管理统计学-第3章抽样分布与参数估计

第三章参数估计重点：1.总体参数与统计量2.样本均值与样本比例及其标准误差难点：1.区间估计2.样本量确实定知识点一：总体分布与总体参数统计分析数据的方法包括：描绘统计和推断统计〔第一章〕推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学方法，包括参数估计和假设检验两大类。

总体分布是总体中所有观测值所形成的分布。

总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。

通常有总体平均数〔μ〕总体方差〔σ2〕总体比例〔π〕知识点二：统计量和抽样分布总体参数是未知的，但可以利用样本信息来推断。

统计量是根据样本数据计算的用于推断总体的某些量，是对样本特征的某个概括性度量。

统计量是样本的函数，如样本均值〔〕、样本方差〔 s2〕、样本比例〔p〕等。

构成统计量的函数中不能包括未知因素。

由于样本是从总体中随机抽取的，样本具有随机性，由样本数据计算出的统计量也就是随机的。

统计量的取值是根据样本而变化的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。

[例题·单项选择题]以下为总体参数的是( )a．样本均值b．样本方差c．样本比例d．总体均值答案：d解析：总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。

通常有总体平均数、总体方差、总体比例题·判断题：统计量是样本的函数。

答案：正确解析：统计量是样本的函数，如样本均值〔〕、样本方差〔〕、样本比例〔p〕等。

构成统计量的函数中不能包括未知因素。

[例题·判断题]在抽样推断中，作为推断对象的总体和作为观察对象的样本都是确定的、唯一的。

答案：错误解析：作为推断对象的总体是唯一的，但作为观察对象的样本不是唯一的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。

〔一〕样本均值的抽样分布设总体共有n个元素，从中随机抽取一个容量为n的样本，在重置抽样时，共有n n种抽法，即可以组成n n不同的样本，在不重复抽样时，共有个可能的样本。

每一个样本都可以计算出一个均值，这些所有可能的抽样均值形成的分布就是样本均值的分布。

抽样分布一、抽样分布的理论及定理 （一） 抽样分布抽样分布是统计推断的基础，它是指从总体中随机抽取容量为n 的若干个样本，对每一样本可计算其k 统计量，而k 个统计量构成的分布即为抽样分布，也称统计量分布或随机变量函数分布。

（二） 中心极限定理中心极限定理是用极限的方法所求的随机变量分布的一系列定理，其内容主要反映在三个方面。

1．如果总体呈正态分布，则从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，其样本均数的分布也呈正态分布；无论总体是否服从正态分布，只要样本容量足够大，样本均数的分布也接近正态分布。

2．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的均数（X μ）等于总体均数（μ）即μμ=X3．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的标准差（X σ）等于总体标准差除以样本容量的算数平方根，即n X σσ=中心极限定理在统计学中是相当重要的。

因为许多问题都使用正态曲线的方法。

这个定理适于无限总体的抽样，同样也适于有限总体的抽样。

中心极限定理不仅给出了样本均数抽样分布的正态性依据，使得大多数数据分布都能运用正态分布的理论进行分析，而且还给出了推断统计中两个重要参数（即样本均数X μ与样本标准差X σ）的计算方法。

（三）抽样分布中的几个重要概念1．随机样本。

统计学是以概率论为其理论和方法的科学，概率又是研究随机现象的，因此进行统计推断所使用的样本必须为随机样本（random sample ）。

所谓随机样本是指按照概率的规律抽取的样本，2．抽样误差。

从总体中抽取容量为n 的k 个样本时，样本统计量与总体参数之间总会存在一定的差距，而这种差距是由于抽样的随机性所引起的样本统计量与总体参数之间的不同，称为抽样误差。

3．标准误。

样本统计量分布的标准差或某统计量在抽样分布上的标准差，符号SE 或Xσ表示。

根据中心极限定理其标准差为n X σσ=正如标准差越小，数据分布越集中，平均数的代表性越好。

抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。

样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。

抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。

即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。

样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。

那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。

由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。

它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。

统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μσ2x = σ2 /n 由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2σ)分布。

但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。

于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。

样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx e x f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。

相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。

2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。

抽样分布一、抽样分布的理论及定理 （一） 抽样分布抽样分布是统计推断的基础，它是指从总体中随机抽取容量为n 的若干个样本，对每一样本可计算其k 统计量，而k 个统计量构成的分布即为抽样分布，也称统计量分布或随机变量函数分布。

（二） 中心极限定理中心极限定理是用极限的方法所求的随机变量分布的一系列定理，其内容主要反映在三个方面。

1．如果总体呈正态分布，则从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，其样本均数的分布也呈正态分布；无论总体是否服从正态分布，只要样本容量足够大，样本均数的分布也接近正态分布。

2．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的均数（X μ）等于总体均数（μ）即μμ=X3．从总体中抽取容量为n 的一切可能样本时，所有样本均数的标准差（X σ）等于总体标准差除以样本容量的算数平方根，即n X σσ=中心极限定理在统计学中是相当重要的。

