高考数学二轮专题复习 周周练 第三周 综合限时练 理

2021年高三数学周测试题三理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数（其中i为虚数单位）的虚部是A．B． C．D．2. 已知：若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是A． B．C．D．3．设为等比数列的前项和，已知,则公比A．B．C． D．4. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A．1 B．2C．3 D．45．在中，的对边分别是，其中，则角A的取值一定属于范围A． B．C． D．6．为得到函数的导函数．．．图象,只需把函数的图象上所有点的A．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标向左平移B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移C．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标向左平移D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移7．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC8．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是A． B． C． D．9．在中，若，则面积的最大值为A． B． C． D．10．正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB ＝90°，则GM的长为A ．12B ．22C ．33D ．66 11．设满足约束条件 ，若目标函数的值是最大值为12，则的最小值为A ．B ．C ．D ． 412．已知函数，若恒成立，则的最大值为A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是___________.14．已知(为自然对数的底数),函数,则__________.15．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 是线段DC 1上的动点， 则点M 到直线AD 1距离的最小值是________．16．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，如果函数，，（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是 ．三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

星期三 (解析几何)2017年____月____日解析几何(命题意图：考查利用向量知识求椭圆方程及直线与椭圆相交情况下的三角形、斜率、点到直线的距离等知识的综合应用)(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 是椭圆C 上的一点，满足OE →＝OF 1→＋22OB →，且△EF 1F 2的周长为2(2＋1).(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M 是线段OF 2上的一点，过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 距离的取值范围.解 (1)由已知F 1(－c ，0)，设B (0，b )，即OF 1→＝(－c ，0)，OB →＝(0，b )，∴OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，22b ，即E ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，22b ， ∴c 2a 2＋12b 2b 2＝1，得c a ＝22，① 又△EF 1F 2的周长为2(2＋1)，∴2a ＋2c ＝2＋22，②又①②得c ＝1，a ＝2，∴b ＝1，∴所求椭圆C 的方程为 x 22＋y 2＝1. (2)设点M (m ，0)，(0＜m ＜1)，直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2＝2，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点为N (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k 1＋2k2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝y 1＋y 22＝－k 1＋2k 2， 即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k21＋2k 2，－k1＋2k 2. 法一 ∵△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，∴MN ⊥PQ ，即k 2m （1＋2k 2）－2k 2＝－1，∴m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 设点M 到直线l ：kx －y －k ＝0距离为d ，则d 2＝k 2（m －1）2k 2＋1＝k 2（k 2＋1）（1＋2k 2）2＜14（k 2＋k 2＋1）2（1＋2k 2）2＝14， ∴d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，即点M 到直线距离的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 法二 ∵△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形， ∴(MP →＋MQ →)·PQ →＝0，∵MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，PQ →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴(x 1＋x 2－2m )(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝0， 又y 2＋y 1＝k (x 2＋x 1－2)，y 2－y 1＝k (x 2－x 1)， ∴(x 2＋x 1－2m )＋k 2(x 1＋x 2－2)＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4k21＋2k 2－2m ＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k21＋2k 2－2＝0，∴m ＝k 21＋2k 2. 以下同解法一.。

