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2-6 一维无限深方势阱

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量子力学2.6一维无限深势阱

量子力学2.6一维无限深势阱

2008.5
Quantum Mechanics
a、偶宇称态 由于这里内外解
(
2 (x)
x)和 '(
~ cos kx
x)在 | x | a
| x | a 2
处是连续的，
2
更方便的方法是取 ' 连续或 (ln )' 连续。
因此在x
a 处，有 2
ln(cos
kx)
' x a
2
ln(
ex
)
' x
a
，得
2
k tan ka
2
（5）
在x a 处，结果同上。 2
2008.5
Quantum Mechanics
令 则(5)式化为
ka， a
2
2
tan
（6）
（7）
由
2m(V0
E)
,
k
2mE
有
2mV0 2k 2
再利用(6)式,有
2
2
mV0 a 2 2 2
2008.5
(8)
2008.5
Quantum Mechanics
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E ) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
2008.5
Quantum Mechanics
考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
2008.5
Quantum Mechanics

2.6一维无限深势阱

2.6一维无限深势阱
2 2
O
a
x
第二章 波函数和薛定谔方程
2/33
Quantum mechanics
2
§2.6 一维无限深势阱
d 2 E 0, (a x a) U 0 , (| x | a) 2 2 dx U ( x) 2 2 d 0, (| x | a) ( E U ) 0, ( x a , x a ) 0 2 dx 2 2 (U 0 E ) 1/ 2 2 E 1/ 2 令： （ 2 ) , [ ] 2
第二章 波函数和薛定谔方程
4/33
Quantum mechanics
§2.6 一维无限深势阱
A sin( x ),(| x | a) 1 x x Be ,( x a), Ce ,( x a) 当x=±a处波函数连续可得: ctg( a ) ,( x a) ctg( a ) ,( x a)
Quantum mechanics
§2.9 例题
例1,设一维无限深方势阱宽度为a,求处于基态的 粒子的动量分布(P39). U(x) 0,(0 x a) 解：U ( x) ,( x 0),( x a)
2 d 2 ( x) E ( x) 0, (0 x a) 2 2 dx ( x) 0, (0 x, x a)
d ctg( x ),(| x | a) dx ,( x a), ,( x a) 0, ctg a , / 2, tg a ,
a A sin a Be ,( x a) A sin x,(| x | a) 0, 0, x a x A sin a Ce ,( x a) Be ,( x a), Ce ,( x a)

一维无限深势阱的能量

一维无限深势阱的能量

一维无限深方势阱的能量班级：姓名：学号：一维无限深方势阱的能量一、 引言：222220202()d E x d m dx d U x E x d ψ⎧-ψ=ψ<<⎪⎪⎨⎪-ψ+=ψ≥⎪ （1） （2）9/10m-020406080100120140160文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。

现在指的是公司或企业中从事文字工作的职位，就是以文字来表现已经制定的创意策略。

文案它不同于设计师用画面或其他手段的表现手法，它是一个与广告创意先后相继的表现的过程、发展的过程、深化的过程，多存在于广告公司，企业宣传，新闻策划等。

基本信息中文名称文案外文名称Copy目录1发展历程2主要工作3分类构成4基本要求5工作范围6文案写法7实际应用折叠编辑本段发展历程汉字"文案"(wén àn)是指古代官衙中掌管档案、负责起草文书的幕友,亦指官署中的公文、书信等;在现代，文案的称呼主要用在商业领域，其意义与中国古代所说的文案是有区别的。

在中国古代，文案亦作" 文按"。

公文案卷。

《北堂书钞》卷六八引《汉杂事》:"先是公府掾多不视事，但以文案为务。

"《晋书·桓温传》:"机务不可停废，常行文按宜为限日。

" 唐戴叔伦《答崔载华》诗:"文案日成堆，愁眉拽不开。

"《资治通鉴·晋孝武帝太元十四年》:"诸曹皆得良吏以掌文按。

"《花月痕》第五一回:" 荷生觉得自己是替他掌文案。

"旧时衙门里草拟文牍、掌管档案的幕僚，其地位比一般属吏高。

《老残游记》第四回:"像你老这样抚台央出文案老爷来请进去谈谈，这面子有多大!"夏衍《秋瑾传》序幕:"将这阮财富带回衙门去，要文案给他补一份状子。

"文案音译文案英文:copywriter、copy、copywriting文案拼音:wén àn现代文案的概念:文案来源于广告行业，是"广告文案"的简称，由copy writer翻译而来。

