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第三章 抽样分布

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统计学 第三章抽样与抽样分布

统计学 第三章抽样与抽样分布

=10
= 50 X
总体分布
n= 4
x 5
n =16
x 2.5
x 50
X
抽样分布
从非正态总体中抽样
结论：
从非正态中体中抽样，所形成 的抽样分布最终也是趋近于正态分 布的。只是样本容量需要更大些。
总结：中心极限定理
设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽 取容量为n的样本，当n充分大时（超过30），样本 均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的
总体
样本
参数
统计量
总体与样本的指标表示法
总体参数
样本统计量
(Parameter) (Sample Statistic)
容量 平均数 比例 方差 标准差
N
n
X
x
p
2
s2
s
小练习
某药品制造商感兴趣的是用该公司开发的某 种新药能控制高血压人群血压的比例。进行了一 项包含5000个高血压病人个体的研究。他发现用 这种药后80%的个体，他们的高血压能够被控制。 假定这5000个个体在高血压人群中具有代表性的 话，回答下列问题： 1、总体是什么？ 2、样本是什么？ 3、识别所关心的参数 4、识别此统计量并给出它的值 5、我们知道这个参数的值么？
正态分布
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
总体分布
正态分布
非正态分布
大样本 小样本 大样本 小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三 中心极限定理的应用
中心极限定理(Central Limit theorem) 不论总体服从何种分布，从中抽取

3 理论分布与抽样分布

3 理论分布与抽样分布

【例3.7】 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝?
(2) P (u≥2.58)=?
(3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =?
(1) P(u＜-1.64)=0.05050
(2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940
加减不同倍数σ区间的概率)是经常用到的。
P(μ-σ≤x＜μ+σ)= 0.6826
P(μ-2σ≤x＜μ+2σ) = 0.9545 P (μ-3σ≤x＜μ+3σ) = 0.9973
P (μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ) = 0.95
P (μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)= 0.99
在数理统计分析中，不仅注意随机变量x落在平均数加减不 同倍数标准差区间（μ-kσ , μ+kσ）之内的概率，更关心的是x落在 此区间之外的概率。
二项分布---二项分布的定义及其特点
二项分布的应用条件： （1）各观察单位 只具有相互对立 的一种结果，如合格或不 合格， 生存或死亡等等，非此即彼； （2）已知发生某一结果 (如死亡) 的概率为p，其对立结果 的概率则为1-P=q，实际中要求p 是从大量观察中获得的比较 稳定的数值； （3）n次观察结果互相独立，即每个观察单位的观察结果不
P (-2.58≤u＜2.58)=0.99
标准正态分布的三个常用概率如图示
u变量在上述区间以外取值的概率分别为： P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1- P(-1≤u＜1) =1-0.6826=0.3174 P(｜u｜≥2)=2Φ(-2) =1- P（-2≤u＜2） =1-0.9545=0.0455 P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027 P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01

第3章 抽样分布

第3章 抽样分布

样本方差s2
s2取值的概率
0.0 0.5
4/16 6/16
2
4.5
39
4/16
2/16
0.00 0.0 0.5 s的取值 2.0 4.5
(用Excel计算2分布的概率)
1. 利用Excel提供的CHIDIST统计函数，计算2分布 右单尾的概率值
2. 语法为 CHIDIST(x,df) ，其中 df 为自由度， x 是随 机变量的取值 3. 给定自由度和统计量取值的右尾概率，也可以利 用“插入函数”命令来实现 4. 计算自由度为8，统计量的取值大于10的概率
σ2 =1.25
23
x 2.5
x2 0.625
样本均值的抽样分布
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有 容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数 学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)
=10
n=4 x 5 n =16 x 2.5
37
2分布
(图示)
选择容量为n 的 不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10
总体
简单随机样本


计算样本方差s2
计算卡方值
n=20
2 = (n-1)s2/σ2
计算出所有的
2
2值
38
2分布
(例题的图示)
16个样本方差的分布
s取值的概率
0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
13
三种不同性质的分布
1 2 3
14
总体分布 样本分布 抽样分布
总体分布
(population distribution)