星期五(综合限时练）2017年____月____日解答题综合练（设计意图:训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟）1.（本小题满分14分)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c，已知a＝b cos C＋错误!c sin B.(1)若a＝2，b＝7，求c；(2)若错误!sin错误!－2sin2错误!＝0，求A.解(1）∵a＝b cos C＋错误!c sin B，∴sin A＝sin B cos C＋错误!sin C sin B,∴cos B sin C＝错误!sin C sin B，又sin C≠0，∴tan B＝错误!,∵B∈错误!，∴B＝错误!.∵b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴c2－2c－3＝0，∴c＝3,c＝－1（舍去）.(2)∵错误!sin 错误!－2sin2错误!＝错误!sin错误!－1＋cos错误!＝错误!sin错误!＋cos错误!－1＝错误!sin错误!－cos错误!－1＝2sin错误!－1.∴由2sin错误!－1＝0,及错误!＜A＜错误!,可得A＝错误!。

2.(本小题满分15分)甲、乙两人组成“星队"参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队"得3分；如果只有一个人猜对,则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。

已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队"参加两轮活动，求：(1）“星队”至少猜对3个成语的概率；（2)“星队"两轮得分之和X的分布列和数学期望E（X）。

解(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”,记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD。

由事件的独立性与互斥性，P（E)＝P(ABCD）＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P（ABCD)＋P（ABCD）＝P（A)P(B）P（C)P（D）＋P（A）P（B)P(C)P（D）＋P（A)P(B)P(C)P(D）＋P（A)P(B)P（C)P（D)＋P（A）P(B)P（C）P(D)＝错误!×错误!×错误!×错误!＋2×错误!错误!＝错误!。

第三周周测试卷班级： 姓名： 座号： 成绩： 一、选择题。

11． 12． 13． 14． 一、选择题1、给定函数①12y x =，②1y x =，③1y x =-，④cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中既是奇函数又在区间()0,1上是增函数的是A. ①B. ②C. ③D. ④2、函数()2232xx xf x e +=的大致图像是（ ）A. B. C. D.3、已知0a >且1a ≠，函数()13log ,0,0x x x f x a b x >=+≤⎧⎪⎨⎪⎩，满足()02f =， ()13f -=，则()()3f f -=（ ）A. -3B. -2C. 3D. 2 4．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )A ．10π B.9π C.910π D.109π5、设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝( )A.247B.－247C.127D.－1276、已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.347、(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825C.1D.16258、函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是 ( )A.⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3B.⎣⎡⎦⎤－2π，－5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2πC.⎣⎡⎦⎤－5π3，π3D.⎣⎡⎦⎤π3，2π 9、(2014·全国卷Ⅰ)在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④ B.①③④ C ．①②③ D.①③10、已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－2π3，0B.⎝⎛⎭⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎫5π3，0 二、填空题11、若函数()()12,2,{ log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．12、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = （ ）13、已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6xf x -=,则f (919)= .14、若函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.答案一、选择题11．2⎫⎪⎪⎣⎭12．1213． 6 14．02b<<。

高三数学（理科）小题周周练
.已知集合，若，则等于（）．．．或．或
.已知角的终边经过点且，则等于（）
．．．．
.已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（）．．．．
.为得到函数的图象，可将函数的图象（）．向左移个单位．向左移个单位．向右移个单位．向右移个单位
.“”是“函数是在上的单调函数”的（）
．充分不必要条件．必要不充分条件
．充要条件．既不充分也不必要条件
.的大小关系为（）
．．
．．
.已知命题对任意，命题存在，使得，则下列命题为真命题的是（）
．．．．
.函数的图象大致是（）
．．．．
.若函数的图象关于直线对称，且当
时，，则等于（）
．．．．
.等于（）
．．．．
.设函数，若对任意，都存在，使得，则实数的最大值为（）
．．．．
.若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）
．．．．
二、填空题（本大题共小题，每题分，满分分．）
.命题“若，则”的否命题为．
.已知集合，则的元素个数是．
.若，则．
.设函数对任意实数满足，且当时，，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是．。

