下载文档原格式
第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法从多自由度问题的精确解的求解过程可知，求振系的固有频率及主振型是一项必不可少的过程，当自由度较少时，可直接求固有频率及主振型，但当自由度较多时，关于固有频率的求解就很复杂，如一个16自由度的振动问题，仅为展开频率方程的行列式，就需要进行720次计算，当然这些计算可借助计算机解决，但关于固有频率的近似计算及其计算思想，在实际应用及理论研究中仍具有一定的意义。
本章主要介绍求固有频率的两种方法：矩阵迭代法及传递矩阵法。
6-1矩阵迭代法矩阵迭代法适合于自由度较多的复杂系统，该法可以同时计算出系统的固有频率和相应的主振型，当自由度很多，但只要计算出低阶的几个频率时，矩阵迭代法很为适用，其大量的计算可由计算机完成。
在第五章已经介绍过，多自由度无阻尼系统的振动微分方程有两种形式，一种是用刚度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求，[]{}[]{}{}02=-A M p A K或写成[]{}[]{}A M p A K 2= （6-1）另一种是用柔度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求出{}[][]{}{}012=-A M R A p 或写成{}[][]{}A M R A p=21（6-2） 用[]1-M 前乘（6-1）式，得[]1-M []{}{}A p A K 2= （6-3）方程（6-2）（6-3）可写成如下统一的形式[]{}{}A A D λ= (6-4)（6-4）式称为特征值问题的标准形式，即矩阵迭代法的基本迭代公式。
式中[]D 称为动力矩阵，λ则是矩阵[]D 的特征值，当[]D 是按刚度矩阵形成时，即[][][]K M D 1-=，则λ表示固有频率的平方，λ＝p 2，而当[]D 是按柔度矩阵形成时，即[][][]K R D =，则λ表示固有频率的平方的倒数，λ＝1/p 2。
显然，任一阶固有频率和主振型都是（6-4）式的精确解。
下面介绍从（6-4）式出发进行迭代的基本过程：1) 某个经过基准化了的初始迭代向量{}1A （所谓基准化就是选取迭代向量的某个分量为基准值1），现选取{}1A ，使其第一个元素A 1，1为基准值1，并作[]{}1AD =运算，运算得到一个新的列阵{}1B ，再将{}1B 基准化，即将新的列阵{}1B 中的各元素均除以B 1，1，可得[]{}{}{}21,111A B B A D ==2) 与{}2A ，如果{}1A ≠{}2A ，则重复上述步骤，以[]D 乘{}2A ，得[]{}{}{}32,122A B B A D ==3) 比{}2A 与{}3A ，如果{}3A ≠{}2A ，则继续重复上述步骤，以[]D 乘{}3A ，…，直到第k 次迭代[]{}{}{}1,1+==k k k k A B B A D ，当式中{}k A ＝{}1+k A 时停止，这时，特征值1λ＝B 1，k ，而相应的特征向量就等于{}k A 。
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题，缺点：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。
本章介绍邓克利法，瑞利法，里茨法，传递矩阵法等计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。
1、邓克利法由邓克利（Dunkerley ）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的，便于作为系统基频的计算公式 。
自由振动作用力方程：0KX XM =+ n R ∈X 左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：0X X FM =+ 定义D=FM 为系统的动力矩阵：0X XD =+ 作用力方程的特征值问题：φφM K 2ω= 位移方程的特征值问题：φφλ=D 特征值：22221n ωωω<<< ，n λλλ>>> 21 关系：2/1i i ωλ=位移方程的最大特征根：211/1ωλ=，对应着系统的第一阶固有频率。
位移方程的特征方程：0=-I D λ展开：0)()1(1111=++++---n n n nna a a λλλD tr d d d a nn -=+++-=)(22111例：022211211=--λλd d d d0)]()([)1(21122211221122=-++--d d d d d d λλ当 M 为对角阵时：)(FM D tr tr =∑==ni iii m f 1特征方程又可写为：0)())((21=---n λλλλλλ有：∑=-=ni i a 11λtrD -=∑=-=ni i ii m f 1∑∑===ni iii ni im f 11λ∑∑===ni i ii ni im f 1121ω如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：iii ii i m f m k 12==ω例：两自由度系统柔度矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=2111111111k k k k kF （1）只保留 m 1 时1111k f =，1121m k =ω（2）只保留 m 2 时122122111k k k f =+=，21222m k =ω将2i ω代入：22221121111nni iωωωω+++=∑=对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：22221211111nωωωω+++≈例：三自由度系统⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0002223101220010*********x x x k x x x m 采用常规方法，固有频率：m k /3730.01=ω，m k /3213.12=ω，m k /0286.23=ω邓克利法当 m1 单独存在时：m k /21=ω 当 m2 单独存在时：k k k k k k 21212112=+=，m k /1222=ω当 m3 单独存在时：kk k k k 251111321123=++=，52123k k =，mk 523=ω代入邓克利法公式：22221211111nωωωω+++≈，mk /3535.01=ω2、瑞利法瑞利法是基于能量原理的一种近似方法，可用于计算系统的基频，算出的近似值为实际基频的上限，配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围。
n 自由度保守系统：0KX XM =+ n R ∈X 主振动 ：)sin(ϕω+=t φX 动能与势能：XM X TT 21=，KX X TV 21=最大值：φφM TT 2max 21ω=，φφK TV 21max =maxmax V T =得2)(ω==φφφφφM K TTR 成为瑞利商。