统计学第3章抽样与抽样分布PPT资料(正式版)

统计学第3章抽样与抽样分布PPT资料(正式版)
统计学第3章抽样与抽样分布
3.1 常用的抽样方法
概率抽样
(probability sampling)
1. 也称随机抽样
按一定的概率以随机原则抽取样本
简单随机抽样
(simple random sampling)
1. 从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本， 每个单位入抽样本的概率是相等的
2. 有重复抽样和不重复抽样
3 2.0 2.5 3.0 3.5
4
.3
2.5
.2
3.0
3.5 .1
4.0 0
P (X ) 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
样本均值的抽样分布
样本均值的分布与总体分布的比较 P101
总体分布
.3
.2
.1 0
1
234
= 2.5
σ2
.3 P ( X ) 抽样分布
.2
.1
0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
当样本容量足够大时(n 30) ，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布
有重复抽样和不重复抽样
既可以 对总体 参数进 行估计 ，也可 以对 从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的
各层的目标量进行估计
3.1.3 系统抽样
(systematic sampling)
1. 将总体中的所有单位按一定顺序排列，按 某规则确定一个随机起点, 然后每隔一定 的间隔抽取一个单位,直到抽取n个样本单 位.
2. 优点：操作简便，可提高估计的精度
3.1.4 整群抽样
1. 将总体中若干个单位合并为组(群),抽样 时直接抽取群，然后对中选群中的所有单 位全部实施调查

第三章 抽样分布

第三章 抽样分布
n n n1 n2 n1 21 21 1 )( ) y ( 2 n2 n1 n2 f ( y; n1 , n2 ) n n2 n1 y 2 1 ( )( ) 1 ( ) 2 n2 2 0
y0
y0
F分布的密度函数曲线
f ( y)
（二）非重置抽样
非重置抽样是指被抽中单位不再放回总体中，下 一个样本单位只能从余下的总体单位中抽取。
同一总体单位不可能被重复抽中.
每次抽取是在不同数目的总体单位中进行的
ｎ次抽取可看作是ｎ次互不独立的随机试验。
本章重点
重点：掌握随机样本和样本值的区别、 统计量的含义
当n次观察结束后，就可以得到一组实数 x1，x2， ，xn ，它们依次是随机变量 X1，X 2， ，X n 的观测值，称 为样本值。
第二节 抽样分布
一、统计量 设X 1，X 2， ，X n是来自总体X的一个样本，g(X 1，X 2， ，X n )
是X 1，X 2， ，X n的函数，若函数g(X 1，X 2， ，X n )不含有任何 未知参数，则称g(X 1，X 2， ，X n )是一个统计量。
第三章 抽样分布
学生姓名 小张 小刘 小李 小王 小赵
月支出（元） 1120 1980 1500 1320 1870
小黄
小谭 小杜 小蔡 小唐 小高 小许
1390
1700 1380 1600 1740 1760 1850
80名
小卢
小吴 小郑
1780
1670 1720


求全班学生的平均月支出
测算每一名学生的月支出 ？
y0 y0
卡方分布密度函数的图形
f ( y)

第三章抽样和抽样分布

第三章抽样和抽样分布
第三章抽样和抽样分布
Probability Sample
• Probability Sample • A probability sample is a sample chosen
by chance. We must know what samples are possible and what chance, or probability, each possible sample has.
第三章抽样和抽样分布
统计应用
“抓阄”征兵计划
➢ 然而结果是，有73个较小的号码被分配给了前半
年的日子，同时有110个较小的号码被分配给了后 半年的日子。换句话说，如果你生于后半年的某 一天，那么，你因为被分配给一个较小号码而去 服兵役的机会要大于生于前半年的人
➢ 在这种情况下，两个数字之间只应该有随机误差，
convenience sampling chooses the individuals
easiest to reach. Here is an example
of convenience sampling.
Both voluntary response samples and
convenience samples produce samples that are almost guaranteed not to represent the entire
被分配的号码较大的人也许永远轮不上到军队服役
➢ 这种抓阄看起来对决定应该被征召入伍是一个相当不错
的方法。然而，在抓阄的第二天，当所有的日子和它们 对应的号码公布以后，统计学家们开始研究这些数据。 经过观察和计算，统计学家们发现了一些规律。例如， 我们本应期望应该有差不多一半的较小的号码(1到183) 被分配给前半年的日子，即从1月份到6月份；另外一半 较小的号码被分配给后半年的日子，从7月到12月份。 由于抓阄的随机性，前半年中可能不会分到正好一半较 小的号码，但是应当接近一半

