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一维无限深势阱

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第八节一维无限深势阱

第八节一维无限深势阱

《大学物理》2教师：胡炳全d ( x ) 2m 2 ( E V ( x)) ( x) 0 2 dx
由于势能是分段函数，波函数和薛定谔方程也应 该分段写出。
在x 0的区域, d 21 ( x) 2m 2 ( E )1 ( x) 0 2 dx 在x a的区域, d 23 ( x) 2m 1 ( x) 3 ( x) 0 2 ( E )3 ( x) 0 2 dx
三、讨论： 1、粒子在一维无限深势阱中运动的能级： V 2 ∞ ∞
E
2m a
2
n 2 , n 1,2,3
n=3
n=2
2、粒子在一维无限深势阱中运 动的波函数：
o
a
n=1
x
《大学物理》
教师：
胡炳全
2 n sin x, 0 x a ( x) a a 0 x 0, x a
《大学物理》
教师：
胡炳全
在0 x a的区域, d 2 ( x ) 2m 2 ( E 0) 2 ( x) 0 2 dx
2
2 ( x)的通解为：
2m E 2m E 2 ( x) A sin x B cos x 2 2
根据波函数的连续性，在x=0和x=a处φ2应该为零。所 以有：
《大学物理》
教师：
胡炳全
四、势垒与隧道效应
由薛定谔方程求解可知：即使入射粒子的能量比势垒 高度还小，穿过势垒的波函数也不为零，这表明在势垒后 面发现粒子的几率不为零。即入射粒子也有一定的几率穿 过势垒。这种现象叫做隧道效应。
2 ( x) x0 0 B 0
2m E 2 ( x) A sin x 2
《大学物理》

163一维势阱和势垒问题

163一维势阱和势垒问题
mn
0,
mn mn
克罗内克符号
二、势垒穿透和隧道效应
有限高的方形势垒
数学形式：
U
(
x)
0,
U 0 ,
图形形式：
x 0(P区),x a(S区) 0 x a(Q区)
U
考虑粒子的动能 E小于势垒高
U0
度 U0的情况。（ E < U0 ）
E
PQ S
o ax
U (x) 0, x 0和x a
1
(0 x a)
(x 0及x a)
2
势阱内 0 < x < a
d 2 1
dx2
2E
2
1
0
势阱外 x ≤ 0 ;x ≥a
2 0
理由:因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁,故势 阱外的 波函数为零
定态薛定谔方程为
d 2
d x2
2E
2
0
E是粒子的总能量，E > 0，令 k
定态薛定谔方程变为
d 2
一维无限深方势阱的图形表达形式 ：
∞∞
U(x)
粒子只能在宽为 a 的两个无限 高势壁间运动，这种势称为一 维无限深方势阱。
0
ax
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
2
2
2
U
(r)
(r )
E
(r )
————定态薛定谔方程
①列出各区域的定态薛定谔方程
若在样品与针尖之间
加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势
垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。

