安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考试题(8月) 数学(理科) word版含解析

姓名 座位号(在此卷上答题无效)安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考（8月）数 学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可用铅笔在答题卡．．．规定位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 3x 2},B {lnx 0}x x =-≤≤=≥{，则AB =A.3,2,1,0,1}---{B.1,2}{C.3x 1}x -≤≤{D.1x 2}x ≤≤{ 2.已知复数134z i=+，则下列说法正确的是A.复数z 的实部为3B.复数z 的虚部为425i C.复数z 的共轭复数为342525i + D.复数z 的模为1 3.椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为 A.(5，0) B.(0，5) 7，0) D.(07) 4.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.n<p<m 5.曲线32()xy x x e =+在x ＝1处的切线方程为A.y ＝7ex －5eB.y ＝7ex ＋9eC.y ＝3ex ＋5eD.y ＝3ex －5e 6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝11，S 15＝15，则a 2＝ A.18 B.16 C.14 D.127.要得到函数y 2sin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为 A.12 B.14 C.16 D.189.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()xxf x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为 A.(－1，3) B.(－3，1) C.(,1)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(1,)-∞-+∞10.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为1 22 C.221 D.222 11.已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则VS取得最大值时圆锥的侧面积为A. B. 32π C. 62π D. 82π12.已知点A 是双曲线22221x y a b+=（a>0，b>0）的右顶点，若存在过点N(3a ，0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率 A.存在最大值324 B.存在最大值223 C.存在最小值324 D.存在最小值23第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

“皖南八校”2020届高三第一次联考数 学(理科)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数21iz i=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2.若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()RC A B =I ( )A. {}|10x x -≤<B. {}|06x x <≤C. {}|20x x -≤<D. {}|03x x <≤3.若3log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.30.2c =，则( ) A. a b c << B. b c a << C. a c b <<D. b a c <<4.已知向量()1,2AB =--uu u r ，(),5BC x =uu u r ，若7AB BC ⋅=-uu u r uu u r，则AC =u u u r ( )A. 5B. 42C. 6D. 525.函数2sin 1x x y x +=+部分图象大致为( )A.B.C.D.6.为了测量铁塔OT 的高度，小刘同学在地面A 处测得铁塔在东偏北197'o 方向上，塔顶T 处的仰角为30o ，小刘从A 处向正东方向走140米到地面B 处，测得铁塔在东偏北797'o 方向上，塔顶T 处的仰角为60o ，则铁塔OT 的高度为( )A. 7B. 257米C. 2021D. 25217.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边与x 轴正半轴重合，终边过点(2,14--，则5sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) 17- B. 174+-C.714D.174+ 8.已知非零向量a r ，b r 满足27a b +=r r ，()2a a b ⊥-r r r ，则向量a r ，b r的夹角为( )A. 6πB.4π C.3π D. 2π9.关于复数(),z x yi x y R =+∈，下列命题①若1z i +=，则()2211x y ++=；②z 为实数的充要条件是0y =；③若zi 是纯虚数，则0x ≠；④若11i z=+，则1x y +=.其中真命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 410.若曲线()()21x f x ax e -=-在点()()22f ,处的切线过点()3,3，则函数()f x 的单调递增区间为( )A. ()0,∞+B. (),0-∞C. ()2,+∞D. (),2-∞11.已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是( ) A. 函数()f x 的图象关于直线()x k k =π∈Z 对称B. 函数()f x 在[],2ππ上单调递增C. 函数()f x 的图象关于点(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称 D. 函数()f x的值域为⎡⎣12.已知函数()2f x ax x =-，()2,02,0ax x x g x a x x ⎧-≥=⎨-<⎩，若方程()()0g f x =有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A. ()4,0-B. ()0,4C . ()(),40,-∞-+∞UD. ()(),04,-∞+∞U第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()12143a x dx --=⎰，则a =______. 14.已知()sin 1αβ+=-，()7sin 25αβ-=-，则tan tan αβ=______.15.已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 在CB 的延长线上，3BC =，1AE AB ==，30C ∠=o .若AE xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r，则x =______.16.已知函数()sin 22cos f x x x =+，则()f x 的最大值为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知p ：函数()()2246f x x a x =-++在()1,+∞上是增函数，q ：x R ∀∈，2230x ax a ++->，若()p q ∧⌝是真命题，求实数a 的取值范围.18.已知cos ,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()2,1b =r.(1)若a b r rP ，求()sin cos 3sin x x x +的值；(2)若()()22sin 2xf x a b =++r r ，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的表达式及()g x 的最小正周期.19.