第3章 抽样分布


第三章 抽样分布
χ （一）
2
分布
• 设 X 1 , X 2 ,L, X n 是来自总体 N (0,1) 的样本，则称统计量 的样本，
χ 2 = X 12 + X 22 + L + X n2
2 2 2 为服从自由度为 n 的 χ 分布，记为 χ ~ χ (n) 分布，
第三章 抽样分布
χ 2 分布的密度函数 曲线 分布的密度函数 密度函数f(y)曲线
2
χ 2 分布的数学期望和方差
E (χ 2 ) = n ， D (χ 2 ) = 2n
3
χ 2 分布的分位点
对于给定的数 α ，且 0 <
α < 1 ，称满足条件
2 P{ χ 2 > χ α ( n )} =
∫χ
∞
α
2
(n)
f ( y ) dy = α
第三章 抽样分布
（二） t 分布
• 设 X ~ N (0,1) ， ~ χ 2 (n)，且设X 与 Y 独立，则称统计量 独立， Y
X t= Y /n
为服从自由度为 n 的 t 分布，记为 t ~ t (n) 。 分布， t • 可以证明，当 n 充分大时， 分布趋向于标准正态分 可以证明， 充分大时， 布。
第三章 抽样分布
t(n) 的概率密度为 (n) n + 1) Γ( n +1 t 2 )− 2 , − ∞ < t < ∞ 2 f (t) = (1 + n nπ Γ( n ) 2
第三章 抽样分布 三、 样本比例的抽样分布 • （一）重复抽样下样本比例的抽样分布 可以证明，
P(1 − P) p ~ N ( P, ) n

第三章 抽样分布

等于1。
.
④ F分布曲线与横坐标轴所围成的面积
.
.
.
.
（三）F分布的临界值 F分布的上侧临界值记为Fa，满足 P(F>Fa)=a；下侧临界值记为F1-a，满足 P(F<F1-a)=a。 ①在自由度df1和df2下, F分布的上侧临界 值Fa由附表7查出。 例如，df1 =4 ,df2=20, a=0.05 的上侧临界 值 F0.05,4, 20 2.866 ,满足 P F 2.866 0.05
2 s1
.
.
F
s 12
2 s2
2 s2
.
.
2 s 1 2 2 F 当 s 1 s 2 时，上式简化为 2 s2 F服从自由度 df1 n1 1 和 df 2 n2 1的F分布。
（二）F分布的特性
.
.
.
.
.
① F分布曲线呈偏态。 ② F分布曲线的形状由分子自由度df1和
.
分母自由度df2决定。 ③ F分布的取值范围0—+∞。
.
.
.
.
.
P(c2<3.325)=0.05示意图
.
（一）两个样本平均数差分布的定义
假定有两个相互独立的正态总体 N(m1,s12) 和 N(m2,s22) ，从第一个正态总 体 N(m1,s12 ) 中以样本含量 n1 随机抽取 k 个样本，计算样本平均数 x11 , x12 ,, x1k. 从第二个正态总体 N(m2,s22) 中以样本含 量 n2 随机抽取 m 个样本，计算样本平均 数 x21 , x22 ,, x2m ；将来自两个总体的 样本平均数进行所有可能的比较，求得 km个差数，由km个差数所构成的概率分 布称为两个样本平均数差的分布。