一维无限势阱

一维无限势阱

一维无限深势阱定义编辑粒子在一种简单外力场中做一维运动，其势能函数为U(X)=0 （-a<x<a)；U(x)=∞ (x≥a或x≤-a)。

由于其函数图形像阱，且势能在一定区域为0，而在此区域外势能为无穷大，所以这种势能分布叫做一维无限深势阱。

实际模型编辑自由电子在一块金属中的运动相当于在势阱中的运动。

在阱内，由于势能为零，粒子受到的总的力为零，其运动是自由的。

在边界上x=0或x=a处，由于势能突然增加到无限大，粒子受到无限大指向阱内的力。

因此，粒子的位置不可能到达0<x<a的范围以外。

一维无限深势阱中粒子运动的波函数编辑一维无限深势阱中粒子运动的波函数为Ψ(x)=√(2/a)·sin(nπx/a) (0<x<a)。

三、一维势阱3.1 一维无限深势阱要使电子脱离金属，需要对它做功，这相当于电子在金属表面处势能突然增大，自由电子在金属内部的运动，可近似比作在无限深势阱的运动。

由于金属是各向同性的，便可简化为电子在一维无限深势阱中的运动。

势能曲线如右图，势能表达式为电子在一维无限深势阱中运动，用经典力学描述和量子力学描述得到了完全不同的结果。

按照经典概念，当外界向它提供能量时，电子可获得此能量而自身能量发生连续变化。

电子在阱内任何位置出现的概率也是相等的。

然而，按照量子力学观点，它的行为却不是这样的。

(1) 定态薛定谔方程的解电子所受的保守力，在边界处电子所受的力无限大，指向阱内，意味着电子不可能越出阱外，由波函数物理意义可知势阱外波函数。

电子在势阱内势能为零，受力为零。

势阱内定态薛定谔方程为令方程变为其解为根据波函数应满足的标准化条件，波函数应在边界x=0和x=a上连续得应用归一化条件求得于是定态波函数为(2) 能量量子化因，合并(23.3.3)式，即得到一维无限深势阱中的电子能量上式表明：电子的能量不能连续地取任意值，只能取分立值，即能量是量子化的，可形象地称为处于相应的能级(如右图所示)。

量子力学一维势阱

量子力学一维势阱

III
(x)
2
2
(U
E )
III
(x)
0
xa
方程可 简化为：
d2
dx
2
I
2 I
0
d2
dx
2
II
2 II
0
d2
dx
2
III
2 III
0
U(x)
I
II
-a 0
III a
U(x)
I
II
-a 0
III
a
1 单值，成立； 2 有限：
当x - ∞ ， ψ 有限条件要求
C2=0。
d2
(x)
2
2
[U ( x)
E ]
(x)
0
β2
势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表达， 其上旳波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
d2
dx 2
I
(x)
2
2
(U
E )
I
(x)
0
x a
d2 dx 2
II
(x)
2
2
E
II
(x)
0
a xa
d2
dx 2
(r , t) (r , t)
称波函数具有偶宇称；
(r , t) (r , t)
称波函数具有奇宇称；
（3）假如在空间反射下，
(r , t) (r , t)
则波函数没有拟定旳宇称
（四）讨论
一维无限深 势阱中粒子 旳状态
（1）n = 1, 基态，
0
n
1
n
sin

一维无限深势阱

一维无限深势阱

n*dx
=
a −a
A sin ⎢⎣⎡
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤dx
= aA2 = 1
A= 1 a
ψn =
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
ψ
n
( x, t )
=
ψ
− i Et
ne h
=
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤
⋅
−i
eh
Et
En
=
n2π 2h 2 8μA2
ΔEn
=
En +1
§2.6 一维无限深势阱 （1） 序
一维运动 相互作用用势函数 U 表示
势场
⎧散射场 ⎩⎨束缚态
势垒
方形势阱
⎧方形势阱 ⎪⎪谐振子势阱 ⎪⎨δ 阱 ⎪⎩周期阱
一维无限深势阱，图 2.1 所示
Fig 2.1 一维无限深势阱
（2） 一维无限深势阱 在一维空间中运动的粒子，粒子在一定区域内（x=-a 到 x=a）为零，而在此区域外，势能为无
a −a
⎢⎣⎡cos
n
+ n′ 2a
(
x
+
a)
−
cos
n
− n′ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
dx
=0
——此即为波函数的正交条件。
8．波函数可视为两波波函数的迭加
ψ = c e + c e i h
(
nπh 2a
−
Ent
)
−

一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率

一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率

一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典的模型系统，用于研究粒子在受限空间内的性质和行为。

其中，粒子的能量是一个非常重要的物理量，其可能的测量值和相应的几率分布是量子力学中的基本课题之一。

在本文中，我们将深入探讨一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率，并从简到繁地进行全面评估，帮助读者更深入地理解这一主题。