星期六 (综合限时练)2016年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟.)1.(本小题满分12分)已知向量m ＝(3sin 2x －1，cos x )，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos x ，设函数f (x )＝m ·n ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值；(2)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中A ，B 为锐角，f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝85，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2－π12－1＝1010，又a ＋b ＝2＋1，求a ，b ，c 的值.解 (1)函数f (x )＝m ·n ＋1＝32sin 2x －12＋cos 2x ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.∴T ＝2πω＝2π2＝π.∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，即12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1≤2. ∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＋1＝cos 2A ＋1＝85，∴cos 2A ＝35，∴sin 2A ＝1－cos 2A 2＝15.∵A 为锐角，∴sin A ＝55，cos A ＝255.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2－π12－1＝1010，∴sin B ＝1010.∵B 为锐角，∴cos B ＝31010.由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴a ＝2b .又a ＋b ＝2＋1，∴a ＝2，b ＝1.而sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22， 由正弦定理得a sin A ＝csin C ，∴c ＝ 5.2.(本小题满分12分)某电视台2014年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训.下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”.(1)从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率；(2)电视台决定，复赛票数不低于85票的选手将成为电视台的“签约歌手”，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关？”甲班乙班总计签约歌手未签约歌手总计P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d解(1)进入决赛的选手共6名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名.设拥有“优先挑战权”的选手编号为1，2，3，其余3人编号为A，B，C.被选中3人的编号所有可能的情况共20种，列举如下：123，12A，12B，12C，13A，13B，13C，1AB，1AC，1BC，23A，23B，23C，2AB，2AC，2BC，3AB，3AC，3BC，ABC，其中拥有“优先挑战权”的选手恰有1名的情况共9种，如下：1AB，1AC，1BC，2AB，2AC，2BC，3AB，3AC，3BC，∴所求概率为P＝9 20.(2)2×2列联表：甲班乙班总计签约歌手31013未签约歌手171027总计20 20 40根据列联表中的数据，得到K 2的观测值k ＝213×27×20×20≈5.584>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关. 3.(本小题满分12分)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都是2，D 是侧棱CC 1上任意一点，E 是A 1B 1的中点.(1)求证：A 1B 1∥平面ABD ； (2)求证：AB ⊥CE ； (3)求三棱锥C －ABE 的体积.(1)证明 由正三棱柱的性质知A 1B 1∥AB ，因为AB ⊂平面ABD ，A 1B 1⊄平面ABD ， 所以A 1B 1∥平面ABD .(2)证明 设AB 中点为G ，连接GE ，GC . ∵△ABC 为正三角形，且G 为中心， ∴AB ⊥GC .又EG ∥AA 1，AA 1⊥AB ，∴AB ⊥GE ，又CG ∩GE ＝G ，所以AB ⊥平面GEC . 而CE ⊂平面GEC ， 所以AB ⊥CE .(3)解 由题意可知：V C －ABE ＝V E －ABC ＝13×EG ×S △ABC ＝13×2×12×22×32＝233.4.(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上有一个长轴端点到两个焦点之间的距离分别为3＋22，3－2 2.(1)如果直线x ＝t (t ∈R )与椭圆相交于不同的两点A ，B ，若C (－3，0)，D (3，0)，直线CA 与直线BD 的交点是K ，求点K 的轨迹方程；(2)过点Q (1，0)作直线l (与x 轴不垂直)与该椭圆交于M 、N 两点，与y 轴交于点R ，若RM→＝λMQ →，RN →＝μNQ →，试判断：λ＋μ是否为定值？并说明理由.解 (1)由已知⎩⎨⎧a ＋c ＝3＋22，a －c ＝3－22⇔⎩⎨⎧a ＝3，c ＝22，b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆方程为x 29＋y 2＝1.依题意可设A (t ，y 0)，B (t ，－y 0)，K (x ，y )， 且有t 29＋y 20＝1，又CA ：y ＝y 0t ＋3(x ＋3)，DB ：y ＝－y 0t －3(x －3)，y 2＝－y 20t 2－9(x 2－9)，将t 29＋y 2＝1代入即得y 2＝19(x 2－9)，x 29－y 2＝1. 所以直线CA 与直线BD 的交点K 的轨迹方程是x 29－y 2＝1.(y ≠0)(2)λ＋μ是定值，λ＋μ＝－94，理由如下：依题意，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，设M (x 3，y 3)、N (x 4，y 4)、R (0，y 5)，则M 、N 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 29＋y 2＝1. 消去y 并整理，得(1＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0， 所以x 3＋x 4＝18k 21＋9k 2①，x 3x 4＝9k 2－91＋9k2②.因为RM →＝λMQ →，所以(x 3，y 3)－(0，y 5)＝λ[(1，0)－(x 3，y 3)]， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λ（1－x 3），y 3－y 5＝－λy 3，又l 与x 轴不垂直，所以x 3≠1，所以λ＝x 31－x 3，同理μ＝x 41－x 4，所以λ＋μ＝x 31－x 3＋x 41－x 4＝（x 3＋x 4）－2x 3x 41－（x 3＋x 4）＋x 3x 4.将①②代入上式可得λ＋μ＝－94.5.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值； (3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数解.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，f (x )max ＝f (1)＝－1， (2)∵f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞. ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，f (x )在(0，e]上是增函数，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0不合题意. ②若a ＜－1e ，则由f ′(x )＞0⇒a ＋1x ＞0，即0＜x ＜－1a.由f ′(x )＜0得a ＋1x＜0，即－1a＜x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e 上是减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，则ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，∴－1a＝e －2，即a ＝－e －2.∵－e 2＜－1e ，∴a ＝－e 2为所求.(3)由(1)知当a ＝－1时，f (x )max ＝f (1)＝－1， ∴|f (x )|≥1又令g (x )＝ln x x ＋12，g ′(x )＝1－ln xx 2.令g ′(x )＝0，得x ＝e.当0＜x ＜e 时，g ′(x )＞0，g (x )在(0，e)上单调递增， 当x ＞e 时，g ′(x )＜0，g (x )在(e ，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (e)＝1e ＋12＜1，∴g (x )＜1，∴|f (x )|＞g (x )， 即|f (x )|＞ln x x ＋12，∴方程|f (x )|＝ln x x ＋12没有实数解.6.请同学从下面所给的三题中选定一题作答 A.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如下图所示，AB 是⊙O 的直径，C 、E 为⊙O 上的点，CA 平分∠BAE ，CF ⊥AB ，F 是垂足，CD ⊥AE ，交AE 延长线于D .(1)求证：DC 是⊙O 的切线； (2)求证：AF ·FB ＝DE ·DA .证明 (1)连接OC ，∠DAC ＝∠FAC ，∠FAC ＝∠ACO ， ∴∠DAC ＝∠ACO ， ∴AD ∥OC ， ∵∠ADC ＝90°， ∴∠OCD ＝90°， ∴DC 为圆O 的切线. (2)△ADC 与△AFC 全等，∴DC ＝CF ，连接BC ，在Rt△ABC 中CF ⊥AB ， ∴CF 2＝AF ·FB ， 又DC 2＝DE ·DA ， ∴AF ·FB ＝DE ·DA .B.(本小满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－32t ，y ＝－3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若点P (x ，y )在圆C 上，求3x ＋y 的取值范围.解 (1)直线l ：x ＋3y －2＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －3)2＝4， 圆心C 到直线的距离d ＝|1＋3－2|2＝1<2＝r ，相交.(2)令⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，∴3x ＋y ＝3(1＋2cos θ)＋3＋2sin θ＝2sin θ＋23cos θ＋23＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋23，∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴3x ＋y 的取值范围是[23－4，23＋4].C.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝log 3(|x －1|＋|x －4|－a )，a ∈R . (1)当a ＝－3时，求f (x )≥2的解集；(2)当f (x )定义域为R 时，求实数a 的取值范围.解 (1)a ＝－3时，f (x )≥2等价于|x －1|＋|x －4|＋3≥9， ∴|x －1|＋|x －4|≥6， ①当x ≥4时，2x －5≥6， ∴x ≥112；②当1<x <4时，3≥6，不成立； ③当x ≤1时，5－2x ≥6， ∴x ≤－12.综上，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥112或x ≤－12.(2)f (x )＝log 3(|x －1|＋|x －4|－a )的定义域为R ，即|x －1|＋|x －4|>a 恒成立，|x －1|＋|x －4|≥|(x －1)－(x －4)|＝3， 当且仅当1≤x ≤4时取等号， ∴a <3，即a 的取值范围是(－∞，3).。

2021年高考数学二轮复习小题综合限时练三理一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5 B.－3 C.1＋4iD.1－4i解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A2.已知集合M ＝{y |y ＝4－x 2}，N ＝{x |y ＝ln(x 2－2x )}，则( ) A.M ⊂N B.N ⊂M C.M ∩N ＝∅D.M ∪N ≠R解析 M ＝[0，2]，N ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以M ∩N ＝∅.故选C. 答案 C3.在－20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( ) A.200 B.100 C.90D.70解析 S ＝10（－20＋40）2＝100.故选B.答案 B4.我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率π的近似值.如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n ，落到正方形内的豆子数为m ，则圆周率π的估算值是( ) A.nmB.2nmC.3nmD.2mn解析 设圆的半径为r ，则P ＝m n ＝（2r ）2πr 2，得π＝2nm.故选B. 答案 B5.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A.(1，3)B.(1，2)C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒b a＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D6.设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a 等于( )A.－1B.1C.2D.4解析 设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋a ，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2. 答案 C7.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，则ω的一个可能值是( )A.12 B.35 C.34D.32解析 由函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，得2π3≤π2ω⇒ω≤34.