数理统计第3章 随机抽样与抽样分布


E ( X i ) = E ( X ) = µ , D( X i ) = D( X ) = σ 2 , i = 1,2,L , n
1 n 1 n 所以 E ( X ) = E ( ∑ X i ) = ∑ E ( X i ) = µ , n i =1 n i =1
1 1 . D ( X ) = D( ∑ X i ) = 2 ∑ D( X i ) = n n i =1 n i =1
11
它反映了总体 二、样本数字特征 均值的信息 它反映了总体 1 n 样本均值 X = ∑Xi 方差的信息 n i=1 1 n 1 n 2 2 2 2 样本方差 S = ∑( Xi − X) = n −1 ∑Xi − nX n −1 i=1 i =1
推导： 推导：
( Xi − X)2 = ∑( Xi2 − 2Xi X + X 2 ) ∑
因此, 应视为一组随机变量, 因此,抽样值 ( x1 , x2 ,L, xn ) 应视为一组随机变量,我们把 的一个样本 子样), 样本( ),其中 称为该样本的容量 容量。 它称为总体 X 的一个样本(或子样),其中 n 称为该样本的容量。
7
二、简单随机抽样
由于抽样的目的是为了对总体的分布进行统 计推断， 计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的 信息，必须考虑抽样方法 信息，必须考虑抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作“ 最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 它要求抽取的样本满足下面两点: 样”，它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体 代表性： 有相同的分布. 有相同的分布 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量 独立性： 是相互独立的随机变量. 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本 简单随机样本， 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本， 今后如不加声明，均指简单随机样本。 今后如不加声明，均指简单随机样本。

抽样分布

第三章 抽样分布一、样本统计量二、抽样误差=总体参数－样本统计量估计值表现现象：在同一总体中的不同抽样，其样本统计量之间存在差异。

三、样本量和样本个数的概念例3.1，已知某地高中三年级男生的平均身高为168.15厘米，这里，将该地高中三年级男生的身高视为一个总体，其总体均数168.15μ=，总体标准差 6.00σ=。

现从该总体中重复随机抽样5次，每次抽取一个样本含量n=10的样本，得到的5个样本的数据及各样本均数如下：2样本号样本观测值(n=10)X 抽样误差1 161.1 173.7 173.7 167.3 162.2 162.2 166.6 166.6 157.4 157.4 164.82 -3.33 2 166.8 159.1 159.1 166.1 173.3 173.3 169.1 169.1 165.2 165.2 166.63 -1.52 3 157.4 174 172.3 175.8 166.6 182.1 163.1 159.4 159.4 177.3 168.74 0.59 4 174.5 182.1 168.5 171.3 174.1 165.6 173.7 171.9 167.5 164.1 171.33 3.18 5164.1 166.6 169.6 169.6 173.8 173.2 164.3 166.6 182.1 165.4169.531.38四、抽样误差是随机的、但在概率意义下是有规律的，在大量重复抽样的情况下，可以展示其规律性：抽样分布，并且抽样分布与样本分布有一定的关系。

因此只要了解抽样分布的规律性以及与样本之间的关系，这样即使只有一个样本，也能了解抽样分布情况。

五、正态分布样本的样本均数分布样本含量n=4样本含量n=16样本含量n=36X 的平均数＝168.198X的标准差＝2.9995 3.0≈=X 的平均数＝168.185X 的标准差＝1.4868 1.5 X 的平均数＝168.135X 的标准差＝0.9997 1.0≈= 图3.1 从正态分布总体N(168.15,6)中随机抽样的结果曲线是正态总体N(168.15,62)的分布密度曲线直方图为正态分布总体N(168.15,62)的样本均数的频数图表3.2 从正态总体N(168.15，62)随机抽样，样本含量分别为4，16和36●大多数的样本均数相互之间存在差异，绝大多数的样本均数X不等于总体均数，但都离总体均数比较近。

