新人教A版必修一课件：第四章 4.1.1 n次方根与分数指数幂
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4.1.1n次方根与分数指数幂-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
8
a3
；
1
4
41
2
a3 a a a3 a3 (a 3 )2 a 3 .
例题讲解
立德树人 和谐发展
题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值
例4.
计算:0.064-
1 3
-
7 8
0
[(-2)3]-
4
1
3 +16-0.75+|-0. 01|2
.
解:原式=(0.43)-
13-1+(-2)-4+(24)-
n 是 a>0
x>0
奇数 a<0
x<0
性
n
x 仅有一个值，记为 a
质 n是
a>0
n
x 有两个值，且互为相反数，记为 ± a
偶数
a<0 x 在实数范围内不存在
新知初探
立德树人 和谐发展
2．根式
(1)定义：式子
n
a
叫做根式，这里 n 叫做
根指数 ，a
叫做 被开方数 ．
(2)性质：(n＞1，且 n∈N*)
例题讲解
题型二 分数指数幂的简单计算问题
例2：求值。
82
；3
.
(16
)
3 4
81
解：8
2 3
2
(23)3
3 2
2 3
22
4
(16
)
3 4
(
2
)
4(
3 4
)
( 2)3 27
81
3
38
立德树人 和谐发展
立德树人 和谐发展
解题方法（分数指数幂的运算技巧）
4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
万年前就存在的吗?
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
4.1.1n次方根与分数指数幂 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
a (为无理数)
p
1
q
a
p
如 : 5 2 ,3
3
a 1
0
实数指数幂的运算性质(a>0 ; r,s∈R)：
①ar·
as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·
a
n N
n个
其中a是底数，n是指数，an是幂
(0指数幂 ) a 0 1
(负整数指数幂 ) a
( a 0)
n
1
n
a
(a 0,n N )
2、运算性质
(1)a m a n a m n
( 2)( a m ) n a mn
( 3)( a b ) n a n b n
(3). 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
5.有理指数幂的运算性质;
作业： (1)课本P96 , 习题3.4
T 1，2
(2)做完《一线课堂》对应习题
谢谢
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
= .
因为在实数的定义里，任
意实数的偶次方是非负数. 因
此负数没有偶次方根.
根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得：
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
a (为无理数)
p
1
q
a
p
如 : 5 2 ,3
3
a 1
0
实数指数幂的运算性质(a>0 ; r,s∈R)：
①ar·
as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·
a
n N
n个
其中a是底数，n是指数，an是幂
(0指数幂 ) a 0 1
(负整数指数幂 ) a
( a 0)
n
1
n
a
(a 0,n N )
2、运算性质
(1)a m a n a m n
( 2)( a m ) n a mn
( 3)( a b ) n a n b n
(3). 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
5.有理指数幂的运算性质;
作业： (1)课本P96 , 习题3.4
T 1，2
(2)做完《一线课堂》对应习题
谢谢
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
= .
因为在实数的定义里，任
意实数的偶次方是非负数. 因
此负数没有偶次方根.
根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得：
高一数学人教A版(2019)必修第一册4、1、1n次方根与分数指数幂 课件
3.n次方根：如果xn a，那么x叫做a的n次方根， 其中n 1且n .
32 =9 42 =16 52 =25
-23 = -8 33 =27 -33 =-27
34 =81 25 =32 -25 =-32
根式
1当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数； 正数a的正的n次方根用符号n a表示;负的n次方根用符号- n a表示. 负数没有偶次方根.
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问 题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余 坐标相反”这个结论．如点(x，y，z)关于 y 轴的对称点为(－x，y， －z)，关于坐标平面 Oyz 的对称点为(－x，y，z)．
【例题 3】 在空间直角坐标系中，已知点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标； (2)求点 P 关于坐标平面 Oxy 对称的点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解析 (1)因为点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P1 的坐标为(－2， －1，－4)． (2)因为点 P 关于坐标平面 Oxy 对称后，它在 x 轴、y 轴的分 量不变，在 z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点 P2 的坐标 为(－2,1，－4)．
解析 (1)错误．空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的坐标一定 是(a,0,0)的形式．
(2)错误．空间直角坐标系中，在坐标平面 Ozx 内的点的坐标 一定是(a,0，c)的形式．
(3)错误．关于坐标平面 Oyz 对称的点其纵坐标、竖坐标保持 不变，横坐标相反．
高一上学期数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
人教A版必修第一册
第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
2024/11/8
学习目标
学科素养
1. 理解并掌握根式、分数指数幂的概念； 2. 理解根式与分数指数幂的互化； 3. 掌握有理数指数幂的运算性质； 4. 培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方 法，发展数学核心素养.
