选修2-2 1.6 微积分基本定理练习题

§1.6 微积分基本定理一、基础过关1． 已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ；②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)；③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a ns ′(ξi )；④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④2． 若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3． ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1C ．eD ．e ＋14． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( ) A.32 B.43C.23 D ．－235． ʃπ20sin 2x 2d x 等于( ) A.π4 B.π2－1C ．2 D.π－246．ʃ1－1|x |d x 等于( )A ．ʃ1－1x d xB ．ʃ1－1(－x )d xC ．ʃ0－1(－x )d x ＋ʃ10x d xD ．ʃ0－1x d x ＋ʃ10(－x )d x二、能力提升7． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0， 若f [f (1)]＝1，则a ＝________.8．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ； (3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ；(4)ʃ211x (x ＋1)d x . 11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .答案1．D 2.B 3．C 4．B 5．D 6．C7．1 8.339．f (x )＝4x ＋310．解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x， ∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋23x 32)′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋23x 32)|91 ＝1723. (3)∵(e －0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1，∴ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|200＝1－e.(4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，(ln x )′ ＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1， ∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．解 由积分的性质，知：ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x＝x 44|10＋23x 32|21＋2xln 2|32＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2.12．解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ， ∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2 ＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 13．解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x ＝(－x 22－ax )|－a －4＋(x 22＋ax )|3－a ＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92) ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝(－x 22－ax )|3－4＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252 (－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。

§1.6 微积分基本定理一、选择题1．ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x 等于( ) A ．e 2－ln 2B ．e 2－e －ln 2C ．e 2＋e ＋ln 2D ．e 2－e ＋ln 2考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分[答案] D[解析] ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x ＝(e x ＋ln x )|21 ＝(e 2＋ln 2)－(e ＋ln 1)＝e 2－e ＋ln 2.2．若π20(sin cos )d x a x x -⎰＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数[答案] A[解析] π20(sin cos )d x a x x -⎰＝(－cos x －a sin x )π20|＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，∴a ＝－1，故选A.3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分[答案] B[解析] 因为S 1＝ʃ21x 2d x ＝⎪⎪13x 321＝13×23－13＝73，S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)． 又ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)， 所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3. 4．ʃ30|x 2－4|d x 等于( )A.213B.223C.233D.253考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分[答案] C [解析] ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2，0≤x ≤2， ∴ʃ30|x 2－4|d x ＝ʃ32(x 2－4)d x ＋ʃ20(4－x 2)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 32＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫4x －13x 320 ＝⎣⎡⎦⎤(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－83－0 ＝－3－83＋8＋8－83＝233. 5．若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ； ②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用[答案] C[解析] 对于①，ʃ1－1sin 12x cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝0， 所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，ʃ1－1x ·x 2d x ＝ʃ1－1x 3d x ＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．6．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( ) A ．－13B ．－1 C.13 D ．1考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分[答案] A[解析] ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ʃ10f (x )d x 10 ＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13. 二、填空题7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，则ʃ1－1f (x )d x ＝________. 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分[答案] sin 1－23[解析] ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x＝⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )|10＝⎣⎡⎦⎤13×03－13×(－1)3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23. 8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数[答案] －1或13[解析] ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4， 2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13. 9.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝ʃ103x 2d x ＝x 3|10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13. 10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝____________. 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数[答案] 1[解析] 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f (f (1))＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的[解析]式为________． 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数[答案] f (x )＝4x ＋3[解析] ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x＝12a ＋b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. ∴⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3. 12．已知α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用[答案] π4[解析] ʃα0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|α0＝sin α＋cos α－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1. ∵α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，34π， 当α＋π4＝π2，即α＝π4时， 2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1取得最大值． 三、解答题13．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用解 因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)2，－1≤x ≤0，1－x 2，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 等于( ) A.3π－812B.4＋3π12C.4＋π4D.－4＋3π12 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分[答案] B[解析] ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1(x ＋1)2d x ＋ʃ101－x 2d x ，ʃ0－1(x ＋1)2d x ＝ ⎪⎪13(x ＋1)30－1＝13， ʃ101－x 2d x 以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，故ʃ101－x 2d x ＝π4， 故ʃ1－1f (x )d x ＝13＋π4＝4＋3π12. 15．已知f ′(x )是f (x )在(0，＋∞)上的导数，满足xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，且ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1. (1)求f (x )的[解析]式；(2)当x >0时，证明不等式2ln x ≤e x 2－2. 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用(1)解 由xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，得 x 2f ′(x )＋2xf (x )＝1x， 即[x 2f (x )]′＝1x， 所以x 2f (x )＝ln x ＋c (c 为常数)，即x 2f (x )－ln x ＝c .又ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1，即ʃ21c d x ＝1，所以cx |21＝1，所以2c －c ＝1，所以c ＝1.所以x 2f (x )＝ln x ＋1，所以f (x )＝ln x ＋1x 2. (2)证明 由(1)知f (x )＝ln x ＋1x 2(x >0)， 所以f ′(x )＝1x ×x 2－2x (ln x ＋1)x 4＝－2ln x －1x 3， 当f ′(x )＝0时，x ＝12e-，f ′(x )>0时，0<x <12e -， f ′(x )<0时，x >12e -，所以f (x )在(0，12e -)上单调递增，在(12e-，＋∞)上单调递减． 所以f (x )max ＝ 12(e )f -＝e 2， 所以f (x )＝ln x ＋1x 2≤e 2， 即2ln x ≤e x 2－2.。

