高一数学教案 第二章函数概念与基本初等函数第13课时映射

课题映射课时安排 1 本节课时 1 学期总课次主备人吴丽娟审阅富平中学高一数学组授课人授课时间授课班级教学目标知识与技能了解映射、一一映射的概念，掌握像、原像等概念及其简单应用。

过程与方法能比较函数与映射的区别，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否为映射，一一映射。

情感、态度、价值观树立数学应用的观点，培养学生良好的思维品质。

重难点重点：映射的概念难点：利用映射的概念来判断“对应关系”是否为映射，一一映射，掌握像、原像等概念及其简单应用。

教法设计讲解+练习教学过程公共教学个性教学复习引入:函数概念：一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应．那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数。

记作f：A→B，或y=f（x）x∈A.观察一下的对应关系有什么特点:1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应．2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应．3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应．4.某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应．这些对应称为映射,引出课题.二:新课讲解看下面的例子,设A,B 分别为两个集合,为简明起见,设A,B 分别为两个有限集. A B A 平方 BA 2倍B A 开方 B说明:(1),(2),(3)这三个对应的共同特点是:对于左边集合A 中的任何一个元素,在集合B 中都有唯一元素与之对应.映射:一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f ：A →B ”．如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ，那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原像，集合B 中元素y 叫集合A 中的元素x 的像．例1.若对应关系f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下列说法错误的是_____ A.A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素B.A 中的两个元素在B 中的对应元素必定不同C.B 中两个元素若在A 中有对应元素,则它们必定不同D.B 中的元素在A 中可能没有对应元素例2.已知集合A=｛x|0≦x ≦4｝,B=｛y|0≦y ≦2｝,下列从A 到B 的对应f 不北 京 伦 敦 华盛顿 东 京1 4 5 69 4 1810 12 中国美国 英国 日本1 -12 -245 63 -3 2 -2 1 -1是映射的是( )A.f:x →y=21x B.f:x →y=31x C.f:x →y=32x D.f:x →y=81x ²例3.已知(x,y)在映射f 的作用下,像是(x+y,xy) (1).求(3,4)的像 (2).求(1,-6)的原像例4.已知映射f:A →B 其中A=B=R,对应法则f:y=-x ²+2x,对于实数k ∈B,在集合A 中不存在原像,则k 的取值范围是_____(备选)一一映射：如果映射f 是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任一元素，在集合A 中都有且只有一个原像，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并称这个映射为集合A 到集合B 之间的一一映射，也叫一一对应. 注意点:①.A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应 ②.A 中的不同元素的像也不同 ③.B 中的每一个元素都有原像例:从集合A 到集合B 的一些对应法则,那些是映射,哪些是一一映射? (1).A=R,B=R,f:x →x 的倒数 (2).A={三角形},B={圆}(3).A={P|P 是平面直角坐标系内的点},B={(x,y)|x ∈R,y ∈R} (4).A={高一学生},B={高一班级}函数是一种特殊的映射,是从非空数集到非空数集的映射.设A,B 是两个非空数集,f 是A 到B 的一个映射,那么映射f:A →B 就叫作A 到B 的函数.在函数中,原像的集合称为定义域,像的集合称为值域.三.小结:(1).何谓映射?何谓像,原像?(2).何谓一一映射?(3).函数与映射的关系?四、课堂练习：P33 (1),(2).五、课后作业:课标新卷p16:17,18.板书设计映射1. 映射;原像,像的定义例12. 一一映射例23. 函数与映射之间的例3关系例4例5教学反思。

2.2.3 映射教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．教学重点：映射的概念．教学难点：理解概念．教学过程：一、复习准备：1. 举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；2. 讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？3. 导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）.二、讲授新课：1. 教学映射概念：①先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意{1,4,9}A=, {3,2,1,1,2,3}B=---，对应法则：开平方；{3,2,1,1,2,3}A=---，{1,4,9}B=，对应法则：平方；{30,45,60} A=︒︒︒,1{}2B=, 对应法则：求正弦；②定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:f A B→为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“:f A B→”关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.③分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？④讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一）一对多是映射吗？举例一一映射的实例（一对一）2.教学例题：①出示例1. 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？A={P | P是数轴上的点}，B=R；A={三角形}，B={圆}；A={P| P是平面直角体系中的点}，{(,)|,}B x y x R y R=∈∈；A={高一某班学生}，B= ？（师生探究从A到B对应关系→辨别是否映射？一一映射？小结：A中任意，B中唯一）②讨论：如果是从B到A呢？③练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则:21f x x→+；*,{0,1}A N B==，对应法则:2f x x→除以得的余数；A N=，{0,1,2}B=，:3f x x→被除所得的余数；设111{1,2,3,4},{1,,,}234X Y==:f x x→取倒数；{|2,},A x x x NB N=>∈=，:f x x→小于的最大质数3. 小结：映射概念.三、巩固练习： 1. 练习：书P33,1、2、3、4题； 2.课堂作业：书P34 3，B组1、2题.1。

映射一、考点突破了解映射的概念及表示方法。

二、重难点提示重点：理解映射的概念；难点：理解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象。

◆ 映射的定义设A ，B 是两个非空．．的集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个．．．．元素，在集合B 中都有唯一的．．．元素与之对应，那么这样的对应叫做从集合A 到．集合B 的映射，记作：B A f →:。

注意：（1）要理解映射定义中的关键词；（2）A 中元素必须取完，B 中元素可以取完，也可以不取完，这种对应可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多；（3）在映射B A f →:中，集合A 叫做映射的定义域，与A 中元素x 对应的B 中元素y 叫做x 的象，记作：)(x f y =，x 叫做y 的原象。

◆ 映射的“三性”1. “有序性”：映射是有方向的，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射往往不是同一个映射；2. “存在性”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都存在元素和它对应；3. “唯一性”：对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中和它对应的元素是唯一的。

例题1 下列对应关系中，哪些是从A 到B 的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?（1）A=R ，B=R ，对应法则f ：取倒数；（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f ：作三角形的外接圆。

思路分析：根据定义分析是否满足“A 中元素的任意性”和“B 中对应元素的唯一性”。

答案：（1）不是映射，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与之对应，不满足“A 中任意性”；若把集合A 改为A={x|x≠0}或者把对应法则f 改为“加1”等，就可成为映射；（2）是映射，集合A 中的任意一个元素（三角形），在集合B 中都有唯一的元素（该三角形的外接圆）与之对应，这是因为平面内不共线的三点可以确定一个圆。

技巧点拨：将不是映射的对应修改为映射，可以从出发集A 、终止集B 和对应法则f 三个角度入手。

［教学目的］1.以集合、映射的观点加深学生对函数概念的理解，明确决定函数的三个要素（定义域、值域和对应法则）；2.掌握函数的三种主要表示方法（解析法、列表法、图象法）；3.能够正确使用“区间”、“无穷大”等记号；4•会求某些函数的定义域和值域，会画一些简单函数的图象.［重点难点］重点：在映射的基础上理解函数的概念；难点：函数的概念.［教学设想］1.教法2.学法3.课时［教学过程］§ 2.2.1函数（一）--函数的概念和表示方法［教学目的］1.以集合、映射的观点加深学生对函数概念的理解，明确决定函数的三个要素（定义域、值域和对应法则）；2.掌握函数的三种主要表示方法（解析法、列表法、图象法）.［重点难点］重点：在映射的基础上理解函数的概念；难点：函数的概念.［教学过程］一、复习引入1•复习提问：在从集合A到集合B的映射中，⑴对于集合A中的任意一个元素a,在集合B中是不是一定有象？是不是只有一个象？答：必定有象，且只有一个象.⑵对于集合B中的任意一个元素b，在集合A中是不是一定有原象？是不是只有一个原象？答：对于集合B中任意一个元素b，在集合A中不一定有原象，在有原象时，也不一定只有一个.2.复习引入：我们在初中已经学过函数，例如，正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等.那么函数的概念是什么？在初中我们是怎样定义它呢？那时的定义可叙述为：设在一个变化过程中有两个变量x和y, 如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y 是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.我们回想映射的定义，不难知道，上面所说的函数实际上就是集合A到集合E的一个特殊映射f : A-B,构成这种映射的集合A,B 是非空的数集，而且对于自变量在定义域A内的任何一个值x，在集合 B 中都有唯一的函数值和它对应；自变量的值是原象，和它对应的函数值是象；原象的集合A就是函数的定义域，象的集合C就是函数的值域，显然CB.这种用映射刻划的函数定义是我们高中阶段学习的函数定义.二、学习、讲解新课1•用映射刻划的函数定义如果A, B都是非空的数集，那么A到B的映射f : A- B就叫做A 到B的函数，记作y=f(x)，其中x€ A, y € B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C (CB)叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“ y是x的函数”，有时简记作函数f(x).这种用映射刻划的函数定义我们称之为函数的近代定义.例如，一次函数是集合 A (A=R到集合B (B=R的映射f : A- B,它使集合B中的元素y=ax+b(aO)与集合A中是元素x对应，记为f(x)=ax+b(a0),集合A为定义域，集合C(C=R为值域(这里C=B .反比例函数是集合A={x|x0}到集合B (B=R的映射f: A-B, 它使集合B中的元素y=k/x(k0)与集合A中是元素x对应，记为f(x)= k/x(k0)，集合A为定义域，集合C={y|yO}为值域(这里CB .二次函数是集合 A (A=R到集合B (B=R的映射f: A-B,它使集合B中的元素y=ax2+bx+c(a0)与集合A中是元素x对应，记为f(x)=ax2+bx+c (a0) , 集合A 为定义域 , 当a>0 时 , 集合C={y|y(4ac-b )/4a}为值域；当a<0 时，集合C={y|y(4ac-b )/4a}为值域(这里CB .2.函数的三要素⑴函数符号y=f(x) 的含义：它表示y 是x 的函数，而不是 f 和x 的乘积. 其中 f 表示对应法则，小括号表示把对应法则 f 施加于x 这个变量之上，而等号表示施加之后对应于y.例如，f(x)=2x 2+3,这里是用一个代数式把f 所表示的对应法则具体化了，就是说“把自变量x 先平方再二倍再加3”即得x 对应的函数值，而 f 就表示了这一套运算手续.另外，f还可能是由图表表示的数之间的对应法则(后面再举例).⑵符号f(a)的含义：f(a)表示自变量x取a时所对应的函数值.f 如果由解析式表达，则可算出f(a).例如，f(x)二x 2+2X-1在x=0,x=1,x=2时的函数值分别为f(0)=-1 ，f(1)=2 ，f(2)=7 ；若f 由图表给出，那么就可以通过点的坐标或查表找出f(a).要注意f(a) 与f(x) 的联系与区别：f(a) 表示当自变量x=a 时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a) 是f(x) 的一个特殊值.⑶函数的三要素：由函数的定义可知，函数由定义域、值域和对应法则三部分组成，这三部分就叫做函数的三要素, 而确定函数的要素是定义域和对应法则. 当定义域和对应法则确定之后，函数的值域也就随着确定了, 至于用什么字母表示自变量和函数则是无关紧要的，因此y=f(x)=x 2与z=f(t)=t 2表示的是同一函数.另外，在同时研究两个或多个函数时，要用不同的符号来表示它们.除了f(x) 外还常用g(x),F(x),G(x) 等符号.3.函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=60t 2，A=r2，S=2,y=ax2+bx+c(a0),y=(x2) 等等都是用解析式表示函数关系的.用解析式表示函数关系的优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值. 中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系例如，数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.用列表法表示函数关系的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.用图象法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.4•例题评价例1(P54) 已知函数f(x)=3x 2-5x+2 ，求f(3), f(-), f(a+1).解：f(3)=3 x 32-5 X 3+2=14;f(-)=3 X (-) 2-5 X (-)+2=8+5 ;22f(a+1)=3(a+1) 2-5(a+1)+2=3a 2+a.例2( 补) 已知函数f(x)=4x+3 ，g(x)=x 2, 求f[f(x)] ，f[g(x)] ，g[f(x)] ，g[g(x)].解：f[f(x)]=4f(x)+3=4(4x+3)+3=16x+15 ；2f[g(x)]=4g(x)+3=4x 2+3；2 2 2g[f(x)]=[f(x)] 2=(4x+3) 2=16x2+24x+9；g[g(x)]=[g(x)] 2=(x2)2=x4.5.目标检测⑴课本P56练习：1, 2.⑵(补充题)已知f(x)=3x+1，求f(x 2+1)与f(x 2)+1相差多少.答案：⑴课本练习：1.⑴定义域是{-3,-2,-1,0,1,2,3} ，值域是{0,1,4,9};⑵和x=-2对应的象是4;⑶y=9和原象-3，3对应.2.f(0)=-3 ，f(2)=1 ，f(5)=7 ;函数的值域是{-3,-1,1,3,7}.⑵(补充题)：解：T f(x 2+1)=3(X2+1)+1=3X2+4, f(x 2)+1=3x2+1 + 1 =3X2+2,而f(x 2+1)-f(x 2)+仁3x2+4-(3x 2+2)=2，二f(x 2+1)与f(x 2)+1 相差2.三、小结1. 函数是一种特殊的映射f: A-B,其中集合A, B必须是非空的数集；y=f(x)表示y是x的函数;2. 定义域、值域和对应法则是函数的三要素，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定.3. f(x)与f(a)既有区别也有联系：f(a)表示f(x)在x=a时的函数值，是常量；而f(x)是x的函数，通常是变量.4. 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.四、布置作业(一) 复习：课本内容，熟悉巩固有关概念(二) 书面：课本P57习题2.2 : 1, 3.数学：4.1.2《同角三角函数的基本关系》教案(旧人教版高一下)【同步教育信息】本周教学内容：同角三角函数的基本关系式二.重点、难点：本节重点是同角三角函数的基本关系式1. 平方关系：2. 商数关系：, sin a , COSGtan , cot:cos：si n：3. 倒数关系：【典型例题】［例1］已知，求的其它三角函数值。