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2sin cos sin sin 22A C Ba b c C a A π+-+=-. (1)求角C 的大小； (2)若7c =，()13cos 14A C +=-，求ABC ∆的面积. 20.已知函数())()cos cos 0f x xx x ωωωω=->，A ，B 分别是曲线()y f x =上的一个最高点和一个最低点，且AB(1)求函数()f x 的单调递增区间和曲线()y f x =的对称中心的坐标； (2)若不等式()1f x m -<对,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围. 21.已知函数()3261f x ax x =-+，a R ∈.(1)当2a =，[]3,3x ∈-时，求函数()f x 的最大值；(2)若函数()f x 存在唯一零点0x ，且00x >，求实数a 的取值范围.22.已知函数()21ln x a x f x a-+=，()11xg x e x -=-.(1)函数()f x 是否有极值？若有，求出极值；若没有，说明理由.(2)若对任意1x >，()()f x g x <，求实数a 的取值范围.。

2019-2020学年安徽省皖江名校联盟高三（上）第一次联考数学试卷1（8月份）（34）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|2x −7<0}，B ={x|x 2−3x −4≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {0,1，2，3}C. {x|x ≤72} D. {x|0<x ≤72}2. 若复数z =4−i ，则z −z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30所学校对学生进行视力调查，应从中学中抽取( )所学校． A. 18 B. 9 C. 3 D. 15 4. 下列说法正确的是( )A. 某人月收入x 元不高于2000元可表示为“x <2000”B. 小明的身高为x ，小华的身高为y ，则小明比小华矮可表示为“x >y ”C. 变量x 不小于a 可表示为“x ≥a ”D. 变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ”5. 已知α,β为两个不同的平面，l 为直线，则以下说法正确的是( )A. 若l //α，α //β，则l //βB. 若l //α，α⊥β，则l ⊥βC. 若l ⊥α，l //β，则α⊥βD. 若l ⊥β，α⊥β，则l //α6. 甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是( )A. 12B. 13C. 14D. 157. 已知双曲线的离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为( )A. x −√2y =0B. √2x −y =0C. √2x ±y =0D. x ±√2y =08. 为得到函数y =cos (2x +π3)的图象，只需将函数y =sin2x 的图像( )A. 向左平移5π12个长度单位 B. 向右平移π6个长度单位 C. 向左平移π6个长度单位D. 向右平移5π12个长度单位9. 实数x 、y 满足约束条件{y ≤1y −x ≥0y +x ≥0，则目标函数z =y+1x (x ≠0)的取值范围是( )A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. (−∞,−2]∪[2,+∞)D. [−2,2]10. 已知函数f(x)=e x +ae −x 为偶函数，则不等式f(x)>f(2x −1)的解集为( )A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (13,1)D.11. 已知直线l ：xcosθ+ysinθ=1，且0P ⊥l 于P ，O 为坐标原点，则点P 的轨迹方程为( )A. x 2+y 2=1B. x 2−y 2=1C. x +y =1D. x −y =112. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心且经过点A的圆与L 交于B ，D 两点，若∠ABD =90°，|AF|=2，则p =( ) A. 1 B. √3 C. 2 D. √6 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,5)与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,−2)垂直，则m =______． 14. 已知公比q 为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若 S 2=2a 2+3，S 4=2a 4+3，则a 3的值为 . 15. 在直角坐标系中，已知角α的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边经过点P(35,45)，将角α的终边绕原点O 逆时针旋转π得到角θ的终边，则cosθ=__________．16. 在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若sinB =2sinC ，a 2−b 2=32bc ，则A =__________. 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n =−12n 2+212n ．(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n =1a2n a 2n+2，T n =b 1+b 2+⋯+b n ，求T n ．18. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得如下数据：单价t(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件)908483807568(Ⅱ)当单价t 为10元时，预测该产品的销量． 附：回归方程y ̂=b ̂t +a ̂中，b ̂=∑(n i−l ti−t −)(yi−y −)∑(n i−l ti−t −)2=∑t n i−l iyi−nt −y −∑t n i−li 2−nt −2，a ̂=y −−b ̂t −．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面是直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，AD=2BC，PA⊥平面ABCD，E为线段PA的中点．(Ⅰ)求证：BE//平面PCD；(Ⅱ)若PA=AD=2，求点E到平面PCD的距离．20.已知函数f(x)=ax+be x (e是自然对数的底数)，f(x)在x=1处的切线方程是y=x+1e−2．(1)求实数a，b的值；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，2|lnx−1|≥f(x)+c恒成立，求实数c的取值范围．21.P为圆A：(x+1)2+y2=8上的动点，点B(1,0)，线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ．(I)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)当点P在第一象限，且cos∠BAP=2√23时，求点M的坐标．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为{x =m −2y =m k(m 为参数)，当k 变化时，设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．(I)以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；(II)设曲线C 上的点A 的极角为π6，射线OA 与直线l 3：ρsin(θ+φ)−2√2=0 (0<φ<π2)的交点为B ，且|OB|=√7|OA|，求φ的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|+|2x −5|(a >0)．