定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数，a叫做
被开方数
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
当n为任意正整数时，( n a )n=a.
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
(2)
(3) 4 (3 )4
(4)
解：(1) 3 ( 8)3 8
(2) ( 10)2 | 10 | 10
( 10)2 (a b)2 (a b)
(3) 4 (3 )4 | 3 | 3
(4) (a b)2 | a b | a b
同类训练
举一反三
1. (a b)2 + 5 (a b)5的值是（ ） 再细想！
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的 4次方根 ； 25=32，则2叫做32的 5次方根 .
2n = a,则2叫a做的__n_次__方__根___
xn =a 则x叫做a的_n__次__方__根___
.
类比分析 可是个好方法！
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
一个数的n次方根有几个?
3 3 27
2 3 8
22 4 3 2 9
第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
2024/11/8
学习目标
学科素养
1. 理解并掌握根式、分数指数幂的概念； 2. 理解根式与分数指数幂的互化； 3. 掌握有理数指数幂的运算性质； 4. 培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方 法，发展数学核心素养.
定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数，a叫做
被开方数
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
当n为任意正整数时，( n a )n=a.
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
(2)
(3) 4 (3 )4
(4)
解：(1) 3 ( 8)3 8
(2) ( 10)2 | 10 | 10
( 10)2 (a b)2 (a b)
(3) 4 (3 )4 | 3 | 3
(4) (a b)2 | a b | a b
同类训练
举一反三
1. (a b)2 + 5 (a b)5的值是（ ） 再细想！
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的 4次方根 ； 25=32，则2叫做32的 5次方根 .
2n = a,则2叫a做的__n_次__方__根___
xn =a 则x叫做a的_n__次__方__根___
.
类比分析 可是个好方法！
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
一个数的n次方根有几个?
3 3 27
2 3 8
22 4 3 2 9
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
③负数没有偶次方根
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
4.1.1n次方根与分数指数幂(教学课件) —— 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
m
n
3
7
3
n
5
m
n m
即：
a a (a 0, m, n N * , n 1)
*
分数指数
●规定：
1、正数的正分数指数幂的意义为：
m
n
a n a m (a 0, m, n N * , n 1)
2、正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
m
n
1
a
m
n
1
n
am
回顾旧知
22=4
(-2)2=4
23=8
2,-2叫4的平方根.
2叫8的立方根.
新 知 探 索
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体
实数. 在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面
积S的函数 c
1
2
s ，记作 c s ．
1
2
像 s 这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面
从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究．
a b, a b,
2
(4) （a-b） a b
b a, b a.
先回顾一下初中时的整数指数幂，运算性质
a a a a a, a 1 (a 0) , 0 无意义
n
a
n
0
1
n
a
(a 0)
a a a
m
n
mn
0
负整数指数幂转化为正整数指数幂
第四章 指数函数与对数函数
● 4.1.1 n次方根与分数指数幂
课标要求
1.理解n次方根、根式的概念.
4.1.1n次方根与分数指数幂(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
提示 这样的 x 有 2 个，它们都称为 3 的平方根，记作± 3.
知识点一 n次方根，根式
1.a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 n次方根 ，其中n>1，且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
n
±n a
a的取值范围 R
[0，＋∞)
4.1.1n次方根与分数指数幂
新知探究
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一
个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少
呢？他发现这一长度既不能用整数、也不能用分数来表示，希帕索斯的发现
促进了数学史上第一个无理数 2的诞生.
希帕索斯
问题 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
一、 利用根式的性质化简或求值 【例1】 化简：
(1) 4 3 4 ；
(2) （a－b）2(a>b)；
(3)( a－1)2＋ （1－a）2＋ 3 1 a3 .
解 (1) 4 3 4 ＝|3－π|＝π－3.