一维无限深势阱

一维无限深势阱

A e ikx B e ikx , ( x ) F e k3 x G e k3 x , C e ikx ,
2 2
x0 0 xa xa
(k k3 ) sh k3a B 2 , 2 A (k k3 ) shk3a 2ikk3chk3a
1 x x 1 x x shx (e e ), chx (e e ). 2 2
ik1 x
2
x0 0 xa xa
2 Beik x B e ik x
ik1 x 3 Ce C e (C 0) ik1 x
这里 k1 因子
ikx e 波数为K的平面波， 则是向左运动的平面波。在I、II两
x 0,
2mE ，k 2 2m( E V0 ) 。考虑到时间 ikx iEt / i t ，因此 代表向右运动的 e e
2
1 2
所以几率密度与 (1
2
/a )
2

1 2
成比例。
一、方势垒
1.方势垒是：
§3.3势垒贯穿 U(x)
U0
x 0 or 0, U ( x) U 0 0 0 x a
xa
0 a x
其特点是： (1)对于势阱，波函数在无穷远处趋于零，能谱是分立的。但 对于势垒，波函数在无穷远处不为零。下面将看到，粒子能量 可取任意值。 (2)按照经典力学观点，若E<U0 ,则粒子不能进入势垒,在x=0处 全被弹回；若 E> U0, 则粒子将穿过势垒运动。 但从量子力学的观点，由于粒子的波动性，此问题将与波 透过一层介质相似，总有一部分波穿过势垒，而有一部分波被 反射回去。因此，讨论的重点是反射和透射系数。

一维无限深方势阱中的能量本征态

一维无限深方势阱中的能量本征态

一维无限深方势阱中的能量本征态1. 引言在量子力学中，一维无限深方势阱是一个经典的问题。

研究一维无限深方势阱中的能量本征态，可以帮助我们更好地理解量子力学中的基本概念和原理。

通过对这一问题的深入探讨，我们可以揭示能量本征态的性质、数学描述以及物理意义，从而为我们理解更为复杂系统的量子行为奠定基础。

2. 能量本征态的概念能量本征态是指在某一势场中，系统的波函数满足薛定谔方程，并且具有确定的能量值。

在一维无限深方势阱中，系统的势能在有限区间内为无穷大，而在无限远处为零。

在区间内，粒子的动能足够克服势能，所以能量本征态中的波函数不为零，在无穷远处趋于零。

3. 数学描述对于一维无限深方势阱，我们可以通过薛定谔方程来描述能量本征态。

薛定谔方程可以写作：\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \] 其中 \( E \) 为能量本征值，\( \psi(x) \) 为能量本征态的波函数，\( m \) 为粒子的质量，\( \hbar \) 为约化普朗克常数。

在一维无限深方势阱中，我们可以通过求解该薛定谔方程得到能量本征态的波函数形式和能量值。

4. 能量本征态的求解与性质通过求解一维无限深方势阱中的薛定谔方程，我们可以得到一系列的能量本征态。

这些能量本征态之间呈现离散的能级，且能级间隔相等。

这一性质恰好符合了量子力学中的能量量子化条件，从而验证了能量本征态的物理意义。

5. 主题文字的再次提及通过以上对能量本征态的深入讨论，我们可以看到，一维无限深方势阱中的能量本征态不仅是一个重要的量子力学问题，更是我们理解量子力学基本原理的重要工具之一。

能量本征态的性质和数学描述为我们提供了在量子力学中理解和描述复杂系统的基础。

6. 总结与回顾通过本文对一维无限深方势阱中的能量本征态的全面评估，我们不仅了解了能量本征态的基本概念和数学表达，更深入地理解了能量本征态的物理意义。

一维定态问题无限深方势阱

一维定态问题无限深方势阱
(1) 粒子的位置 r
例如：一维无限深方势阱
粒子的位置是不确定的，取值在[0, a]之间。 但粒子的概率分布是确定的，是
u(x)
2
=
2 sin2 nπ a a 0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
所以，可以得到粒子位置的平均值 (假设粒子处在基态 n =1 态)：
Spherical coordinates
(r,θ ,ϕ )
x = r sinθ cosϕ y = r sinθ sinϕ z = r cosθ
r = x2 + y2 + z2
θ = arccos
z
x2 + y2 + z2
ϕ = arctan y
x
§2.5 力学量的平均值、算符表示—算符表示
角动量算符 Lˆ= r × pˆ 在球坐标系中的三个分量为
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
粒子在外场 V(r)中运动，体系的
定态薛定谔方程：
−
2
2m
∇2
+
V
(r)
u (r)=Eu (r)
求解该方程，可以得到体系的波函数和能量E。
例如：粒子束缚在一维无限深方势阱中
波函数 能量
u(x)
=
2 sin nπ x , a a,
0
En
=
π2 2
则V(r, t)的平均值为：
∫ ∫ +∞
= V (r,t) = V (r,t)ρ (r,t)dτ
+∞
ψ
*
(r
,
t
)V
(r

