中科院量子力学超详细笔记 第三章 一维问题

1
a
cos
(2m + 1)πx
2a
当 n = 2m 为偶数时，波函数为反对称的
ψ 2 m (x ) =
1

sin
mπx a
（这里已略去无关紧要的波函数整体相因子 (− 1)m ） 。各个能级上波函 数的节点（零点，不计两个端点 ± a ）个数为：基态（ n = 1 ）无节点， 第一激发态（ n = 2 ）有一个节点等等。而且可以看出，阱中各能级的 波函数按 n − 1 的奇偶性区分为奇函数和偶函数，也就是说有
ϕ1 ( p ) = δ ⎜ p −
2
1 ⎛ 2 ⎝
πh ⎞ 1 ⎛ πh ⎞ ⎟+ δ⎜ p + ⎟
2a ⎠ 2 ⎝ 2a ⎠
（3.4b）
（3.4b）式表明阱中的动量谱是两个在全实轴上反向运动的单色 de Broglie 波叠加而成的驻波。 显然，两种结果很不相同。究竟谁正确？或是两者都对？两者都 错？实际的文献讨论中，几种观点全有表述。事实上，波函数、动量
ϕ1 ( p ) =
2
πa cos 2 ⎜
⎛ ap ⎞ ⎟ 2 2 −2 ⎝ h ⎠ ⎡⎛ ap ⎞ − ⎛ π ⎞ ⎤ , ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ 2h ⎢⎝ h ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎥ ⎣
(− ∞ < p < +∞ )
(3.4a)
注意， （3.4a）式为连续分布。 另一方面，Pauli 求解 ϕ1 ( p ) 时，直接采用第 iii 条两个“单色波” 中所含的 n = 1 基态的两个“动量” 。由此，Pauli 认为2，
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一方面，Landau 做法是1，将上面定义在全实轴上的基态波函数
ψ 1 (x ) 作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒子的动量波函数 ϕ1 ( p ) ：
ϕ 1 ( p) =
1 2πh
+∞
−∞
∫ dxe
−i
px h
ψ 1 (x)
代入ψ 1 (x ) 表达式，注意阱外ψ 1 (x ) 为零，即得阱中粒子动量几率分布
这里出现两个待定系数 A 、 α 和一个待定参数 k （它的数值将决定阱 中粒子的能量） 。为了确定它们，利用两个边界条件 ψ (± a ) = 0（加上总 几率归一条件，一共也是三个） ，即
⎧ sin (ka + α ) = 0 ⎨ ⎩sin (− ka + α ) = 0
由此得 α = ka = n π ， n = 1,2,3,L 。最后，阱中粒子的能级和波函数分别为
&&dinger 方程都应当定义在整个 x 轴上，而不只是定义在势 算符及 Schro
阱内，正确边界条件应当是ψ 1 ( x ) = 0( x ≥ a ) ，而不是ψ 1 ( x ) = 0( x = a )。 这里问题的关键在于：不象坐标波函数是定域的，动量波函数是 非定域的， 阱内动量波函数的正确答案依赖于正确处理阱外的坐标波 函数， 也即依赖于坐标波函数边界条件的正确拟定。 反过来也可以说，
2
给出 p ≥
h 。由此可知，若将一个粒子禁闭在 2a 宽度的局部区域中， 2a
相应的动能便有
h2 p2 ≥ 2m 8ma 2
参考基态能级表达式， 再次可知§1.3 的排除粒子静止概念是正确的。
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另外注意，由于边界条件的存在，总能量（3.2a）虽然也是阱中粒子 的动能值，但却不是动能算符的任何本征值。(3.2b)式也不是动能算 符的本征函数。其实，阱内任何定态都是各种动量（及动能）本征态 的叠加态（见 v, ） ，它们由势阱约束着不色散而成为定态（否则将呈 自由波包色散，见§3.3） 。 iv, 将波函数ψ n (x ) 用复指数来表示，并近似地配上因子 e 可得
2
En = n 2π 2 h 2 , 8ma 2
(n = 1,2,3,L)
x <a x ≥a
(3.2a)
⎧ 1 ⎡ nπ (x + a )⎤ sin ⎢ ⎪ ⎥, ψ n ( x ) = ⎨ a ⎣ 2a ⎦ ⎪ 0 , ⎩
(3.2b)
这虽然是一个最简单的例子，鉴于存在不少观点分歧，需要作一 些讨论说明： i, 无限深方阱的势函数是对实际物理情况作出的近似的数学 模写。因为 第一，介质中势能不可能真是无限大； 第二，势函数也不可能是严格的阶跃。容易给出能够近似认定某一势 函数为无限深方阱的条件。设实际阱壁高为 V0 ，可将 V0 近似认作无限 高的条件是： E << V0 ， E 是问题中涉及的最大能量。同时，设势函数 两端显著上升的尺度为 ~ Δx ， 波函数有显著变化的尺度为 ~ λ = 2π
⎧ 1 ⎪ ⎪ ( ) ψ n x = ⎨ 2i a ⎪ ⎪ ⎩
