新人教A版必修一 n次方根与分数指数幂 课件(54张)
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数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
（）
⋅ ； （） · .
解： (1) ⋅ = ⋅ = ；
(2) ⋅ =
⋅ =
= .
巩固练习
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8 8
（1）(2a b )(6a b ) ( 3a b )；（2）(m n ) ；
课堂检测：
3
2
1．将 5 写成根式的形式，正确的是 ( D )
5 3
3 2
3
A. 5
B.
5 C．
D. 53
2
4
2．计算 （－5）4的结果是 ( A )
A．5
B．－5
C．±5
D．不确定
1
3．若 a< ，则化简 （4a－1）2的结果是 ( B )
4
A．4a－1
B．1－4a
C．－ 4a－1
D底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
⟹幂的乘方，底数不变，指数相乘
⟹积的乘方，等于积的每一个因式分别乘
方，再把所得的幂相乘
5.分数指数幂的运算性质
注意：①法则的逆用： ①+ = > , , ∈
② =
③ =
=
= ；
=
法二：
−
法三：
−
−
n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人必修第一册
计算： (4^4)^(1/4)
计算： (5^5)^(1/5)
05
n次方根与分数指数幂的应用
n次方根在解决实际问题中的应用
计算器：利用n 次方根进行数值 计算
工程设计：利用 n次方根进行尺 寸和比例的计算
物理学：利用n 次方根进行能量 和功率的计算
化学：利用n次 方根进行浓度和 反应速率的计算
分数指数幂在解决实际问题中的应用
n次方根的运算性质
n次方根的定义：如果一个数x的n次方等于a，那么x就是a的n次方根。 n次方根的性质：n次方根具有封闭性、结合性和分配性。 封闭性：n次方根的结果是一个实数，且满足a^n=b^n，则a=b。 结合性：n次方根的结果可以参与四则运算，且满足a^(m+n)=a^ma^n。 分配性：n次方根的结果可以参与乘除运算，且满足a^(m/n)=a^m/a^n。
应用场景：解 方程、化简表 达式、求值域
等
示例：a^2 + b^2 = (a^2 + b^2)^(1/2)
= (a^2 + b^2)^(1/2)
注意事项：指 数为分数时， 底数不能为0， 否则公式不成
立
04
n次方根与分数指数幂的运算
n次方根与分数指数幂的运算顺序
先进行n次方根的运算，再计算 分数指数幂
遵循先算括号内，再算括号外 的原则
遵循先乘除，后加减的原则
遵循先算指数，再算底数的原 则
运算的优先级
如果有括号，先计算括号内 的运算
同级运算，从左到右进行计 算
先进行分数指数幂的运算， 再计算n次方根
如果有负指数幂，先计算负 指数幂的运算
运算的实例
计算： (2^2)^(1/3)
计算： (3^3)^(1/2)
4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
万年前就存在的吗?
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
n次方根与分数指数幂-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课课件
n次方根与分数指数幂-【新教材】人 教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件 -PPT n次方根与分数指数幂-【新教材】人 教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件 -PPT
n次方根与分数指数幂-【新教材】人 教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件 -PPT n次方根与分数指数幂-【新教材】人 教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件 -PPT
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n次方根与分数指数幂课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
27
根式的概念
式子
n
a
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
根式
根指数
n
被开方数
a
根式的性质：
1. 1)
2 2
4
4
5
2)
-6
5
6
0 0
4
4
3)
4)
6 6
5
5
( a) a
n
2. 1)
4
2
4
2
4
2)
n
n
(2) 2 3)
4
5
(6)
a, n为奇数
, ≥ -,
(3)
-, < -
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为 (-)( -) =
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
无理数指数幂
4．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
3
答案 1a
2
3
－4
2
a b
3
ab2(a>0，b>0)．
2
3
• 3 a 2 a3 • a a
3
2
3
a ,
a 4b 2 • 3 ab 2 a 4b 2 • ab
11
3
1
2 3
1
3
a
根式的概念
式子
n
a
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
根式
根指数
n
被开方数
a
根式的性质：
1. 1)
2 2
4
4
5
2)
-6
5
6
0 0
4
4
3)
4)
6 6
5
5
( a) a
n
2. 1)
4
2
4
2
4
2)
n
n
(2) 2 3)
4
5
(6)
a, n为奇数
, ≥ -,
(3)
-, < -
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为 (-)( -) =
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
无理数指数幂
4．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
3
答案 1a
2
3
－4
2
a b
3
ab2(a>0，b>0)．
2
3
• 3 a 2 a3 • a a
3
2
3
a ,
a 4b 2 • 3 ab 2 a 4b 2 • ab
11
3
1
2 3
1
3
a
4.1.1n次方根与分数指数幂 2023-2024学年高一数学同步课件(人教A版2019必修第一册)
第四章
指数函数与对数函数
章前导读
考古学中，经常是利用放射性物质的衰减检验
出土文物的年限。
例如，我国的浙江杭州市余杭区良储和瓶窑镇在
1936年首次发现巨型城址，面积近630万平方米，
包括古城、水坝何多出高等级建筑。
考古学家利用遗址中的碳14的残留量测定，古城存
在时期为公元前3300年-前2300年。
②分数指数幂不可随意约分.约分之后可能会改变根式有意义的条件.
