函数
1、 函数的概念
定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。
两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。 已学函数的定义域和值域
一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R;
反比例函
x k
x f =
)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ;
二次函数
c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R ，值域：当
0>
a 时，⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<
a
时，⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2
2、 函数图象
定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。
常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x ²+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法
已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 分式中的分母不为零；
偶次根式下的数或式大于等于零；
实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定； 定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法
①观察法
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
②反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=√(－x ²+x+2)的值域。 练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法
通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。
例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) ²的值域。 ⑥换元法
以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法
例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数
设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域Df 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。
6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法
7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集.
分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法
①代入法
例1已知f(x)=x ²-1,求f(x+x ²) ②待定系数法
若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。
例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法
例3已知：1
1)11(2-=+x x f ，求
)(x f 。
④特殊值法
例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有
x
y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求
)0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。
⑤方程组法
例5已知：)
0(,31)(2≠=⎪⎭⎫
⎝⎛+x x x f x f ，求)(x f 。
1、求下列函数的定义域：
①
21
)(-=
x x f ；② 23)(+=
x x f ；③
x x x f -+
+=21
1)(
2、求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1
≤x ≤1) ②x x f -+
=42)(
③
1+=
x x
y ④
x x y 1+
= 3
函数⎪
⎩⎪
⎨⎧>+-≤<+≤+=1,51
0,30
,32x x x x x x y 的最大值是
。
4已知：x x x f 2)1(2
+=+，求)(x f 。
5若,)(2)1
(x x f x f =+求)(x f
6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．