学业分层测评（建议用时：45分钟）[学业达标］一、选择题1。

错误!错误!d x等于( ）A．－2ln 2 B．2ln 2C．－ln 2 D．ln 2【解析】错误!错误!d x＝ln x|错误!＝ln 4－ln 2＝ln 2。

【答案】D2．设a＝错误!x错误!d x，b＝错误!x2d x，c＝错误!x3d x,则a，b,c的大小关系是( )A．a>b>c B．c>a〉bC．a〉c>b D．c〉b〉a【解析】∵a＝错误!x错误!d x＝错误!错误!＝错误!，b＝错误!x2d x＝错误!错误!＝错误!，c＝错误!x3d x＝错误!错误!＝错误!，∴a〉b〉c.【答案】A3．（2016·东莞高二检测）已知积分错误!(kx＋1）d x＝k，则实数k＝（）A．2 B．－2C．1 D．－1【解析】错误!(kx＋1）d x＝错误!错误!＝错误!k＋1＝k，∴k＝2。

【答案】A4．已知f(x）＝2－｜x|，则错误!f(x）d x＝（）A．3 B．4C。

错误!D。

错误!【解析】因为f（x)＝2－｜x｜＝错误!所以错误!f（x)d x＝错误!(2＋x）d x＋错误!（2－x）d x＝错误!＋错误!＝错误!＋2＝错误!.【答案】C5．设f(x）＝错误!则错误!f（x）d x＝（)A。

错误! B.错误!C.错误!D。

错误!【解析】错误!f（x）d x＝错误!x2d x＋错误!（2－x）d x＝错误!x3错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!＝错误!.【答案】D二、填空题6．若错误!（2x－3x2）d x＝0,则k等于__________。

【导学号：60030039】【解析】错误!(2x－3x2)d x＝(x2－x3)｜错误!＝k2－k3＝0,∴k＝0(舍)或k＝1。

【答案】17．（2016·南宁模拟）设抛物线C：y＝x2与直线l:y＝1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于____________ 。