规定了分数指数幂的意义以后，幂 中指数x的取值范围就从整数拓
展到了有理数．
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用.
概念生成
有理数指数幂的运算性质
对于任意有理数r,s均有下面的运算性质
① = + > , , ∈
2
− .
注意符号
新知探究
问题6（1）观察以下式子,你总结出什么规律呢？(a > 0)
10
2
210 (25 )2 25 2 ;
3
4
5
12
3
3 3 (3 ) 3 3 ;
12
4 3
4
12
4
a12 4 (a 3 )4 a 3 a ;
a (a ) a a
由于 25=32，所以2叫做32的 5次方根 .
定义1：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.其中n>1，且n∈N*.
新知探究
问题2 什么是方根的性质？
【1】 当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.
= , − = −.
这时，a的n次方根用符号 表示.
新知探究
指数函数与对数函数
章前导读
考古学中，经常是利用放射性物质的衰减检验
出土文物的年限。
例如，我国的浙江杭州市余杭区良储和瓶窑镇在
1936年首次发现巨型城址，面积近630万平方米，
包括古城、水坝何多出高等级建筑。
考古学家利用遗址中的碳14的残留量测定，古城存
在时期为公元前3300年-前2300年。
②分数指数幂不可随意约分.约分之后可能会改变根式有意义的条件.
规定了分数指数幂的意义以后，幂 中指数x的取值范围就从整数拓
展到了有理数．
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用.
概念生成
有理数指数幂的运算性质
对于任意有理数r,s均有下面的运算性质
① = + > , , ∈
2
− .
注意符号
新知探究
问题6（1）观察以下式子,你总结出什么规律呢？(a > 0)
10
2
210 (25 )2 25 2 ;
3
4
5
12
3
3 3 (3 ) 3 3 ;
12
4 3
4
12
4
a12 4 (a 3 )4 a 3 a ;
a (a ) a a
由于 25=32，所以2叫做32的 5次方根 .
定义1：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.其中n>1，且n∈N*.
新知探究
问题2 什么是方根的性质？
【1】 当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.
= , − = −.
这时，a的n次方根用符号 表示.
新知探究
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
③负数没有偶次方根
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人教A版(完整版)
1.正数的奇次方根是一个正数； 2.负数的奇次方根是一个负数； 3.0的奇次方根为0． 1.正数的偶次方根有两个且互为相反数； 2.负数没有偶次方根； 3.0的偶次方根为0．
n次方根定义:
一般地，如果xn=a，则x 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
xn a
xna
x n a
(n为奇数) (当n是偶数，且a＞0)
①正确区分“ (n a )n ”与“ n an ”两式；（注意分析 n a 是否有意义） ②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方公式、完 全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
思考：
2
1
a4 a2对任意的实数a都成立吗？
利用指数幂的运算性质化简求值的方法： （1）进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数
指数运算性质：
(1) aras ars (a 0, r, s Q); (2) (ar )s ars (a 0, r, s Q); (3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q).