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，得5π6＞π2ω，ω＞35，所以35＜ω≤34.故选C. 答案 C8.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.43π＋833B.43π3＋83 C.43π＋833D.43π＋83解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：V ＝13Sh ＝2π＋43×23＝43π＋833. 答案 A9.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝13，则△ABC面积的最大值为( ) A.2 B. 2 C.12D.3解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×223＝ 2.故选B.答案 B10.设函数f (x )＝e x ＋1，g (x )＝ln(x －1).若点P 、Q 分别是f (x )和g (x )图象上的点，则|PQ |的最小值为( )A.22 B. 2C.322D.22解析 f (x )＝e x ＋1与g (x )＝ln(x －1)的图象关于直线y ＝x 对称，平移直线y ＝x 使其分别与这两个函数的图象相切.由f ′(x )＝e x ＝1得，x ＝0.切点坐标为(0，2)，其到直线y ＝x 的距离为2，故|PQ |的最小值为2 2.故选D. 答案 D11.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若FA →＝(2－1)AB →，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.2 2D. 5解析 过F ，A 的直线方程为y ＝bc (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝b ax ②，联立①②， 解得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，由FA →＝(2－1)AB →，得c ＝(2－1)ac c －a，c ＝2a ，e ＝ 2.答案 A12.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x |， （x ≤1），x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－2，2]∪[4，＋∞) C.[－2，2＋2]D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.由x 2－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍). 由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D.答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.已知x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5展开式中的常数项为20，其中a ＞0，则a ＝________.解析 T r ＋1＝C r5x ·x 5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝a r C r5x 6－32r .由⎩⎪⎨⎪⎧6－32r ＝0，a r C r 5＝20，得⎩⎨⎧r ＝4，a 4＝4，因为a ＞0，所以a ＝ 2.答案214.实数x ，y 满足⎩⎨⎧y －2x ≤－2，y ≥1，x ＋y ≤4，则x 2＋y2xy的取值范围是________.解析 x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x .令k ＝y x，则k 表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由图形可知13≤k ≤1，根据函数y ＝1k ＋k 的单调性得2≤k ≤103.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，10315.设a 、b 是单位向量，其夹角为θ.若|t a ＋b |的最小值为12，其中t ∈R ，则θ＝________.解析 因为t ∈R ，所以|t a ＋b |2＝t 2＋2t cos θ＋1＝(t ＋cos θ)2＋1－cos 2θ≥1－cos 2θ＝14.得cos θ＝±32⇒θ＝π6或5π6.答案π6或5π616.已知数列{a n}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n}满足x1＝3，x1＋x2＋x3＝39，xa nn＝xa n＋1n＋1＝xa n＋2n＋2，则x n＝________.解析设xa nn＝xa n＋1n＋1＝xa n＋2n＋2＝k，则a n＝log x n k⇒1a n＝log k x n，同理1a n＋1＝log k x n＋1，1a n＋2＝log k x n＋2，因为数列{a n}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n ＋1＝log kx n＋log k x n＋2⇒x2n＋1＝x n x n＋2，所以数列{x n}是等比数列，把x1＝3代入x1＋x2＋x3＝39得公比q＝3(负值舍去)，所以x n＝3×3n－1＝3n.答案3n。

星期六 (综合限时练)解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟．)1．(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －c a ＝cos Ccos A .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的值域．解 (1)由2b －c a ＝cos Ccos A，利用正弦定理可得2sin B cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ，化为2sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －π6＝3sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.∵B ＋C ＝2π3，0＜B ＜π2，∴π6＜B ＜π2，∴π3＜B ＋π6＜2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴y ∈(3，2]． 2．(本小题满分12分)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：而且已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．