第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ本章概述函数是中学数学中的一个重要概念，函数是高中数学的基础.学生在初中已经初步接受了函数的知识，掌握了一些简单函数的表示方法、性质和图象，本章在初中学习的基础上，继续系统学习函数知识，培养学生应用函数知识的意识，并对后续选修课程中要涉及的函数知识打下良好的基础.本章在学生学习函数知识的过程中是一个重要的环节.一、课标要求1.函数的概念和图象(1)学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.(2)了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.(3)结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.(4)通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物，了解生活中的函数实例.2.基本初等函数(1)了解指数函数模型的实际背景.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x 的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点).通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.(2)理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x 符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点).(3)知道指数函数f(x)=a x 与对数函数f(x)=log a x 互为反函数(a ＞0，a≠1)，初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义.(4)通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数y=x,y=x 3,y=x -1,y=x 21的图象，了解它们的变化情况.3.函数的应用(1)通过二次函数的图象，懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数，通过具体的函数例子，了解函数零点与方程根的联系.根据函数图象，借助计算器或电脑，学会运用二分法求一些方程的近似解，了解二分法的实际应用，初步体会算法思想.(2)借助计算机作图，比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系.收集现实生活中普遍使用的几种函数模型的案例，体会三种函数模型的应用价值，发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.二、本章编写意图与教学建议1.在进一步体会两个变量之间的依赖关系的基础上，学习用集合与对应的语言来刻画“单值对应”，领悟函数就是一个从一个数集到另一个数集的单值对应.“单值对应”是函数对应法则的根本特征.箭头图给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性，应突出“输进”与“输出”的关系.2.教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.3.教材“阅读”中力求通过信息技术与课程内容的整合，激发学生对数学学习的兴趣，体现数学的应用性，教学中应鼓励学生探索，把现代教育技术作为学习的研究和探究解决问题的工具.例如，用Excel可以解决陌生函数的图象的大致形状，增加直观性.为以后研究函数的性质和学习方程的近似解、数据拟合等打下基础.4.本章通过学习用二分法求方程近似解的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约29课时:2.1.1 函数的概念和图象3课时2.1.2 函数的表示方法1课时2.1.3 函数的简单性质3课时2.1.4 映射的概念1课时2.2.1 分数指数幂2课时2.2.2 指数函数3课时2.3.1 对数2课时2.3.2 对数函数3课时2.4 幂函数1课时2.5.1 二次函数与一元二次方程2课时2.5.2 用二分法求方程的近似解1课时2.6 函数模型及其应用3课时探究案例——钢琴与指数曲线1课时实习作业1课时本章复习2课时2.1函数的概念和图象2.1.1函数的概念和图象整体设计教材分析先从初中学过的变量观点的函数概念说起，借助对应关系和集合语言得到了函数更为确切的定义，然后学习映射的概念，之后再用映射的概念来研究函数，使同学们对函数概念的理解更加深刻.定义域、对应法则是函数的两个要素.判断两个函数是否相同只需判断它们的定义域、对应法则是否相同即可.对函数符号y=f(x)的理解是同学们学习中的难点.这是一个抽象的数学符号，也仅仅是函数符号，它表示“y是x的函数”，指对定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y=f(x)，既不表示“y等于f与x的乘积”，也不一定是解析式.要注意符号f(a)与f(x)的区别与联系，f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数.在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)在x=a时的一个特殊值.学习过程中要充分理解教材中的几个例题，感受函数概念的应用，体会求函数定义域、函数在x取某些特定值时的函数值和值域、函数关系式的转化的方法，体会换元法的应用.三维目标(1)了解构成函数的要素.(2)会求一些简单函数的定义域和值域.(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域.(4)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.重点难点教学重点:理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数.教学难点:符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示.课时安排3课时教学过程第一课时函数的概念(一)导入新课设计思路一(问题导入)阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：(1)估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据，从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？年份1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 人口数/百万542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246(2)一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落的时间x(s)之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？(3)下图为某市一天24小时内的气温变化图，①上午8时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？②大约在什么时刻，气温为0 ℃？③大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？其中：(1)人口数量与时间的变化关系问题；(2)物体自由落体运动中下落的高度与时间的变化关系问题；(3)某市一天中的温度与时间的变化关系问题.思考1.分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点.2.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系.3.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系. 设计思路二(情境导入)社会生活中，地球正在逐渐变暖，为什么？中国的国内生产总值为什么在逐年增长？上述这些变化的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化.那么我们如何用数学模型来刻画这两个变量之间的关系？这数学模型又有什么特征？学好本章便可弄清这两个问题.推进新课新知探究设计思路一函数的有关概念(1)函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：y=f(x),x ∈A.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域.注意：①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，是一个数，而不是f 乘x.(2)构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域.(3)初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y=ax+b ，(a≠0)，y=ax 2+bx+c ，(a≠0)，y=xk ，(k≠0)， 比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会.设计思路二对于导入新课设计思路一的问题解答：(1)解：我国人口随时间的变化是逐渐增加的.(2)解：1 s→4.9 m ， 2 s→19.6 m ，对任一时刻x ，都有唯一的下落距离y 与之对应.(3)解：①上午8时的气温约是0 ℃，全天的最高、最低气温分别是9 ℃和-2 ℃； ②大约在上午8时和晚上22时，气温为0 ℃；③大约在8到22时刻内，气温在0 ℃以上.总结：对任一时刻t ，都有唯一的温度θ与之对应.思考解答：上述三个问题中，都反映出两个变量之间的关系，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值也随之唯一确定.回忆初中学习的函数的概念，如何用集合语言来阐述上述三个问题的共同特点？每个问题均涉及两个非空数集A ，B ：A B问题1 {1949，1954，…，1999} ｛542，603，…1246｝问题2 ｛x|x≥0｝ ｛y|y≥0｝问题3 ｛t|0≤t≤24｝ ｛θ|-2≤θ≤9｝存在某种对应法则，对于A 中任意元素x ，B 中总有一个元素y 与之对应.问题1 问题2 单值对应：对于A 中的任一个元素x ，B 中有唯一的元素y 与之对应.或一个输入值对应到唯一的输出值.总结：单值对应为一对一，多对一，而不能一对多.函数的概念：(1)设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数.记为y=f(x)，x ∈A.其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫函数的定义域.(2)函数是建立在两个非空的数集上的单值对应，x 叫自变量，y 叫因变量.问：上述的三个问题中的对应是否是单值对应，是否是函数，且函数的定义域是什么？ 答：是的，都上单值对应，同时也都是函数，每个集合都是非空的数集.记忆技巧：在定义的记忆中，要抓住几个关键词，使用定义时要注意数形结合，增加对单值定义的理解.应用示例思路1例1 已知函数f(x)=3+x +21+x . (1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，f(32)的值； (3)当a ＞0时，求f(a)，f(a-1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.解：(1)使函数有意义，必须满足 x+3≥0，且x+2≠0，化简得到：x≥-3且x≠-2，所以函数的定义域为{x|x≥-3且x≠-2}.(2)f(-3)=-1,f(32)=332++833332321+=+.(3)f(a)=213+++a a ,f(a-1)=1122)1(13)1(+++=+-++-a a a a . 点评：在解题时要注意(3)的求解，此时的x 就是a 、a-1，所以只要把它们作为x 代入. 例2 设一个矩形的周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域.分析：这是一道应用题，要把一个实际问题转化为数学问题，转化时应注意使实际问题有意义.解：由题意知，另一边长为2280x -，且边长为正数，所以0＜x ＜40. 所以面积s=2280x -·x=(40-x)x,(0＜x ＜40), 所以s(x)=(40-x)x,(0＜x ＜40).点评：引导学生小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交集).(5)满足实际问题有意义.例3 下列函数中哪个与函数y=x 相等？(1)y=(x )2；(2)y=33x ；(3)y=2x ；(4)y=x x 2. 分析：(1)构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数).(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.解：(1)、(4)与函数y=x 不相等，因为定义域不同；(3)与函数y=x 不相等，因为对应关系不同；只有(2)与函数y=x 相等.点评：在判断时要注意函数表达式的化简，同时注意化简前后的等价变形，不然就不是原函数了.