(2) a b2 ＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知 a－1≥0，即 a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
例 3 求使等式 a－3a2－9＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
解 a－3a2－9＝ a－32a＋3＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立， 需aa－ ＋33≤ ≥00， ， 解得 a∈[－3,3].
反思 感悟
正确区分n an与(n a)n (1)( n a)n 已暗含了n a有意义，根据 n 的奇偶性可知 a 的范围． (2)n an中的 a 可以是全体实数，n an的值取决于 n 的奇偶性．
2019-2020学年新人教A版必修一 4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件(31张)
学习目标 1．理解 n 次方根及根式的概念，
核心素养
掌握根式的性质．(重点)
借助根式的性质对根式进行运
பைடு நூலகம்
2．能利用根式的性质对根式进行 算，培养数学运算素养.
运算．(重点、难点、易错点)
自主预习 探新知
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义 如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
带条件根式的化简 (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可 以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时， 在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
1．注意n an同(n a)n 的区别．前者求解时，要分 n 为奇数还是偶
n a只有当 a≥0 时才有意义．
A．1
B．2
C．3
D．4
B [①16 的 4 次方根应是±2；②4 16＝2，所以正确的应为③④.]
4．若 x3＝－5，则 x＝________． －3 5 [若 x3＝－5，则 x＝3 －5＝－3 5.]
合作探究 提素养
n次方根的概念问题
【例 1】 (1)27 的立方根是________；16 的 4 次方根是________． (2)已知 x6＝2 016，则 x＝________． (3)若4 x＋3有意义，则实数 x 的取值范围为________．
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
n
a
R
n为偶数
±n a
[0，＋∞)
(3)根式 式子n a叫做根式，这里n叫做 根指数 ，a叫做 被开方数 ．
核心素养
掌握根式的性质．(重点)
借助根式的性质对根式进行运
பைடு நூலகம்
2．能利用根式的性质对根式进行 算，培养数学运算素养.
运算．(重点、难点、易错点)
自主预习 探新知
1．根式及相关概念
(1)a的n次方根定义 如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
带条件根式的化简 (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可 以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时， 在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．
1．注意n an同(n a)n 的区别．前者求解时，要分 n 为奇数还是偶
n a只有当 a≥0 时才有意义．
A．1
B．2
C．3
D．4
B [①16 的 4 次方根应是±2；②4 16＝2，所以正确的应为③④.]
4．若 x3＝－5，则 x＝________． －3 5 [若 x3＝－5，则 x＝3 －5＝－3 5.]
合作探究 提素养
n次方根的概念问题
【例 1】 (1)27 的立方根是________；16 的 4 次方根是________． (2)已知 x6＝2 016，则 x＝________． (3)若4 x＋3有意义，则实数 x 的取值范围为________．
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
n
a
R
n为偶数
±n a
[0，＋∞)
(3)根式 式子n a叫做根式，这里n叫做 根指数 ，a叫做 被开方数 ．
数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
(3)
(4)
(−8)3 = −8;
4
(3 − π)4 = 3 − π = π − 3;
(a −
b)2 =
a − b, a ≥ b,
a−b =
b − a, a < b.
a ∙ a = as+
÷ = −
(a ) = a
0 = 1 ( ≠ 0)
1
−
= ( + )
9.672699729
1.42
2
9.829635328
3
1.414
9.735171039
1.415
3
9.750851808
4
1.4142
9.738305174
1.4143
4
9.73987262
5
1.41421
9.738461907
1.41422
5
9.738618643
6
1.414213
良渚遗址
良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，古
城存在时期为公元前3300年~前2500年，面积近630万平方
米，包括古城、水坝和多出高等级建筑 … …
当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按照确定的规
律衰减，大约每5730年衰减为原来的一半，这个时间为“半
衰期”。
根据此规律，科学家获得了生物体内碳14含量P与死亡
年数t之间的关系：
当 = 5730、5730 × 2、5730 × 3时， =?
当 = 1000、5300、10000时， =?
