}．(4)因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，x ＋1x 2－1有意义，所以原函数的定义域是{x |x ≠±1，x ∈R}．8．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)与f (12)，f (3)与f (13)； (2)由(1)中求得的结果，你能发现f (x )与f (1x)有什么关系？证明你的发现． 解：(1)∵f (x )＝x 21＋x2，∴f (2)＝221＋22＝45， f (12)＝1221＋122＝15，f (3)＝321＋32＝910，f (13)＝1321＋132＝110.(2)由(1)发现f (x )＋f (1x )＝1.证明如下：f (x )＋f (1x )＝x 21＋x 2＋1x21＋1x2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1.。