(1)当a =2时，解不等式f(x)≥5；(2)当x ∈[a,2a −2]时，不等式f(x)≤|x +4|恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={0,1，2，3}，B ={x|−1≤x ≤4}； ∴A ∩B ={0,1，2，3}． 故选：B ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z=4+i 4−i=(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ．故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.答案：B解析：【分析】本题主要考查了分层抽样的应用，属于基础题．先求出共有学校150所，再利用抽取比例，即可求出结果． 【解答】解：∵共有学校150+75+25=250所， ∴应从中学中抽取的学校数为：75250×30=9所. 故选B ． 4.答案：C解析：【分析】 本题主要考查了不等式，主要提干中的关键词“不高于”，“矮”，“不小于”，“不超过”的应用．【解答】解：A 项，x 应满足x ≤2000，故A 错误； B 项，x ，y 应满足x <y ，故B 错误；D 项，y 与a 的关系可表示为“y ≤a ”，故D 错误． 故选C ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查空间线面、面面位置关系，属于基础题 对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【解答】解：A 、若l//α，α//β，则l//β或l ⊂β，不正确； B 、若l//α，α⊥β，则l 、β位置关系不定，不正确；C 、若l //β，则l 平行β内一条直线m ，因为l ⊥α，所以m ⊥α，因此α⊥β，正确D 、若l ⊥β，α⊥β，则l//α或l ⊂α，不正确．故选C ． 6.答案：A解析：解：甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，不同的送法有四种：甲送丙，乙送丙；甲送丙，乙送丁；甲送丁，乙送丙；甲送丁，乙送丁． 甲、乙将贺年卡送给同一人的送法有两种：甲送丙，乙送丙；甲送丁，乙送丁． ∴甲、乙将贺年卡送给同一人的概率p =24=12．故选：A ．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，先列举出所有不同的送法，再从中找到甲、乙将贺年卡送给同一人的送法．由此能求出甲、乙将贺年卡送给同一人的概率． 本题考查列举法计算基本事件发生的概率，解题时要熟练掌握列举方法，列举时要注意既不能重复，又不能遗漏． 7.答案：D解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程，考查计算能力．属于基础题． 利用双曲线的离心率，求出a ，b 的关系，然后求解双曲线的渐近线方程． 【解答】 解：双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√3， 可得ca =√3，即a 2+b 2a 2=3，可得ba =√2．则该双曲线的渐近线方程为：x ±√2y =0． 故选：D ． 8.答案：A解析：【分析】本题主要考查诱导公式和三角函数图像的平移，属基础题．先根据诱导公式将函数y =cos(2x +π3)化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案． 【解答】 解：，只需将函数y =sin2x 的图象向左平移5π12个单位得到函数y =cos(2x +π3)的图象． 故选A ． 9.答案：C解析：解：由实数x 、y 满足约束条件{y ≤1y −x ≥0y +x ≥0，作出可行域如图，由图形可得A(−1,1)，B(1,1)，目标函数z=y+1x的几何意义为可行域内的动点与定点D(0,−1)连线的斜率，∵k DA=1+1−1=−2，k DB=1+11=2，∴函数z=y+1x的取值范围是(−∞,−2]∪[2,+∞)．故选：C．由约束条件作出可行域，再由目标函数z=y+1x的几何意义，即可行域内的动点与定点O(0,0)连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10.答案：C解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性，属于基础题．由奇偶性求出a的值，求导，判断函数的单调性，可得f(x)>f(2x−1)⇔|x|>|2x−1|，解不等式即可．【解答】解：f(−x)=e−x+ae x，由f(−x)=f(x)，得a=1，所以f(x)=e x+e−x，定义域为R，f′(x)=e x−e−x，易知f(x)在[0,+∞)上单调递增，在(−∞,0]上单调递减，则f(x)>f(2x−1)⇔|x|>|2x−1|，解得x∈(13,1)．故选C．11.答案：A解析：解：设P(x,y)，则∵0P⊥l于P∴点O到直线l的距离等于|OP|∴√x2+y2=√cos2θ+sin2θ=1∴x2+y2=1故选A．利用0P⊥l于P，可得点O到直线l的距离等于|OP|，从而可得点P的轨迹方程．本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将问题转化为点O到直线l的距离等于|OP|．12.答案：C解析：解：设准线与x轴交于E，由题意，|AF|=|BF|=|AB|=2，△ABF为等边三角形．∴∠FBD=30°，∴|EF|=2，即p=2，故选：C．设准线与x 轴交于E ，由题意，|AF|=|BF|=|AB|=2，△ABF 为等边三角形，求出|EF|=2，即可得出结论．本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础． 13.答案：5解析：解：∵向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,5)与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,−2)垂直， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m −10=0．解得m =5． 故答案为：5．由向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,5)与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,−2)垂直，利用向量垂直的性质能求出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2m −10=0.由此能求出m ．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.答案：−12解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题． 利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：∵S 2=2a 2+3，S 4=2a 4+3，∴a 1=a 1q +3，a 1(1+q +q 2)=a 1q 3+3，显然a 1≠0， ∴q(q 2−q −2)=0，q >0， 则公比q =2，a 1=−3， 所以a 3=−12． 故答案为−12．15.答案：−35解析：由三角函数定义知cosα=35，则cosθ=cos(α+π)=−cosα=−35．16.答案：2π3解析：∵sinB =2sinC ，∴b =2c 代入a 2−b 2=32bc 得a 2=7c2，三角形中由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=4c 2+c 2−7a 22×2c×c=−12，∴A =2π3.17.答案：解：(1)当n ≥2时，a n =S n −S n−1=−12n 2+212n +12(n −1)2−212(n −1)=11−n ，当n =1时，满足上式，可得a n =11−n ； (2)由a n =11−n ， 可得b n =1a2n a 2n+2=1(2n−11)(2n−9)=12(12n−11−12n−9)，T n =12(1−9−1−7+1−7−1−5+⋯+12n −11−12n −9)=12(1−9−12n−9)=−118−14n−18．