一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率

一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率

一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典的模型系统，用于研究粒子在受限空间内的性质和行为。

其中，粒子的能量是一个非常重要的物理量，其可能的测量值和相应的几率分布是量子力学中的基本课题之一。

在本文中，我们将深入探讨一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率，并从简到繁地进行全面评估，帮助读者更深入地理解这一主题。

1. 一维无限深势阱的基本概念在一维无限深势阱中，粒子被限制在一个无限深的势阱内运动，即在势阱内能量为负无穷，在势阱外能量为正无穷。

这样的势阱能够构建一个简单而理想化的量子力学模型，便于对粒子的性质进行研究。

2. 粒子在一维无限深势阱中的波函数和能量本征态根据量子力学的基本原理，粒子在一维无限深势阱中的波函数可以用薛定谔方程进行描述。

解出薛定谔方程后，可以得到粒子的能量本征态和对应的波函数表达式，这些能量本征态对应着粒子可能的能量。

3. 能量的可能测量值和相应的几率分布在量子力学中，能量的测量值是一个物理量的可能取值，其对应的几率分布描述了在测量中可能得到某个值的概率。

对于粒子在一维无限深势阱中的能量，我们可以通过对波函数进行归一化处理，得到能量的可能测量值和相应的几率分布。

这些可能的测量值和几率分布将帮助我们理解粒子在势阱内的能量分布规律。

4. 总结与回顾通过对一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率进行全面评估，我们可以更深入地理解量子力学中的基本概念和原理。

这也有助于我们在实际研究或应用中更灵活地处理粒子能量的测量和分布问题。

个人观点和理解：量子力学中的一维无限深势阱模型是一个简单而重要的系统，通过对其粒子能量的可能测量值和相应的几率进行深入研究，我们可以更好地理解量子世界中的奇妙规律。

对于我而言，通过撰写本文并深入思考这一主题，我对量子力学中的能量测量和分布问题有了更全面的认识，并且能够更好地应用于我的研究和工作中。

量子力学_第二章_一维势阱

量子力学_第二章_一维势阱

（四）讨论
一维无限深 势阱中粒子 的状态
0 n 1 n sin x 2a a 1 n cos x 2a a 其能量本征值为： n 2 2 2 En 8 a
| x | a; n even, n odd, | x | a; | x | a .
2 d 2 [ V1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 dx2 2 d 2 [ V2 ( y )] ( y ) E yY ( y ) Y 2 dy2 2 d 2 [ V3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 dz2
2
n为正偶数， x a
x a
n为正奇数，
x a
x a
由归一化条件
-
n dx 1 A'
1 a
.
一维无限深方势阱中 粒子的定态波函数为： n ( x, t ) n (x)e
-i En t -i
En t n A' sin ( x a )e 2a e i e i 用公式sin 2i
等式两边除以 （x, y, z ) X ( x )Y ( y ) Z ( z )
1 X 1 2 d 2 X V1 ( x ) 2 dx2 Y 1 2 d 2 Y V2 ( y ) 2 dy2 Z 2 d 2 Z V3 ( z ) E 2 dz2
I II III
0
a
ψ 有限条件要求 C2=0。
d2 2 dx d2 2 dx d2 2 dx
I
2 2
I
0 0 0
II

量子力学 一维无限深势阱

量子力学 一维无限深势阱

５５§2.6一维无限深势阱（Potential Well ）(理想模型)重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解难点：对结果的理解实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。

一、写出本征问题 势场为：⎩⎨⎧≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I（阱内，a x <）方程为： )x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h (1) 区域II、III（阱外，a x ≥）方程为： )x (E )x ()U dxd 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h (2) 其中∞=0U 。