1. 一维无限深势阱的基本概念在一维无限深势阱中，粒子被限制在一个无限深的势阱内运动，即在势阱内能量为负无穷，在势阱外能量为正无穷。

这样的势阱能够构建一个简单而理想化的量子力学模型，便于对粒子的性质进行研究。

2. 粒子在一维无限深势阱中的波函数和能量本征态根据量子力学的基本原理，粒子在一维无限深势阱中的波函数可以用薛定谔方程进行描述。

解出薛定谔方程后，可以得到粒子的能量本征态和对应的波函数表达式，这些能量本征态对应着粒子可能的能量。

3. 能量的可能测量值和相应的几率分布在量子力学中，能量的测量值是一个物理量的可能取值，其对应的几率分布描述了在测量中可能得到某个值的概率。

对于粒子在一维无限深势阱中的能量，我们可以通过对波函数进行归一化处理，得到能量的可能测量值和相应的几率分布。

这些可能的测量值和几率分布将帮助我们理解粒子在势阱内的能量分布规律。

4. 总结与回顾通过对一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率进行全面评估，我们可以更深入地理解量子力学中的基本概念和原理。

这也有助于我们在实际研究或应用中更灵活地处理粒子能量的测量和分布问题。

个人观点和理解：量子力学中的一维无限深势阱模型是一个简单而重要的系统，通过对其粒子能量的可能测量值和相应的几率进行深入研究，我们可以更好地理解量子世界中的奇妙规律。

对于我而言，通过撰写本文并深入思考这一主题，我对量子力学中的能量测量和分布问题有了更全面的认识，并且能够更好地应用于我的研究和工作中。

21-6一维无限深势阱


x
n 1,2,3,
将上式对x求导一次，并令它等于零
d n ( x ) dx
2

x 0
4 m a2
sin na x cos na x 0
0 x a , sin na x 0 cos na x 0
因为在阱内，即 只有
于是
n a
x (2 N 1) 2
a
0
A2 Sin 2 xdx
a A 1 A 2
三、求解结果
2
a
波函数： ( x) 0.( x 0, x a)
( x)
能级：
2 nx sin , (0 x a) a a
k 2 2m E
ka n

2
n2h2 En , (n 1,2, ) 2 8m a
量子论观点：
Ψ (x)
当 n 很大时， 量子概率分 布就接近经 典分布 0
2 2 n Ψ( x) sin ( x) a a
2
Ψ (x)
2
n =4 n =3 n =2
a n =1
0
a
例题1、 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大值 的位置。 解：一维无限深势阱中粒子的概率密度为
2 n ( n) a sin 2 2 n a
它的通解为：
( x) A sin(kx )
由波函数的标准条件得： 在x=0处：
A sin 0 0
A sin(ka ) 0 ka n , (n 1, 2,)
在x=a处：
由波函数的归一化条件得：
1
2



A sin xdx
2 2

一维无限深势阱

一维无限深势阱无限深阱假设粒子不能离开势阱，也就是有一个势为无穷大的壁。

势可以写成()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-∞=2022a x a x a x V（注：也可以选用坐标形如第二个图，这样的解简单，且容易推广到三维，但是对称性不如第一个图明显。

）注意，这个势是有奇异性的，我们分别有势阱内和势阱外的方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=≤=+外）（阱外，粒子不能到阱（阱内）2020222a x a x E m dx d ψψψ 考虑势阱内，定义： 22mE k ≡ 定态方程为：0222=+ψψk dxd 此方程的通解为：kx B kx A cos sin +=ψ或：()δψ+=kx A sin连续性条件：02=±=ax ψ（单值、有限自动满足） 于是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+)2(cos )2(sin )2(cos )2(sin a k B a k A a k B a k A （注意：由于势在边界上有奇异性（无限深 ）， ψ不连续，有跃变。

）这是关于 A 、B 的齐次方程，有非零解的条件是系数行列式为零，即：02cos 2sin 2cos 2sin =-a k a k a kak因此， 02cos 2sin 2=a k a k 即：0sin =ka故：() 3,2,1==n n ka π（注意：n 不能取 0 ，否则就出现了不振动的“波”。

）an k k n π== 22222ma n E n π= n maE 222π ≈∆ 可见势阱中能级是分立的，（与用德布罗意驻波直接计算一样）。

需要注意的是，n ma E 222π ≈∆，即能级越高越稀疏，但大量子数情况下02~→∆nE E n n ，即n n E E <<∆，所以在经典情况下（大量子数）感受不到能级的间隔，便认为能量是连续的，与对应原理相符。