祝你学业有成
2024年5月3日星期五11时45分28秒
把根式表示为分数指数幂的形式的时候，例如：
2
3 a2 a 3 (a 0)
1
b b2 (b 0)
5
4 c5 c 4 (c 0)
正数的正分数指数幂：
m
a n n am (a 0, m, n N *, n 1)
正数的负分数指数幂：
m
an
1
m
an
n
1 am
(a 0, m, n N *, n 1)
例如：5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
奇次方根
【课件】 n次方根与分数指数幂 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3-2
52
25
2
-2
1
3 =(0.23 ) 3 =0.2-2 =
=52=25.
5
3
3
-4
3-3
73
34 4
343
2 401
5
-
27
2
-
(2)0.008
(3)
2
-3
6
=-5 .
74
1
33
7-3
1, ≠ - ,
2
1
无意义, = - 2 .
5 5 -1
-
6 3
27
.
总结：
用分数指数幂的形式来表示根式，往往会简化根式运算.
a＜0
n
记为 ± a
x 不存在
[点睛] 根式的概念中要求 n＞1，且 n∈ N *.
式子
n
a叫做根式， n 叫做根指数， a叫做被
开方数.
a
n 次根式的性质：
5
2
5，
5
3
n
5
n
3.
a.
探究新知
思考：
n
an a一定成立吗？
化简下列各式：
22， 2 ，3 23，3 2 ，4 24，4 2 .
m
a
n
m n
mn
；
a mn；
m m
ab
a
b .
积的乘方：
m
• 幂函数
如果一个正方形场地的面积为 S ，那么这
个正方形的边长 c
S
1
2
.
S ， S 也可以表示为
• 思考
52
25
2
-2
1
3 =(0.23 ) 3 =0.2-2 =
=52=25.
5
3
3
-4
3-3
73
34 4
343
2 401
5
-
27
2
-
(2)0.008
(3)
2
-3
6
=-5 .
74
1
33
7-3
1, ≠ - ,
2
1
无意义, = - 2 .
5 5 -1
-
6 3
27
.
总结：
用分数指数幂的形式来表示根式，往往会简化根式运算.
a＜0
n
记为 ± a
x 不存在
[点睛] 根式的概念中要求 n＞1，且 n∈ N *.
式子
n
a叫做根式， n 叫做根指数， a叫做被
开方数.
a
n 次根式的性质：
5
2
5，
5
3
n
5
n
3.
a.
探究新知
思考：
n
an a一定成立吗？
化简下列各式：
22， 2 ，3 23，3 2 ，4 24，4 2 .
m
a
n
m n
mn
；
a mn；
m m
ab
a
b .
积的乘方：
m
• 幂函数
如果一个正方形场地的面积为 S ，那么这
个正方形的边长 c
S
1
2
.
S ， S 也可以表示为
• 思考
n次方根与分数指数幂课件 2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
a
m
n n
m
n 是偶数时 a≥0，n 是奇数时 a∈R
a
)
a
(
(m、n 是正整数), a 的取值范围是____________________________
(3)
(4)
m
n n
(a )
a m(n为奇数)
a∈R
m
(m、n 是正整数)， a 的取值范围是_________________
m
－
1
1
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a n ＝ m＝n (a>0，m，n∈N*，且 n>1)；
an
am
0
没有意义
(3)0 的正分数指数幂等于___，0
的负分数指数幂_________.
课堂精讲
角度 1 分数指数幂化根式
【例 1－1】
(1)
；
用根式的形式表示下列各式(x>0).
(2)
解
5
(1)
(2)
＝ x2；
＝3
1
.
x5
课堂精讲
角度 2 根式化分数指数幂
【例 1－2】 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 a>0，b>0.
5
(1) a6；
(2)3
1
4
；
a2
(3)
b3
6
2；(4) （－a） .
a
解
4
6
5
(3)
(1) a ＝a5.
6
(2) 3
1
1
2
＝ 2＝a－3.
a2 a3
b3 b31 3 －2 －1 3
8
2
0
m
n n
m
n 是偶数时 a≥0，n 是奇数时 a∈R
a
)
a
(
(m、n 是正整数), a 的取值范围是____________________________
(3)
(4)
m
n n
(a )
a m(n为奇数)
a∈R
m
(m、n 是正整数)， a 的取值范围是_________________
m
－
1
1
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a n ＝ m＝n (a>0，m，n∈N*，且 n>1)；
an
am
0
没有意义
(3)0 的正分数指数幂等于___，0
的负分数指数幂_________.