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.
1.从总体到样本方向的研究。即从已知
.
的总体中，按照一定的样本容量n随机抽
取一系列样本，研究样本统计量的分布
规律。这属于抽样分布问题。
.
2.从样本到总体方向的研究。即由已知
.
样本推断未知的总体。这属于统计推断
问题。
二.总体参数与样本统计量
.
描述总体数据分布特征的数值称为总体
.
参数。如总体平均数m , 总体标准差s 。
.
描述样本数据分布特征的数值称为样本
统计量。如样本平均数、样本标准差。
三.样本统计量的分布—抽样分布
从一个已知的总体中，独立地随机抽
.
取含量为n的样本，所得样本统计量（如
.
样本平均数、样本标准差）的概率分布称
为样本统计量的分布，又称为抽样分布。
把样本平均数的概率分布称之为样本平 均数的抽样分布；
.
.
③ c2分布的取值范围0—+∞。 ④ c2分布曲线与横坐标轴所围成的面
积等于1。
. .
. .
.
（三）c2分布的临界值
.
c2分布的临界值有上侧临界值和下侧
.
临界值。
上侧临界值记为 c2a，满足P(c2>c2a)=a
下侧临界值记为 c21a 满足P(c2 <c21a )=a
.
.
一定自由度下的c2a和c21a临界值由
1
F0.95,4,20 F0.05,20,4 5.802 0.172
.
.
它满足 PF 0.172 0.05（见示意图）
. . .
. .
.
PF 0.172 0.05 示意图
.
.
个总体的样本平均数所构成的差数也服
.
从正态分布。
2、样本平均数差数的平均数等于两个原
总体平均数之差。
3、样本平均数差数的方差等于两个原总 体的样本平均数方差之和。
.
.
4、当两个总体方差未知时，根据样本容
量的大小，样本平均数差的分布有以下
两种情况：
（1）两个总体方差未知，但两个样本为大样本：
.
.
（2）两个总体方差未知，但两个样本为小样本：
这时，样本平均数服从df=n-1的t分布。
统计量t 的定义:
xm
t
.
s
.
t分布的特性:
n
.
. .
① t 分布曲线与标准正态分布相似，也呈左右
对称分布。
.
② t分布曲线的形状随自由度df 的改变而变化。
.
③ t分布曲线的取值范围为-∞ — +∞。
④ t分布曲线与横坐标轴围成的面积等于1。
t分布的临界值:
第三章 抽样分布
第一节 抽样分布的概念 第二节 从一个正态总体中抽取的
样本统计量的分布
第三节 从两个正态总体中抽取的 样本统计量的分布
一.总体与样本的关系
.
总体是研究对像的全体，样本则是
.
来自总体中的一部分个体。在一定程度
.
上，样本可以代表所属总体。
总体与样本之间的关系，可从两个方 向进行研究： （见示意图）
（一）两个样本方差比分布的定义
.
设有两个相互独立的正态总体 N (m1,s12)
.
和N (m2,s22)，从第一个正态总体中以样
.
本含量n1抽取样本，计算样本方差
s12, df1 n1 1; 从第二个正态总体中以样
本含量n2抽取样本，计算样本方差
s22, df2 n2 1, 则定义：
.
s12
.
t分布的临界值分为单侧临界值和双侧
.
临界值。
.
单侧临界值又分为上侧临界值ta和下侧
临界值-ta。上侧临界值ta满足P(t > ta)=a；
下侧临界值-ta满足P(t < -ta)=a。
. .
. .
. . .
.
.
ta值由附表4a查出。
例如，df=9, a=0.05上侧临界值t0.05=1.833,
.
下侧临界值 -t0.05= -1.833。
.
.
t分布的双侧临界值记为ta/2或ta(双侧) ，
满足 P( t >ta/2)=a 。
.
.
. .
ta/2值由附表4b查出。
.
例 如 ， df=9, a=0.05, 双 侧 临 界 值
.
t0.025=2.262，或t0.05(双侧) =2.262。
（一）样本方差分布的定义
.
量 n2 随 机 抽 取 m 个 样 本 ， 计 算 样 本 平 均 数 x21, x22, , x2m ；将来自两个总体的
.
样本平均数进行所有可能的比较，求得
km个差数，由km个差数所构成的概率分
布称为两个样本平均数差的分布。
.
.
（二）两个样本平均数差分布的特性
.
1、如果两个总体为正态分布，则来自两
.
. .
. .
P(c2<3.325)=0.05示意图
.
（一）两个样本平均数差分布的定义
.
假定有两个相互独立的正态总体
.
N(m1,s12)和N(m2,s22)，从第一个正态总
体N(m1,s12 ) 中以样本含量n1随机抽取k
个样本，计算样本平均数 x11, x12 , , x1k.
从第二个正态总体N(m2,s22)中以样本含
.
F
s
2 1
s22
.
s
2 2
当
s
2 1
s
2 2
时，上式简化为
F
s12 s22
.
F服从自由度df1 n1 1和 df2 n2 1的F分布。
（二）F分布的特性
.
. .
.
.
① F分布曲线呈偏态。
② F分布曲线的形状由分子自由度df1和 分母自由度df2决定。
.
③ F分布的取值范围0—+∞。
.
④ F分布曲线与横坐标轴所围成的面积
均数 x1, x2 , , xk ,因为样本平均数x 为
随机变量，由k个样本平均数所构成的概
率分布称为样本平均数的分布，又称为
.
样本平均数的抽样分布。（见示意图）
.
. .
（二）样本平均数分布的特性
.
1.从一个正态总体N(m ,s2)中随机抽取