= ( )
= ( )
= ( )
以分数为指
(4)
(−8)3 = −8;
4
(3 − π)4 = 3 − π = π − 3;
(a −
b)2 =
a − b, a ≥ b,
a−b =
b − a, a < b.
a ∙ a = as+
÷ = −
(a ) = a
0 = 1 ( ≠ 0)
1
−
= ( + )
9.672699729
1.42
2
9.829635328
3
1.414
9.735171039
1.415
3
9.750851808
4
1.4142
9.738305174
1.4143
4
9.73987262
5
1.41421
9.738461907
1.41422
5
9.738618643
6
1.414213
良渚遗址
良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，古
城存在时期为公元前3300年~前2500年，面积近630万平方
米，包括古城、水坝和多出高等级建筑 … …
当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按照确定的规
律衰减，大约每5730年衰减为原来的一半，这个时间为“半
衰期”。
根据此规律，科学家获得了生物体内碳14含量P与死亡
年数t之间的关系：
当 = 5730、5730 × 2、5730 × 3时， =?
当 = 1000、5300、10000时， =?
= ( )
= ( )
= ( )
以分数为指
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
1、利用分数指数幂 进行根式运算时，其 顺序是先把根式化为 分数指数幂的运算性 质进行计算。
2、计算结果不强求 用什么形式来表示， 但结果不能同时含有 根号和分数指数幂， 也不能同时存在分式 和负分数指数幂。
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
例题讲解
立德树人 和谐发展
题型三 根式与分数指数幂的互化 例3.用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）
a2 ；3 a2 . a a3
4.1.1n次方根与分数指数幂【新教材 】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
新知初探
探究:
分数指数幂
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 (a 0).
立德树人 和谐发展
0的正分数指数幂等于0, 0 的负分数指数幂没有意义.
且互为相反数；当 n 为奇数时，正数 a 的 n 次方根只有一
个且仍为正数．
2的字母
a
的取值范围是否一样？
提示：取值范围不同．式子(n a)n 中隐含 a 是有意义的，若 n
n
为偶数，则 a≥0，若 n 为奇数，a∈R ；式子 an中，a∈R .
例题讲解
题型一 根式的化简(求值)
例1 求下列各式的值
(1) 3 (8)3
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
A．a
-
2 5
)
5
B．a 2
2
C．a 5
答案：A
3
3．化简 25 2 的结果是( )
A．5 答案：D
B．15
C ．25
4．计算：π0＋2－2×214
1 2
＝________.
答案：11 8
5
D．－a 2
D．125
题型分析 举一反三
题型一 根式的化简(求值)
例1 求下列各式的值
(1) 3 (8)3
(2) (10)2
2．根式
(1)定义：式子
n
a
叫做根式，这里 n 叫做
根指数 ，a
叫做 被开方数 ．
(2)性质：(n＞1，且 n∈N*)
①(n a)n＝
a.
②n an＝
a ，n 为奇数， |a|，n 为偶数.
[点睛] (n a)n 中当 n 为奇数时，a∈R；n 为偶数时，a≥0，
而n an中 a∈R.
3．分数指数幂的意义
(3) 4 (3 )4
(4) (a b)2
解： (1) 3 (8)3 =-8 (2) (10)2 =|-10|=10
(3) 4 (3 )4 = 3
(4) (a b)2 = a b
解题方法（根式求值）
(1)化简 时,首先明确根指数 n 是奇数还是偶数,然后依据根式 的性质进行化简;化简( )n 时,关键是明确 是否有意义,只要 有 意义,则( )n=a.
正分数
分
指数幂
规定：a
m n
＝n
am(a＞0，m，n∈N*，且
n＞1)
数
m
1
1
指
负分数
规定：a n
人教A版高中数学必修第一册第四章4-1-1n次方根与分数指数幂课件
二、填空题 6．若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝_－__1_1_或__7_． －11或7 [因为81的平方根为±9，所以a＝±9． 又因为－8的立方根为b， 所以b＝－2，所以a＋b＝－11或a＋b＝7．]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n n为奇数 n为偶数
a的n次方根的表示符号
a的取值范围 R
[0，＋∞)
偶次 0
a |a|
根指数
0 a
a
被开方数
[母题探究] 在本例(2)中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则化 简结果又是什么？
反思领悟 根式的化简求值应注意的2点
(1)首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质 进行化简或求值． (2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化 简，化简时要结合条件或分类讨论．
[讨论交流] 预习教材P104－P106，并思考以下问题： 问题1．n次方根是怎样定义的？ 问题2．根式的定义是什么？它有哪些性质？ 问题3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？ 问题4．根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？ 问题5．如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？ [自我感知] 经过认真预习，结合你对本节课的理解和认识，请画 出本节课的知识逻辑体系．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
课时分层作业(二十六) n次方根与分数指数幂
√
D [当a<0时，a的偶次方根无意义．]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
√
D [同底数幂相乘，指数相加，故A，B错误；因为(am)n＝amn，3×2 ＝6，故C错误；同底数幂相除，指数相减，故D正确．]
人教A版必修第一册高中数学4.1-指数精品课件
2 3 8 333 3
a6a 6 a 3
3
3 2 3 3 .