例4 比较下列两个函数的定义域与值域：(1)f(x)=(x-1)2+1,x ∈{-1,0,1,2,3};(2)f(x)=(x-1)2+1.分析：定义域与值域是函数的两个要素，通过解析式可以得出两者的关系.解：(1)函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，因为f(-1)=(-1-1)2+1=5，同理f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，所以这个函数的值域为{1，2，5}；(2)函数的定义域为R ，因为(x-1)2+1≥1，所以这个函数的值域是{y|y≥1}.点评：函数的值域就是函数值的取值集合，我们可以把函数的值域表示成{y|y=f(x)，x ∈A}.例5 已知函数y=ax ax ++312的定义域为R ，求a 的取值范围. 分析：本题是从函数的定义域的逆向思维的角度来设计的一个问题，所以考虑问题时会有一个暂时的停顿.同时要注意分类思想.解：当a=0时，y=x31，函数的定义域不是R ； 当a≠0时，只要9-4a 2＜0，得a ＞23或a ＜23-. 综上所述，a ＞23或a ＜23-. 点评：对于参数问题的求解，可先把它当作已知的，然后再用相关的知识求解.也就是以退为进.思路2例1 判断下列对应是否为函数：(1)x→x2,x≠0,x ∈R ; (2)x→y,这里y=x 2,x ∈N ,y ∈R ;(3)x→y,这里y 2=x,x ∈N ,y ∈R ;(4)x→y,这里y=x+1,x ∈{1,2,3,4,5},y ∈{0,2,3,4,6}.分析：根据定义来进行判断.解：(1)(2)是函数，(3)(4)不是函数.例2 如下图所示的对应x→y ，能表示函数的是______.分析：可以用与y 轴平行的直线来截，如有两个交点就不是函数图象.答案：A 、D点评：函数概念的要点：(1) A ，B 为非空数集.(2) A 中的任一个元素，B 中都有唯一的元素与之对应；而B 中的元素在A 中的对应元素可以不唯一，也可以没有.从上述三个问题中我们可以看出，函数可以用列表、图象、解析式来表示.对给定的函数必须要指明定义域，对于用解析式表示的函数如果没指明定义域，则认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.例3 求下列函数的定义域：(1)f(x)=1-x ;(2)f(x)=11+x ;(3)f(x)=1231+-x x. 分析：运用函数的定义域的求法，就是根据满足的几个条件来进行判断和列式. 解：(1) {x|x≥1}；(2){x|x ∈R 且x≠-1}；(3){x|x ∈R 且x≠0且x≥21-}. 点评：注意几个满足条件就可以了.例4 已知函数y=f(x)的定义域是(-1，1)，求y=f(x+1)的定义域.解：因为y=f(x)的定义域是(-1,1),所以-1＜x+1＜1,所以-2＜x ＜0.所以y=f(x+1)的定义域为{x|-2＜x ＜0}.点评：隐函数的定义域要紧扣定义进行求解.例5 已知函数y=a x ax ++32的定义域为R ，求a 的取值范围.解：⎩⎨⎧≤-=∆>,049,02a a ∴a ∈[23,+∞). 点评：挖掘概念的内涵，是解决这类问题的思维的关键.知能训练1.y=x 1111++的定义域是( )A.x≠0的一切实数B.x≠-1且x≠0的一切实数C.x ＞0的一切实数D.x≠0且x≠-1且x≠21-的一切实数 2.如图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，垂直底的直线x ＝t (0≤t≤2)截这个三角形所得阴影部分面积为f(t)，则y=f(t)的图象大致是()3.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+),2(,2),21(,),1(,22x x x x x x 若f(x)＝3，则x 等于( )A.1B.1或23 C.1，±3 D.3 4.函数y=x x -+-22的定义域是___________，值域是___________.5.(1)若f(x)=x 2+1，则f(3x+2)=___________.(2)若f(x-1)=2x 2-1，则f(x)=_________，f(0)=_________,f(1)=_________,f[f(0)]=_________.6.已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∞∈),,0[,),0,(,12x x x x 求f(x+1).解答：1.D ；2.D ；3.D ；4.{x|x=2},{y|y=0}；5.(1)9x 2+12x+5，(2)2x 2+4x+1，1，7，7；6.解：由已知得：f(x+1)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈++-∞∈++),,0[1,)1(),0,(1,112x x x x所以f(x+1)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞-∈+--∞∈+).,1[,)1(),1,(,112x x x x课堂小结今天我们学习了函数的概念、函数的定义域和值域等，体会用集合间的特殊对应来表示函数，这是学生认识的进步，是今后学习函数的基础.本节课我们从不同的角度对定义域做了研究，在今后学习函数的过程中，应该要求学生一看到函数，马上就要去想它的定义域，避免因定义域的忽略而出现解题的错误.作业课本第28页习题2.1(1) 1、2.设计感想1.注重学生学习函数概念的心理建构过程建构主义学习理论认为：应把学习看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景及情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中.在函数概念教学中，可以适当采用引导讨论，注重分析、启发、反馈，先从实际问题引入概念，然后揭示函数概念的共同特性：(1)问题中所研究的两个变量是相互联系的；(2)其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；(3)对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应.同时从阅读、练习中巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，让学生自己完成从具体到抽象的过程，避免概念教学的抽象与枯燥，使学生深入理解函数的实质，从而让学生较好地完成函数概念的建构.2.注重函数概念与信息技术适时性、适度性的结合由于初中刚进高中的高一学生，思维较为单一，认识比较具体，注意不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习.应用信息技术时要根据教学需要、学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，掌握分寸，避免过量信息钝化学生的思维.函数概念教学中，教师可以借助于几何画板、图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励、引导学生通过交流与讨论，来更好地学习和理解函数.(设计者：王银娣)第二课时 函数的概念(二)导入新课设计思路一(复习导入)在上节课我们学习了函数的定义，从定义中我们可以看出，构成函数有三个要素：定义域、值域和解析式，在函数的定义中大家要能体会出通过符号来解决问题的思想，也就是把实际的问题抽象成数学问题，函数也是高中数学中抽象思维要求最强的一个知识，也是有着广泛用途的一个数学知识，同时也推动了人类认识的进步.本节课将在上一节课的基础上对函数作更深一个层次的了解.这个认识我们将会在以后的学习中逐步加深.设计思路二(事例导入)函数在数学及实际生活中有着广泛的应用，在我们身边就存在着很多与函数有关的问题，如在我们身边就有不少函数的实例，我们看下面的一个实例：夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量有关.某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元；6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元.此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧，可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我钱，当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱.同学们，你知道顾客是怎样识破店主坑人的吗？其实数学问题时刻伴随着我们，只要你注意观察、积累，并学以致用，就能成为聪明人，因为数学可以使人聪明起来.答案：若西瓜重9斤以下则最多应付4.5元，若西瓜9斤以上，则最少也要5.4元，不可能出现5.1元这样的价钱，所以店主坑人了.推进新课新知探究1.函数的概念关键词：任意、唯一.2.构成函数的三要素是:定义域、对应关系和值域.3.函数的值域：若A 是函数y=f(x)的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应.我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域.应用示例思路1例1 求下列函数的值域：(1)y=x2-;(2)y=x 2+x-1; (3)y=x 2-2x,x ∈[2,3];(4)y=x 2-2x,x ∈[-1,1].分析：这些函数都可以用基本函数的方法来解决，解题时要注意它们的定义域，不然就会造成值域的范围的扩大.解：(1){y|y ∈R ,y≠0}(基本函数法)；(2)[45-,+∞)(基本函数法)； (3)[0，3](函数图象法)；(4)[-1,3](函数图象法).变式训练1.求函数y=x 2-2x,x ∈[-2,5]的值域.解：[-1,15](函数图象法).2.求函数y=x 1-,x ∈(-1,0)∪(0,2)的值域. 解：(-∞,21-)∪(1,+∞)(函数图象法). 点评：函数图象法就是根据基本函数的图象，通过已知的图象来观察出要解决的函数的值域的方法，主要从图象的高低来进行判断.例2 若一次函数y=f(x)满足f(1)=1,f(-1)=3，求f(x)的解析式.分析：一次函数是一条直线，有两个点，直线就会被唯一确定，所以本题使用待定系数法就很容易求得.解：设f(x )=ax+b,(a≠0)(待定系数法)，由题意可得⎩⎨⎧=+-=+,3,1b a b a 解得⎩⎨⎧=-=,2,1b a 所以f(x)=-x+2.点评：使用待定系数法时，在设系数时要注意符合一次函数的定义，同时在解方程时要依据所设的条件，注意增根和减根的现象.例3 二次函数y=f(x)对任意x ∈R ，有f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x ，求f(x)的解析式.分析：本题根据恒等式的特征进行解题，所以在代入计算时要有足够的耐心进行计算，同时要保证计算的准确性.解：设f(x)=ax 2+bx+c,(a≠0)，由题意可得a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2x 2-4x,即2ax 2+2bx+(2a+2c)=2x 2-4x,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-==,022,42,22c a b a 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-==,1,2,1c b a所以f(x)=x 2-2x-1.点评：与例2的解法相似，但有其自身的特点，复杂的程度比一次的高，所以计算的时候准确性要注意，不然即使方法正确，答案也容易错.例4 y=f(x)满足f(x+1)=x 2-7x-1，求f(x)的解析式.分析：本题求函数的解析式是从配凑法、换元法的角度来解决这个问题，在运算过程中，要明白解题的目的.解法一：f(x+1)=x 2-7x-1=(x+1)2-9x-2=(x+1)2-9(x+1)+7，所以f(x)=x 2-9x+7.解法二：令x+1=t ，所以x=t-1，代入可得f(t)=(t-1)2-7(t-1)-1=t 2-9t+7，所以f(x)=x 2-9x+7.点评：这两种求函数解析式的方法比较常见，其中配凑法要在目的的导引下来进行有效的变形，换元法比较容易操作.例5 函数y=f(x)满足f(x x 1+)=221xx x ++，求f(x)的解析式. 分析：本题看上去比较复杂，但是方法仍用配凑法，当然也可以用换元法，下面就这两种方法分别给出解答，然后观察比较.解：(换元法)令x x 1+=t ，则x=11-t ，代入可得 f(t)=22)1(11)1(1)1(1-+-+-t t t =1+(t-1)+(t-1)2=t 2-t+1,所以f(x)=x 2-x+1. 另解：(配凑法)f(x x 1+)=221x x x ++=222212xx x x x x +--++=(x x 1+)2-x x 1++1，所以f(x)=x 2-x+1. 点评：两种方法比较下来，我们感觉第一种容易上手，易于操作，学生也比较容易把握，方法二要求技巧性比较强，对基础好的同学可以作要求，它能培养学生的观察能力.思路2例1 已知f(x)=x1,g(x)=x 2+x+1，求f[g(2)]和g[f(2)]的值. 分析：这是一个求函数值的问题，它分为两层，从里层开始计算，一层一层地计算，实际上就是按照函数的定义来进行分解.解：f[g(2)]=f(7)=71,g[f(2)]=g(21)=47. 点评：学生对这类问题的求解，开始的时候有点难，但随着对函数定义的理解，这类问。