解析：(1)运用数列的递推式，当n ≥2时，a n =S n −S n−1，检验n =1成立即可得到所求通项公式； (2)由b n =1a2n a 2n+2=1(2n−11)(2n−9)=12(12n−11−12n−9)，裂项相消求和即可．本题考查数列通项公式，裂项相消求和，考查计算能力，熟记求和的基本方法，准确计算是关键，是基础题．18.答案：解：(Ⅰ)t −=16(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，y −=16(90+84+83+80+75+68)=80，b ̂=∑t i 6i=1y i −6t −y−∑t i 26i=1−6t−2=−20，a ̂=y −−b ̂x −=250，∴回归方程为y =−20t +250；(Ⅱ)在y =−20t +250中，取t =10，可得y =50． ∴当单价t 为10元时，预测该产品的销量为50件．解析：(Ⅰ)由已知表格中的数据求得b ̂与a ̂的值，则线性回归方程可求；(Ⅱ)在(Ⅰ)中求得的回归方程中，取t =10求得y 值得答案． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 19.答案：(Ⅰ)证明：设线段AD 的中点为F ， 连接EF ，FB ．在△PAD 中，EF 为中位线， 故EF //PD ．又EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以EF//平面PCD ．在底面直角梯形ABCD 中，FD//BC ，且FD =BC ，故四边形DFBC 为平行四边形， 即FB//CD ．又FB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以FB//平面PCD ．又因为EF ⊂平面EFB ，FB ⊂平面EFB ，且EF ∩FB =F ，所以平面EFB//平面PCD ． 又BE ⊂平面EFB ，所以有BE//平面PCD ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知，点E 到平面PCD 的距离与点B 到平面PCD 的距离相等． 连接AC ，设点B 到平面PCD 的距离为h ，因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC．根据题意，在Rt△PAD中，PD=2√2在Rt△ADC中，AC=2√2，在Rt△PAC中，PC=2√3，由于PD2+CD2=PC2，所以△PCD为直角三角形，S△PCD=2√2．V B−PCD=13S△PCD⋅ℎ=2√23ℎ.又V P−BCD=13S△BCD⋅AP=23，所以ℎ=√22．即点E到平面PCD的距离为√22．解析：(Ⅰ)设线段AD的中点为F，连接EF，FB.通过线面平行证明平面EFB//平面PCD，再证明：BE//平面PCD；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，点E到平面PCD的距离与点B到平面PCD的距离相等，利用，等体积方法求点E 到平面PCD的距离．本题考查直线与平面平行的证明，考查点E到平面PCD的距离、三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.答案：解：(1)f′(x)=ae x−(ax+b)e x(e x)2=(a−b)−axe x，依题意得f(x)在x=1处的切线斜率为f′(1)=−be=1，①f(1)=a+be =1e−1，②联立①②解得a=1，b=−e．(2)由(1)得f(x)=x−ee x，由任意的x∈(0,+∞)，2|lnx−1|≥f(x)+c恒成立，可知任意的x∈(0,+∞)，2|lnx−1|−x−ee x≥c恒成立，令g(x)=2|lnx−1|−x−ee x，①当x≥e时，g(x)=2(lnx−1)−x−ee x，g ′(x)=2x −e +1−x e x=2e x +x(x −e −1)xe x=2e x +x 2−(e+1)xxe x ，令ℎ(x)=2e x +x 2−(e +1)x ，∵y =2e x 和y =x 2−(e +1)x 在[e,+∞)上都单调递增，ℎ(x)在[e,+∞)上单调递增，∴ℎ(x)≥ℎ(e)=2e e −e >0，∴g′(x)>0，∴g(x)在[e,+∞)上单调递增；②当0<x <e 时，g(x)=2(1−lnx)−x−e e x ， 则g′(x)=−2x −e+1−x e x =−2e x +x(1+e−x)xe x ，当x ∈(0,e)时，2e x >0，x(1+e −x)>0，∴2e x +x(1+e −x)>0，即g′(x)<0，∴g(x)在(0,e)上单调递减，综上可知，g(x)在x =e 处取得最小值g(e)=0，故c ≤0，即c 的取值范围是(−∞,0]．解析：本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解a ，b 即可．(2)由(1)得f(x)=x−e e x ，由任意的x ∈(0,+∞)，2|lnx −1|≥f(x)+c 恒成立得x ∈(0,+∞)，2|lnx −1|−x−ee x ≥c 恒成立，分x ≥e ，0<x <e 两种情况求解．21.答案：解：(Ⅰ)圆A 的圆心为A(−1,0)，半径等于2√2．由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2√2，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以2√2为长轴长的椭圆，a =√2，c =1，b =1，曲线Γ的方程为x 22+y 2=1.…(5分)(Ⅱ)由点P 在第一象限，cos∠BAP =2√23，|AP|=2√2，得P(53,2√23).…(8分) 于是直线AP 方程为y =√24(x +1)． 代入椭圆方程，消去y ，可得5x 2+2x −7=0，所以x 1=1，x 2=−75．由于点M 在线段AP 上，所以点M 坐标为(1,√22).…(12分)解析：(I)由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2√2，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以2√2为长轴长的椭圆，从而可求曲线Γ的方程；(Ⅱ)当点P 在第一象限，且cos∠BAP =2√23时，求出P 的坐标，可得直线AP 方程，代入椭圆方程，消去y ，可得5x 2+2x −7=0，即可求点M 的坐标．本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的方程与定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)直线l 1的参数方程为{x =−4t +2y =kt (t 为参数)， 转换为：直线l 1的普通方程为−4y =k(x −2)． 直线l 2的普通方程为y =x+2k ，联立两方程消去k ，得：−4y 2=x 2−4，即曲线C 的普通方程为：x 2+4y 2=4．由{x =ρcosθy =ρsinθ得曲线C 的极坐标方程为：ρ2(cos 2θ+4sin 2θ)=4； 化简得：ρ2(1+3sin 2θ)=4． (Ⅱ)把θ=π6代入ρ2(1+3sin 2θ)=4，得ρ2(34+4⋅14)=4，∴ρ2=167， 得ρA =√7由已知得：ρB =√7ρA =4，把θ=π6，ρ=4代入方程l 3得sin(π6+φ)=√22， 又0<φ<π2，∴π6<π6+φ<2π3， ∴π6+φ=π4，解得：φ=π12．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(Ⅱ)利用极坐标方程和三角函数的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用．23.答案：解：(1)a =2时，函数f(x)=|x +2|+|2x −5|={3−3x,x <−27−x,−2≤x ≤523x −3,x >52；所以不等式f(x)≥5可化为{x <−23−3x ≥5，或{−2≤x ≤527−x ≥5，或{x >523x −3≥5； 解得x ≤2或x ≥83，所以不等式f(x)≥5的解集为{x|x ≤2或x ≥83}；(2)不等式f(x)≤|x +4|化为|x +a|+|2x −5|≤|x +4|，因为x ∈[a,2a −2]时，2a −2>a ，所以a >2；又x ∈[a,2a −2]时，x +a >0，x +4>0，得x +a +|2x −5|≤x +4，不等式恒成立，即|2x −5|≤4−a 在x ∈[a,2a −2]时恒成立；则不等式恒成立时必须a ≤4，且a −4≤2x −5≤4−a ，解得a +1≤2x ≤9−a ；所以{2a ≥a +14a −4≤9−a ，解得1≤a ≤135； 结合2<a ≤4，所以2<a ≤135，即实数a 的取值范围是(2,135].解析：(1)a =2时，利用分段讨论思想求出不等式f(x)≥5的解集；(2)由题意知不等式化为|x +a|+|2x −5|≤|x +4|，讨论x 的取值范围，转化不等式，从而求出a 的取值范围．本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。