例题解析
解:(1)原式＝
3
2
3 2
3
3 3
2
3＝29×32＝4
608.
(2)原式＝
74
a6 6 3
＝a0＝1.
3
(3)原式＝
3
2
3
3
3
23
3
2
＝π.
例题解析
例6.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又
(2)已知x＋x－1＝7，求值：①
1
1
x2 x 2
；
②x2－x－2
1
解：（1）将 x 2
x
1 2
＝
5，两边平方得 x＋x－1＋2＝5，
则x＋x－1＝3，两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
1
（2）设n=x 2
-
x
1
2，两边平方得n2＝x＋x－1－2
＝7－2
＝5，
因为
n∈R，所以
知识梳理
2.根式的性质
1.n 0＝ 0 (n∈N*，且 n>1). 2.(n a)n＝ a (a≥0，n∈N*，且 n>1). 3.n an＝a(n 为大于 1 的奇数).
a ， a≥0 ， 4.n an＝|a|＝ －a ，a<0 (n 为大于 1 的偶数).
例题解析
例题解析
4 例 2．设 2<a<3，则 （2－a）2＋ （3－a）4化简的结果为( A )
a2 ＝( B )
3 a
5 C．a－6
5 D．a3
a2
a2 a2 5
a6a 6 a 3
3
3 2 3 3 .
例题解析
解:(1)原式＝
3
2
3 2
3
3 3
2
3＝29×32＝4
608.
(2)原式＝
74
a6 6 3
＝a0＝1.
3
(3)原式＝
3
2
3
3
3
23
3
2
＝π.
例题解析
例6.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又
(2)已知x＋x－1＝7，求值：①
1
1
x2 x 2
；
②x2－x－2
1
解：（1）将 x 2
x
1 2
＝
5，两边平方得 x＋x－1＋2＝5，
则x＋x－1＝3，两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
1
（2）设n=x 2
-
x
1
2，两边平方得n2＝x＋x－1－2
＝7－2
＝5，
因为
n∈R，所以
知识梳理
2.根式的性质
1.n 0＝ 0 (n∈N*，且 n>1). 2.(n a)n＝ a (a≥0，n∈N*，且 n>1). 3.n an＝a(n 为大于 1 的奇数).
a ， a≥0 ， 4.n an＝|a|＝ －a ，a<0 (n 为大于 1 的偶数).
例题解析
例题解析
4 例 2．设 2<a<3，则 （2－a）2＋ （3－a）4化简的结果为( A )
a2 ＝( B )
3 a
5 C．a－6
5 D．a3
a2
a2 a2 5
4.1.1+n次方根与分数指数幂课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
同学们认真观察(1)、①、②你有没有发现有什么特点：
特点：
只有同底数幂或同指数幂相乘或相除，方能利用这
些性质。比如 ambn 是不可能利用性质的。
巩固与练习
例 1 求值
16 －34
(2)( )
81
2
3
(1)8 ；
解
2
3
2
3
(1)8 =(23) =2
2
×
3 3
=22=4
16 －34 81 34 34 34 3 4×43 3 3 27
负数没有偶次方根，
零的偶次方根是零.
n
a , n 2k 1, k N ,
n
如果x a , 那么 x
n
a , a 0, n 2k , k N .
根 式
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
x a
n
其中 > ，且 ∈
∗
23=8
(-2)3=-8
8的3次方根是2.
-8的3次方根是-2.
(-2)5=-32
27=128
-32的5次方根是-2.
