4.1.1 分数指数幂

4.1.1 分数指数幂【明确目标】1.理解分数指数幂的概念.2.会对根式、分数指数幂进行互化. 3．培养学生用联系观点看问题. 【自主学习】 1．根式 (1)定义：若（，n>1），则称x 为a 的n 次实数方根．当n=2，n=3时．X 2=4,则x 的平方根是 算术平方根是 x 3=8则x 的立方根是若n 为奇数，用符号 表示a 的n 次方根，这时．若n 为偶数，则要求a ≥0，用符号 表示a 的n 次方根． (2)性质①当n 为任意正整数时，(n a )n =②当n 为奇数时，n n a = ；当n 为偶数时，n n a = =.③当a ≠0时， a 0= a -n=3．观察当a ＞0时①51025101052)(a a a a a ==⇒=②31243121234)(a a a a a ==⇒= 2．正数的正分数指数幂的意义n m nm a a = (m ,n ∈N *,且n ＞1)注意：⑴分数指数幂是根式的另一种表示形式；⑵根式与分数指数幂可以进行互化.⑶当n 是奇数时a ∈R ； 当n 是偶数时a ≧0另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定： (1)nm nm aa1=- (a ≠0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 【合作探究】例1用根式的形式表示下列各式： ① ② a 53 ③ a 23-例2用分数指数幂的形式表示下列各式： ①32x ②34a ③531a【拓展训练】 1.填空.① 43)(b a +(式中a ＞0)=②③ a 54_写成根式的形式为 ④ 根式化a a -为分数指数幂为 ⑤ 计算()23π-= ⑥ 若a ∈R 则① a-n=na1 ②a a =33③2a =a ④313a a = ⑤ a 0=1恒成立的有2． 求下列各式的值： ① 832 ②10021_ ③ (-27)-34 ④ 43_)8116(3.解下列方程 ⑴ 151243=-x ⑵ 1634=x4．①(a-b)0=1,(a-b)-1=ba -1恒成立吗？②如何将根式写成分数指数幂的形式？【要点归纳】： 1.(1)若（，n>1），则称x 为a 的n 次实数方根． 若n 为奇数，用符号表示a 的n 次方根，这时．若n 为偶数，则要求a ≥0，用符号表示a 的n 次方根．(2)性质：①当n 为任意正整数时，(n a )n =a. ②当n 为奇数时，nna =a ；当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ③当a ≠0时， a 0=1 a -n=na 12．正数的正分数指数幂的意义：n m nm a a = (m ,n ∈N *,且n ＞1)3.规定：(1)nm nm aa1=-(a ≠0，m ,n ∈N *,且n ＞1)()=-447()=-557。

4.1.1n次方根与分数指数幂学习目标：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系．学习重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系．学习难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.na n与(na)n的区别与联系．知识导学知识点一根式的定义(1)a的n次方根的定义：一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示①当n是奇数时，a的n次方根表示为na，a∈R；②当n是偶数时，a的n次方根表示为±na，其中－na表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．(3)根式：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．知识点二根式的性质(1)(na)n＝a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n＞1)．(2)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a(n为奇数，且n＞1)，|a|(n为偶数，且n＞1).知识点三分数指数幂的意义(1)a mn＝na m，a－mn＝1amn＝1na m(其中a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂．知识点四有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝(a>0，r，s∈Q)．(2)(a r)s＝(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a>0，b>0，r∈Q)．新知拓展1.na n与(na)n的区别(1)na n是实数a n的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，na n＝a；当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.2.分数指数幂的理解(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a mn不可理解为mn个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．(2)把根式na m化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn进行约分．3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5)23＝3(－5)2有意义，但(－5)34＝4(－5)3就没有意义．评价自测1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为32＝9，所以3是9的平方根．()(2)当n∈N*时，(n－16)n都有意义．()(3)(3－π)2＝π－3.()2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)用根式的形式表示下列各式(a>0)：①a 15 ＝________；②a 34＝________； ③a －35 ＝________；④a －23＝________.(2)将下列根式写成分数指数幂的形式(其中a >b >0)． ①5(a －b )7＝________；②4(a 2－b 2)3＝________； ③4a 2b －ab 2＝________；④4(a 2－b 2)2＝________. (3)若n 为偶数时， n(x －1)n ＝x －1，则x 的取值范围为________．