一、选择题1．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．a >c >bD ．c >b >a【解析】 ∵a ＝⎠⎛01x 13d x ＝⎪⎪⎪10＝34；b ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪1＝14，∴a >b >c .【答案】 A2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1)，1x ，x ∈[1，e 2)(其中e 为自然对数的底数)，则f (x )d x的值为( )A.43 B.53 C.73 D.83【解析】 f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋∫e 211x d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 10＋ln x ⎪⎪⎪e 21＝13＋2＝73.【答案】 C3．(2013·安阳高二检测)⎠⎛01|1－x |d x ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2 【解析】 ⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝(x －12x 2)⎪⎪⎪10＋(12x 2－x )⎪⎪⎪21＝(1－12)＋(12×4－2)－(12－1) ＝1. 【答案】 B4．设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A ．－33B.33C ．－13 D.13【解析】 ∵⎠⎛01f (x )d x ＝(13ax 3＋cx )⎪⎪⎪10＝13a ＋c ，∴ax 20＋c ＝13a ＋c ， ∴x 20＝13.∵0≤x 0≤1.∴x 0＝33.【答案】 B5．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )A ．0B ．1C ．0或1D ．不确定【解析】 ∵⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)⎪⎪⎪k0＝k 2－k 3，∴k 2－k 3＝0，即k ＝0或k ＝1， 又当k ＝0时，不合题意，∴k ＝1. 【答案】 B 二、填空题6．已知函数f (a )＝⎠⎛0a sin x d x ，则f [f (π2)]＝________.【解析】 ∵f (a )＝⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪a0＝1－cos a .∴f (π2)＝1－cos π2＝1. ∴f [f (π2)]＝f (1)＝1－cos 1. 【答案】 1－cos 17．(2012·江西高考)计算定积分(x 2＋sin x )d x ＝________.【解析】 ∵(13x 3－cos x )′＝x 2＋sin x ， ∴(x 2＋sin x )d x ＝(13x 3－cos x )⎪⎪⎪1－1＝23. 【答案】 238．(2013·福州高二检测)⎠⎛12(1x ＋1x 2)d x ＝________.【解析】 ∵⎠⎛12(1x ＋1x 2)d x ＝(ln x －1x )⎪⎪⎪21＝(ln 2－12)－(ln 1－1)＝ln 2＋12. 【答案】 ln 2＋12 三、解答题9．计算下列定积分： (1)⎠⎛121x (x ＋1)d x ； (2)(cos x ＋2x )d x .【解】 (1)∵⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12(1x －1x ＋1)d x＝[ln x －ln(x ＋1)]⎪⎪⎪21＝ln 43.(2)(cos x ＋2x )d x ＝(sin x ＋2x ln 2)⎪⎪⎪⎪π2－π210．(1)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，求f (x )d x .(2)求x 2d x (a >0)．【解】 (1) f (x )d x ＝x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x ＝13x 3⎪⎪⎪0－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪10＝sin 1－23.(2)由x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，得11．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈(2，4]，求使⎠⎛k 3f (x )d x ＝403恒成立的k 值．【解】 (1)当k ∈(2,3]时，⎠⎛k 3f (x )d x ＝⎠⎛k3(1＋x 2)d x ＝(x ＋13x 3)⎪⎪⎪3k＝3＋13×33－(k ＋13k 3)＝403 整理得k 3＋3k ＋4＝0， 即k 3＋k 2－k 2＋3k ＋4＝0， ∴(k ＋1)(k 2－k ＋4)＝0， ∴k ＝－1.而k ∈(2,3]，∴k ＝－1舍去． (2)当k ∈[－2,2]时，⎠⎛k 3f (x )d x ＝⎠⎛k 2(2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(1＋x 2)d x ＝(x 2＋x )⎪⎪⎪2k ＋(x ＋13x 3)⎪⎪⎪32＝(22＋2)－(k 2＋k )＋(3＋13×33)－(2＋13×23) ＝403－(k 2＋k )＝403， ∴k 2＋k ＝0，解得k ＝0或k ＝－1， 综上所述，k ＝0或k ＝－1.。