本章复习整体设计教学分析本节课是对第二章的基本知识和方法的总结和归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体．三维目标通过总结和归纳函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：①函数的基本知识．②含有字母问题的研究．③抽象函数的理解．教学难点：①分类讨论的标准划分．②抽象函数的理解．课时安排1课时教学过程导入新课函数的概念和性质以及二次函数是高考的必考内容之一，为了系统掌握本章知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题①本章内容分为几部分？②画出本章的知识结构图.讨论结果：①第1～3节是函数的概念和性质；第4,5节是基本初等函数的性质，可以分为两部分．(答案不唯一)②本章的知识结构图，如图1所示．(答案不唯一)图1应用示例思路1例1 求函数y ＝3x x 2＋4的最大值和最小值． 分析：把变量y 看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x 的方程，利用判别式的符号得关于y 的不等式，解不等式得y 的取值范围，从而得函数的最值．解：(判别式法)由y ＝3x x 2＋4得yx 2－3x ＋4y ＝0， ∵x ∈R ，∴关于x 的方程yx 2－3x ＋4y ＝0必有实数根．当y ＝0时，则x ＝0，故y ＝0是一个函数值；当y ≠0时，则关于x 的方程yx 2－3x ＋4y ＝0是一元二次方程，则有Δ＝(－3)2－4³4y 2≥0，∴0＜y 2≤916.∴－34≤y ＜0或0＜y ≤34， 综上所得，－34≤y ≤34. ∴函数y ＝3x x 2＋4的最小值是－34，最大值是34. 点评：形如函数y ＝ax 2＋bx ＋c dx 2＋ex ＋f(d ≠0)，当函数的定义域是R (此时e 2－4df ＜0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx2＋nx ＋k ＝0；②分类讨论m ＝0是否符合题意；③当m ≠0时，关于x 的方程mx 2＋nx ＋k ＝0中有x ∈R ，则此一元二次方程必有实数根，得n 2－4mk ≥0即关于y 的不等式，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧n 2－4mk ≥0，m ≠0.此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值．例2 函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f x x在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的对称轴是直线x ＝a ，由于函数f (x )在开区间(－∞，1)上有最小值，所以直线x ＝a 位于区间(－∞，1)内，即a ＜1.g (x )＝f x x ＝x ＋a x－2，下面用定义法判断函数g (x )在区间(1，＋∞)上的单调性．设1＜x 1＜x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2－2 ＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1－a x 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－a x 1x 2， ∵1＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1＞0.又∵a ＜1，∴x 1x 2＞a .∴x 1x 2－a ＞0.∴g (x 1)－g (x 2)＜0.∴g (x 1)＜g (x 2)．∴函数g (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，函数g (x )在区间(1，＋∞)上没有最值．故选D.答案：D点评：定义法判断函数f (x )的单调性步骤是：①在所给区间上任取两个变量x 1、x 2；②比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积(商)等；③由②中差的符号确定函数的单调性．注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D 上没有最大值，也没有最小值．例3 求函数f(x)＝x2－1的单调区间．分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间．解：函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．设y＝u，u＝x2－1，当x≥0时，u＝x2－1是增函数，y＝u也是增函数，又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴函数f(x)＝x2－1在[1，＋∞)上是增函数．当x≤0时，u＝x2－1是减函数，y＝u也是增函数，又∵函数的定义域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴函数f(x)＝x2－1在(－∞，－1]上是减函数．即函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1]．点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y＝f[g(x)]，如果y＝f(u)，u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f[g(x)]为增函数，如果具有相异(即相反)的单调性，则函数y＝f这[g(x)]为减函数．讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并分别判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断出复合函数的单调性或写出其单调区间．注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是[0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]．其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则．思路2例1 某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进价的价格出售，销售有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：①销售量r(x)(件)与衬衣标价x(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b1；在销售淡季近似地符合函数关系：r(x)＝kx＋b2，其中k＜0，b1＞0，b2＞0且k、b1、b2为常数；②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中r(x)＝0时的标价x为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下面问题：(1)填写表格中空格的内容：(2)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣标价应定为多少元才合适？分析：(1)销售总利润y＝销售量r(x)³每件利润，每件利润＝标价－进价；(2)转化为求二次函数y＝f(x)的最大值，由条件②③求出b2与k的关系，应用二次函数的知识求解．解：(1)在销售旺季，y＝(kx＋b1)(x－100)＝kx2－(100k－b1)x－100b1；在销售淡季，y＝(kx＋b2)(x－100)＝kx2－(100k－b2)x－100b2，故表格为：如下表所示．(2)∵k＜0，b1＞0，b2＞0，∴－b 12k ＞0，－b 22k＞0. ∴50－b 12k ＞0,50－b 22k＞0. 则在销售旺季，y ＝kx 2－(100k －b 1)x －100b 1，∴当x ＝100k －b 12k ＝50－b 12k时，利润y 取最大值；在销售淡季，y ＝kx 2－(100k －b 2)x －100b 2，∴当x ＝100k －b 22k ＝50－b 22k时，利润y 取最大值．由②知，在销售旺季，商场以140元/件价格出售时，能获得最大利润．因此在销售旺季，当标价x ＝50－b 12k＝140时，利润y 取最大值．∴b 1＝180k . ∴此时销售量为r (x )＝kx －180k .令kx －180k ＝0，得x ＝180，即在销售旺季，衬衣的“临界价格”为180元/件．∴由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为180³23＝120元/件． 可见在销售淡季，当标价x ＝120元/件时，销售量为r (x )＝kx ＋b 2＝0.∴120k ＋b 2＝0.∴b 2k ＝－120.∴在销售淡季，当标价x ＝50－b 22k＝50＋60＝110元/件时，利润y 取得最大值． 即在销售淡季，商场要获得最大利润，应将衬衣的标价定为110元/件合适．点评：在应用问题中，需解决利润最大、成本最少、费用最少等问题时，常常通过建立数学模型，转化为求函数最值的问题．其步骤是：①阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；②引进数学符号，建立数学模型．如果条件中没有设未知数，那么要设自变量为x ，函数为y ，必要时引入其他相关辅助变量，并用x 、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为求函数最值问题，即所谓建立数学模型；③利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果；④将所得结果再转译成具体问题的答案．例2 求函数y ＝|x ＋2|－|x －2|的最小值．分析：思路1：画出函数的图像，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；思路2：利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值．解：方法1(图像法)：y ＝|x ＋2|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4，2x ，4，x ≤－2，－2<x <2，x ≥2.其图像如图2所示．图2由图像得，函数的最小值是－4，最大值是4.方法2(数形结合)：函数的解析式y ＝|x ＋2|－|x －2|的几何意义是：y 是数轴上任意一点P 到±2的对应点A 、B 的距离的差，即y ＝|PA |－|PB |，如图3所示，图3观察数轴可得－|AB |≤|PA |－|PB |≤|AB |，即函数y ＝|x ＋2|－|x －2|有最小值－4，最大值4.点评：求函数最值的方法：图像法：如果能够画出函数的图像，那么可以依据函数最值的几何意义，借助图像写出最值．其步骤是：①画函数的图像；②观察函数的图像，找出图像的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值．数形结合：如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义，结合图形利用其几何意义求最值．其步骤是：①对函数的解析式赋予几何意义；②将函数的最值转化为几何问题；③应用几何知识求最值．例3 定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：对任意x ，y ∈(－1,1)，都有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy . (1)求证：函数f (x )是奇函数；(2)若当x ∈(－1,0)时，有f (x )＞0，求证：f (x )在(－1,1)上是减函数．分析：(1)定义法证明，利用赋值法获得f (0)的值进而取x ＝－y 是解题关键；(2)定义法证明，其中判定x 2－x 11－x 1x 2的范围是关键． 证明：(1)函数f (x )定义域是(－1,1)，由f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，令x ＝y ＝0，得f (0)＋f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋01＋0， ∴f (0)＝0.令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x1－x 2＝f (0)＝0， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(2)先证f (x )在(0,1)上单调递减，令0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2－x 11－x 1x 2， ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0,1－x 1x 2＞0.∴x 2－x 11－x 1x 2＞0. 又(x 2－x 1)－(1－x 1x 2)＝(x 2－1)(x 1＋1)＜0，∴0＜x 2－x 1＜1－x 1x 2.∴－1＜－x 2－x 11－x 1x 2＜0，由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2－x 11－x 1x 2＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)．∴f (x )在(0,1)上为减函数．又f (x )为奇函数，∴f (x )在(－1,1)上也是减函数．点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性．知能训练1．已知二次函数f (x )满足条件f (0)＝1和f (x ＋1)－f (x )＝2x .(1)求f (x )；(2)求f (x )在区间[－1,1]上的最大值和最小值．分析：(1)由于已知f (x )是二次函数，用待定系数法求f (x )；(2)结合二次函数的图像，写出最值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由f (0)＝1，可知c ＝1.而f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b .由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，可得2a ＝2，a ＋b ＝0.因而a ＝1，b ＝－1.故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)∵f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，f (x )的最大值是f (－1)＝3. 2．已知函数f (x )对任意x 、y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2.(1)判断函数f (x )的奇偶性．(2)当x ∈[－3,3]时，函数f (x )是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．分析：本题中的函数f (x )是抽象函数，则用定义法判断f (x )的奇偶性和单调性．(1)首先利用赋值法求得f (0)，再利用定义法判断f (x )的奇偶性；(2)利用定义法判断函数f (x )在[－3,3]内的单调性，利用单调法求出最值．解：(1)∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0)＝f (0)＋f (0)．∴f (0)＝0.而0＝x －x ，因此0＝f (0)＝f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，即f (x )＋f (－x )＝0⇒f (－x )＝－f (x )．所以函数f (x )为奇函数．(2)设x 1＜x 2，由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，知f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)，∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.又当x ＞0时，f (x )＜0，∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)＜0.∴f (x 2)＜f (x 1)．∴f (x 1)＞f (x 2)．函数f (x )是定义域上的减函数，当x ∈[－3,3]时，函数f (x )有最值．当x ＝－3时，函数有最大值f (－3)；当x ＝3时，函数有最小值f (3)．f (3)＝f (1＋2)＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (1＋1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝3f (1)＝－6， f (－3)＝－f (3)＝6.∴当x ＝－3时，函数有最大值6；当x ＝3时，函数有最小值－6.拓展提升问题：某人定制了一批地砖．每块地砖(如图4所示)是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E ，F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图5所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH .(1)求证：四边形EFGH 是正方形；(2)E ，F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？图4 图5分析：(1)由于四块地砖拼出了四边形EFGH ，只需证明△CFE ，△CFG ，△CGH ，△CEH 为等腰直角三角形即可；(2)建立数学模型，转化为数学问题．设CE ＝x ，每块地砖的费用为W ，求出函数W ＝f (x )的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题．解：(1)图5可以看成是由四块图4所示地砖绕点C 按顺时针旋转90°后得到，则有CE ＝CF ，∠ECF ＝90°，∴△CFE 为等腰直角三角形．同理可得△CFG 、△CGH 、△CEH 为等腰直角三角形，∴四边形EFGH 是正方形．(2)设CE ＝x ，则BE ＝0.4－x ，每块地砖的费用为W ，设制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a,2a ，a (元)，W ＝12x 2²3a ＋12³0.4³(0.4－x )³2a ＋[0.16－12x 2－12³0.4³(0.4－x )]a ＝a (x 2－0.2x ＋0.24)＝a [(x －0.1)2＋0.23](0＜x ＜0.4)．由于a ＞0，则当x ＝0.1时，W 有最小值，即总费用为最省，即当CE ＝CF ＝0.1米时，总费用最省．课堂小结本节课总结了第二章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法．作业已知函数y ＝f (x )的定义域是R ，且对任意a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，并且当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，f (1)＝－1.(1)证明函数y ＝f (x )是R 上的减函数；(2)证明函数y ＝f (x )是奇函数；(3)求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n ∈Z ，m ＜n )的值域．分析：(1)利用定义法证明函数的单调性；(2)定义法证明函数的奇偶性，只需证明f (－x )＝－f (x )；(3)利用单调法求函数的的值域．解：(1)设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，由题意得f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)．∴f (x 1)－f (x 2)＝－f (x 2－x 1)．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.又∵当x ＞0时，f (x )＜0恒成立，∴f (x 2－x 1)＜0.∴f (x 1)－f (x 2)＞0.∴函数y ＝f (x )是R 上的减函数．(2)令a ＝x ，b ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，即f (x )＋f (－x )＝f (0)．令a ＝b ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0.∴函数y ＝f (x )是奇函数．(3)由(1)得函数y ＝f (x )在[m ，n ]上是减函数，则有f (n )≤f (x )≤f (m )．∵对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，∴f (m )＝f [(m －1)＋1]＝f (m －1)＋f (1)＝f (m －2)＋2f (1)＝…＝mf (1)＝－m ，同理有f (n )＝－n .∴函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n ∈Z ，m ＜n )上的值域是[－n ，－m ]．设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，教材中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结．备课资料知识点总结——函数概念及性质1．函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y＝f(x)，x∈A.其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合；实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义．求出不等式组的解集即为函数的定义域．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关．相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)．函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域；应熟练掌握一次函数、二次函数，它是求解复杂函数值域的基础；求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等．3．函数图像知识归纳定义：在平面直角坐标系中，以函数y＝f(x)(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫作函数y＝f(x)(x∈A)的图像．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y＝f(x)，反过来，以满足y＝f(x)的每一组有序实数对x，y为坐标的点(x，y)，均在C上．即记为C＝{P(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．图像C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线)，也可能是由与任意平行于y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成．画法：①描点法：根据函数解析式和定义域，求出x，y的一些对应值并列表，以(x，y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x，y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来．②图像变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换作用：直观地看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路；提高解题的速度；发现解题中的错误．4．区间的概念区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间；区间的数轴表示．5．映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，记作“f：A→B”．给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B，且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫作元素a的像，元素a叫作元素b的原像．说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，(1)集合A、B及对应法则f是确定的；(2)对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；(3)对于映射f：A→B来说，则应满足：①集合A中的每一个元素，在集合B中都有像，并且像是唯一的；②集合A中不同的元素，在集合B中对应的像可以是同一个；③不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原像．6．函数表示法函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图像的依据；解析法：必须注明函数的定义域；图像法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．解析法便于算出函数值；列表法便于查出函数值；图像法便于量出函数值．分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数，在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．复合函数：如果y＝f(u)(u∈M)，u＝g(x)(x∈A)，则y＝f[g(x)]＝F(x)(x∈A)称为f，g的复合函数．7．函数单调性增函数：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．区间D 称为y＝f(x)的单调增区间．如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．区间D称为y＝f(x)的单调减区间．注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)．图像的特点：如果函数y＝f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图像从左到右是上升的，减函数的图像从左到右是下降的．函数单调区间与单调性的判定方法：定义法，任取x1，x2∈D，且x1＜x2；作差f(x1)－f(x2)；变形(通常是因式分解和配方)；定号〔即判断差f(x1)－f(x2)的正负〕；下结论〔指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性〕．图像法(从图像上看升降)；复合函数的单调性，复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u＝g(x)，y＝f(u)的单调性密切相关，其规律如下：成其并集．8．函数的奇偶性偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫作偶函数．奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫作奇函数．注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．具有奇偶性的函数的图像的特征：偶函数的图像关于y轴对称；奇函数的图像关于原点对称．总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f(－x)与f(x)的关系；作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数．若对称再根据定义判定；有时判定f(－x)＝±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(－x)±f(x)＝0或f xf－x＝±1来判定，利用定理，或借助函数的图像判定．9．函数的解析表达式函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域．求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)．10．函数最大(小)值方法利用二次函数的性质(配方法)；利用图像；利用函数单调性；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在x ＝b处有最小值f(b)．(设计者：张新军)。

