定积分与微积分基本定理最新衡水中学精品自用资料

第三节定积分和微积分基本定理考纲解读1.认识定积分的实质背景、基本思想及观点.2.认识微积分基本定理的含义.命题趋向研究定积分的考察以计算为主，其应用主假如求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题.知识点精讲一、基本观点1.定积分的极念一般地，设函效 f x 在区间[a，b]上连续.用分点a = x0< x1< x2< L< x i- 1 < x i< L< x n = b 将区间 [ a, b] 平分红 n 个小区间，每个小区间长度为b-a），D x（D x =n在每个小区间 [x i- 1 , x i]上任取一点i i 1,2, L ,nn，作和式： S n f ( i ) xi1n b af (i ) ，当D x无穷靠近于0（亦即 n）时，上述和式 S n无穷趋近于常数S ，i 1n那么称该常数 S 为函数 f ( x)在区间[ a, b]上的定积分．记为：S bf ( x )dx ，f (x)为a被积函数， x 为积分变量， [ a, b] 为积分区间，b为积分上限， a 为积分下限．需要注意以下几点：（1）定积分bf x dx是一个常数，即S n无穷趋近的常数S（n时），称为( )aba f ( x )dx ，而不是 S n．（2）用定义求定积分的一般方法 .n ①切割： n 平分区间a,b；②近似取代：取点；③乞降：[ ]i x i 1 , x ii 1b af ( i ) ；nb n b a④取极限：lim ff ( x)dx ia nni 1（3）曲边图形面积：S bx dx ；变速运动行程S t2bf v(t )dt ；变力做功S F (x) dx a t1a2．定积分的几何意义从几何上看，假如在区间 [a,b ]上函数f(x)连续且恒有 f ( x) 0，那么定积分b f x dx 表a示由直线 x a, x b(a b), y0 和曲线y = f (x ) 所围成的曲边梯形(如图 3-13 中的暗影b部分所示 )的面积，这就是定积分 f x dx的几何意义．ab( )x 轴、函数一般状况下，定积分f的值的几何意义是介于 f ( x)的图像以及直线dxax = a , x = b 之间各部分面积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号．二、基天性质b性质 11dx b a .abb 性质 2kf (x) dx kf ( x)dx (此中 k 是不为 0的常数 ) （定积分的线性性质） .aab [ f 1 ( x) f 2 (x)]dxb ( x)dxb性质 3f 1f 2 ( x) dx （定积分的线性性质） .aaab( )c( )b ( )(此中)性质 4（定积分对积分区间的可加性）f x dxf x dxf x dxa c baa cbbbb推行 1[ f 1 ( x) f 2 ( x) Lf m (x)]dxf 1 ( x)dxf 2 (x)dx Lf m (x)aaaa推行 2bf (x)dxc 1f ( x)dxc 2 f (x)dx bf ( x)dxc 1L．aac k 三、基本定理设函数 f ( x) 是在区间 [ a,b] 上连续，且 F x是 f (x) 是在 [a,b] 上的随意一个原函数，即 F ' (x)f (x) ，则ba f ( x)dxF (b)F (a)，或记为ba f ( x)dxF bxaF (b) F ( a) ，称为牛顿 — 莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．该公式把计算定积分归纳为求原函数的问题，只需求出被积函数f x 的一个原函数F x ．而后计算原函数 F x 在区间 a,b 上的增量 F (b) F (a) 即可，这必定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．题型概括及思路提示题型 51 定积分的计算思路提示关于定积分的计算问题，若该定积分拥有明显的几何意义，如圆的面积等（例 3.26 及其变式），则利用圆面积计算，不然考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算．1 sin x dx =例 3.25（ 2012 江西 11）计算x2．-11x 2 sin x dx= 1x 311cos11cos12 ． 分析cos x-131 333A.B. C.D.变式 1 4 1dx2xA. -2ln 2B.2ln 2 C. -ln2D.ln 212x) dx变式 2(exA.1B e 1 .C. eD.e+11设函数 fx ax2c a0 ，若x dxf x 0 0x 0 1 ，则 x 0 的值变式 3 f为．