第一章导数及其应用微积分基本定理级基础巩固一、选择题．由直线＝－，＝，＝与曲线＝所围成的封闭图形的面积为( )．解析：依题意，＝＝＝.答案：．下列定积分值是的是( )(＋)(＋) 解析：根据当()是奇函数时，()＝，当()是偶函数时，()＝()，可知选项符合条件．答案：－＝( )．．．．－解析：－＝(－)＋(－)＝＋＝＋－＝.答案：．＝与＝的大小关系是( )．＞．＜．＝．无法确定解析：＝＝＝－，＝＝＝，所以＞.答案：．若(－)＝，则＝( )．．．或．不确定解析：(－)＝(－)＝－＝，解得＝(舍去)或＝.答案：二、填空题．(·天津卷)曲线＝与直线＝所围成的封闭图形的面积为．解析：解方程组得两曲线的交点坐标为(，)，(，)(图略)，所求面积为＝(－)＝＝())).答案：答案：．已知函数()＝，则＝．解析：因为()＝＝(－ )＝－，所以＝－＝，所以＝()＝－ .答案：－．计算＝．解析：因为( )′＝中，＞，所以由()＝为奇函数，可得＝－＝－( )＝－＝－ .答案：－三、解答题．计算下列定积分：()(－)(－)；().解：()(－)(－) ＝(－－＋)＝＝.()＝＝))＝－ .．已知()＝＋＋(≠)，且(－)＝，′()＝，()＝－，求、、的值．解：因为(－)＝，所以－＋＝.①又因为′()＝＋，所以′()＝＝.②而()＝(＋＋)，取()＝＋＋，则′()＝＋＋.所以()＝()－()＝＋＋＝－.③由①②③得＝，＝，＝－.级能力提升．设()＝＋(≠)，若()＝()，≤≤，则的值为( )．－．－解析：因为()＝＝＋，所以＋＝＋，所以＝，因为≤≤，所以＝.。

心尺引州丑巴孔市中潭学校二十冶综合高中分校高中数学<1.6微积分根本定理>练习试题 教选修2-2 A.23 B.32- C.32 D.34 2.以下值等于1的是 〔 〕A.⎰10xdx B.⎰+10)1(dx x C. ⎰102xdx D. ⎰1021dx 3.假设2')(x x F=，那么)(x F 的解析式不正确的选项是 〔 〕 A.331)(x x F = B. 3)(x x F = C. 131)(3+=x x F D. )(31)(3为常数c c x x F += 4.⎰-+4223)30(dx x x 等于 〔 〕 A.56 B.28 C.14 D.356 一、填空题〔每题6分〕5.由直线0,4,1===y x x 和曲线1+=x y 围成的曲边梯形的面积是6.2)1210=+⎰dx x k （，那么=k 7.定积分⎰+1021dx x x 的值为 三、解答题8.〔8分〕c bx ax x f ++=2)(，且2)1(=-f ，0)0('=f ，1)(10-=⎰dx x f ，求)(x f 的解析式. B 组〔总分值50〕一、选择题〔每题7分〕1.设)(x f 是一次函数，且⎰=105)(dx x f ，⎰=10617)(dx x xf 那么)(x f 的解析式为〔 〕 A.34+x B.43+x C.24+-x D.43+-x2.函数)(x f 的定义域为〔-2，2〕，其导函数x x x f cos 2)(2'+=且0)0(=f ，那么关于实数x 的不等式0)2()2(2>-+-x x f x f 的解集为 〔〕 A.(31,0+) B.(2,4) C.),2()1,(+∞--∞ D.(2,31+)二、填空题〔每题7分〕3.=⎰xdx x 2sin cos 205π_________.4.设m M ,分别是)(x f 在区间[]b a ,上的最大值和最小值,那么⎰≤-b a dx x f a b m )()(≤ )(a b M -，由上述估值定理，估计定积分dx x ⎰--2122的取值范围是_______________. 三、解答题5.〔10分〕x b x a x f cos sin )(+=，4)(20=⎰πdx x f ，2337)(60-=⎰πdx x f ，求)(x f 的最大值和最小值. 6.(12分)求c 的值，使⎰++1022)(dx c cx x 最小。