因为许多问题都使用正态曲线的方法。

这个定理适于无限总体的抽样，同样也适于有限总体的抽样。

中心极限定理不仅给出了样本均数抽样分布的正态性依据，使得大多数数据分布都能运用正态分布的理论进行分析，而且还给出了推断统计中两个重要参数（即样本均数X μ与样本标准差X σ）的计算方法。

（三）抽样分布中的几个重要概念1．随机样本。

统计学是以概率论为其理论和方法的科学，概率又是研究随机现象的，因此进行统计推断所使用的样本必须为随机样本（random sample ）。

所谓随机样本是指按照概率的规律抽取的样本，2．抽样误差。

从总体中抽取容量为n 的k 个样本时，样本统计量与总体参数之间总会存在一定的差距，而这种差距是由于抽样的随机性所引起的样本统计量与总体参数之间的不同，称为抽样误差。

3．标准误。

样本统计量分布的标准差或某统计量在抽样分布上的标准差，符号SE 或Xσ表示。

根据中心极限定理其标准差为n X σσ=正如标准差越小，数据分布越集中，平均数的代表性越好。

（抽样检验）抽样与参数估计最全版（抽样检验）抽样与参数估计抽样和参数估计推断统计：利⽤样本统计量对总体某些性质或数量特征进⾏推断。

从数据得到对现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statisticalinference)。

这个调查例⼦是估计总体参数（某种意见的⽐例）的壹个过程。

估计(estimation)是统计推断的重要内容之壹。

统计推断的另壹个主要内容是本章第⼆节要介绍的假设检验(hypothesistesting)。

因此本节内容就是由样本数据对总体参数进⾏估计，即：学习⽬标：了解抽样和抽样分布的基本概念理解抽样分布和总体分布的关系了解点估计的概念和估计量的优良标准掌握总体均值、总体⽐例和总体⽅差的区间估计第⼀节抽样和抽样分布回顾相关概念：总体、个体和样本抽样推断：从所研究的总体全部元素(单位)中抽取壹部分元素(单位)进⾏调查,且根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。

总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体参数个体(Itemunit)：组成总体的每个元素样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体统计量样本容量(Samplesize)：样本中所含个体的数量壹般将样本单位数不少于三⼗个的样本称为⼤样本，样本单位数不到三⼗个的样本称为⼩样本。

壹、抽样⽅法及抽样分布1、抽样⽅法（1）、概率抽样：根据已知的概率选取样本①、简单随机抽样：完全随机地抽选样本，使得每壹个样本都有相同的机会（概率）被抽中。

注意：在有限总体的简单随机抽样中，由抽样是否具有可重复性，⼜可分为重复抽样和不重复抽样。

⽽且，根据抽样中是否排序，所能抽到的样本个数往往不同。

②、分层抽样：总体分成不同的“层”（类），然后在每壹层内进⾏抽样③、整群抽样：将壹组被调查者（群）作为壹个抽样单位④、等距抽样：在样本框中每隔壹定距离抽选壹个被调查者（2）⾮概率抽样：不是完全按随机原则选取样本①、⾮随机抽样：由调查⼈员⾃由选取被调查者②、判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者（3）、配额抽样：选择壹群特定数⽬、满⾜特定条件的被调查者2、抽样分布壹般地，样本统计量的所有可能取值及其取值概率所形成的概率分布，统计上称为抽样分布（samplingdistribution）。

统计学习题(抽样分布、参数估计)练习题第1章绪论（略）第2章统计数据的描述2.1某家商场为了解前来该商场购物的顾客的学历分布情况，随机抽取了100名顾客。

其学历表示为：1.初中;2.高中/中专;3.大专;4.本科及以上学历。

调查结果如下：4222434414 2244432422 3121441424 2332134344 3312424324 2322212244 2123333334 2343313232 4313434214 2242334121（1）制作一张频数分布表。

（2）绘制一张条形图，反映学历分布。

2.2为了解某电信客户对该电信公司的服务的满意度情况，某调查公司分别对两个地区的电信用户在以下五个方面对受访用户的满意情况进行了问卷调查得到的数据如下（表中数据为平均满意度打分，从1分到10分满意度依次递增）：地区企业形象客户期望质量感知价值感知客户总体满意度A 8.269504 7.51773 9.2624117.9148948.411348B 7.447368 8.3684218.9736848.1052637.394737试用条形图反映将两地区的满意度情况。

2.3下面是一个班50个学生的经济学考试成绩：88569179699088718279 988534744810075956092 83646569996445766369 6874948167818453912484628183698429667594（1）对这50名学生的经济学考试成绩进行分组并将其整理成频数分布表，绘制直方图。

（2）用茎叶图将原始数据表现出来。

2.4如下数据反映的是某大学近视度数的情况，共120名受访同学，男女同学各60名。

男149 161761821310 80 951081414 0 144145151515161681882121 0 21211052121211116817521 0 356462121212121312121 0 2121212121375375383838 8 45566065120 30120 7521女120 3334537437538700 90700 60141516212121211517170 0 0 0 0 0 0 0 5 521 0 1752121214043451217517 8 181818518519195196202021 0 21212121212121333335 0 3636363840474865055（1）按近视度数分别对男女学生进行分组。