解 (1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，∴120＋x3 600＝0.05，解得x ＝60，∴持“无所谓”态度的人数共有3 600－2 100－120－600－60＝720，∴应在“无所谓”态度抽取720×3603 600＝72人；(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生为120180×6＝4人，社会人士为60180×6＝2人，于是第一组在校学生人数ξ＝1，2，3.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝3)＝C 34C 02C 36＝15，即ξ的分布列为：∴E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.3．(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且PA ＝AB ＝AC ＝2，BC ＝2 2.(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB 所成角的正弦值为105，求ANNB的值． (1)证明 在△ABC 中，BC 2＝AB 2＋AC 2， 所以AB ⊥AC .又AB ∥CD ， 所以AC ⊥CD .又PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD . 又AC ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAC .(2)解 如图，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (－2，2，0)．因为M 是棱PD 的中点，所以M (－1，1，1)． 所以AM →＝(－1，1，1)，AB →＝(2，0，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面MAB 的法向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM →＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＋z ＝0，2x ＝0.令y ＝1，则x ＝0，y ＝1，z ＝－1，所以平面MAB 的法向量n ＝(0，1，－1)．因为N 是在棱AB 上一点，所以设N (x ，0，0)，NC →＝(－x ，2，0)．设直线CN 与平面MAB 所成角为α，因为平面MAB 的法向量n ＝(0，1，－1)， 所以sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·NC →|n |·|NC →|＝22×x 2＋4＝105. 解得x ＝1，即AN ＝1，NB ＝1，所以ANNB＝1.4.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为单位圆C 2：x 2＋y 2＝1的直径，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆的方程；(2)过椭圆短轴的上顶点B 1作直线分别与单位圆C 2和椭圆C 1交于A ，B 两点(A ，B 两点均在y 轴的右侧)，设B 2为椭圆的短轴的下顶点，求∠AB 2B 的最大值．解 (1)由题知b ＝1，又e ＝c a ＝a 2－1a ＝63，得a 2＝3，∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由(1)得B 1(0，1)，B 2(0，－1)，设过椭圆的短轴的上顶点B 1的直线的方程为y ＝kx ＋1，由于B 1B 2为圆的直径，所以直线B 2A 的斜率k 1＝－1k.把y ＝kx ＋1代入C 1得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1＋3k 2，1－3k 21＋3k 2， 由题意易知k ＜0，且直线B 2B 的斜率为k 2＝1－3k21＋3k 2＋1－6k 1＋3k 2＝－13k，所以k 1，k 2＞0，且k 1＝3k 2，又△B 2AB 是直角三角形，所以∠AB 2B 必为锐角，因为B 2A →与B 2B →的方向向量分别为(1，k 1)，(1，k 2)，所以B 2A →·B 2B →＝(1，k 1)·(1，k 2)＝1＋3k 22，又B 2A →·B 2B →＝1＋k 21·1＋k 22cos ∠AB 2B ， 从而cos ∠AB 2B ＝1＋3k 221＋9k 22·1＋k 22＝1－4k 221＋10k 22＋9k 42＝1－41k 22＋9k 22＋10≥32，当且仅当k 2＝33时，cos ∠AB 2B 取得最小值32，由∠AB 2B 为锐角得∠AB 2B 的最大值为π6.5．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1，g (x )＝ln(x ＋1)．(1)当实数a 为何值时，函数g (x )在x ＝0处的切线与函数f (x )的图象相切； (2)当x ∈[0，＋∞)时，不等式f (x )＋g (x )≤x ＋1恒成立，求a 的取值范围； (3)已知n ∈N *，试判断g (n )与g ′(0)＋g ′(1)＋…＋g ′(n －1)的大小，并证明之． 解 (1)∵g (x )＝ln(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1x ＋1，g ′(0)＝1， 故g (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝ax 2＋1，得ax 2－x ＋1＝0， ∴Δ＝1－4a ＝0， ∴a ＝14.(2)当x ∈[0，＋∞)时，不等式f (x )＋g (x )≤x ＋1恒成立， 即ax 2＋ln(x ＋1)－x ≤0恒成立． 设h (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)－x (x ≥0)， 只需h (x )max ≤0即可．h ′(x )＝2ax ＋1x ＋1－1＝x [2ax ＋（2a －1）]x ＋1.①当a ＝0时，h ′(x )＝－xx ＋1，当x ＞0时，h ′(x )＜0， 函数h (x )在[0，＋∞)上单调递减， 故h (x )≤h (0)＝0成立．②当a ＞0时，由h ′(x )＝0，得x ＝12a－1或x ＝0.1° 12a －1＜0，即a ＞12时，在区间(0，＋∞)上，h ′(x )＞0，则函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，h (x )在(0，＋∞)上无最大值，此时不满足条件．2° 若12a －1≥0，即0＜a ≤12时，函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a －1上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1，＋∞上单调递增，同样h (x )在[0，＋∞)上无最大值，不满足条件．③当a ＜0时，h ′(x )＜0，函数h (x )在[0，＋∞)上单调递减，故h (x )≤h (0)＝0成立， 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0]．(3)结论：g (n )＜g ′(0)＋g ′(1)＋g ′(2)＋…＋g ′(n －1)． 