波函数的边界条件是：)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ (3)二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α， 20)E U (2'h−μ=α (4) 则：)x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ a x <(5)５６ )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h 的解为:x 'x'II e 'B e 'A )x (αα−+=ψ a x ≥ (6)x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα−+=ψ a x −≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==，即：x 'II e 'A )x (α−=ψ a x ≥x 'III e ''B )x (α=ψ a x −≤又由于∞=0U ，则：∞=−μ=α20)E U (2'h于是：0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ；x i xi I Be Ae )x (αα−+=ψ则：⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i ai a i (9)于是A、B 不能全为零的充分必要条件为： 0e e e e a i a i ai ai =α−ααα−， 即：0)a 2sin(=α 解之得：a 2n π=α，,....2,1,0n ±±= (10)将其代入到⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i a i ai ，得：0Be Ae 2/in 2/in =+ππ−即:B )1(A 1n +−=代入x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ中，得：５７ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=π=π=ψ,..5,3,1n ,x a 2n cos D ,...6,4,2n ,x a 2n sin C )x (I a x < (11)其中0n =，()0x =Ψ为平凡解，无意义；,...2,1n −−=不给出新的解。

2-6 一维无限深方势阱

2-6 一维无限深方势阱

nπ nπ A sin x , 2 ψn x 2a 0,
其中 n 1, 2,
x a x a
(25)
， 这里我们补写了波函数阱外部分， 它恒等于零。 薛定谔方程是个线性方程，
因此有个未确定的常数因子 A 。可以利用归一化条件来确定这个常数的模
px Et
是方程(3)的解。 现在， 我们通过求解方程来得到这个解。
从物理上考虑， E 代表粒子的动能，因此我们推测 E 0 才有意义。先假设 E 0 ，令
k
则方程(4)化为
2mE
2
(5)
d2 ψ x k 2 ψ x 0 dx 2
这是个二阶微分方程，对于确定的 E （或 k ）值，两个线性无关的解可选为
A 0, cos ka 0 B 0, sin ka 0
由此可知，满足要求的 k 值为
(19) (20)
ka
相应的能量本征值为
nπ , n 1, 2, 2
(21)
En
当 n 为奇数时，取第一组解
π2 2n2 8ma 2
nπ x, 2a nπ x, 2a x a
(22)
ψn x B cos
(6)
eikx 和 eikx
二者对应同一个能量值，因此能量 E 是二重简并的。将(7)式添上时间因子 e
i Et
(7)
eit ，得
(8)
e
i kx t
和e
i kx t
可以看出，两个解分别代表向右和向左传播的平面波。参数 k 的含义是波数，两个解对应的 波矢 k 分别为 ke x 和 ke x 。注意，通常将(8)式统一写为 e 可以取正值，也可以取负值。

一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题

一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题

一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题在量子力学中，无限深方势阱问题是一个简化理想化的问题。

无限正方形势阱是有限大小的正方形势阱。

井内电势为0，井外电势无穷大。

在阱中，粒子可以不受任何力地自由移动。

但是阱壁无限高，粒子完全被约束在阱里。

通过 schr\ddot{o}dinger 方程的解答，明确地呈现出某些量子行为，这些量子行为与实验的结果相符合，然而，与经典力学的理论预测有很大的冲突。

特别令人注目的是，这些量子行为是自然地从边界条件产生的，而非人为勉强添加产生的。

这解答干净利落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；无限深方势阱问题的粒子的量子行为包括：1.能量的量子化:粒子量子态的本征函数，伴随的能量不是任意的，而只是离散能级谱中的一个能级。

2.基态能量:一个粒子允许的最小能级，称为基态能量，不为零。

3.节点:与经典力学相反，薛定谔方程预言了节点的存在。

这意味着在陷阱的某个地方，发现粒子的概率为零。

这个问题再简单，也能因为能完整分析其薛定谔方程，而导致对量子力学更深入的理解。

其实这个问题也很重要。

无限深正方形势阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统，例如直的极细纳米线中导电电子的量子行为。

为了简化问题，本文从一维问题出发，讨论了粒子只在一维空间中运动的问题。

一个粒子束缚于一维无限深方势阱内，阱宽为 l 。

势阱内位势为0，势阱外位势为无限大。

粒子只能移动于束缚的方向（ x 方向）。

一维无限深方势阱的本征函数 \psi_{n} 于本征值 e_{n} 分别为\psi_{n}=\sqrt{\frac{2}{l}}sin(\frac{n\pi x}{l})e_{n}=\frac{n^2 h^2}{8ml^2}其中， n 是正值的整数， h 是普朗克常数， m 是粒子质量。

一维不含时薛定谔方程可以表达为-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+v(x)\psi(x)= e\psi(x)其中， \psi(x) 是复值的、不含时的波函数， v(x) 是跟位置有关的位势， e 是正值的能量。