128的7次方根是2.
1.正数的奇次方根是一个正数,
奇次方根
2.负数的奇次方根是一个负数.
a的n次(奇次)方根用符号 n a 表示.
记作：3 8 2.
想一想: 哪个数的平方为负数？哪个数的偶次方为负数？
偶次方根
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数
2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
n次方根的性质
新教材新人教A版必修一 4.1.1 n次方根与分数指数幂 课件(16张)
（1）±5；（2）3；（3）-2；（4）±2；（5） a2 ；（6）0.
问题 5：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？
1.以上各数的对应方根都是正整数； 2.第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、 第（5）、第（6）的答案只有一个； 3.第（1）、第（4）题的答案中的两个值互为相反数.
问题 8：同学们能否把所得到的结论再总结的具体一些呢？
方根性质：
（1）当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数.这时，a 的 n 次方根用符号 n a 表示. （2）当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号－ n a 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可以
合并写成± n a （a＞0）. 注：①负数没有偶次方根； ②0 的任何次方根都是 0，记作 n 0 =0；
③当 a≥0 时， n a ≥0，所以类似 4 16 =±2 的写法是错误的. 另外，我们规定： 式子 n a 叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
问题 9：利用上面所学 n 次方根的知识，能否求出下列各式的值？
（2） 6 (2)2 = 6 22 = 3 2 ； （4） 4 x8 = 4 (x 2 )4 =x2；
课堂巩固：
1.若 x∈R，y∈R，下列各式中正确的是 A. 4 (x y)4 =x+y
B. 3 x 3 － 4 y 4 =x－y
C. (x 3)2 + (x 3)2 =2x
D. x 3 + 3 x =0
（1） 6 81 ；
（2） 6 (2)2 ；
（4） 4 x8 ；
问题 5：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？
1.以上各数的对应方根都是正整数； 2.第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、 第（5）、第（6）的答案只有一个； 3.第（1）、第（4）题的答案中的两个值互为相反数.
问题 8：同学们能否把所得到的结论再总结的具体一些呢？
方根性质：
（1）当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数.这时，a 的 n 次方根用符号 n a 表示. （2）当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号－ n a 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可以
合并写成± n a （a＞0）. 注：①负数没有偶次方根； ②0 的任何次方根都是 0，记作 n 0 =0；
③当 a≥0 时， n a ≥0，所以类似 4 16 =±2 的写法是错误的. 另外，我们规定： 式子 n a 叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
问题 9：利用上面所学 n 次方根的知识，能否求出下列各式的值？
（2） 6 (2)2 = 6 22 = 3 2 ； （4） 4 x8 = 4 (x 2 )4 =x2；
课堂巩固：
1.若 x∈R，y∈R，下列各式中正确的是 A. 4 (x y)4 =x+y
B. 3 x 3 － 4 y 4 =x－y
C. (x 3)2 + (x 3)2 =2x
D. x 3 + 3 x =0
（1） 6 81 ；
（2） 6 (2)2 ；
（4） 4 x8 ；
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n的奇偶性 n为奇数 n为偶数
a的n次方根的表示符号
n
a
n
±a
a的取值范围 a∈R
[0，＋∞)
3.根式 n
式子 a 叫做根式，这里n叫做 根指数 ，a叫做被开方数.
知识点二 根式的性质
n
1. 0＝ 0 (n∈N*，且 n>1).
n
2.( a)n＝ a (a≥0，n∈N*，且 n>1).
n
3. an＝a(n 为大于 1 的奇数).
② a a a；
111
Hale Waihona Puke 7解 原式＝a 2 a 4 a8 a 8 ;
3
③( a)2· ab3.
1
2
1
3
73
解 原式＝ a3 a 2 b2 a 6b2 .
反思 感悟
根式与分数指数幂的互化
(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.
(2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形
4
解 3－π4＝|3－π|＝π－3.
(2) a－b2(a>b)；
解 ∵a>b，∴ a－b2＝|a－b|＝a－b.
3
(3)( a－1)2＋ 1－a2＋ 1－a3.