课堂精讲
角度 1 分数指数幂化根式
【例 1－1】
(1)
；
用根式的形式表示下列各式(x>0).
(2)
解
5
(1)
(2)
＝ x2；
＝3
1
.
x5
课堂精讲
角度 2 根式化分数指数幂
【例 1－2】 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 a>0，b>0.
5
(1) a6；
(2)3
1
4
；
a2
(3)
b3
6
2；(4) （－a） .
a
解
4
6
5
(3)
(1) a ＝a5.
6
(2) 3
1
1
2
＝ 2＝a－3.
a2 a3
b3 b31 3 －2 －1 3
8
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)2
；
9
(2)
3 214 3 16
；(3)
－1－ 3
42
3
8 3 .
【思维·引】(1)将底数化为真分数后求值. (2)将根式化为分数指数后求值. (3)先化为同底,再利用指数运算法则求值.
【解析】(1)原式=
(16
－3
)2
( 4)－3
27 .
9
3 64
(2)原式=
11
[(214 )2 ]3
－4
2.计算 5 2 6 7 4 3 6 4 2. 【解析】 5 2 6 7 4 3 6 4 2
( 3 2)2 (2 3)2 (2 2)2
= ( 3 2) (2 3=) 0(.2 2)
【加练·固】
3 (6)3＋4 ( 5 4)4＋3 ( 5 4)3的值为 (
2 3
=2214112=13－234 .
(3)原式=
(22
－1－
)
3 2
(23)
3 3
2(－1－ 3 )
3 3
2
2 2 3
2－2－ 3 3 2－2 1 . 4
【内化·悟】 如果式子中含有多层根号,应怎样化简求值? 提示:先由内向外分别化为分数指数幂,再利用分数指 数幂的运算法则计算.
【类题·通】
(3)√.由无理数指数幂的意义可知正确.
2. (3 2 ) 2 =________. 【解析】(3 2 ) 2 3=23 22 =9. 答案:9
3.若x<0,则|x|+ x2＋ x2 =________.
|x|
【解析】因为x<0,所以原式=-x-x+1=1-2x.
答案:1-2x
类型一 n次方根概念及相关的问题
3.分数指数幂的意义
正分 数指 数幂
n为正整数, n a 有意义,且a≠0时,规定
1
an n a
m
m
正分数__n_, a n ( n a )m n am
负分数 指数幂
s是正分数,as有意义且a≠0时,规定a-s=
1 as
【思考】
分数指数幂中的 m 有什么规定?
n
提示: m为既约分数,如果没有特殊说明,一般总认为
【典例】1.化简 (3 )2 3 ( 3)3 等于 ( )
A.-2π B.6
C.2π
D.-6
2. 3 2 2 3 2 2 等于 ( )
A.2 2 B. 2
C. 6
D.2
3.若 4 a 2 +(a-3)0有意义,则a的取值范围是 ________.
【思维·引】1.根据根指数的奇偶、π和3的大小化简. 2.将被开方数配成完全平方后化简. 3.根据偶次方根的被开方数非负,0次幂的底数不等于0, 求a的范围.
2.根式
(1)当 n a 有意义时, n a 称为根式,n称为根指数,a称为 被开方数.
(2)性质: ① (n a )n a;
②
n
an
a, n为奇数， |a|，n为偶数.
【思考】 (n a )n 与 n an 中的字母a的取值范围是否一样? 提示:取值范围不同.式子 (n a )n 中隐含a是有意义的,若n 为偶数,则a≥0,若n为奇数,a∈R;式子 n an 中,a∈R.
【类题·通】 根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路:首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然 后运用根式的性质进行化简.
(2)注意点: ①正确区分( n a )n与 n an 两式; ②运算时注意变式、整体代换,以及平方差、立方差和 完全平方、完全立方公式的运用,必要时要进行讨论.
【习练·破】
)
A.-6 B.2 5 -2 C.2 5 D.6
【解析】选A. 3 (6)3 =-6,
4 ( 5 4)4＝| 5－4 |＝4－ 5，? 3 ( 5 4)3＝ 5－4，
所以原式=-6+4- 5＋ 5 -4=-6.