一维无限深势阱

一维无限深势阱
因而，
(at x a) (at x a)
Acos ka 0,
B sin
ka
0.
有两种情形的解：
（1） B 0, coska 0, 所以，
(n 1 )
k 2 , a
(n 0,1,2, )
E
2 2 2a 2
n
12
2
,
(
x)
A cos
n
12
x
a
.
(偶宇称)
(2) A 0,sin ka 0 所以，
0
显然E必须>0，所以记
(a x a)
2E
k
那么方程变成： d 2
dx 2
k 2 (x)
0.
它的一般解是：
(x) Acos kx Bsin kx.
(a x a)
这三段的解必须在 x=±a 处衔接起来。在势能有无限
大跳跃的地方，衔接条件只有 本身的连续性。所以
现在
Acos ka Bsin ka 0, Acos ka Bsin ka 0,
n
k , a
(n 1,2,3, )
E
2 2 2a 2
n2,
( x) B sin nx .
a
（奇宇称）
二者合起来可写为：
n
kn 2a ,
(n 1,2,3, )
En
2 2 8a 2
n2,
n n (x) An sin 2a (x a).
波函数的归一化是：
所以，
a | (x) |2dx 1 a
R
B2 A2
(k 2
(k 2 k32 )2 sh 2k3a k32 )2 sh 2k3a 4k 2k32
,

2.6一维无限深势阱

2.6一维无限深势阱

A sin a B cosa 0, A sin a B cosa 0,
由此得到
B cosa 0,
A sin a 0,
A,B不能同时为零，所以
（1）A=0， （2）B=0，
（2.6.7）
cosa 0,
sin a 0,
（2.6.8） （2.6.9）
n 所以 a , n 1,2,3 2
把在无限远处为零的波函数所描写 的状态称为束缚态。 一般来说，束缚态的能级是分立的。
能量最低的状态，称为基态。
§2.6一维无限深势阱
一．一维无限深势阱 考虑粒子在一维空间中运动，它的势能在一定 区域内（-a<x<a）为零，而在此区域以外，势 能为无限大，即
U x 0, x a, U x , x a.
（2.6.1）
这种势阱称为一维无限深势阱。 在阱内( x a, )体系所满足的定态薛定谔方程为
和有限性的要求，只有当 0 时。（2.6.3）式才 能成立，所以有
0
令
，
x a
1 2
（2.6.4）
2m E 2
（2.6.5）
则（2.6.2）式简化为
d 2 ( x) 2 ( x) 0 2 dx
，
x a,
其通解为 ( x) A sin x B cosx ， x a, （ 2.6.6 ） 因为 ( a) 0 ，代入（2.6.6），有
n ( x, t ) n x e
i
i En t
En t n x a e A sin 2a
e e 由 sin 2i
i
得，
n ( x, t ) C1e

一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导

一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导

一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导一维无限深方势阱是量子力学教学中常见的模型之一。

在这个模型中，粒子被限制在一个长度为L的势阱中运动，势阱的势能在阱内为零，而在阱外则无限大。

研究一维无限深方势阱中粒子的能级公式推导，可以帮助我们更深入地理解量子力学中的基本概念和数学工具。

下面我将按照深度和广度的要求，从简单的物理概念和数学原理开始，逐步推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式，并带有个人的观点和理解。

一、基本概念和数学工具1.1 势阱势阱是一种常见的量子力学模型，它可以用来描述粒子在受限空间中的运动。

在一维无限深方势阱中，势能在阱内为零，而在阱外为无限大，这意味着粒子在阱内具有确定的能量，而在阱外无法存在。

1.2 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。

对于一维无限深方势阱而言，薛定谔方程可以简化为一维定态薛定谔方程：\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]其中，ψ(x)是粒子的波函数，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ħ是普朗克常数。

二、能级公式的推导2.1 边界条件在一维无限深方势阱中，粒子受到势阱两侧的限制，因此波函数在势阱边界处为零。

这意味着在x=0和x=L处，波函数满足边界条件：\[ \psi(0) = 0 \]\[ \psi(L) = 0 \]2.2 波函数的解根据边界条件，我们可以求解一维定态薛定谔方程得到波函数的解。

波函数的解具有以下形式：\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L}) \]其中，n为能级量子数。

2.3 能级公式将波函数的解代入一维定态薛定谔方程中，可以得到粒子的能级公式：\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \]其中，En为粒子的能量，n为能级量子数。

三、个人观点和理解在推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式过程中，我们利用了量子力学基本的数学工具和物理概念，如薛定谔方程、波函数和边界条件。