下面求波函数，我们有：n 为奇数（偶宇称）：002sin =⇒=A a k A n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=∴202cos a x a x x k B n n ψ n 为偶数（奇宇称）：002cos =⇒=B a k B n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=∴202sin a x a x x k A n n ψ其实上述结果可以直接看出来，因为态应该取确定的宇称，因此只能是sin 或者cos ，不可能是它们的组合。

§3.1一维无限深势阱

§3.1 一维无限深势阱重点：势阱的意义，薛定谔方程的求解，阱内能量及波函数的特征设质量为μ的粒子，局限在范围内作一维运动。

在些范围内粒子势能为零，以此范围外，势能为无穷大。

即（3.1-1）（3.1-2）满足定态薛方程，而在阱内部，由于即（3.1-3）或写作（3.1-4）其中（3.1-5）常系数二阶微分方程（3.1-4）的通解为（3.1-6）为待定常数，合并（3.1-2）,（3.1-6）式得（3.1-7）和处，必须为零，由于波涵数在势阱边界上发须为连续的条件，所以在即，（3.1-8）（3.1-9）这就是解方程（3.1-4）时需要用到的边界条件。

由（3.1-8）式，则式（3.1-6）为到处为零，这在物理上是没有意义的，不能为零，否则所以必须这样就有（3.1-10）再利用条件（3.1-9）得因而必须满足下面条件（3.1-11）给出被函数无物理意义，而取负数时给不出新的波函数）。

（将（3.1-11）式代入（3.1-5）式得到体系的能量（3.1-12）由此可见，粒子束缚在势阱中时，能量只能取一系列分立的数值，即它的能量是量子化的。

的粒子将（3.1-11）式代入（3.1-10）式，并重写（3.1-7）式，我们就得到能量为有波函数（3.1-13）应用归一化条件（3.1-14）可求得的粒子的归一化波函数为这样，最后得到能量为（3.1-15）一维无限深势阱中粒子的定态波函数是（3.1-16）利用公式我们可以把定态波函数写成（3.1-17）是由两个沿相反方向上式与弦振动的驻波函数形式相同。

由此可见定态波函数传播的平面波迭加而成的驻波。

下面讨论几个问题，并与宏观粒子作比较。

（1）束缚态和基态在时，波函数，粒子被束缚于阱内，故通常把无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚状态，一般来说，束缚态的能级是分立的。

体系最低能量的态称为基态，在一维无限深势阱中的基态是的基本征态。

这与经典理论结果完全不同，经典理论认为粒子最低能量必须为零。

一维无限深势阱

因而，
(at x a) (at x a)
Acos ka 0,
B sin
ka
0.
有两种情形的解：
（1） B 0, coska 0, 所以，
(n 1 )
k 2 , a
(n 0,1,2, )
E
2 2 2a 2
n
12
2
,
(
x)
A cos
n
12
x
a
.
(偶宇称)
(2) A 0,sin ka 0 所以，
0
显然E必须>0，所以记
(a x a)
2E
k
那么方程变成： d 2
dx 2
k 2 (x)
0.
它的一般解是：
(x) Acos kx Bsin kx.
(a x a)
这三段的解必须在 x=±a 处衔接起来。在势能有无限
大跳跃的地方，衔接条件只有 本身的连续性。所以
现在
Acos ka Bsin ka 0, Acos ka Bsin ka 0,
n
k , a
(n 1,2,3, )
E
2 2 2a 2
n2,
( x) B sin nx .
a
（奇宇称）
二者合起来可写为：
n
kn 2a ,
(n 1,2,3, )
En
2 2 8a 2
n2,
n n (x) An sin 2a (x a).
波函数的归一化是：
所以，
a | (x) |2dx 1 a
R
B2 A2
(k 2
(k 2 k32 )2 sh 2k3a k32 )2 sh 2k3a 4k 2k32
,
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A e ikx B e ikx , ( x ) F e k3 x G e k3 x , C e ikx ,
2 2
x0 0 xa xa
(k k3 ) sh k3a B 2 , 2 A (k k3 ) shk3a 2ikk3chk3a
1 x x 1 x x shx (e e ), chx (e e ). 2 2
ik1 x
2
x0 0 xa xa
2 Beik x B e ik x
ik1 x 3 Ce C e (C 0) ik1 x
这里 k1 因子
ikx e 波数为K的平面波， 则是向左运动的平面波。在I、II两
x 0,
2mE ，k 2 2m( E V0 ) 。考虑到时间 ikx iEt / i t ，因此 代表向右运动的 e e
2
1 2
所以几率密度与 (1
2
/a )
2