第二章函数概念与基本初等函数§2.1 映射、函数、反函数一、知识导学1.映射：一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.(包括集合A、B及A到B的对应法则)2.函数：设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记作=.()y f x其中所有的输入值x组成的集合A称为函数()=定义域.y f x对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.3.反函数：一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y). 我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x) 反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.二、疑难知识导析1.对映射概念的认识(1)与是不同的，即与上有序的.或者说：映射是有方向的，(2) 输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.(3)集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.2.对函数概念的认识（1）对函数符号 ()f x 的理解知道 y=()f x 与 ()f x 的含义是一样的，它们都表示是 的函数，其中 是自变量，()f x 是函数值，连接的纽带是法则 .是单值对应.(2)注意定义中的集合 A ，B 都是非空的数集,而不能是其他集合；（3）函数的三种表示法：解析法，列表法，和图像法.3.对反函数概念的认识（1）函数y=()f x 只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x 对称.三、经典例题导讲[例1]设M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝,求（1）从M 到N 的映射种数；（2）从M 到N 的映射满足 f (a)>f (b)≥f(c),试确定这样的映射f 的种数.错解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有 2200220,2,2,2,0,2222220a a a a a a b b b b b b c c c c c c →-→-→→→→⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪→→→→-→→-⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪→→→-→→-→⎩⎩⎩⎩⎩⎩，共6个映射(2)由（1）得满足条件的映射仅有202a b c →⎧⎪→⎨⎪→-⎩一种情况错因：没有找全满足条件的映射个数，关健是对概念认识不清正解：（1）由于M ＝｛a ，b ，c ｝，N ＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有 一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个0222,2,2,0,0,2220a a a a b b b b c c c c →→→→⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪→-→-→→⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪→-→-→-→⎩⎩⎩⎩[例2]已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域错解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤，112x ∴≤+≤ ∴(1)f x +的定义域是[1，2]错因：对函数定义域理解不透，不明白()f x 与(())f u x 定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：()f x 中x 取值的范围与(())f u x 中式子()u x 的取值范围一致就好了.正解：由于函数()f x 的定义域为[0，1]，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是[－1，0][例3]已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f . 错解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(2)(2)53f x x x +=+-=- 故5(6)()3(6)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，∴(3)f ＝3－3＝0.错因：没有理解分段函数的意义，(3)f 的自变量是3，应代入(2)f x +中去，而不是代入x －5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解.正解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(3)f ＝(32)(5)f f +=＝(52)(7)f f +=＝7-5＝2[例4]已知()f x 的反函数是1()f x -，如果()f x 与1()f x -的图像有交点，那么交点必在直线y x =上，判断此命题是否正确？错解：正确错因：对互为反函数的图像关于直线y x =对称这一性质理解不深，比如函数1161()log 16x y y x ==与的图像的交点中，点1111(,),2442（，）不在直线y x =上，由此可以说明“两互为反函数图像的交点必在直线y x =上”是不正确的.[例5]求函数2()46y f x x x ==-+，[1,5)x ∈的值域.错解：22(1)14163,(5)545611f f =-⨯+==-⨯+=Q又[1,5)x ∈，()f x ∴的值域是[)311，错因:对函数定义中，输入定义域中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应，错误地理解为x 的两端点时函数值就是y 的取值范围了.正解：配方，得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+∵[1,5)x ∈，对称轴是2x =∴当2x =时，函数取最小值为(2)f =2， ()(5)11f x f <=()f x ∴的值域是[)211，[例6]已知()34f x x =+，求函数1(1)f x -+的解析式.错解：由已知得(1)3(1)437f x x x +=++=+37,y x ∴=+即73y x -=，∴1(1)f x -+=73x -错因：将函数1(1)f x -+错误地认为是(1)f x +的反函数，是由于对函数表达式理解不透彻所致，实际上(1)f x +与1(1)fx -+并不是互为反函数，一般地应该由()f x 先求1()f x -，再去得到1(1)f x -+.正解：因为()34f x x =+的反函数为1()fx -＝43x -， 所以1(1)f x -+＝(1)4333x x +--=＝113x - [例7]根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()f x 是二次函数，若(0)0,(1)()1f f x f x x =+=++，求()f x .（2）已知1)f x +=+()f x（3）若()f x 满足1()2(),f x f ax x +=求()f x解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设()f x ＝2(0)ax bx c a ++≠由于(0)0f =得2()f x ax bx =+，又由(1)()1f x f x x +=++，∴22(1)(1)1a x b x ax bx x +++=+++即 22(2)(1)1ax a b x a b ax b x ++++=+++ 211021a b b a a b a b +=+⎧⎪∴≠∴==⎨⎪+=⎩ 因此：()f x ＝21122x x + (2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设22()(1)2(1)1(1)f u u u u u ∴=-+-=-≥∴()f x ＝21x - （1x ≥） （3）由于()f x 为抽象函数，可以用消参法求解用1x 代x 可得：11()2(),f f x a x x+=1(0),1(1)u x u u =+≥=-≥与1()2()f x f ax x+= 联列可消去1()f x 得：()f x ＝233a ax x -. 点评：求函数解析式（1）若已知函数()f x 的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]f g x 表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.[例8] 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值. 分析：要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,29)3(21)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值.解 由 x y x 62322=+得.20,0323,0.3232222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x x y Θ 又,29)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.429)32(212=+-- 点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由 x y x 62322=+得 ,32322x x y +-= ,29)3(2132322222+--=+-=+∴x x x x y x ∴当3=x 时，22y x +取最大值，最大值为29 这种解法由于忽略了02≥y 这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..[例9]设()f x 是R 上的函数，且满足(0)1,f =并且对任意的实数,x y 都有 ()()(21)f x y f x y x y -=--+，求()f x 的表达式.解法一：由(0)1,f =()()(21)f x y f x y x y -=--+，设x y =， 得(0)()(21)f f x x x x =--+，所以()f x ＝21x x ++解法二：令0x =，得(0)(0)(1)f y f y y -=--+即()1(1)f y y y -=--+又将y -用x 代换到上式中得()f x ＝21x x ++点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.四、典型习题导练1. 已知函数f(x)，x ∈F ，那么集合{(x ，y)|y=f(x)，x ∈F}∩{(x ，y)|x=1｝中所含元素的个数是（ ）A.0B.1C.0或1D.1或22.对函数b ax x x f ++=23)(作代换x =g(t)，则总不改变f (x )值域的代换是( ) A.t t g 21log )(= B .t t g )21()(= C.g(t)=(t －1)2 D.g(t)=cost3.方程f (x ,y)=0的曲线如图所示，那么方程f (2－x ,y)=0的曲线是 ( )4.（06年高考全国II ）函数f (x )＝∑i ＝119|x －n |的最小值为A ．190 B.171 C.90 D.455. 若函数f (x )=34-x mx (x ≠43)在定义域内恒有f ［f (x )］=x ,则m 等于( ) A.3B.23C.－23 D.－3 6.已知函数()f x 满足：()()()f a b f a f b +=⋅，(1)2f =，则2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f f f f f +++++++= .7.已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(12x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式.8.已知函数()f x 是函数21101x y =-+（∈x R ）的反函数，函数()g x 的图像与函数431x y x -=-的图像关于直线y ＝x －1成轴对称图形，记()F x ＝()f x +()g x .（1）求函数F （x ）的解析式及定义域；（2）试问在函数F （x ）的图像上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由.A B C D§2.2函数的性质一、知识导学1.函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数()=的定义域为I，如果定义域I内y f x某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（2）减函数：一般地，设函数()=的定义域为I，如果定义域I内y f x某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.2.函数的奇偶性：（1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.3.函数的图像：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图像.二、疑难知识导析1. 对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.3. 用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的.三、经典例题导讲[例1]判断函数1()3x y -=的单调性.错解：1101,()33x y -<<∴=Q 是减函数 错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为3xy =，从而可判断出其单调性.正解： 令t x =-，则该函数在R 上是减函数，又1101,()33ty <<∴=Q 在R 上是减函数，∴ 1()3x y -=是增函数[例2]判断函数()(1f x x =+.错解：∵()(1f x x =+=∴()()f x f x -===∴()(1f x x =+是偶函数 错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：()(1f x x =+有意义时必须满足10111xx x-≥⇒-<≤+ 即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数[例3] 判断2()log (f x x =+的奇偶性.错解：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f∴)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠- 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立. 正解：方法一：∵)1(log )1)((log )(2222++-=+-+-=-x x x x x f＝11log 22++x x ＝)1(log 22++-x x ＝－)(x f∴)(x f 是奇函数方法二：∵)1(log )1(log )()(2222++-+++=-+x x x x x f x f＝01log )1()1[(log 2222==++-⋅++x x x x)()(x f x f -=- ∴)(x f 是奇函数[例4]函数y=245x x --的单调增区间是_________.错解：因为函数2()54g x x x =--的对称轴是2x =-，图像是抛物线，开口向下，由图可知2()54g x x x =--在(,2]-∞-上是增函数，所以y=245x x --的增区间是(,2]-∞-错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误.正解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]--[例5] 已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.错解：∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)= f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0解得x>2或x<－3又f(x)是定义在(－3，3)上的函数，所以2＜x＜3错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域.正解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-6663333332xxxx得,故0<x<6,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－3>3－x2,即x2+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<6,即A={x|2<x<6},[例6] 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)|lg|10xy=.分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，当x＜2时，即x-2＜0时，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥--=)2(49)21()2(49)21(22xxxxy这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图) (2)当x ≥1时，lgx ≥0，y =10lgx=x ；当0＜x ＜1时，lgx ＜0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图) 点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x ，y 的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像. [例7]若f(x)=21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数，求a 的取值范围 解：设12121212112,()()22ax ax x x f x f x x x ++-<<-=-++ 12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2)(2)(2)(22)(22)(2)(2)22(21)()(2)(2)(2)(2)ax x ax x x x ax x ax x ax x ax x x x ax x ax x a x x x x x x ++-++=+++++-+++=++--+--==++++由f (x )=21++x ax 在区间（－2，＋∞）上是增函数得 12()()0f x f x -<210a ∴-> ∴a ＞21点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉. [例8] 已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减 解：证明：(1)由f (x )+f (y )=f (xyyx ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21xxx --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数. (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)＋f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴21121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1).∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(－1，1)上为减函数.点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是解题的焦点.四、典型习题导练1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )2. （05年高考重庆卷） 若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在 ]0,(-∞上是减函数，且(2)0f = ，则使得x x f 的0)(<的取值范围是 （ ）A.)2,(-∞B. ),2(+∞ C . ),2()2,(+∞--∞Y D.（－2，2）3. （05年高考江西卷）若函数)2(log )(22a x x x f n ++=是奇函数，则a = .4. （05年高考辽宁卷）已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x a λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）A.0<λB.0=λC.10<<λD.1≥λ.5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()f x ＝3(1)x x +，求()f x .6. 已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0.(1)求证：f (x )是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.7.已知函数y =f (x )=cbx ax ++12 (a ,b ,c ∈R,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)<25.(1)试求函数f (x )的解析式；(2)问函数f (x )图像上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.§2.3 基本初等函数一、知识导学1. 二次函数的概念、图像和性质.（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式2()(0)f x ax bx ca =++≠二次函数的顶点式2()()(0)f x a x m n a =-+≠和 二次函数的坐标式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解.①2()(0)f x ax bx c a =++≠，当240b ac ∆=->时图像与x 轴有两个交点.M （x 1,0）N(x 2,0),|MN|=| x 1- x 2|=||a . ② 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.2.指数函数xy a =(0,1)a a >≠和对数函数log a y x =(0,1)a a >≠的概念和性质.（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：①m n m n a a a +⋅=；②()m nmna a=；③()n n nab a b =（这时m,n 是有理数）对数的概念及其运算性质、换底公式.log ()log log ;log log log a a a aa a MM N M N M N N⋅=+=-1log log ;log log n a a a a M n M M n ==； log log log c a cb b a = （2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.①指数函数图像永远在x 轴上方，当a ＞1时，图像越接近y 轴，底数a 越大；当0<a<1时，图像越接近y 轴，底数a 越小.②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a 的讨论.③当a>1时，图像越接近x 轴，底数a 越大; 当0<a<1时，图像越接近x 轴，底数a 越小.3.幂函数y x α=的概念、图像和性质.结合函数y=x,y=x 2 ,y=x 3,y=12,y x y x--==,y=12x 的图像，了解它们的变化情况.①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别.②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限内，图像向上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴.③当x>1时，指数大的图像在上方. 二、疑难知识导析1.二次函数在区间上最值的求解要注意利用二次函数在该区间上的图像.二次函数的对称轴与区间的位置通常有三种情况：（1）定义域区间在对称轴的右侧；（2）定义域区间在对称轴的左侧；（3）对称轴的位置在定义域区间内2.幂的运算性质、对数的运算性质的运用，要注意公式正确使用.会用语言准确叙述这些运算性质防止出现下列错误： （1＝a ， （2）log ()log log ;log ()log log a a a a a a M N M N M N M N+=+⋅=⋅3.利用指数函数的性质解题，一定要注意底数的取值.4.函数()f x y a =的研究方法一般是先研究()f x 的性质，再由a 的情况讨论()f x y a=的性质.5.对数函数log a y x =(0,1)a a >≠与指数函数xy a =(0,1)a a >≠互为反函数，会将指数式与对数式相互转化.6.幂函数y x α=的性质，要注意α的取值变化对函数性质的影响.（1）当奇奇=α时，幂函数是奇函数；（2）当奇偶=α时，幂函数是偶函数；（3）当偶奇=α时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.三、经典例题导讲[例1]已知18log 9,185,ba ==求36log 45错解：∵185,b=∴18log 5b =∴1818183618181818log 45log 5log 9log 45log 36log 4log 9log 4b aa++===++错因：因对性质不熟而导致题目没解完. 正解：∵185,b=∴18log 5b =∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b a b a b aa a a++++=====+-++[例2]分析方程2()0f x ax bx c =++=（0a >）的两个根都大于1的充要条件.错解：由于方程2()0f x ax bx c =++=（0a >）对应的二次函数为2()f x ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标都大于1即可.故需满足(1)012f b a >⎧⎪⎨->⎪⎩，所以充要条件是(1)012f b a>⎧⎪⎨->⎪⎩错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x 轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x 轴有交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.正解：充要条件是2(1)01240f b ab ac >⎧⎪⎪->⎨⎪⎪∆=-≥⎩ [例3]求函数361265xxy =-⋅-的单调区间.错解：令6x t =，则361265xxy =-⋅-＝2125t t -⋅-∴当t ≥6,即x ≥1时，y 为关于t 的增函数，当t ≤6,即x ≤1时，y 为关于t 的减函数∴函数361265xxy =-⋅-的单调递减区间是(,6]-∞，单调递增区间为[6,)+∞错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围. 正解：令6x t =，则6x t =为增函数，361265x x y =-⋅-＝2125t t -⋅-＝2(6)41t --∴当t ≥6,即x ≥1时，y 为关于t 的增函数， 当t ≤6,即x ≤1时，y 为关于t 的减函数∴函数361265xxy =-⋅-的单调递减区间是(,1]-∞，单调递增区间为[1,)+∞[例4]已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 错解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.正解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2 综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2 [例5]已知函数()log (3)a f x ax =-.（1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围.（2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 分析：函数()f x 为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明. 解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠ 显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，32） (2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1 ∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =- 当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在.点评：本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.[例6]已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a ax x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义，求实数a 的取值范围. 分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其它变元(x )的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.解：14212+-⋅++a a a x x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0, ∴ 1+2x +4x ·a >0, a >)2141(x x +-, 当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21都是减函数，∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43,∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－43, +∞).点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数y =)2141(xx +-的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a 的取值范围.此法也叫主元法. [例7]若1133(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围.解：∵幂函数13y x-=有两个单调区间，∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10320.132a a a a+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨->⎩③ 解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1 ∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）点评：幂函数13y x-=有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为132a a +>-，从而导致解题错误. [例8] 已知a>0 且a ≠1 ,f (log a x ) =12-a a (x －x 1) (1)求f(x)；(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m 2 ) < 0 ,求m 的集合M .分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问. 解：(1)令t=log a x(t ∈R)，则).(),(1)(),(1)(,22R x a a a a x f a a a a t f a x xx t t t ∈--=∴--==-- ,101,.)(,10,)(,01,1.)(,),()(1)()2(22<<><<-=>->∴∈-=--=---a a x f a a a x u a a a x f R x x f a a a a x f x x x x 或无论综上为增函数类似可判断时当为增函数时当为奇函数且Θf(x)在R 上都是增函数.)1,1().1()1(,)(,0)1()1()3(22-∈-<-∴<-+-x m f m f R x f m f m f ΘΘ又上是增函数是奇函数且在.211111111122<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-∴m m m m m 点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f （x ）的表达式可求出m 的取值范围，请同学们细心体会. 四、典型习题导练 1. 函数bx a x f -=)(的图像如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A.0,1<>b aB.0,1>>b aC.0,10><<b aD.0,10<<<b a（05年高考福建试题）2、已知2lg(x －2y)=lgx+lgy,则y x 的值为（ ）A.1B.4C.1或4D.4 或83、方程2)1(log 2=++x x a (0<a<1)的解的个数为（ ）A.0B.1C.2D.34、函数f(x)与g(x)=(21)x的图像关于直线y=x 对称,则f(4－x 2)的单调递增区间是( ）A.[)+∞,0B.(]0,∞-C.[)2,0D.(]0,2-5、图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 可取±2，±12四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n 依次为( ) A.－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2C. －12，－2,2，12D. 2，12，－2, －126. 求函数y = log 2 (x 2 －5x+6) 的定义域、值域、单调区间.7.若x满足3log 14)(log 24221≤+-x x ,求f(x)=2log 2log 22xx 最大值和最小值. 8.已知定义在R 上的函数()2,2x x af x =+a 为常数 （1）如果()f x ＝()f x -，求a 的值；（2）当()f x 满足（1）时，用单调性定义讨论()f x 的单调性.§2.4 函数与方程一、知识导学1.函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数()y f x =（x D ∈）我们称方程()0f x =的实数根x 也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 求综合方程f (x )=g (x )的根或根的个数就是求函数()()y f x g x =-的零点.2.函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数()y f x =（x D ∈）的图像与x 轴交点的横坐标就是()0f x =的根.综合方程f (x )=g (x )的根，就是求函数y ＝f (x )与y =g (x )的图像的交点或交点个数，或求方程()()y f x g x =-的图像与x 轴交点的横坐标. 3.判断一个函数是否有零点的方法：如果函数()y f x =在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）上至少有一个零点，即至少存在一个数(,)c a b ∈使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助()y f x =图像判断解的个数，或者把()f x 写成()()g x h x -，然后借助()y g x =、()y h x =的图像的交点去判断函数()f x 的零点情况.4. 二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：二次函数2y ax bx c =++的零点，就是二次方程20ax bx c ++=的根，也是二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴交点的横坐标.5. 二分法：对于区间[a,b]上的连续不断，且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二、疑难知识导析1.关于函数()()y f x g x =-的零点，就是方程()()f x g x =的实数根，也就是()y f x =与函数()y g x =图像的交点的横坐标. 要深刻理解，解题中灵活运用.2.如果二次函数2()y f x ax bx c ==++，在闭区间[m,n]上满足()()0f m f n ⋅<，那么方程20ax bx c ++=在区间（m,n ）上有唯一解，即存在唯一的1(,)x m n ∈，使1()0f x =，方程20ax bx c ++=另一解2(,)(,)x m n ∈-∞⋃+∞.3. 二次方程20ax bx c ++=的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方程()f x ＝20ax bx c ++=的根都在区间(,)m n 时应满足：02()0()0b m n af m f n ∆≥⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩ 4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是 （1）取一个区间（,a b ）使()()0f a f b ⋅<。