皖江名校大八月联考数学参考答案（理科）1.【解析】{|12}A B x x =<<I ，故选D.3.【解析】因为3,4a b ==，故双曲线22+1916x y =的右焦点的坐标是. 4.【解析】因为0.40.54log 0.40,41,00.41m n p =<=><=<，所以m p n <<.5.【解析】232(32)()xxy x x e x x e '=+++，所以1|7x y e ='=，又1x =时，2y e =，所以所求切线方程为27(1)y e e x -=-，即75y ex e =- 6.【解析】因为11515815()15152a a S a +===，所以81a =，又411a =，所以公差111542d -==-，所以24211516a a d =-=+=．7.【解析】因为sin 3cos3)4y x x x π=+=+， 所以将其图象向左平移4π个单位长度，可得)])2y x x x ππ=++=+π=，故选C.9.【解析】由题意可知，当x R ∈时，()xx f x e e =-，所以()0xxf x e e '=+>为R 上的单调递增函数，故由2(2)(3)0f x x f --<，得2(2)(3)f x x f -<，即2230x x --<，解得13x -<<，故选A.10.【解析】(2)()220m n x m n y m n ++--+=整理得(22)(2)0x y m x y n +-+--=，由题意得22020x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点(0,2)Q .因为OP l ⊥，所以点P 的轨迹是以OQ 为直径的圆，圆心为(0,1)，半径为1，因为圆心(0,1)到直线30x y -+=11.【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则22224=16r h l +==，所以2221111623121221223r h V rh r h S rl ππ+==≤⨯=⨯=，当且仅当r h ==.此时侧面积为1242⨯π⨯=.若存在过(3,0)N a 的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得N AM ∆是以M 为直角顶点13. 113-【解析】Q 向量(2,3)a =r，(1,)b m =-r ，∴(1,3)a b m +=+r r ，Q a r 与a b +r r 垂直，∴23(3)0m ++=，解得113m =-．14.【答案】4 【解析】由题意得4421S a -=，所以321S =，又11,a =，所以331211q S q-==-，解得4q =或5q =-（舍），所以4q =.15.【答案】283 【解析】7x ⎛ ⎝展开式的通项公式为1377221772233rrr r r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2r =，故所求系数为22722833C ⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭. 16.【答案】 522απ-【解析】法一：由1sin tan cos βαβ+=得sin 1sin cos cos αβαβ+=， 所以sin cos cos (1sin )αβαβ=+，即sin()cos αβα-=. 结合诱导公式得sin()sin()2παβα-=-.因为3(,),(0,)22ππαπβ∈∈，所以3(,),(,)222πππαβπαπ-∈-∈--. 由诱导公式可得sin()sin[2()]2παβπα-=+-，易知32()(,)22ππαππ+-∈， 因为sin y x =在3(,)22ππ上单调递减，所以2()2παβπα-=+-，即522βαπ=-.法二：由1sin tan cos βαβ+=得sin cos tan1222tan tan()24cossin1tan222ββββπαβββ++===+--， 所以tan tan()24βπα=+. 因为3(,),(0,)22ππαπβ∈∈，所以(,)2442βπππ+∈. 由诱导公式可得tan()tan απα-=，即tan()tan()24βπαπ-=+因为tan y x =在(0,)2π上单调递增，所以24βπαπ-=+，即522βαπ=-. 17．【解析】(1) 由222cos cos sin sin sin C B A A C -=-，得222sin sin sin sin sin B C A A C -=-．由正弦定理，得222b c a ac -=-，即222a cb ac +-=，…………………………3分所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===．………………………………………………5分 因为0C π<<，所以3B π=．……………………………………………………6分（2）由（1）知3π=B ，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-．①…………8分又1sin 2S ac B ==9分∴12ac =，②…………………………………………………………………………10分 又13b =Q ，∴据①②解，得7ac +=．…………………………………………12分 18.【解析】（1）证明：由题意可知：ED ⊥面ABCD ， 从而Rt EDA Rt EDC ∆≅∆，EA EC ∴=，又O 为AC 中点，DE AC ∴⊥，在EOF ∆中，3,6,3OE OF EF ===，222OE OF EF ∴+=，OE OF ∴⊥又AC OF O =I ，OE ∴⊥面ACF ．……………………………………………………………………5分（2）ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥，如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，从而(0E ，0，1)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2F ，2，2)，(1O ，1，0) 由（1）可知(1EO =u u u r，1，1)-是面AFC 的一个法向量，…………………………7分 设(n x =r，y ，)z 为面AEF 的一个法向量，由22020AF n y z AE n x z ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，令1x =得(1n =r ，2-，2)，………………………………9分 设θ为二面角E AF C --的平面角，则||3|cos ||cos ,|||||EO n EO n EO n θ=<>==u u u r ru u u r g r u u u r r g ，6sin 3θ∴=．∴二面E AF C --角的正弦值为6．………………………………………………12分19.【解析】（1）由||2PF =知P 到准线的距离也是2，P ∴点横坐标是22p-， 将(2,2)2pP -代入22y px =，得2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =.………………………………………………………………5分（2）证明：联立24y x x ky b ⎧=⎨=+⎩得2440y ky b --=，设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则124y y k +=，124y y b =-.