.
的样本，无论样本容量n大或小，其样本
.
平均数服从正态分布。
2.样本平均数分布的平均数等于原总体
的平均数。
3.样本平均数分布的方差等于原总体方
.
差的1/n倍。
.
4.从一个非正态总体(m ,s2)中随机抽取
样本，当样本容量n大于30时，样本平
均数也服从正态分布，称之为中心极限
定理。
.
在通常情况下，总体方差s2未知（可由
.
样本方差s2估计），若样本容量n小于30，
.
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. .
②在自由度df1和df2下, F分布的下侧临
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界值F1-a可以通过下式求出：
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1
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F F 1a ,df1 ,df2
a ,df2 ,df1
例如，计算df1 =4 ,df2=20, a=0.05 的下侧 临界值F0.95。
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由附表7查出 F0.05,20,4 5.802 ，代入上式：
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1
等于1。
（三）F分布的临界值
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F分布的上侧临界值记为Fa，满足
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P(F>Fa)=a；下侧临界值记为F1-a，满足
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P(F<F1-a)=a。
①在自由度df1和df2下, F分布的上侧临界
值Fa由附表7查出。
例如，df1 =4 ,df2=20, a=0.05 的上侧临界
值 F0.05,4,20 2.866 ,满足 PF 2.866 0.05
附表6查出。
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例如,由附表查得 df=9, a0.05的上
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侧临界值c20.0516.919 , 即：
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P(c2>16.919)=0.05
. .
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P(c2>16.919)=0.05示意图
.
.
同样，由附表6查得df=9,a0.05的下侧临
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界值 c20.953.325 ， P(c2<3.325)=0.05 。
把样本标准差的概率分布称之为样本标
准差的抽样分布。
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在生物学中，遇到最多的是正态总体。
下面主要介绍几种从正态总体中抽取的样本
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统计量的分布。
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（一）样本平均数分布的定义
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从一个已知的正态总体（m ,s2）中，
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以样本含量n独立地随机抽取尽可能多的
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样本（例如k个样本），分别计算样本平
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从样本，计算出样本方差S2，
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标准化的S2定义为c2。
c
2
n
1s2
s2
统计量c2服从df=n-1的c2分布。c2分布
是随自由度的改变而变化的一组曲线。
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（二）c2分布的特性
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① c2分布曲线呈偏态。
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② c2分布曲线的形状由自由度df决定。
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