2019-2020学年高中数学《2.1.3 映射与函数》教案 新人教B 版必修1【预习】教材第34～37页，了解： 1、映射的定义。

2、区间的概念。

第二部分 走进课堂【复 习】1、初中函数的定义2、高中函数的定义。

【探索新知】一、映射的定义 例子：1、{}是平面内三角形x x A |=，{}是平面内的圆x x |B= :f 画三角形的外接圆。

2、{}是平面内三角形x x A |=，R =B:f 求三角形的面积。

3、{}是平面内的点P P A |=，{}R y R x y x ∈∈=,|)B ，（ :f 在平面直角坐标系下找点P 的坐标。

4、{}是我们班级内的学生x x A |= {}是我们班级内的椅子x x |B = :f 每位同学坐一把椅子。

下列例子是映射吗？B f:取倒数 （1） （2）f:开平方 Bf:平方Bf:乘2f:平方B二、区间的概念请在下列空白处填写集合的区间表示。

①{}b x a x <<|__________ ②{}b x a x ≤≤|___________③{}b x a x <≤|__________ ④{}b x a x ≤<|__________⑤{}a x x >| __________ ⑥{}a x x ≥| ____________ ⑦{}a x x <| __________ ⑧{}a x x ≤| _____________ 三、注意)(a f 的意义例1、已知253)(2+-=x x x f ，求)3(f ，)2(-f ，)1(+a f例2、已知18)(+=x x f ，x x x g +=2)(求))((x g f ，)2)((+x g f ，))((x f g ，)20)3((-f g例3、已知)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧+--10122x x 000<=>x x x ，求)1)1((-f f , )3)2((+-f f例4、已知⎩⎨⎧++=)1(12)(x f x x f 11<≥x x ，求)2(-f例5、已知19)(+=x x f ，2)(x x g =，)2)(())((-=x f g x g f ，求x例6、已知⎩⎨⎧-=2)1(2)(x xx f 11<≥x x（1）若4)(0=x f ，求0x（2）若4)(0≥x f ，求0x 的取值范围。

2.3 映射的概念课堂导学三点剖析一、映射的概念【例1】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射?(1)设A={矩形},B={实数},对应法则f为矩形到它的面积的对应;(2)设A={实数},B={正实数},对应法则f为x→|1x|;(3)设A={α|0°≤α≤180°},P={x|0<x<1},对应法则f为求余弦;(4)设A={(x,y)|x∈Z,|x|<2,y∈N*,x+y<3},B={0,1,2},对应关系为f:(x,y)→x+y.解析:(1)这个对应是A到B的映射.因为它是单值对应.不过负实数在A中没有元素和它对应.(2)不是映射.因为当x=0时,集合B中没有元素与之对应.(3)不是映射.因为当α=180°或α为钝角时,B中没有元素和它们对应.(4)应先明确集合A.∵x∈Z且|x|<2,∴x∈{-1,0,1}.又∵y∈N*且x+y<3,∴A={(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,1),(0,2),(1,1)}.∵f:(x,y)→x+y,∴A中每个元素都在B={0,1,2}中能找到唯一的元素与之对应.∴f:(x,y)→x+y是从A到B的映射.温馨提示根据映射的定义,映射应满足存在性(即集合A中每一个元素在集合B中都有对应元素)和唯一性(即集合A中的每一个元素在集合B中只有唯一的元素与之对应).在所有对应关系中一对一、多对一都是映射,但一对多不是映射.二、映射概念的应用【例2】(1)已知集合A=R,B={(x,y)|x、y∈R},f:A→B是从A到B的映射f:x→(x+1,x2+1),则2在B中的对应元素为___________,( 35, )在A中的对应元素是____________. 24(2)已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a}且a∈N,k∈N,x∈A,y∈B,映射f:A→B,使B中元素y=3x+1和A中元素x对应,求a及k的值.解析:(1)将x= 2代入对应关系,可求得其在B中的对应元素为( 2+1,3).3x 1,2由5x124,得x=12,即( 32,54)在A中的对应元素为12.(2)∵B中元素y=3x+1和A中元素x对应,∴A中元素1的象是4;2的象是7;3的象是10,1即a4=10或a2+3a=10. ∵a∈N,∴由a2+3a=10,得a=2.∵k的象是a4,∴3k+1=16,得k=5.答案:（1）( 3+1,3) 温馨提示12（2）a=2,k=5根据映射的定义,结合题中所给的对应关系,明确A中的每一个元素所对应的元素.有时需列方程(或方程组)求解.三、两集合的对应关系的应用【例3】已知A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A→B满足f(a)+f(b)=f(c),求映射f:A→B的个数.思路分析:紧紧抓住映射f满足的条件f(a)+f(b)=f(c).由于符合条件的映射有多种类型.需进行分类讨论.可以就集合B中的有原象的元素个数进行分类讨论，也可以就f(c)的情况进行分类讨论.解:(1)当A中三个元素都是对应0时,则f(a)+f(b)=0+0=0=f(c),有一个映射.(2)当A中三个元素对应B中两个元素时,满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个,分别为1+0=1,0+1=1,(-1)+0=-1,0+(-1)=-1.(3)当A中的三个元素对应B中的三个元素时,有两个映射,分别是(-1)+1=0,1+(-1)=0.因此满足题设条件的映射有7个.温馨提示此题也可以这样进行分类讨论.(1)f(c)=-1.则有f(a)=-1,f(b)=0和f(a)=0，f(b)=-1两种.(2)f(c)=0，则有f(a)=f(b)=0和f(a)=-1，f(b)=1及f(a)=1,f(b)=-1三种.(3)f(c)=1与（1）相似有两种.因此共有7种不同的映射.各个击破类题演练 1下列对应是否是A到B的映射？是否是A到B的函数？1（1）A=R，B=R，f:x→y= ;x11（2）A={a|a=n,n∈N*},B={b|b= ,n∈N*},f:a→b= ;n a（3）A={x|x≥0,x∈R},B=R，f:x→y,y2=x;（4）A={平面M内的矩形}，B={平面M内的圆}，f:作矩形的外接圆.解析：（1）当x=0时，y值不存在，∴不是映射，也不是函数；（2）是映射，也是函数；（3）不是映射，因为是一对多的对应，也就不是函数；（4）是映射；因A、B不是数集，∴不是函数.变式提升 1 指出以下各对应，哪些是映射，哪些不是映射？为什么？（1）已知A={平面上的圆}，B={平面上的四边形}，从A到B的对应法则是：作圆的内接四边2形.(2)已知 A=Z ，B=Q ，从 A 到 B 的对应法则是 f:y=2x . (3)已知 A=N ，B=N ，从 A 到 B 的对应法则是 f:y=|x-3|. (4)已知 A=R ，B=R，从 A 到 B 的对应法则是 f:y=x2.解析：（1）不是映射.因为圆内接四边形不唯一确定，即集合 A 的圆在集合 B 中对应的四边形 不止一个. (2)是映射. （3）是映射. （4）是映射. 温馨提示要紧扣映射的定义，只要集合 A 中任一元素在集合 B 中有唯一元素对应，就可叫做映射. 如果 A 中有两个或两个以上的元素对应 B 中同一元素（如（4））， 或 B 中尚有一些元素在 A 中 没有原象（如（2）），也是映射所允许的. 类题演练 2已知（x,y ）在映射 f 下的象是(x+y,x-y)，求象（1，2）在 f 下的原象.x解析：由题意得 xy y 1, 2,xy3 2 , 1 2, ∴象（1，2）的原象是（ 变式提升 23 2 ，- 1 2）.已知(x,y)在映射 f 作用下的象是（x+y,xy ）. （1）求（-2，3）在 f 作用下的象；（2）若在 f 作用下的象是(2，-3)，求它的原象. 解析：（1）∵x=-2,y=3,∴x+y=-2+3=1, xy=(-2)×3=-6.∴(-2,3)在 f 作用下的象是（1，-6）.yx 2,（2）∵解这个方程组得xy3.x 1y13, x 2 21, y1,3.∴(2,-3)在 f 作用下的原象是（3，-1）和（-1，3）. 类题演练 3设 M={a,b,c}，N={-2，0，2}.从 M 到 N 的映射满足 f(a)＞f(b)≥f(c)，试确定这样的映射 f 的个数.解析：∵f(a)＞f(b)≥f(c)，可通过列表法求解:f(a) f(b) f(c)0 -2 -22 -2 -232 0 -22 0 0故符合条件的映射f有4个.变式提升 3设集合M={-1,0,1},N={2,3,4,5,6},映射f:M→N,对任意x∈M都有x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f的个数为（）A.24B.27C.50D.125解析：从M→N建立映射，分3步：第一步给元素找象，并非是N中5个元素都行，还要满足x+f(x)+xf(x)为奇数这个条件. 当x=0时，x+f(x)+xf(x)=f(x)为奇数，f(x)需为奇数，所以只能对应N中3和5两种情况.而当x=-1时，x+f(x)+xf(x)=x,∴当x=-1时，在N中五个元素都可作为“-1”的象.同样，当x=1时，也有5种情况,可建立5×2×5=50个映射.故选C.答案：C4。