………………………………7分因为点(,)b k 在曲线22(3)49x y --=上，所以代入整理可得22461b k b -=-.………8分则12122222221212121241()()421(1)(1)1441642FA FB y y y y bk k y y y y y y y y b k b -====-+--+---++g. …………………………………………………………………………………………………12分20.【解析】（1）由()sin f x ax x =-得导函数()cos f x a x '=-，其中0cos 1x <<. 当1a ≥时，()0f x '>恒成立，故()sin f x ax x =-在(0,)2π上是单调递增函数，符合题意； ……………………2分 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，故()sin f x ax x =-在(0,)2π上是单调递减函数，符合题意；……………………3分 当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=得cos x a =， 则存在0(0,)2x π∈，使得0cos x a =. 当00x x <<时，0()0f x '<，当02x x π<<时， 0()0f x '>，所以()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)2x π上单调递增，故()f x 在(0,)2π上是不是单调函数，不符合题意.综上，a 的取值范围是][(,01,)-∞+∞U . ……………………………………………6分 （2）由（1）知当1a =时，()sin (0)0f x x x f =->=，即sin x x <，故22sin()22x x<.…………………………………………………………9分 令3311()()sin ,(0,)662g x f x x ax x x x π=-=--∈，则22222111()cos 12sin 12()122222x x g x a x x a x a x a '=--=-+-<-+-=-， 当1a ≤时，()10g x a '=-≤，所以()g x 在(0,)2π上是单调递减函数，从而()(0)0g x g <=，即31()6f x x ≤.………………………………………………12分 21.【解析】（1）系统不需要维修的概率为2233331111()()2222C C ⋅⋅+⋅=.…………2分（2）设X 为维修维修的系统的个数，则1(3,)2X B :，且500X ξ=，所以3311(500)()()(),0,1,2,322kk k P k P X k C k ξ-====⋅⋅=.所以ξ的分布列为ξ 0 500 1000 1500P1838 38 18 所以ξ的期望为()50037502E ξ=⨯⨯=.…………………………………………6分（3）当系统G 有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G 系统的才正常工作.若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作， 则概率为12223113()228C p p ⋅⋅⋅=； 若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作， 则概率为221222232311113()(1)()(2)22228C C p p C p p p ⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=-； 若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作， 系统G 均能正常工作，则概率为33311()28C ⋅=. 所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为2233131(2)88848p p p p +-+=+， 于是由3113(21)4828p p +-=-知，当210p ->时，即112p <<时，可以提高整个G 系统的正常工作概率.………………………………………………12分22.【解析】（I ）依题意，曲线2C 的直角坐标方程为3y x =.…………………………3分（II ）因为曲线1C 的参数方程为2cos ,1cos 2,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），所以曲线1C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-，……………………………………7分 联立23,1,2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解方程组得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩根据x 的范围应舍去6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故交点的直角坐标为(0,0).……………………………10分23.【解析】（1）依题意，1246x x -++>，当2x <-时，原式化为1246x x --->，解得3x <-，故3x <-； 当21x -≤≤时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故无解； 当1x >时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故1x >；综上所述，不等式()6f x >的解集为()(),31,-∞-+∞U ；………………………………5分 （2）因为()124122123f x x x x x x x x =-++=-++++≥-++≥， 当且仅当2x =-时，等号成立.故()10f x m --≥恒成立等价于13m -≤；即313m -≤-≤，解得24m -≤≤ 故实数m 的取值范围为[2,4]-.……………………………………………………………10分。

安徽省皖南八校2020届高三第一次联考数学理doc 高中数学数学试题〔理科〕考生注意：1．本试卷分第I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分。

总分值100分，考试时刻100分钟。

2．答题前，请考生务必将答题纸左侧密封线内的项目填写清晰。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

第I 卷 〔选择题 共50分〕一、选择题：本大题10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．全集U=R ，集合2{|(1)4}A x x =-≤，那么U C A 等于 〔 〕A ．{|13}x x x ≤-≥或B ．{|13}x x x <->或C ．{|13}x x -<<D ．{|13}x x -≤≤ 2．设复数2221,z i z z =-+则等于〔 〕A ．1i -+B ．1i +C ．12i -+D ．12i +3．命题〝对任意直线l ，有平面α与其垂直〞的否定是〔 〕 A ．对任意直线l ，没有平面α与其垂直 B ．对任意直线l ，没有平面α与其不垂直 C ．存在直线0l ，有平面α与其不垂直 D ．存在直线0l ，没有平面α与其不垂直4．等比数列,5443{}1,31,21,n n a n S q S a S a ≠=+=+的前项和为公比若那么q 等于〔 〕A ．2B ．—2C ．3D ．—15．设点P 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点F 1，F 2分不是双曲线的左、右焦点，且12||2||PF PF =，那么双曲线的离心率为〔 〕A ．5B ．52C ．10D ．1026．假设变量,x y 满足约束条件2001x y x y y --≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，那么目标函数2z x y =-的最大值为 〔 〕A ．—3B ．3C ．—1D ．17．有一种波，其波形为函数sin()2y x π=的图象，假设在区间[0,]t 上至少有2个波峰〔图象的最高点〕，那么 正整数t 的最小值是 〔 〕A ．3B ．4C ．5D ．68．如右图程序框图，假设输出63p =，那么输入框应填入 A ．6i > B ．5i >C ．4i <D ．3i >9．假设函数()(,)y f x a b =的导函数在区间上不是单调函数，那么函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是〔 〕A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④ 10．考察底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱，甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，那么这两条棱互相垂直的概率为 〔 〕 A ．2281B ．3781C ．4481D ．5981第二卷 〔非选择题 共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