选修2-2 1.6 微积分基本定理一、选择题1．下列积分正确的是( )[答案] AA.214B.54 C.338D.218[答案] A[解析] ⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x 4d x＝13x 3| 2－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x －3| 2－2 ＝13(x 3－x －3)| 2－2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫8－18－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－8＋18＝214.故应选A.3.⎠⎛1－1|x |d x 等于( )A.⎠⎛1－1x d xB.⎠⎛1－1d xC.⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d xD.⎠⎛0－1x d x ＋⎠⎛01(－x )d x[答案] C[解析] ∵|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x (x <0)∴⎠⎛1－1|x |d x ＝⎠⎛0－1|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x＝⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ，故应选C.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x <1)2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.故应选C.5.⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝( )A ．f (b )－f (a )B ．f (3b )－f (3a ) C.13[f (3b )－f (3a )]D ．3[f (3b )－f (3a )][答案] C[解析] ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤13f (3x )′＝f ′(3x ) ∴取F (x )＝13f (3x )，则⎠⎛abf ′(3x )d x ＝F (b )－F (a )＝13[f (3b )－f (3a )]．故应选C. 6.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223 C.233D.253[答案] C[解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3| 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x | 32＝233.A ．－32B ．－12C.12D.32[答案] D[解析] ∵1－2sin2θ2＝cos θ8．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．cos xB ．sin xC ．－cos xD ．－sin x[答案] A[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x0＝sin x －sin0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ，故应选A. 9．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对[答案] C[解析] ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)| k 0＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0或1.10．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2| x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－3.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253∴最大值为0，最小值为－323. 二、填空题 11．计算定积分： ①⎠⎛1－1x 2d x ＝________②⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝________③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________ ④⎠⎛0－π2|sin x |d x ＝________[答案] 23；436；2；1[解析] ①⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23.②⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x | 32＝436.③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.[答案] 1＋π213．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2dx ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 1S 阴＝13. 14．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题15．计算下列定积分： (1)⎠⎛052x d x ；(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ；(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛052x d x ＝x 2| 50＝25－0＝25.(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛012x d x＝13x 3| 10－x 2| 10＝13－1＝－23. (3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403.(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－3x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2.16．计算下列定积分：[解析] (1)取F (x )＝12sin2x ，则F ′(x )＝cos2x＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32＝14(2－3)． (2)取F (x )＝x 22＋ln x ＋2x ，则F ′(x )＝x ＋1x＋2.∴⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2d x＝F (3)－F (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋ln3＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＋ln2＋4＝92＋ln 32. (3)取F (x )＝32x 2－cos x ，则F ′(x )＝3x ＋sin x17．计算下列定积分： (1)⎠⎛0－4|x ＋2|d x ；(2)已知f (x )＝，求⎠⎛3－1f (x )d x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝|x ＋2|＝∴⎠⎛0－4|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛0－2(x ＋2)d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | －2－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | 0－2＝2＋2＝4.(2)∵f (x )＝∴⎠⎛3－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x | 21 ＝12＋12＝1. 18．(1)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值；(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．[解析] (1)取F (x )＝23ax 3－12a 2x 2则F ′(x )＝2ax 2－a 2x ∴f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.(2)∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。

微积分基本定理(时间：25分，满分50分）班级 姓名 得分1。

ʃ1，0(e x ＋2x ）d x 等于（ ）A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1【答案】 C【解析】 ʃ错误!(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2）|错误!＝(e 1＋12)－（e 0＋02)＝e.2．sin 2错误!d x 等于（ ）A.错误!B.错误!－1C ．2D 。