证明：当a ＝0时，ln(x ＋1)≤x (当且仅当x ＝0时取等号)，令x ＝1n，∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n＋1＜1n，∴ln(n ＋1)－ln n ＜1n.故有ln(n ＋1)－ln n ＜1n，ln n －ln(n －1)＜1n －1， ln(n －1)－ln(n －2)＜1n －2， ……ln 3－ln 2＜12，ln 2－ln 1＜1，所以ln(n ＋1)＜1＋12＋13＋…＋1n，即g (n )＜g ′(0)＋g ′(1)＋g ′(2)＋…＋g ′(n －1)． 6．请同学从下面所给三题中选定一题作答 A ．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．(1)若EC EB ＝13，ED EA ＝12，求DCAB的值；(2)若EF 2＝FA ·FB ，证明：EF ∥CD . (1)解 ∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠EDC ＝∠EBF ， 又∵∠CED ＝∠AEB ， ∴△CED ∽△AEB ， ∴EC EA ＝ED EB ＝DCAB，∵EC EB ＝13，ED EA ＝12，∴DC AB ＝66. (2)证明 ∵EF 2＝FA ·FB ， ∴EF FA ＝FBFE， 又∵∠EFA ＝∠BFE ， ∴△FAE ∽△FEB ， ∴∠FEA ＝∠EBF ，又∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠EDC ＝∠EBF ， ∴∠FEA ＝∠EDC ， ∴EF ∥CD .B ．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求曲线C 1，C 2的普通方程；(2)A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2是曲线C 1上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值．解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，∴C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.∵射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，∴C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，∴ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ， ∴ρ21＝44sin 2θ＋cos 2θ，ρ22＝44sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝4sin 2θ＋4cos 2θ， ∴1ρ21＋1ρ22＝4sin 2θ＋cos 2θ4＋4cos 2θ＋sin 2θ4＝54. C ．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |.(1)不等式|f (x )－1|≤1的解集为A ，且2∈A ，3∉A ，求实数a 的取值范围；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2(a ＞0)的解集为{x |1≤x ≤2}，求实数a 的值．解 (1)由|f (x )－1|≤1得－1≤|x －a |－1≤1， 即0≤|x －a |≤2， 即－2≤x －a ≤2， 解得a －2≤x ≤a ＋2， 所以a －2≤2≤a ＋2， 且a ＋2＜3或a －2＞3， ∴0≤a ＜1，所以a 的取值范围为[0，1)．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )＝|2x |－2|x －a |. 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2得|h (x )|≤2， 即|4x －2a |≤2⇒－2≤4x －2a ≤2⇒a －12≤x ≤a ＋12，由已知不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}． 亦即|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.。

星期六 (综合限时练)2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋33c sin B .(1)若a ＝2，b ＝7，求c ；(2)若3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π12＝0，求A .解 (1)∵a ＝b cos C ＋33c sin B ，∴sin A ＝sin B cos C ＋33sin C sin B ， ∴cos B sin C ＝33sin C sin B ，又sin C ≠0，∴tan B ＝3，∴B ＝π3.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－2c －3＝0， ∴c ＝3，c ＝－1(舍去).(2)∵3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π12＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A －π6－1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6－1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3－1.∴由2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3－1＝0，及π6＜A ＜π2，可得A ＝π4.2.(本小题满分12分)为了解从事微商的人的年龄分布情况，某调查机构对所辖市的A ，B 两个街区中随机抽取了50名微商的年龄进行了调查统计，结果如下表：已知从50(1)求x ，y 的值，根据表中数计算两个街区从事微商年龄在30岁以下的概率； (2)为了解这50名微商的工作生活情况，决定按表中描述的六种情况进行分层抽样，从中选取10名作为一个样本进行跟踪采访，然后再从样本中年龄在25～30的人员中随机选取2人接受电视台专访，求接受专访的2人来自不同街区的概率. 解 (1)依题意有10＋y50＝0.3，所以y ＝5，所以x ＝50－5－10－5－10－5＝15，A 街区微商中年龄在30岁以下的概率为5＋1530＝23，B 街区微商中年龄在30岁以下的概率为5＋1020＝34.(2)由分层抽样可知，从年龄在25～30的人员中选取的人数为1050×25＝5人，其中A 街区3人，B 街区2人.设来自A 街区的3人记为A 1，A 2，A 3，来自B 街区的2人记为B 1，B 2，则从中选取2人的所有基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)共10种情况，而2人来自不同街区所包含的基本事件有6种，所以接受专访的2人来自不同街区的概率为P ＝610＝35.3.(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，E 是棱CC 1的中点，F 是AB 的中点，AC ＝BC＝1，AA 1＝2.