2024～2025学年（上）安徽高三8月份联考数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足23z z +=-（i 为虚数单位），则z =（）．A.1+B.1C.1-D.1-2.已知向量()2,1a = ，()2,b m m =- ，若a b ∥ ，则m =（）．A.4- B.2- C.2D.43.在等比数列{}n a 中，若23138a a a =，则48a a =（）．A.2B. C.4D.84.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若a α⊂，b β⊂，αβ⊥，则“a β⊥”是“a b ⊥r r”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知集合()(){},ln 1A x y y x ==+，(){}22,1B x y xy =+=，则A B ⋂中的元素个数为（）．A.1B.2C.3D.46.22π7πsinsin 1212-=（）．A.2B.12C.12-D.2-7.某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为23，45，34，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（）．A.1013B.23 C.713D.7308.已知双曲线()222:10y C x b b-=>的左焦点为F ，过坐标原点O 作C 的一条渐近线的垂线l ，直线l 与C交于A ，B 两点，若ABF △的面积为3，则C 的离心率为（）．A.3B.C.2D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知椭圆22:416C x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的任意一点，则（）A.C 的离心率为12B.128PF PF +=C.1PF 的最大值为4+D.使12F PF ∠为直角的点P 有4个10.若01a b <<<，则（）．A.a b +>+B.cos sin a b >C .log a bb a>D.ln ln a b a b-<-11.在四棱锥S ABCD -中，已知底面ABCD 为梯形，2222AD AB BC CD SD =====，AS =，则下列说法正确的是（）．A.四边形ABCD 的面积为4B.棱SB 的长度可能为C.若SD AB ⊥，则点A 到平面SBD 的距离为1D.若SD AB ⊥，则四棱锥S ABCD -外接球的半径为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有__________种．13.已知函数()()cos f x x ωϕ=+在区间24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且42233f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2f =__________．14.在平面直角坐标系xOy 中，M 为曲线ln xy x=上一点且位于第一象限，将线段OM 绕x 轴旋转一周，得到一个圆锥的侧面，再将其展开成扇形，则该扇形的圆心角的最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，PD AD ⊥．（1）证明：⊥BC 平面PCD ；（2）若4PA =，E 为棱PC 的中点，求直线PC 与平面ABE 所成角的正弦值．16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知12cos sin 2sin sin BC A B=+．（1）求C ；（2）若32a b c +=且3a =，求ABC V 的外接圆半径．17.已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，过点F 且互相垂直的两条动直线分别与E 交于点A ，B和点C ，D ，当AB CD =时，8AB =．（1）求E 的方程；（2）设线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，若直线AB 的斜率为正，且18FN FM=，求直线AB 和CD 的方程．18.无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑．为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示：对无人驾驶的态度支持中立反对频数483216用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立．为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分．（1）从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率．（2）从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率．（3）从该校任选n 名学生，其中得分为5的学生人数为X ，若30.944nn P X ⎛⎫≤≤≥ ⎪⎝⎭，利用下面所给的两个结论，求正整数n 的最小值．结论一：若随机变量(),B n p ξ ，则随机变量η=近似服从正态分布()0,1N ；结论二：若随机变量()0,1N ξ ，则()1.280.9P ξ≤≈，()1.650.95P ξ≤≈．19.已知函数()221ln 11x x f x x x x -=--+-．（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的零点个数；（3）设10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，证明：()()()22211111nk k k k k k -+++<+-L ．附：()()2222211ln 111x x x x x x x '⎛⎫-+= ⎪+--+-⎝⎭，()()22212ln 111x x x x x x x x '--⎛⎫= ⎪+--+-⎝⎭．2024～2025学年（上）安徽高三8月份联考数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】AD 【11题答案】【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】18【13题答案】【答案】12##0.5【14题答案】【答案】24e 1+四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）证明见详解（2）5【16题答案】【答案】（1）2π3C =（2）3【17题答案】【答案】（1）24y x=（2）:210AB x y --=，:220CD x y +-=【18题答案】【答案】（1）1118（2）772（3）11【19题答案】【答案】（1）(),111122,,⎛⎛⎫+-∞--+∞ ⎝⎭⎝⎭（2）1（3）证明见解析。