核心素养题型一 根式的概念 利用根式的性质化简例1 (1)①16的平方根为________，－27的5次方根为________； ②已知x 7＝6，则x ＝________；③若4x －2有意义，则实数x 的取值范围是________； (2)化简：①n(x －π)n (x <π，n ∈N *)；②4a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. 金版点睛1.判断关于n 次方根的结论应关注的两点 (1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数；(2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号． 2.根式化简求值解题思路解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答.跟踪训练1 (1)下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102 B ．－102 C.210 D ．±102(3)化简下列各式： ①3－27；②(3－9)3；③ (a －b )2.题型二 根式与分数指数幂的互化例2 下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是( ) A.－4x ＝(－x )14 (x >0)B.x － 15 ＝－5x (x ≠0)C.⎝⎛⎭⎫x y －34 ＝4⎝⎛⎭⎫y x 3(xy >0) D.8y 2＝y 14 金版点睛根式与分数指数幂互化依据(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a m n＝n a m和a － mn ＝1a m n＝ 1n a m ，其中字母a 要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂.跟踪训练2 用分数指数幂表示下列各式： (1) 3ab 2(ab )3(a >0，b >0)； (2)13x (5x 2)2(x >0)．题型三 多重根式的化简 例3 化简： 3＋22＋ 3－2 2.金版点睛 形如 m ±2n (m >0，n >0)的双重根式，一般是将其转化为(a ±b )2的形式后再化简．由于(a ±b )2＝a ＋b ±2ab ，因此转化的方法就是寻找a ，b ，使得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝m ，ab ＝n ，即a ，b 是方程x 2－mx ＋n ＝0的两个根．如化简2－3，首先化为m －2n 的形式，即4－232，解方程x 2－4x ＋3＝0，得x ＝3或x ＝1，则4－23＝(3－1)2，所以2－3＝4－232＝(3－1)22＝3－12＝6－22. 跟踪训练3 化简： 5＋26－6－42＋7－4 3.随堂水平1.已知x 5＝6，则x 等于( ) A ． 6 B ．56 C ．－56 D ．±56 2.下列各式正确的是( ) A.(－3)2＝－3 B.4a 4＝a C.22＝2 D.3(－2)3＝23.若64a 2－4a ＋1＝31－2a ，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 4.计算下列各式的值： (1)3－53＝__________；(2)设b <0，则(－b )2＝__________. 5.计算： (e ＋e －1)2－4＋(e －e －1)2＋4(e≈2.7)．参考答案知识导学知识点三 分数指数幂的意义 (2)0 没有意义知识点四 有理数指数幂的运算性质 (1)a r ＋s (2)a rs (3)a r b r 评价自测1.【答案】(1)√ (2)× (3)√2.【答案】(1)①5a ②4a 3 ③15a 3 ④13a2(2)①(a －b ) 75 ②(a 2－b 2) 34 ③(a 2b －ab 2) 14 ④(a 2－b 2) 24(3)x ≥1核心素养题型一 根式的概念 利用根式的性质化简 例1 (1) (1)【答案】①±45－27 ②76 ③[2，＋∞)【解析】①∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27. ②∵x 7＝6，∴x ＝76.③要使4x －2有意义，则需x －2≥0，即x ≥2.因此实数x 的取值范围是[2，＋∞)． (2)解：①∵x <π，∴x －π<0， 当n 为偶数时， n (x －π)n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时， n(x －π)n ＝x －π.综上，n(x －π)n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.②∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴4a 2－4a ＋1＝(2a －1)2＝|2a －1|＝1－2a .跟踪训练1 (1)【解析】①16的4次方根应是±2；②416＝2，③④正确． 【答案】B(2)【解析】∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2 的10次方根有两个，且互为相反数， ∴m ＝±102.【答案】D(3)解：①3－27＝3(－3)3＝－3. ②(3－9)3＝－9. ③(a －b )2＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b (a ≥b )，b －a (a <b ).题型二 根式与分数指数幂的互化 例2 【答案】 C【解析】 对于A ，－4x ＝－x 14 ，所以A 错误；对于B ，x － 15 ＝15x ，所以B 错误；对于C ，⎝⎛⎭⎫x y －34 ＝ 4⎝⎛⎭⎫y x 3(xy >0)，所以C 正确；对于D ，8y 2＝|y | 14 ，所以D 错误． 跟踪训练2题型三 多重根式的化简 例3 解：解法一： 原式＝ (2)2＋22＋1＋(2)2－22＋1＝(2＋1)2＋(2－1)2＝ 2＋1＋2－1＝2 2.解法二：令x ＝3＋22＋3－22，两边平方得x 2＝6＋29－8＝8.因为x >0，所以x ＝2 2. 跟踪训练3 解：原式＝(3＋2)2－(2－2)2＋(2－3)2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2. 随堂水平 1.【答案】B【解析】由根式的定义知，x 5＝6，x ＝56，选B. 2.【答案】C【解析】由于(－3)2＝3，4a 4＝|a |，3(－2)3＝－2，故A ，B ，D 错误. 3.【答案】D【解析】∵64a2－4a＋1＝6(2a－1)2＝6(1－2a)2＝31－2a，∴1－2a≥0，即a≤12.4.【答案】(1)－5(2)－b【解析】(1)3－53＝－353＝－5.(2)∵b<0，∴－b>0，∴(－b)2＝－b.5. 解：原式＝e2＋2＋e－2－4＋e2－2＋e－2＋4＝(e－e－1)2＋(e＋e－1)2＝e－e－1＋e＋e－1＝2e≈5.4.。