课题：2.1.3 函数－映射教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法（2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.（3）会结合简单的图示，了解一一映射的概念教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就属于集合的要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节，映射是是两个集合的元素A”“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，可以逐渐加深对映射概念的理解，例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都教学过程：一、复习引入：在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应函数的概念本节我们将学习一种特殊的对应—映射.二、讲解新课：看下面的例子：设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A 中的任何一个元素，在右边集合B映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 记作：B A f →:象、原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）①“A 到B ”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射,A 到B 是求平方，B 到A 则是开平方，因此映射是有序的；②“任一”：就是说对集合A 中任何一个元素，集合B 中都有元素和它对应，这是映射的存在性；③“唯一”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；④“在集合B 中”：也就是说A 中元素的象必在集合B 中，这是映射的封闭性.指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A 到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3思考：（1）为什么不是集合A 到集合B 的映射？回答：对于（1），在集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A 到集合B 的映射思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象；求平方B B④唯一性：映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素，不要求B 中的每一个元素都有原象，即A 中元素的象集是B 的子集.映射三要素：集合A 、B 以及对应法则f ，缺一不可；三、例题讲解例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？(是) （不是） （是）例2下列各组映射是否同一映射？例3判断下列两个对应是否是集合A 到集合B 的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:+→x x f（2）设}1,0{,*==B N A ，对应法则得的余数除以2:x x f →（3）N A =，}2,1,0{=B ，除所得的余数被3:x x f →（4）设}41,31,21,1{},4,3,2,1{==Y X 取倒数x x f →:（5）N B N x x x A =∈>=},,2|{，的最大质数小于x x f →:四、练习：1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A 中的元素x 按照对应法则“乘2加1”和集合B 中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）2．设A=N*，B={0，1}，集合A 中的元素x 按照对应法则“x 除以2得的余数”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A 中没有象））3．A=Z ，B=N*，集合A 中的元素x 按照对应法则“求绝对值”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A 中的元素x 按照对应法则“f ：a τ b=(a -1)2”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）5．在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法哪一个是正确的？（A ）B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个（B ）A 中的某一个元素a 的象可能不止一个（C ）A 中的两个不同元素所对应的象必不相同（D ）B 中的两个不同元素的原象可能相同6．下面哪一个说法正确？（A ）对于任意两个集合A 与B ，都可以建立一个从集合A 到集合B 的映射（B ）对于两个无限集合A 与B ，一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射（C ）如果集合A 中只有一个元素，B 为任一非空集合，那么从集合A 到集合B 只能建立一个映射（D ）如果集合B 只有一个元素，A 为任一非空集合，则从集合A 到集合B 只能建立一个映射7．集合A=N ，B={m|m=1212+-n n ,n ∈N},f:x →y=1212+-x x ，x ∈A ，y ∈B.请计算在f 作用下，象119，1311的原象分别是多少.( 5，6.) 分析：求象119的原象只需解方程1212+-x x =119求出x 即可.同理可求1311的原象. 五、小结 本节课学习了以下内容：对应、映射概念，特征、要素六、课后作业：课本第52页习题2.1：7，8七、板书设计（略）八、课后记：。

2.3 映射的概念课标知识与能力目标1.理解映射的概念2. 学会判断什么是映射3. 运用映射解决问题知识点1：映射1.概念：一般地，设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射．记作：f：A→B.2.规律方法：判断f：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：(1)明确集合A、B中的元素；(2)判断A中的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．即映射须满足：A 中元素不剩且一对一或多对一．考点1：映射的判定例1 在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求平方的倒数”．例2 下面各图表示的对应构成映射的有________．例3 下列集合A 到集合B 的对应中，哪些是A 到B 的映射？(1)A ＝N ，B ＝Z ，f ：x →x ；(2)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →1x； (3)A ＝N *，B ＝{0,1,2}，f ：除以3得的余数；(4)A ＝{－4，－1,1,4}，B ＝{－2，－1,1,2}，f ：x →x 12.考点2：确定映射中的对应元素例1 已知映射A →B 的对应法则f ：x →2x ＋1，则B 中元素3在A 中的与之对应的元素是________．例2 把题设中“f ：x →2x ＋1”换成“f ：(x ，y )→(x ＋y ，xy )”则A 中元素(3,2)在B 中与之对应的元素是________．考点3：映射的个数问题例1 设M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－2,0,2}，(1)求从M 到N 的映射个数；(2)从M 到N 的映射满足f (a )>f (b )≥f (c )，试确定这样的映射f 的个数．例2 集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－1,0,1}，由M 到N 的映射f 满足条件f (a )＋f (b )＝f (c )，求这样的映射有几个．。

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高一数学教案《函数概念》1教学目标：使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法;使学生理解静与动的辩证关系.教学重点：函数的概念，函数定义域的求法.教学难点：函数概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入[师]在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的?(几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述).设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.[师]我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：问题一：y=1(xR)是函数吗?问题二：y=x与y=x2x 是同一个函数吗?(学生思考，很难回答)[师]显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念(板书课题).Ⅱ.讲授新课[师]下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.在(1)中，对应关系是乘2，即对于集合A中的每一个数n，集合B 中都有一个数2n和它对应.在(2)中，对应关系是求平方，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.在(3)中，对应关系是求倒数，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 1x 和它对应.请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢?[生]一对一、二对一、一对一.[师]这3个对应的共同特点是什么呢?[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.[师]生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的. 实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.现在我们把函数的概念进一步叙述如下：(板书)设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{y|y=f(x)，xA}叫函数的值域.一次函数f(x)=ax+b(a0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)=ax+b(a0)和它对应.反比例函数f(x)=kx (k0)的定义域是A={x|x0}，值域是B={f(x)|f(x)0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)= kx (k0)和它对应.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的定义域是R，值域是当a0时B={f(x)|f(x)4ac-b24a };当a0时，B={f(x)|f(x)4ac-b24a }，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)=ax2+bx+c(a0)对应.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.y=1(xR)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系函数值是1，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.Y=x与y=x2x 不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y=x的定义域是R，而y=x2x 的定义域是{x|x0}. 所以y=x与y=x2x 不是同一个函数.[师]理解函数的定义，我们应该注意些什么呢?(教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结)注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.②符号f:AB表示A到B的一个函数，它有三个要素;定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.[师]在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x) 、F(x)、G(x)等符号来表示Ⅲ.例题分析[例1]求下列函数的定义域.(1)f(x)=1x-2 (2)f(x)=3x+2 (3)f(x)=x+1 +12-x分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.解：(1)x-20，即x2时，1x-2 有意义这个函数的定义域是{x|x2}(2)3x+20，即x-23 时3x+2 有意义函数y=3x+2 的定义域是[-23 ，+)(3) x+10 x2这个函数的定义域是{x|x{x|x2}=[-1，2)(2，+).注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数定义域为x0而不是全体实数.由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.[师]自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)=x2+3x+1，当x=2时的函数值是f(2)=22+32+1=11注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值.下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢?[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数(或字母，或式子)进行计算即可.[师]回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢![生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同;不完全一致时，这两个函数就不同.[师]生乙的回答完整吗?[生]完整!(课本上就是如生乙所述那样写的).[师]大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么?[生]函数的定义.[师]函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢?(学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗?怎不看值域呢?)(无人回答)[师]同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!(生恍然大悟，我们怎么就没想到呢?)[例2]求下列函数的值域(1)y=1-2x (xR) (2)y=|x|-1 x{-2，-1，0，1，2}(3)y=x2+4x+3 (-31)分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.对于(1)(2)可用直接法根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即图象法.解：(1)yR(2)y{1，0，-1}(3)画出y=x2+4x+3(-31)的图象，如图所示，当x[-3，1]时，得y[-1，8]Ⅳ.课堂练习课本P24练习17.Ⅴ.课时小结本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.(本小结的内容可由学生自己来归纳) Ⅵ.课后作业课本P28，习题1、2. 文章来高一数学教案《函数概念》2教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：一、引入课题1.复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国xxxx年4月份非典疫情统计：日期222324252627282930新增确诊病例数10610589103113126981521013.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；4.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．二、新课教学（一）函数的'有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P20例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．巩固练习：课本P22第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P21例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

1.2.1函数的概念（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数的概念；体会随着数学的发展，函数的概念不断被精炼、深化、丰富.（2）初步了解函数的定义域、值域、对应法则的含义.2．过程与方法（1）回顾初中阶段函数的定义，通过实例深化函数的定义.（2）通过实例感知函数的定义域、值域，对应法则是构成函数的三要素，将抽象的概念通过实例具体化.3．情感、态度与价值观在函数概念深化的过程中，体会数学形成和发展的一般规律；由函数所揭示的因果关系，培养学生的辨证思想.（二）教学重点与难点重点：理解函数的概念；难点：理解函数符号y = f (x)的含义.（三）教学方法回顾旧知，通过分析探究实例，深化函数的概念；体会函数符号的含义. 在自我探索、合作交流中理解函数的概念；尝试自学辅导法.备选例题例1 函数y = f (x)表示（ C ）A．y等于f与x的乘积B．f (x)一定是解析式C．y是x的函数D．对于不同的x，y值也不同例2 下列四种说法中，不正确的是（ B ）A．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素例3 已知f (x) = x2 + 4x + 5，则f (2) = 2.7 ，f (–1) = 2 .例4 已知f (x) = x2 (x∈R)，表明的“对应关系”是平方，它是R → R 的函数.例5 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系如右图示，那么水瓶的形状是下图中的（ B ）【解析】取水深，注水量V′＞，即水深为一半时，实际注水量大小水瓶总水量的一半，A中V′＜，C、D中V′=，故排除A、C、D.。

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§2.3 映射一．三维目标：1．知识与技能：（1）了解映射的概念及表示方法;（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．2．过程与方法：(1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合;（2）通过实例进一步理解映射的概念；(3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．3．情态与价值：映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．二．教学重难点教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念三．学法与教学方法1．学法：通过丰富的实例,学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的教学目标；2．教学方法：探究交流法。

四．教学过程（一)创设情景,揭示课题复习初中常见的对应关系:1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应；2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(,x y）和它对应；3．对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应;4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5．函数的概念．(二)研探新知1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合"，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．2．先看几个例子，两个集合A 、B 的元素之间的一些对应关系： （1）开平方；（2）求正弦;(3)求平方；（4）乘以2． 归纳引出映射概念：一般地,设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f ：A →B ” 说明：(1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具体的对应法则,可以用多种形式表述． （2)“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个;二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思． (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维例1．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1)A=｛|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={|P P 是平面直角坐标中的点｝，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A=｛|x x 是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．思考：将(3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；(4)中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f ：B →A 是从集合B 到集合A 的映射吗？ 例2．在下图中，图(1)，（2),（3），（4）用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则,是不是映射？是不是函数关系？A 开平方B A 求正弦 B（1） （2）A 求平方B A 乘以2 B（3） （4)（四）巩固深化，反馈矫正1、画图表示集合A 到集合B 的对应（集合A,B 各取4个元素） 已知：(1）}}{{1,2,3,4,2,4,6,8A B ==,对应法则是“乘以2”； (2）A={|x x ＞}0，B=R,对应法则是“求算术平方根”；94 13 －3 2 －2 1 －1300 450 600 90012223211 －1 2－2 3－3 1 2 31 2 3 4 5 61 4 9（3）{}|0,A x x B R =≠=，对应法则是“求倒数"；（4){0|0A α=∠＜}}{090,|1,B x x α∠≤=≤对应法则是“求余弦”． 2．在下图中的映射中，A 中元素600的象是什么？B 中元素2的原象是什么？ A 求正弦 B（五）归纳小结提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射,你能归纳出几个“标准”呢？师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A 集合中的元素都要有象,但B 中元素未必要有原象；二条是A 中元素与B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式． （六)设置问题，留下悬念．1．由学生举出生活中两个有关映射的实例．2．已知f 是集合A 上的任一个映射，试问在值域f (A ）中的任一个元素的原象，是否都是唯一的？为什么？3．已知集合}{}{,,1,0,1,A a b B ==-从集合A 到集合B 的映射，试问能构造出多少映射？4. 设集合A=｛a,b ，c}，B=｛0，1} ，试问：从A 到B 的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。