1 2
成比例。
一、方势垒
1.方势垒是：
§3.3势垒贯穿 U(x)
U0
x 0 or 0, U ( x) U 0 0 0 x a
xa
0 a x
其特点是： (1)对于势阱，波函数在无穷远处趋于零，能谱是分立的。但 对于势垒，波函数在无穷远处不为零。下面将看到，粒子能量 可取任意值。 (2)按照经典力学观点，若E<U0 ,则粒子不能进入势垒,在x=0处 全被弹回；若 E> U0, 则粒子将穿过势垒运动。 但从量子力学的观点，由于粒子的波动性，此问题将与波 透过一层介质相似，总有一部分波穿过势垒，而有一部分波被 反射回去。因此，讨论的重点是反射和透射系数。
1 En n , n 0,1,2,3, (3.2 8) 2
对应的波函数是：
n ( x) N n H n ( ) e
1 2 2
N n H n (x) e
e
x2
1 2 x2 2
.( )
(3.2 9)
Nn是归一化常数，利用特殊积分
2 E 2 n , 2a
2 2
nx ( x ) B sin . （奇宇称） a
二者合起来可写为：
n kn , 2a
( n 1,2,3, )
2 2 2 En 2 n , 8a
n n ( x ) An ( x a ). sin 2a
波函数的归一化是：
1 ( n ) 2 , k a
2 2 2
( n 0,1,2, )
1 E 2 n , 2a 2
1 x ( x ) A cos n . (偶宇称) 2 a
(2)
A 0,sin ka 0 所以，
n k , a ( n 1,2,3, )
所以反射系数和透射系数分别是： 2 2 B (k 2 k3 ) 2 sh 2 k3a R 2 2 , 2 2 2 2 2 (k k3 ) sh k3a 4k k3 A
2ikk3 eika C 2 , 2 A (k k3 )shk3a 2ikk3chk3a
讨论： （1）R+D=1，即是几率守恒。 （2）在E<U0时D≠0,这是经典 力学不能解释的，称为量子隧道效应，或势垒贯穿。 （3）如果条件 3 >>1成立（相当于E很小）,则
因而，
A cos ka B sin ka 0, A cos ka B sin ka 0,
A cos ka 0, B sin ka 0.
(at x a ) (at x a )
有两种情形的解：
（1）
B 0, coska 0, 所以，