对于第 i 阶模态：2)()()()()()(i i Ti i Ti i R ω==φφφφφM K当φ为一般向量时（不是实际模态），总能展开为 n 个正则模态的线性组合：)()2(2)1(1n NN NNa a a φφφ＋ ++==ϕφ∑==nj j Nja 1)(φaΦN =其中],,,[)()2()1(n N N N N φφφ =Φ，T n a a a ],,,[21 =a 代入瑞利商：aM ΦΦa a K ΦΦa N TN TN TN TR =)(ϕIaa Λa a TT =∑∑===nj jn j jjaa12122ω可以证明：21ω和 2n ω分别为瑞利商的极小值和极大值，即：221)(n R ωϕω≤≤ 分析：若将瑞利商右端分子内的所有j ω换为1ω，由于1ω是最低阶固有频率，因此：21121212)(ωωϕ=≥∑∑==nj j nj jaaR由瑞利商公式知，当)1(φ=ϕ确为第一阶模态时，有：21)(ωϕ=R 。
因此，瑞利商的极小值为21ω，同理可证明，瑞利商的极大值为2n ω 如果ϕ接近第 k 阶真实模态)(k φ=ϕ，比起 a k ，其它系数很小kj n j a a k j j ≠==,,,2,1 ，ε ，1<<j ε代入，得：∑=-+≈nj j k jkR 12222)()(εωωωϕ 例如 k ＝1，n j a a j j ,,21 ==，ε222212222222121)(nnn a a a a a a R ++++++=ωωωϕ21221222122122221222121a a a a a a n nn εεωεωεω++++++=约去a 1()222222222211nnn R εεωεωεωϕ++++++=分子上加减1项())1/()()(222212212321222122123212222222221n n n n n R εεωεωεωεωεωεωεωεωεωϕ+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-+++++++= 22222122222211)()1(nni i inεεωωεεεω+++-++++=∑= 22222122211)(nni i i εεωωεω+++-+=∑=∑=-+≈ni i i 2212221)(ωωεω因此，若ϕ与)(k φ的差异为一阶小量，则瑞利商与2k ω的差别为二阶小量。
对于基频的特殊情况，令k ＝1，则由于)~2(0212n j j=>-ωω瑞利商在基频处取极小值。
利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限，ϕ愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确。
例题：接上例mk /3730.01=ω，采用邓克利法，基频：m k /3535.01=ω取在2m 质量上施加力P 所产生的“静变形曲线”作为近似的第一阶主振型，即：T]5.2,2,1[=ϕ代入瑞利商公式：mk R 142857.0)(=ϕ，mk 3780.01=ω与精确值相比，相对误差1.34%。
3、里茨法里兹法是瑞利法的改进，用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几阶频率和模态，瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限，里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基频值进一步下降。
里兹法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合：ΠA ηηηη==+⋯++=∑=rj j jr r aa a a 1)()()2(2)1(1ϕ，1)(⨯∈n i R ηrn r R⨯∈=],,,[)()2()1(ηηηΠ ，121],,,[⨯∈=r T r R a a a A代入瑞利商：)()(ΠA R R =ϕAM ΠΠA A K ΠΠA TTTT =AM A A K A T T=2ω=r r TR⨯∈=K ΠΠK ，r r T R ⨯∈=M ΠΠM由于()ϕR 在系统中的真实主振型处取驻值，所以 A 的各个元素应当从下式确定：)2,1(,0r j a R j⋯⋯==∂∂。
代入：),,2,1(,0)()(2r j a a TjTj⋯==∂∂-∂∂A M A A K A ω),,2,1(,2)(2)()()(r j a a a a TjTjjTTjTj ⋯==∂∂=∂∂+∂∂=∂∂A K e A K A A K A A K A A K A其中j e 是 r 阶单位矩阵的第 j 列。
上面 r 个方程可合成为：AK A K A A2)(=∂∂T表示将函数分别对 A 的各个元素依次求偏导，然后排列成列向量A∂∂。
同理，有：AM A M A A2)(=∂∂T两项代入得：0A M K =-)(2ω由于M K 、的阶数 r 一般远小于系统自由度数 n ，上式所示的矩阵特征值问题比原来系统的矩阵特征值问题解起来容易得多，因此里兹法实际上是一种缩减系统自由度求解固有振动的近似方法，M K 、就是自由度缩减为 r 的新系统的刚度矩阵和质量矩阵。
可求出 r 个特征根22221,,r ωωω⋯，，及相应的特征向量)()2()1(,,,r A A A ⋯，原来系统的前 r 阶固有频率可近似取为：),,2,1(,22r j j j ⋯==ωω，相应的前 r阶主振型近似取为：),,2,1(,)()(r j j j ⋯==ΠA ϕ。
正交性分析ji j Ti j T Ti j Ti ≠===当 0)()()()()()(AM AAM ΠΠAM ϕϕ即：00)()()()(==j T i j T i A K A A M A ，因此：得出的近似主振型式关于矩阵 M 和 K 相互正交。
例题：接前例采用常规方法，固有频率：mk /3730.01=ω，m k /3213.12=ω，m k /0286.23=ω采用邓克利法，基频：m k /3535.01=ω，采用瑞利法，基频：m k /3780.01=ω。
将假设的振型取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡132211][21－＝＝）（）（ηηΠ 缩减后的新系统的刚度矩阵和质量矩阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=k kk k 20444TK ΠΠΚ＝，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==m mm m TT 723M ΠΠM 特征值问题：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--0072044234αααα，km 2ωα=139853.01=α，860147.22=α，[]T1,927547.4)1(=A，[]T 1,018449.0)2(-=A固有频率：mk mk 373969.0111===αωω，mk mk 691197.1222===αωω主振型：[]T1860147.0430073.01)1()1(βϕ==ΠA[]T1860148.1930074.02)2()2(--==βϕΠA主振型精确值：[]T18608.04626.0)1(=φ，[]T17458.09339.2)2(--=φ里兹法得到的基频精度比用瑞利法的高，但第二阶固有频率的精度还欠佳。