变式 4 设函数 y f x 的定义域为 R, 若关于给定的正数k ，定义函数f k xk, f ( x) k，则当函数 fx1, k 1时，定积分2 f k x dx 的值为fx , f x1kx4（）A. 2ln 2 2B. 2ln2 1C. 2ln2D. 2ln2 1例 3.26 依据定积分的几何意义计算以下定积分42 x dx ；1（1）（ 2）1 x 2dx1剖析 依据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.分析 依据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14 所示）的面积的 代数和，很明显这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图 3-14 所示，其面积代数和是 0，4x dx0 ．故 2（2）依据定积分的几何意义， 所求的定积分是曲线 x 2y 21 y0 和 x 轴围成图形 （如图 3-15 所示）的面积，明显是半个单位圆，其面积是，故1 1 x2 dx= ．122评注 定积分bx dx 的几何意义是函数和直线xa, xb 以及 x 轴所围成的图形面积的a代数和， 面积是正当 ,但积分值却有正当和负值之分， 当函数时 , fx0 面积是正当， 当函数 fx0 时，积分值是负值．变式 1 依据定积分的几何几何意义计算以下定积分．4x 2dx ；103x 2 dx ； 4 4sin xdx ．（1）（ 2）2 （ 3）sin xdx ；（ 4）4题型 52 求曲边梯形的面积思路提示函数 y f x , yg x 与直线 xa, x b a b 围成曲边梯形的面积为Sb xg x | dx ，详细思路是：先作出所波及的函数图象，确立出它们所围成图形|fa的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右界限分别是积分下、上限．例 3.27 由曲线 yx 2 , y x 3 围成的关闭图形的面积为（ ）1B.11D.7A.4C.12123分析 由 x 2x 3 得 x 0或x 1,则由 yx 2 和 y x 3 围成的关闭图形的面积为 1 2 31 3 1 4 1 1 1 1 x x dx x x 0 ，应选 A ． 03 4 3 4 12所求，则它与 x 轴所围成变式（ 2012 湖北理 ）已知二次函数 y f x的图象如图3-1613图形的面积为（ ）2 4 3A.B.C.D.532 2y11O1x图 3-16变式 2 由曲线 yx 2 和直线 x 0, x 1, y t 2 , t 0,1 所围成的图形（如图3-17 中暗影部分所示）面积的最小值为（）2 1 1 1A.B.C.D.3324变式 3 求抛物线 y 24x 与 y 2x 4 围成的平面图形的面积． 变式 4 求由两条曲线y 4x 2, y1x 2 和直线 y 4 所围成的面积．4最有效训练题 16（限时 45 分钟）1.已知函数A. -2B.f x x22x 3 ，则1f x dx （）116 16C.-4D.33 2.定积分 1 x 121x dx （）A,211 D.14B.2C.42f xx 2 , x0,12 （）设，则f x dx3.2 x, x (1,2]3 4 C.5A.B.D. 不存在4562 xdx, b 224. a e xdx, csin xdx ，则 a,b,c 的大小关系是（）A, a c b B. a b c C. c b a D. c a b5.曲线 ysin x, y cos x 与直线 x 0, x2所围成的平面地区的面积为（）A, １ B. ２ C.2 1D. 2 2 16.由直线 x, x , y 0 与曲线 ycos所围成的平面图形的面积为（）33A,1 B. １3 D.32C.27.抛物线 y 2 2x 与直线 y4 x 围成的平面图形的面积为．8.已知 fx5 x dx5 x dx是偶函数，且f6 ，则f．52 |1 x | dx9.2 ．10.已知函数 yf x 的图象是折线段， 1 ．函数ABC ，此中,5 , C 1,0 A0,0 B2y xf x0 x1 的图象与 x 轴所围成的图形的面积为．11.依据定积分的几何意义计算以下定积分．122 12（１）|x|dx ；（２）x（３）x 1 x dx ；x 4 dx ；111（４）2x （５）2cos 2xcosdx ；dx2cos x sin x１２．有一条直线与抛物线 y x 2 订交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于 4，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．3。