解 由题意知a－1≥0，即a≥1. 原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
反思
感悟 (1)n 为奇数时n an＝n an＝a，a 为任意实数.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
n
1.当 n∈N*时，( －3)n 都有意义.( × )
6
3
2. 24 22 . ( × )
1
3.a2·a 2 ＝a.( × )
m
4.分数指数幂 a n 可以理解为mn 个 a 相乘.( × )
2 题型探究
PART TWO
n
4.
an＝|a|＝
a ，a≥0， -a，a<0
(n 为大于 1 的偶数).
知识点三 分数指数幂的意义
分 正分数指数幂 数 指 负分数指数幂 数 幂
0的分数指数幂
mn
规定：a n ＝ am (a>0，m，n∈N*，且n>1)
m
规定： a n
1
m
an
1
n
＝ am (a>0，m，n∈N*，且n>1)
A.①② C.①②③④
√B.①③
D.①②④
12345
3
6
3.化简 －a· a的结果为
√A.－ a
B.－ －a
C. －a
解析 显然a≥0.
A.2 2
√7 B. 8
7
C.－ 8
7
解析 因为 7 为奇数，8 的 7 次方根只有一个 8.
7
D.± 8
4
(2)若
2x＋5有意义，则
x
的取值范围是__－__52_，__＋__∞____；
5
若 2x＋5有意义，则 x 的取值范围是____R____.
二、利用根式的性质化简或求值
例2 化简：
4
(1) 3－π4；
(2)n 为偶数时，a≥0，n an 才有意义，且n an＝a；
n
n
而 a 为任意实数时 an均有意义，且 an＝|a|.
跟踪训练2 化简：
7
(1) －27；
7
解 －27＝－2.
4
(2) 3a－34(a≤1)；
4
解 ∵a≤1，∴ 3a－34＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
3
4
(3) a3＋ 1－a4.
一、n次方根的概念
例1 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝_7_或__－__1_1_.
解析 81的平方根为－9或9， 即a＝－9或9， －8的立方根为－2，即b＝－2， ∴a＋b＝－11或7.
4
(2)若 x－2有意义，求实数 x 的取值范围.
4
解 ∵ x－2有意义，
∴x－2≥0， ∴x≥2， 即x的取值范围是[2，＋∞).
y2＝(| y |2 )6 ＝ y 3 (y<0)；
3
x4
1
(x3 )4 ＝
4
1x3(x>0)；
1
1
x3
1 x
3
＝
3
1x(x≠0).
1
3
D. x 3＝－ x(x≠0)
(2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a>0，b>0).
34
① a· a；
34
11
7
解 a· a＝a3 a 4 a12 ;
式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
跟踪训练3 把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的 形式：
3
(1) (a b) 4 (a>b)；
解
(a
3
b) 4
＝
1
；
4
a－b3
3
(2) x－15；
3
5
解 x－15＝ (x 1)3 ;
(3) 1 ； 3 a2
解
1
3
＝a
2 3
;
a2
3
(4)(a b)7 .
反思
感悟 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根
只有一个.
n
(2)符号：根式 a 的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定.
n
①当n为偶数，且a≥0时， a 为非负实数；
n
②当n为奇数时， a 的符号与a的符号一致.
跟踪训练1 (1)已知x7＝8，则x等于
37
解 (a b)7 ＝ a－b3.
3 随堂演练
PART THREE
1.已知 a－b2＝a－b，则 A.a>b C.a<b
√B.a≥b
D.a≤b
解析 a－b2＝|a－b|＝a－b， 所以a－b≥0，所以a≥b，故选B.
12345
4
4
5
4
2.在① －42n；② －42n＋1，③ a4，④ a5中，n∈N*，a∈R 时各式子有意义的是
0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂_无__意__义__
知识点四 有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).
解
3
4
a3＋
1－a4＝a＋|1－a|＝12， a－a≤ 1，1， a>1.
三、根式与分数指数幂的互化
例3 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是
1
A.－ x＝x2 (x>0)
6
1
B. y2＝ y 3 (y<0)
√ 3 4 C. x 4＝
1x3(x>0)
1
解析 － x＝ x 2 (x>0)；
6
1
1
第四章 4.1 指 数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解n次方根、n次根式的概念. 2.能正确运用根式运算性质化简、求值. 3.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 n次方根、n次根式
1.a的n次方根的定义 一般地，如果 xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示