【数据分析师Level1】3.抽样分布及参数估计【数据分析师 Level 1 】3.抽样分布及参数估计1.随机实验随机实验是概率论的⼀个基本概念。

概括的讲，在概率论中把符合下⾯三个特点的试验叫做随机试验可以在相同的条件下重复的进⾏每次试验的可能结果不⽌⼀个，并且能事先明确试验的所有可能结果进⾏⼀次试验之前不能确定哪⼀个结果会出现随机事件在概率论中，随机事件（或简称事件）指的是⼀个被赋予⼏率的事物的集合，也就是样本空间中的⼀个⼦集。

简单来说，在⼀次随机试验中，某个特定时间可能会出现也可能不会出现；但是当试验次数增多，我们可以观察到某种规律性的结果，就是随机事件。

随机变量设随机试验的样本空间S=e,X=X(e)S = {e},X=X(e)S=e,X=X(e)是定义在样本空间S上的单值实值函数，称X为随机变量2.正态分布的图像形式既然介绍变量的分布情况，就要介绍⼀下正态分布。

⾸先，正态分布是关于均值左右对称的，呈钟形，如下图所⽰。

其次，正态分布的均值和标准差具有代表性，只要知道其均值和标准差，这个变量的分布情况就完全知道了。

在正态分布中，均值=中位数=众数3.中⼼极限定理从均值为 µ\muµ,⽅差为σ2\sigma^2σ2的⼀个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分⼤时，样本均值的抽样分布近似服从均值为 µ\muµ ,⽅差为σ2n\frac{\sigma^2}{n}nσ2的正态分布根据中⼼极限定理，我们知道如果做很多次抽样的话会得到很多个样本均值，⽽这些样本均值排列起来会形成正态分布,他们的平均数是µ\muµ,标准差是σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ换句话说，有约68% 的样本均值会落在 µ±σn\mu \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±nσ之间，有约 95 %的样本均值会落在 µ±2σn\mu \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±2nσ有约 99.7 %的样本均值会落在 µ±3σn\mu \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}µ±3n σ​把上述说法稍微转换⼀下就变成：有68 %的 x‾±σn\overline x \pm \frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±nσ会包含着 µ\muµ有95 %的 x‾±2σn\overline x \pm 2\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±2nσ会包含着 µ\muµ有99.7 %的 x‾±3σn\overline x \pm 3\frac{\sigma}{\sqrt{n}}x±3nσ会包含着µ\muµ⽽这就是抽样和估计最根本的道理我们从全体之中以随机抽样⽅式抽取n个样本，取得样本观察值，计算它们的平均数 x‾\overline xx ,然后加减两倍的σn\frac{\sigma}{\sqrt{n}}nσ得到⼀组上下区间，然后说：我们有95 % 的信⼼，这个上下区间⼀定会包含着全体的平均数 µ\muµ。

统计学中的抽样分布与区间估计是一种重要的方法和理论，可供研究者利用有限样本数据对总体参数进行推断与估计。

抽样分布是指多次从总体中抽取样本得到的统计量的分布，它与总体的分布有关，并且可以用来计算参数的抽样分布，从而提供参数的区间估计。

首先，抽样分布是统计学研究中的基本概念。

在进行统计推断时，我们无法对整个总体做出观测和测量，只能通过对样本数据的分析和统计推断来了解总体的特征和属性。

因此，抽样分布的理论基础是从总体中随机抽取的样本可以代表总体。

其次，抽样分布的性质主要包括：无偏性、一致性和有效性。

无偏性是指样本统计量的数学期望等于总体参数的真实值，即抽样分布的期望与总体参数一致；一致性是指随着样本容量的增加，抽样分布会趋于聚集在总体参数附近；有效性是指样本统计量的方差最小，即抽样分布的方差相对较小。

区间估计是利用抽样分布来进行参数估计的一种方法。

在统计推断中，我们往往无法通过一个点估计量来完全确定参数的值，因此需要通过区间估计来给出一个范围，以包含参数的真实值。

区间估计的过程包括：选择合适的抽样分布、计算样本统计量的抽样分布、确定置信水平和临界值、计算置信区间。

置信水平是区间估计中一个重要的指标，它表示在多次抽样中，根据抽样分布的性质，可以包含参数真实值的概率。

一般常用的置信水平为95%，意味着在100次实验中，有95次或更多的结果将包含参数真实值。

根据抽样分布的性质和置信水平，可以确定相应的临界值，并利用样本统计量的抽样分布计算置信区间。

区间估计的应用非常广泛。

例如，在医学研究中，可以利用抽样分布和区间估计来估计新药的治疗效果；在市场调研中，可以利用抽样分布和区间估计来评估产品的市场份额与消费者偏好；在金融投资中，可以利用抽样分布和区间估计来预测股票收益与风险。

总之，统计学中的抽样分布与区间估计是一种基础的方法和理论，可用于对总体参数进行推断与估计。

抽样分布的性质决定了区间估计的精确性和可信度。

通过合适地选择抽样分布和确定置信水平，可以利用区间估计进行统计推断和决策，为研究者提供有限样本数据的有力支持和指导，进而推动学科的发展与进步。