一维无限深势阱

一维无限深势阱

2008.5
25
对奇宇称态则不同，只当
2 2 mV0a2 / 22 2 / 4
即
V0a2
2h2
2m
，或
V0
2h2
2ma2
时
才可能出现最低的奇宇称能级。
2008.5
26
3、束缚态与分立谱的讨论
由以上分析可知，束缚态能量是分立的。
相应动量也是分立的。 这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。
En
π 22 2ma 2
n2
(n 1,2,3, )
2008.5
8
❖ 由波函数的归一性质定常数 B
a
(x) *(x)dx 1
0
a
B2sin 2kxdx 1
0
得
B 2 a
本征函数
n(x)
2 sin nπ x aa
( n 1,2,3,)
这组函数构成本征函数系。
2008.5
9
⑥定态波函数
n
n
2008.5
16
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
2008.5
17
考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
Be
x
1(x)
Aex
A, B为待定常数.
0时， ' ' 0，
取极小值 向上弯曲
0时， ' ' 0，
取极大值 向下弯曲（见右图）

2.5-2.6 一维无限深势阱

2.5-2.6 一维无限深势阱

| x | a / 2 | x | a / 2
束缚态 无限远处为零的波函数所描述的状态
lim (r , t ) 0
r
存在束缚态条件
E lim V (r , t )
r
特点：
（1）处于束缚态粒子能量是离散的 （2）波函数一般可以用实函数描述 （3）束缚态能量所对应本征函数不简并
(0) 2 (0) 0 A 0 ( x) B sin kx
( a ) 2 ( a ) 0
在 x=0处，波函数要连续，即

在x=a 处，波函数要连续，即
Bsin ka 0
2008.5
Quantum Mechanics
B sin ka 0
A 已经为零了，B 不能再为零了。即 只能 sin(ka)等于零 要求
§6 定态Schrodinger方程
• （一）定态Schrodinger方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质
（一）定态Schrodinger方程
V(r)与t无关时，可以 分离变量
讨有外场情况下的定态Schrodinger 方程：
2 2 i ( r , t ) [ V ( r )]( r , t ) t 2
二方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ(r, t)等于EΨ(r, t)。所以这两个算 符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。
再由 Schrodinger 方程：
2 2 i ( r , t ) [ V ( r )]( r , t ) t 2
与经典力学相同， ˆ 称为Hamilton量， H 亦称Hamilton算符。

量子力学 一维无限深势阱

量子力学 一维无限深势阱

５５§2.6一维无限深势阱（Potential Well ）(理想模型)重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解难点：对结果的理解实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。

一、写出本征问题 势场为：⎩⎨⎧≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I（阱内，a x <）方程为： )x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h (1) 区域II、III（阱外，a x ≥）方程为： )x (E )x ()U dxd 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h (2) 其中∞=0U 。

波函数的边界条件是：)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ (3)二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α， 20)E U (2'h−μ=α (4) 则：)x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ a x <(5)５６ )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h 的解为:x 'x'II e 'B e 'A )x (αα−+=ψ a x ≥ (6)x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα−+=ψ a x −≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==，即：x 'II e 'A )x (α−=ψ a x ≥x 'III e ''B )x (α=ψ a x −≤又由于∞=0U ，则：∞=−μ=α20)E U (2'h于是：0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ；x i xi I Be Ae )x (αα−+=ψ则：⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i ai a i (9)于是A、B 不能全为零的充分必要条件为： 0e e e e a i a i ai ai =α−ααα−， 即：0)a 2sin(=α 解之得：a 2n π=α，,....2,1,0n ±±= (10)将其代入到⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i a i ai ，得：0Be Ae 2/in 2/in =+ππ−即:B )1(A 1n +−=代入x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ中，得：５７ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=π=π=ψ,..5,3,1n ,x a 2n cos D ,...6,4,2n ,x a 2n sin C )x (I a x < (11)其中0n =，()0x =Ψ为平凡解，无意义；,...2,1n −−=不给出新的解。

2.6 一微无限深势阱

2.6 一微无限深势阱

由归一化条件

a
0
( x, t ) dx ( x) dx
0
2
a
2

可得 A 2 a
a
0
n A sin x dx 1 a
2
0 x 0, x a n ( x) n 1,2, n 2 a sin a x 0 x a
2mE k 2
a a
m n m n m n 1 sin x sin x cos x cos x a a 2 a a
可得 若
a 2

a
0
m n dx 0
mn
2
a 1 n 2n 2 A sin xdx A 1 cos x dx 0 0 2 a a 1 A2 a 2
x
所以,系数A必须为零,则Байду номын сангаас由于
e x
x