安徽省皖江名校联盟2020届高三数学第一次联考（8月）试题 文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第2至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可用铅笔在答题卡．．．规定位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．题无效．．．。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 1,2,3,4},B {x 3}x ==<{，则A B =IA.1,2,3}{B.1,2}{C.1x 3}x ≤<{D.1x 3}x <<{2.已知复数z 满足(1)z i -=，则z =A. 1+B.1C.iD.－i3.某地甲、乙、丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为300，400，500，现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个容量为120的样本，那么在乙学校中抽取的数学成绩的份数为A. 30B. 40C.50D. 80 4.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.n<p<m 5.已知a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则A.a∥α，a⊥b，则b⊥αB.a⊥α，a⊥b，则b∥αC.a ⊂α，b ⊂α，a∥β，b ∥β，则α∥βD.a I b ＝A ，a∥α，b ∥α，a∥β，b ∥β，则α∥β6.数学老师要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人检查作业，则甲、乙同时被抽到的概率为 A.110 B.15 C. 310 D. 257.已知双曲线22221x y a b-=（a>0，b>0）的渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为A.8.要得到函数ysin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度9.已知实数x 、y 满足200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则z ＝－x ＋y 的取值范围是A.[－4，2]B. [－4，0]C. [－2，－4] D[－2，4]10.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()x xf x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞UD. (,3)(1,)-∞-+∞U 11.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为12C.1D.212.已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F直线l 过点F 与抛物线交于A 、B 两点，过A 、B 作抛物线准线的垂线，垂直分别为C 、D 两点，M 为线段AB 的中点，则△CDM 是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

1 2019年8月安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考 数学（理科）参考答案解析1.【解析】{|12}AB x x =<<，故选D. 2.【解析】1343434252525i z i i -===-+，所以z 的实部为325，虚部为425- ，z 的共 轭复数为342525i +15=，故选C. 3.【解析】因为3,4a b ==,故双曲线22+1916x y =的右焦点的坐标是. 4.【解析】因为0.40.54log 0.40,41,00.41m n p =<=><=<,所以m p n <<.5.【解析】232(32)()x x y x x e x x e '=+++,所以1|7x y e ='=,又1x =时,2y e =,所以所求切线方程为27(1)y e e x -=-,即75y ex e =-6.【解析】因为11515815()15152a a S a +===,所以81a =,又411a =,所以公差 111542d -==-,所以24211516a a d =-=+=． 7.【解析】因为sin 3cos3)4y x x x π=+=+, 所以将其图象向左平移4π个单位长度,可得)])244y x x x ππ=++=+π=,故选C. 8.【解析】根据题意,分2步分析：①先从5个人里选2人,其位置不变,有2510C =种 选法,②对于剩余的三人,因为每个人都不能站在原来的位置上,因此第一个人有两种站法, 被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上,因此三个人调换有2种调换方法,故不同的调换方法有10220⨯=种.而基本事件总数为55120A =,所以所求概率为2011206=. 9.【解析】由题意可知,当x R ∈时,1()x x f x e e =-,所以1()0x x f x e e '=+>为R 上的单调递增函数,故由2(2)(3)0f x x f --<,得2(2)(3)f x x f -<,即2230x x --<,解得13x -<<,故选A.。

安徽省皖江名校联盟2020届高三第一次联考（8月）数学试卷（理）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 3x 2},B {lnx 0}x x =-≤≤=≥{，则AB =（）A.3,2,1,0,1}---{B.1,2}{C.3x 1}x -≤≤{D.1x 2}x ≤≤{ 2.已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（） A.复数z 的实部为3 B.复数z 的虚部为425i C.复数z 的共轭复数为342525i + D.复数z 的模为1 3.椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为（）A.(5，0)B.(0，5) ，0) D.(0) 4.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则（） A.m <n <p B.m <p <nC.p <m <nD.n <p <m5.曲线32()xy x x e =+在x ＝1处的切线方程为（）A.y ＝7e x －5eB.y ＝7e x ＋9eC.y ＝3e x ＋5eD.y ＝3e x －5e 6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝11，S 15＝15，则a 2＝（） A.18 B.16 C.14 D.127.要得到函数y sin3x 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象（）A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（） A.12 B.14 C.16 D.189.定义在R 上的奇函数f (x )满足，当0x ≤时，()xxf x e e -=-，则不等式f (x 2－2x )－f (3)<0的解集为（）A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞ D. (,3)(1,)-∞-+∞10.过原点O 作直线l ：(2m ＋n )x ＋(m －n )y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为（）1 2 C.1 D.2 11.已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则VS取得最大值时圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.12.已知点A 是双曲线22221x y a b+=（a >0，b >0）的右顶点，若存在过点N (3a ，0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率（）A.存在最大值4B.存在最大值3C.存在最小值4D.存在最小值3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。