类型二 分数指数幂的求值问题
【典例】求下列各式的值. 世纪金榜导学号
(1)
(1
7
－3
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)n是大于1的正整数,若xn=a,则x=± n a .( )
2
(2) (－2)4 ( 4 －2)2.
()
(3) 2 是一个确定的实数. ( )
提示:(1)×.当n是奇数时,x= n a.
(2)×.
2
(－2)4 4 (－2)2 ( 4 2)2.
1.n次方根 (1)定义:给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x, 使得xn=a,则x叫做a的n次方根.
(2)表示:
n为奇数 a∈R
_x___n_a_
a>0 ___n _a_
n为偶数 a=0
0
a<0 不存在
【思考】 对于式子 n a 中a一定是非负数吗?如不是,其范围是什 么? 提示:不一定是非负数,其范围由n的奇偶决定;当n为奇 数时,a∈R;当n为偶数时,a≥0.
n
分数指数中的分数都是既约分数.
4.无理数指数幂 当a>0且t是无理数时,at是一个确定的实数.
【思考】 当a>0时,式子ax中的x的范围是什么? 提示:x∈R.
5.实数指数幂的运算法则(a>0,b>0,r,s∈R) (1)aras=ar+s.(2) (ar)s =ars.(3) (ab)r =arbr.
1.根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法:根指数
分数指数的分母,
被开方数(式)的指数
分数指数的分子.
(2)思路:在具体计算中,通常会把根式转化成分数指数 幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 提醒:如果根式中含有多重根号,要由里向外用分数指 数幂写出.
【解析】1.选D. (3 )2 3 ( 3)3 =π-3-π-3=-6. 2.选A. 3 2 2 3 2 2
( 2 1)2 ( 2 1)2 2 1 2 1 2 2.
3.由
a－2 a－3
00，，得a≥2,且a≠3.
答案:[2,3)∪(3,+∞)
【内化·悟】 1.对于根式 n an 化简需要注意哪些? 提示:注意n的奇偶和a的符号. 2.怎样求根式中变量的范围? 提示:根指数是正的偶数时,被开方数非负,根指数为奇 数时,被开方数为任意实数.
1.已知a∈R,n∈N*,给出下列4个式子: ① 4 －22n；? ② 3 (－2)2n1；③ 4 (－2)2n；④ 3 －a2，其中无意义的有
()
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
【解析】选A.①中-22n<0,所以 4 －22n 无意义,②中根 指数为3,有意义,③中(-2)2n>0,有意义,④中根指数为 3,有意义.
；
9
(2)
3 214 3 16
；(3)
－1－ 3
42
3
8 3 .
【思维·引】(1)将底数化为真分数后求值. (2)将根式化为分数指数后求值. (3)先化为同底,再利用指数运算法则求值.
【解析】(1)原式=
(16
－3
)2
( 4)－3
27 .
9
3 64
(2)原式=
11
[(214 )2 ]3
－4
2.计算 5 2 6 7 4 3 6 4 2. 【解析】 5 2 6 7 4 3 6 4 2
( 3 2)2 (2 3)2 (2 2)2
= ( 3 2) (2 3=) 0(.2 2)
【加练·固】
3 (6)3＋4 ( 5 4)4＋3 ( 5 4)3的值为 (
2 3
=2214112=13－234 .
(3)原式=
(22
－1－
)
3 2
(23)
3 3
2(－1－ 3 )
3 3
2
2 2 3
2－2－ 3 3 2－2 1 . 4
【内化·悟】 如果式子中含有多层根号,应怎样化简求值? 提示:先由内向外分别化为分数指数幂,再利用分数指 数幂的运算法则计算.
【类题·通】
(3)√.由无理数指数幂的意义可知正确.
2. (3 2 ) 2 =________. 【解析】(3 2 ) 2 3=23 22 =9. 答案:9
3.若x<0,则|x|+ x2＋ x2 =________.
|x|
【解析】因为x<0,所以原式=-x-x+1=1-2x.
答案:1-2x
类型一 n次方根概念及相关的问题
3.分数指数幂的意义
正分 数指 数幂
n为正整数, n a 有意义,且a≠0时,规定
1
an n a
m
m
正分数__n_, a n ( n a )m n am
负分数 指数幂
s是正分数,as有意义且a≠0时,规定a-s=
1 as
【思考】
分数指数幂中的 m 有什么规定?
n
提示: m为既约分数,如果没有特殊说明,一般总认为
【典例】1.化简 (3 )2 3 ( 3)3 等于 ( )
A.-2π B.6
C.2π
D.-6
2. 3 2 2 3 2 2 等于 ( )
A.2 2 B. 2
C. 6
D.2
3.若 4 a 2 +(a-3)0有意义,则a的取值范围是 ________.