当
Be e
x
x0

0
所以,系数B必须为零,则
d ( x) E ( x) 阱内 2 2m dx
2
令
k 2mE
2
2
2
d ( x) 2 k ( x) 0 2 dx
其通解为 ( x) Asin kx
a
| ( x) | dx 1
2
1 , a
（与n无关）
最后，波函数是：
1 n n (x) sin ( x a ). 2a a
A和 为待定常数
根据波函数的连续、单值的条件有
(0) 0 0

sin ka 0
0
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通常把正交性和归一性合并为


ψn x ψm x dx 0
(29)

称本征函数组 ψ n x , n 1, 2, (4) 本征函数组
n


ψn x ψm x dx nm
(30)

是正交归一的。
ψ x , n 1, 2, 是完备的。也就是说，任何在势阱内的连续函数
a 而不是 2a 。不过，这两种情况和这里的能量本征函数无关。
(6) 仍然回到 a ~ a 范围的势阱的讨论。将能量本征函数添上时间因子 e 态波函数（仅写出阱内部分）
i En t
，可得定
n x, t ψn x e
i Ent
nπ nπ A sin x e 2 2a
平面波(8)在 k 0 的特殊情形。 (2) 以上基于物理上的考虑， 假设 E 0 。 从求解方程的角度来看， E 0 有没有意义？ 此时，我们令
2mE
，注意 0 ，此时方程(4)化为
d2 ψ x 2 ψ x 0 2 dx
这个方程的两个线性无关解为 e 和 e
ψ a A sin ka B cos ka 0
由此可得
(16) (17)
A sin ka 0 B cos ka 0
(18)
首先，A, B 不能同时取非零值。 其次， 如果 A, B 同时为零， 则波函数在势阱内外处处为零，
2-6 一维无限深方势阱
~4~
这是薛定谔方程在任何情况下都有的平庸解。 它是一个非平方可积的函数， 而且也不像平面 波那样在数学上很重要，因此今后我们不再提这个无用的平庸解。因此，我们得到了两组解
1 nπ sin x , ψn x a 2a 0,
势阱宽度仍为 2a ，可以做参数替换 a 为
0 x 2a x 0, x 2a
(33)
a 将势阱宽度变为 a ，此时能级和能量本征函数变 2
En
π2 2n2 2ma 2
(34)
(10)
其中选择了合适的归一化系数。对 p x, 0 进行傅里叶变换，得
c p, 0
1 2π



p x, 0 e
i px
dx
1 2π


i

e
p p x
dx p p
(11)
注意 函数是个偶函数，因此 p p p p 。 函数形式的动量分布，正是动量 具有确定值的体现。
当 n 为偶数时，取第二组解
(23)
ψn x A sin
x a
(24)
n 0 时，依然得到平庸解。 n 取负整数也会满足条件(19)或(20)，但得到的波函数最多与相 应正整数标记的波函数相差一个负号， 和后者描述同一个量子态， 因此我们限制 n 为正整数。 两种情况的波函数可以合并为一个表达式
其动量大小为 p k 。 讨论 (1) 我们还漏掉一种情况，即 E 0 。此时，方程 (4) 变成了ψ x 0 ，其通解为
ψ x Ax B 。由于线性项 Ax 是发散的，必须排除，因此让 A 0 。由于 E 0 ，时间
因子 e
i Et
1 ，因此 x, t B 。这当然也是不能归一化的，我们可以选择 B 1 ，它是
x
x
(9)
。它们分别在 x 和 x 时发散，因此不
是模平方可积的，从而不代表物理上有意义的状态。由此可知，在量子力学中，自由粒子的 能量是非负的，这和经典力学情形一样。 通过傅里叶变换，可以得到平面波的动量分布。设粒子的动量 p p ，得到
i px E t 1 p 2 p x, t e ，其中 E 2m 2π
i
Ent
, x a
(36)
利用欧拉公式，可以将其改写为指数形式
n x, t C1 exp x Ent C2 exp x Ent , x a (37) 2a 2a
ψ a ψ a 0
x a
(14)
由于波函数是连续的，因此在势阱两端，必须满足如下条件 (15)
注意，并非对于任何 k 值或 E ，波函数都能满足条件(15)，能够满足需要的 E 值就是能量本 征值。利用条件(15)，可得
ψ a A sin ka B cos ka 0
虽然参数 k 仍由(5)式定义，但由于波函数限制在势阱内，因而不具有确定的波数和动量（见 后面讨论） 。因此，这里 k 只是一个与能量 E 有关的参数，其含义见后面讨论。对于束缚在 势阱内的粒子，取三角函数的解计算会更方便。因此，方程的通解在势阱内的部分可写为
ψ x A sin kx B cos kx,
0 ~ a 上的连续函数，都可以用正弦函数(35)来展开。
从细节上讲， 傅里叶级数是对周期函数进行展开， 所用的三角函数也是定义在无穷区间 上的周期函数。 比如， 已知函数 f x 在 0 ~ a 上的定义， 先将 f x 作奇延拓， 即在 a ~ 0 上，定义 f x f x ，然后将函数以 2a 为周期延拓到整个实轴上。因为是奇函数， 所以傅里叶级数中只出现正弦，基波周期为 2a 。这里我们只关注势阱内部分，将 f x 用 本征函数组(35)展开。当然，也可以对 f x 作偶延拓，再作周期性延拓，这样会得到余弦 级数；或者直接以 a 为周期作周期性延拓，得到标准形式的傅里叶级数，此时基波的周期为
(1)
分离变量后，得到定态薛定谔方程 (2)
对于自由粒子， V x 0 ，薛定谔方程(1)变为
2 d2 i x, t x, t t 2m dx 2
(3)
而定态薛定谔方程(2)变为