可得


dx ,
. n 2 n!
Nn
2.讨论 1 E0 (1) 能级是等间隔的 ；(2)零点能是 ；(3)能级 2 n 的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1)ψn(x) (4)ψn(x)有 n个节点。 四.几率分布:
在经典力学中,在ξ到ξ+dξ之间的区域内找到质点的
现在H(ξ)的方程成为：
d 2Hn dHn 2 2nHn 0. 2 d d
而不难验证下面的函数正满足这个方程: n 2 d n 2 H n ( ) (1) e e . n d 它称为n次Hermitian多项式。 头五个Hermitian多项式是:
(3.2 6)
(3.2 7)
H 0 1, H 1 2 , H 2 4 2 2, H 3 8 3 12 , H 4 16 4 48 2 12, H 5 32 5 160 3 120 .
三. 线性谐振子的能级和波函数 1.我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。能级是：
4k 2 k 3 D 2 2 . 2 2 2 2 2 (k k3 ) sh k3a 4k k3 A
C
2
2
k a
e
k3 a 2
e
k3 a
1 1 2 k3 a k3 a k3 a 2 sh k3 a (e e ) e 4 4 1 D k3 2 2 k3 a 1 k1 ( ) e 1 16 k3 k1 当 k1 k3, e 2 k3a 1
能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止” 或“退化”为多项式，而这就要求只能取一些特殊的值。 设要求H(ξ)是ξ的n次多项式，那么就必须让
λ=2n+1
n=0,1,2,3…
这样，我们首先得到了能量本征值：
1 En n , n 0,1,2,3... (3.2 5) 2
几率ω (ξ) dξ与质点在此区域内逗留的时间dt成
比例:
dt ( ) d T
T是振动周期。因此有
( )
1 1 d vt T dt
即几率密度与质点的速度成反比。对于经典的线性谐振子，ξ= a sin(ωt+δ ) ,在ξ点的速度为
d v a cos(t ) a (1 2 ) dt a
1 2 2
( ) e
H ( ),
可得关于H(ξ)的如下方程：
d 2H dH 2 ( 1) H 0. 2 d d
(3.2 4)
二. Hermitian多项式 可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真” 无穷级数，那么在x→±∞的时候H(ξ)就→ eξ² ,仍然使ψ(ξ)发散。

所以，
An
a
a
| ( x) | dx 1
2
1 , a
（与n无关）
最后，波函数是：
1 n n (x) sin ( x a ). 2a a
§ 3.2线性谐振子
一维量子谐振子问题 在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它 是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见 问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振 子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观 粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概 括，而且更是将来场量子化的基础。 众所周知，当粒子在势场的平衡位置附近作小振动时，势 场V(x) 总可作泰勒展开并只取到最低阶不为零的项。设平衡位
如果将此问题推广到三维，显然它是散射问题。 二、方势垒的穿透 (1)E>U0 的情况： 薛定谔方程为 d 2 2 2 ( E U 0 ) 0 2 dx
令 k1 k2 2 E / 2 2 ( E U 0 ) / 2
ik1 x Ae
2
则其解为
1 Ae


2E ,
则方程变成：
d 2 ( ) ( ) 0. 2 d
当ξ→±∞时，方程变为：
(3.2 3)
d 2 2 2 . d
我们发现它有近似解：
( ) ~ e
但是 e 应该舍去。 所以再进行变换：
2 / 2
1 2 2
.
置x0=0，并选取能量尺度的原点使V（0）=0，则
2 V ( x) V (0) x 1 2
这里，含V ′(0) 的一次项由于平衡位置V ′(0)=0而消失，
也由于是稳定振动而有V′ (0)＞0。除非振动的幅度较大，否则 不必考虑展开式中非简谐的高阶项。这类问题的物理例子比如， 原子核内核子（质子或中子）的简谐振动、原子和分子的简谐 振动、固体晶格上原子的简谐振动、甚至一个多自由度系统在 其平衡态附近的小涨落小振动，在通过引入简正坐标后也可以 化为一系列退耦的一维振子之和，即可近似为线性谐振动的迭 加。 一. 方程的化简 线性谐振子的势能函数是：
1 U ( x) 2 x 2 (3.2 1) 2 其中ω是谐振子的固有圆频率。所以薛定谔方程是：
2 2 d 2E 2 x 0. 2 2 2 dx 2
(3.2 2)
在方程中做如下的无量纲化变换：

2


x x,
§ 3.1 一维无限深势阱
一、一维无限深势阱和方势阱
一维问题的实际背景是平面型固体器件例如“超晶 格”， 以及从高维问题约化下来的一维问题。 一维无限深势阱的势能函数是：
U(x)= 在势阱外，必有：
{
0 +∞
|x|＜a; |x|≥a .
( x) o |x|>a
在势阱内，满足方程:
d 2E ( x) 0 2 2 dx
2 2
易得到入射波、透射波和反射波的几率流密度为：
i d k1 * * d 2 J [ i i i i ] | A| 2 dx dx k1 k1 2 JD |c| , JR | A |2