错误! 【答案】 D3。

若ʃ错误!（2x ＋k )d x ＝2，则k ＝（ ）A 。

1B 。

2 C.3 D.4【答案】 A【解析】 ∵ʃ1，0(2x ＋k ）d x ＝(x 2＋kx )|错误!＝1＋k ＝2,∴k ＝1。

4．已知，若成立，则a = . A.或 B 。

C. D 。

0【答案】 A【解析】取，则,， 所以，所以，所以。

即，解得或.5．等于( ）20⎰()2321f x x x =++()()112f xd x f a -=⎰1-13131-()32F x x x x =++()13F =()11F -=-()()()11114f x F d xF ---==⎰()24f a =()2f a =23212a a ++=1a =-1311x dx -⎰A 。

B. C 。

D 。

【答案】C【解析】|x ｜＝∴＝，选C 。

6．由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为（ ）．【答案】A＝n （n ＋1)(2n ＋1)＋ ＝＋＝，∴所求面积S ＝. 7．设f （x )是一次函数，且ʃ1，0f (x )d x ＝5，ʃ错误!xf （x )d x ＝错误!，则f (x )的解析式为________．【答案】 f (x )＝4x ＋3 【解析】 ∵f （x ）是一次函数，设f （x )＝ax ＋b (a ≠0），则ʃ错误!f （x )d x ＝ʃ错误!（ax ＋b )d x ＝ʃ错误!ax d x ＋ʃ错误!b d x ＝错误!a ＋b ＝5，ʃ错误!xf （x )d x ＝ʃ错误!x （ax ＋b ）d x ＝ʃ错误!(ax 2）d x ＋ʃ错误!bx d x ＝错误!a ＋错误!b ＝错误!。

微积分基本定理（时间：25分，满分50分）班级 某某 得分 1.（5分）π2π2-⎰(1＋cos x )d x 等于( )A ．π B．2C ．π－2 D ．π＋2 【答案】 D2．（5分）若1123ln 2,ax dx x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】22111111122ln 1ln 3ln 2aa a aa x dx xdx dx xxa a x x ⎛⎫+=+=+=-+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，解得a ＝2.3．（5分）设f (x )是一次函数，且()15f x dx =⎰，()1176xf x dx =⎰，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝4x ＋3 B ．f (x )＝3x ＋4 C ．f (x )＝－4x ＋2 D ．f (x )＝－3x ＋4 【答案】A【解析】∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则()()11f x dx ax b dx =+=⎰⎰1100152axdx bdx a b +=+=⎰⎰，()()1100xf x dx x ax b dx =+=⎰⎰()()112ax dx bx dx +⎰⎰=1117.326a b +=由15,21117,326a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.4．（5分）已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D ．－23 【答案】 B【解析】 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ101d x ＝x 33|0－1＋1＝13＋1＝43，故选B.5.（5分）若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)【答案】 B6．（5分）设113a x dx =⎰，12b x dx =⎰，130c x dx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.c >a >bB.a >b >cC.a =b >cD.a >c >b【答案】B【解析】14113303344a x dx x ===⎰，123101133b x dx x ===⎰，134101144c x dx x ===⎰，因为113434<<，所以a >b >c .7．（5分）计算定积分()121sin xx dx -+⎰＝.【答案】23【解析】()12311112sin cos 33x x dx x x --⎛⎫+=-=⎪⎝⎭⎰. 8．（5分）设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 【答案】33【解析】 ʃ10(ax 2＋c )d x ＝ax 20＋c ， ∴a3＝ax 20， ∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.9.（5分）若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈1，2]，2x，x ∈2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．10．（5分）计算下列定积分： (1)52xdx ⎰；(2)()1202x x dx -⎰；(3)()()220424x x dx --⎰.【解析】(1)552250252xdx x ==-=⎰.(2)()1112231210000112221333x x dx x dx xdx x x -=-=-=-=-⎰⎰⎰. (3)()()()222020316842424x x dx dx x x x --+--=⎰⎰ 22034411643232403216833x x x x ⎛⎫==--+=⎪⎝⎭--+.。