i
d2 ψ x E ψ x 2m dx 2
2
(4)
我们曾经验证过一维平面波 e
将在后面讨论有限深方势阱时证明。 在势阱内（ x a ） ， V x 0 ，粒子满足的定态薛定谔方程为
d2 ψ x E ψ x 2m dx 2
ikx ikx
2
(13)
这和自由粒子满足的薛定谔方程相同，只是限制在势阱内部而已。因此，这一段方程的解和 自由粒子的解相同， 可以取为 e 和 e ， 也可以取为 cos kx 和 sin kx 。 不过应当注意，
f x 都可以用这组函数来展开
f x cn ψn x
n 0
(31)
其中
cn ψn x f x dx


(32)
注意(31)式仅在势阱内成立， 我们并未定义 f x 在势阱外的值， 而等号右端在势阱外为零。 稍后我们将说明这个完备性为什么成立。 (5) 将势阱往右平移 a ，即势阱内部的范围变为 0 ~ 2a ，由此得到不对称势阱。等价的 说法是，把坐标原点选在势阱左端。很明显，坐标原点的重新选择不影响能级。能量本征函 数可以由(28)式做替换 x x a 得到
2. 一维无限深方势阱
设粒子在如下势场中运动
0, V x ,
x a x a
(12)
2-6 一维无限深方势阱
~3~
这种势场称为一维无限深方势阱，势阱宽度为 2a ，如图 1 所示。
图 1 一维无限深方势阱
ψ x 0 。这个结果，我们 在势阱外（ x a ） ， V x ，此时波函数只能为 0，
讨论
(28)
(1) 能量本征函数随着 n 的增加是奇偶交替的： n 是奇数时，ψn x 是偶函数； n 是偶
ψn x 是奇函数。 数时， 以后会知道， 当 V x V x 时， 能量本征态具有确定的对称性。
2-6 一维无限深方势阱
~5~
(2) 势阱内（不包括势阱两端）波函数的零点称为节点。随着能量的增加，波函数的节 点逐次增加 1，基态无节点，ψn x 有 n 1 个节点。 注意， 波函数的节点不可能同时为极值点。 因为极值点意味着波函数的二阶导数大于零 （极小值）或者小于零（极大值） ，而根据定态薛定谔方程(2)，波函数的节点处二阶导数等 于零。因此，节点是波函数与 x 的交点而不是切点。 (3) 容易证明（作为练习题） ，不同的本征函数相互正交1，即当 n m 时
i kx t
，此时 k 是波矢 k 的分量，
2-6 一维无限深方势阱
~2~
和三维自由粒子一样，现在用(8)式的两个平面波的适当线性叠加，也可以得到驻波解
cos kx eit 和 sin kx eit ，它们同样是方程的两个线性无关的解，并且属于能量本征值
E 。对于自由粒子，我们通常选择指数形式的解(8)式进行讨论，它们对应确定的动量值，
A 0, cos ka 0 B 0, sin ka 0
由此可知，满足要求的 k 值为
(19) (20)
ka
相应的能量本征值为
nπ , n 1, 2, 2
(21)
En
当 n 为奇数时，取第一组解
π2 2n2 8ma 2
nπ x, 2a nπ x, 2a x a
(22)
ψn x B cos
2-6 一维无限深方势阱
~1~
2-6 一维无限深方势阱
1. 一维自由粒子
一维情形的薛定谔方程为
i
2 d2 x, t V x x, t 2 t 2m dx 2 d2 ψ x 2m dx 2 V x ψ x E