nπ ( x + a )h i ⎛ nπ ( x + a )h ⎞ ⎞ ⎡ i⎛ − En t ⎟ − ⎜ + En t ⎟ ⎤ ⎜ h⎝ 2a ⎠ ⎠⎥ ⎢e h ⎝ 2 a , −e ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0,
− iE n t
h
，
x <a x ≥a
§第三章 一维问题
&&dinger 方程是量子力学的中心任务。本章研究其中较为简 求解 Schro
单的情况——一维问题。
§3.1 一维定态的一些特例
1, 一维方势阱问题，Landau 与 Pauli 的矛盾
《无限深方势阱》 这是本章第一个例题， 也是最简单的对一类物理问题的数学近似 模型。但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论，甚至导致 严重误解： “量子力学的数学是错的” 。
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《有限深方势阱》 这时位势为
⎧ ⎪ 0, V (x ) = ⎨ ⎪V0 , ⎩
x<
a 2 a x≥ 2
(3.5a)
这里讨论束缚态情况——阱中粒子能量 E < V0 。显然，前面无限深阱 问题是这里 V0 >> E 的极限情况。
&&dinger 方程按势阱分区而分解为三个区域性方程。分别 这时 Schro
ψ n (− x ) = (− 1)n −1ψ n (x )
(3.3)
iii, 求解结果表明，若用势阱（或势垒）从空间上限制微观 粒子的活动，也即将它们内禀波动性——de Broglie 波局域化，则由 于波自身干涉结果必定导致波频率的分立化（注意，经典物理学中所 有波也均如此） ，但由 de Broglie 波的特性，频率分立化就意味着能 量量子化。即使对基态 n = 1 ，粒子的动能也不为零，说明阱中粒子从 不静止。这里 x = p = 0 ，故 Δx ~ a ， Δp ~ p ，代入不确定性关系 Δx ⋅ Δp ≥ h ，
三个分区波函数解分别为
⎧ψ I ( x ) = Ae k ′ x ⎪ ⎨ψ II ( x ) = B sin ( k x + α ) ⎪ψ ( x ) = Ce − k ′ x ⎩ III
k n
=
4a ， n
因此， 对 n 很大的高激发态情 则可认作阶跃变化的条件为 Δx << λ = 4a 。
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况，势函数将难以被模型化为无限深方阱。另外，更不应当由这种人 为的近似模型导出哈密顿量不厄密等等损及量子力学理论体系的结 论。 ii, 当 n = 2m + 1 奇数时，波函数为对称的
ψ 2 m+1 (x ) =
&&dinger 方程成立， 这两个区域中的波 穷位势问题见讨论 i,） ， 为使 Schro
函数ψ (x ) 必须为零 —— 即有边界条件ψ (x ) = 0 ( x ≥ a ) 。说明微观粒子即 便具有波动性，也难以渗透进非常高的势垒区里。于是坐标波函数求 解只须对第 II 区进行，
⎧ h2 d 2 ψ (x ) = Eψ (x ), ⎪− ⎨ 2m dx 2 ⎪ψ (x ) = 0, ⎩ x <a x ≥a
a⎞ ⎛ ⎜x ≤ − ⎟ 2⎠ ⎝ a⎞ ⎛ a ⎜− < x < ⎟ 2 2⎠ ⎝ ⎛a ⎞ ⎜ ≤ x⎟ 2 ⎝ ⎠
(3.5b)
或写成
⎧ d 2ψ 2m (V0 − E ) k′ = ⎪ 2 I − k ′2ψ I = 0, h2 ⎪ dx ⎪ 2mE ⎪ d 2ψ II + k 2ψ I = 0, k= ⎨ 2 h2 ⎪ dx ⎪ d 2ψ III − k ′2ψ III = 0, ⎪ 2 dx ⎪ ⎩
&&dinger 方程，其中位势为 研究一维 Schro
⎧ ⎪ 0, V (x ) = ⎨ ⎪ ⎩ + ∞, x <a x ≥a
(3.1a)
&&dinger 方程现在分为三个区域：第 I 区 于是定义在整个 x 轴上的 Schro
x ≤ − a ，第 II 区 x < a ，第 III 区 x ≥ a 。由于 I 区和 III 区中 V (x ) = +∞（无
设三个分区波函数为 ψ I (x ),ψ II (x ),ψ III (x ) ，则三个分区方程为
⎧ h 2 d 2ψ I − + V0ψ I = Eψ I , ⎪第I区 : 2m dx 2 ⎪ ⎪ h 2 d 2ψ II II 第 区 : − = Eψ II , ⎨ 2m dx 2 ⎪ ⎪ h 2 d 2ψ III + V0ψ III = Eψ III , ⎪第III区 : − 2m dx 2 ⎩
(3.1b)
有时，这里的边界条件被简单地写作 ψ (x ) = 0( x = a ) 1。但由于对阱外情 况未作规定，这种提法是含混的。参见下面有关讨论。
1
这种用法见泡利《物理学讲义》第五卷，详见下面讨论 v 的脚注。 42
显然，在第 II 区 x < a 内方程通解为
⎧ψ (x ) = A sin (kx + α ) 1 ⎪ ⎨ ⎛ 2mE ⎞ 2 ⎪k = ⎜ 2 ⎟ ⎝ h ⎠ ⎩