【思维·引】1.根据根指数的奇偶、π和3的大小化简. 2.将被开方数配成完全平方后化简. 3.根据偶次方根的被开方数非负,0次幂的底数不等于0, 求a的范围.
2.根式
(1)当 n a 有意义时, n a 称为根式,n称为根指数,a称为 被开方数.
(2)性质: ① (n a )n a;
②
n
an
a, n为奇数， |a|，n为偶数.
【思考】 (n a )n 与 n an 中的字母a的取值范围是否一样? 提示:取值范围不同.式子 (n a )n 中隐含a是有意义的,若n 为偶数,则a≥0,若n为奇数,a∈R;式子 n an 中,a∈R.
【类题·通】 根式化简与求值的思路及注意点
(1)思路:首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然 后运用根式的性质进行化简.
(2)注意点: ①正确区分( n a )n与 n an 两式; ②运算时注意变式、整体代换,以及平方差、立方差和 完全平方、完全立方公式的运用,必要时要进行讨论.
【习练·破】
)
A.-6 B.2 5 -2 C.2 5 D.6
【解析】选A. 3 (6)3 =-6,
4 ( 5 4)4＝| 5－4 |＝4－ 5，? 3 ( 5 4)3＝ 5－4，
所以原式=-6+4- 5＋ 5 -4=-6.
类型二 分数指数幂的求值问题
【典例】求下列各式的值. 世纪金榜导学号
(1)
(1
7
－3
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)n是大于1的正整数,若xn=a,则x=± n a .( )
2
(2) (－2)4 ( 4 －2)2.
()
(3) 2 是一个确定的实数. ( )
提示:(1)×.当n是奇数时,x= n a.
(2)×.
2
(－2)4 4 (－2)2 ( 4 2)2.
1.n次方根 (1)定义:给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x, 使得xn=a,则x叫做a的n次方根.
(2)表示:
n为奇数 a∈R
_x___n_a_
a>0 ___n _a_
n为偶数 a=0
0
a<0 不存在
【思考】 对于式子 n a 中a一定是非负数吗?如不是,其范围是什 么? 提示:不一定是非负数,其范围由n的奇偶决定;当n为奇 数时,a∈R;当n为偶数时,a≥0.
n
分数指数中的分数都是既约分数.
4.无理数指数幂 当a>0且t是无理数时,at是一个确定的实数.
【思考】 当a>0时,式子ax中的x的范围是什么? 提示:x∈R.
5.实数指数幂的运算法则(a>0,b>0,r,s∈R) (1)aras=ar+s.(2) (ar)s =ars.(3) (ab)r =arbr.
1.根式与分数指数幂互化的方法及思路
(1)方法:根指数
分数指数的分母,
被开方数(式)的指数
分数指数的分子.
(2)思路:在具体计算中,通常会把根式转化成分数指数 幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 提醒:如果根式中含有多重根号,要由里向外用分数指 数幂写出.
【解析】1.选D. (3 )2 3 ( 3)3 =π-3-π-3=-6. 2.选A. 3 2 2 3 2 2
( 2 1)2 ( 2 1)2 2 1 2 1 2 2.
3.由
a－2 a－3
00，，得a≥2,且a≠3.
答案:[2,3)∪(3,+∞)
【内化·悟】 1.对于根式 n an 化简需要注意哪些? 提示:注意n的奇偶和a的符号. 2.怎样求根式中变量的范围? 提示:根指数是正的偶数时,被开方数非负,根指数为奇 数时,被开方数为任意实数.
1.已知a∈R,n∈N*,给出下列4个式子: ① 4 －22n；? ② 3 (－2)2n1；③ 4 (－2)2n；④ 3 －a2，其中无意义的有
()
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个
【解析】选A.①中-22n<0,所以 4 －22n 无意义,②中根 指数为3,有意义,③中(-2)2n>0,有意义,④中根指数为 3,有意义.