(1)求证：CF ∥平面AB 1E ；(2)求三棱锥C －AB 1E 在底面AB 1E 上的高. (1)证明 取AB 1的中点G ，连接EG ，FG ， ∵F 、G 分别是AB 、AB 1的中点， ∴FG ∥BB 1，FG ＝12BB 1.∵E 为侧棱CC 1的中点，∴FG ∥EC ，FG ＝EC ， ∴四边形FGEC 是平行四边形， ∴CF ∥EG .∵CF ⊄平面AB 1E ，EG ⊂平面AB 1E ， ∴CF ∥平面AB 1E .(2)解 ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∴BB 1⊥平面ABC ， 又AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥BB 1. ∵∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC .∵BB 1∩BC ＝B ，∴AC ⊥平面EB 1C ，∴AC ⊥CB 1，∴V A －EB 1C ＝13S △EB 1C ·AC ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＝16，∵AE ＝EB 1＝2，AB 1＝6，∴S △AB 1E ＝32，∵V C －AB 1E ＝V A －EB 1C ，∴三棱锥C －AB 1E 在底面AB 1E 上的高为3V C －AB 1ES △AB 1E＝33.4.(本小题满分12分)设A 1(－22，0)，A 2(22，0)，P 是动点，且直线A 1P 与A 2P 的斜率之积等于－12.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设轨迹E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，作两条互相垂直的直线MF 1和MF 2与轨迹E 的交点分别为A 、B 和C 、D ，求证：1|AB |＋1|CD |恒为定值.(1)解 设点P 的坐标为(x ，y )，则由题意得yx ＋22·yx －22＝－12，化简得x 28＋y 24＝1且x ≠±22.故动点P 的轨迹E 的方程为x 28＋y 24＝1且x ≠±22.(2)证明 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 28＋y 24＝1，消去y 得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－8＝0.由根与系数关系得x 1＋x 2＝－8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8k 2－82k 2＋1，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x1·x 2＝42（k 2＋1）2k 2＋1.同理可得|CD |＝42（k 2＋1）k 2＋2.所以1|AB |＋1|CD |＝2k 2＋142（k 2＋1）＋k 2＋242（k 2＋1）＝328. 5.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln xx－a e x .(1)当a ＝1e时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在[e ，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1e 时，函数f (x )＝ln x x －e x e ，则f ′(x )＝1－ln x x 2－e xe (x >0)，当0<x <1时，1－ln x x 2>1，e xe<1，所以f ′(x )>0；当x ＝1时，f ′(x )＝0；当x >1时，1－ln x x 2<0，e xe >0，所以f ′(x )<0，所以f (x )在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数， 所以最大值为f (1)＝－1.(2)f (x )在[e ，＋∞)上为减函数，即f ′(x )≤0在[e ，＋∞)上恒成立， 则f ′(x )＝1－ln x x 2－a e x ＝1－ln x －ax 2e xx2， ①当a ≥0时，因为x ∈[e，＋∞)，所以1－ln x ≤0，－ax 2e x ≤0，所以f ′(x )≤0，符合题意；②当a <0时，f ′(e)＝－a e e >0，与f ′(x )≤0在[e ，＋∞)上恒成立矛盾，不符合题意. 综合可知，a 的取值范围是[0，＋∞).6.请考生在以下三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. A.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数).(1)当α＝π3时，求C 1被C 2截得的线段的长；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，当α变化时，求A 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1，0)与⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－32.所以C 1被C2截得的线段的长为1.(2)将C 1的参数方程代入C 2的普通方程得t 2＋2t cos α＝0，∴A 点对应的参数t ＝t 1＋t 22＝－cos α，∴A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α). 故当α变化时，A 点轨迹的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2α，y ＝－sin αcos α，(α为参数). 因此A 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 故A 点轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，半径为12的圆. B.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，x ＋y ＋z ＝3. (1)求1x ＋1y ＋1z的最小值；(2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2<9.(1)解 因为x ＋y ＋z ≥33xyz >0，1x ＋1y ＋1z≥33xyz>0，所以(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≥9，即1x ＋1y ＋1z ≥3.当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，1x ＋1y ＋1z取得最小值3.(2)证明 x 2＋y 2＋z 2 ＝x 2＋y 2＋z 2＋（x 2＋y 2）＋（y 2＋z 2）＋（z 2＋x 2）3≥x 2＋y 2＋z 2＋2（xy ＋yz ＋zx ）3＝（x ＋y ＋z ）23＝3.又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0，所以3≤x2＋y2＋z2<9.。