安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考理科数学试题

安徽省皖江名校联盟2021届高三数学开年摸底大联考试卷 理本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部。

第I 卷第1至第2页，第II 卷第2至第4页。

全卷总分值150分，考试时间120分钟。

考生考前须知：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2. 答第I 卷时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 答第II 卷时，必需利用毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清楚。

作图题可用铅笔在答题卡．．．规定位置绘出，确认后再用毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必需在题号所指示的答题区域作答，超出．．答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。

4. 考试完毕，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷〔选择题 共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. 集合A={x ∈R|x 2-3x ≥0}，B={-2，2}，那么〔R A 〕∩B= A. B. {-2} C. {2}D. {-2，2}2. 复数z 知足〔z+4i 〕·〔1-i 〕=3+2i 〔i 为虚数单位〕，那么z 的共轭复数所对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设向量a=〔m ，0〕，b=〔1，1〕，且|b|2=|a|2-|a-b|2，那么m= A. -1 B. 0 C. 1 D. 24. 安徽黄山景区，每半小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，那么他等待时间不多于5分钟的概率为A.B.C.D.5. 公比为q的等比数列{a n}中，前4项的和为a1+14，且a2，a3+1，a4成等差数列，那么公比q=A. 1B.C. 1或-1D. 2或6. 2021年9～12月某市邮政快递业务量完成件数较2021年9～12月同比增加25%，以下图为该市2021年9～12月邮政快递业务量柱形图及2021年9～12月邮政快递业务量构造扇形图，按照统计图，给出以下结论：①2021年9～12月，该市邮政快递业务量完成件数约1500万件；②2021年9～12月，该市邮政快递同城业务量完成件数与2021年9～12月相较有所减少；③2021年9～12月，该市邮政快递国际及港澳台业务量同比增加超过75%，其中正确结论的个数为A. 3B. 2C. 1D. 07. ?孙子算经?是中国古代重要的数学高作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？〞该高作中提出了一种解决此问题的方式：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得。

“皖南八校〞2021届高三第二次联考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔理科〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么等于A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，，那么，应选D.2. 是虚数单位，假设是纯虚数，那么实数A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】A【解析】化简，由是纯虚数可得，解得，应选A.3. 向量满足，，，那么A. B. 3 C. 5 D. 9【答案】B【解析】因为，所以，应选B.........................4. 直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，那么直线的倾斜角的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的HY方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，，应选A.5. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得图象的一条对称轴的方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍可得的图象，再向左平移个单位，所得的图象，由，，时图象的一条对称轴的方程是，应选C.6. 函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得函数，为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项；又由可排除选项，应选C.7. 假设，展开式中，的系数为-20，那么等于A. -1B.C. -2D.【答案】A【解析】由，可得将选项里面的数值代入验证可得，符合题意，应选A.8. 当时，执行如下图的程序框图，输出的值是〔〕A. 28B. 36C. 68D. 196【答案】D【解析】执行程序框图，；；；，退出循环，输出，应选D. 【方法点睛】此题主要考察程序框图的循环构造流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3) 注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4) 处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.9. 榫卯〔〕是我国古代工匠极为精巧的创造，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的紫禁城，悬空寺，的廊桥等建筑都用到了榫卯构造. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，那么其体积与外表积分别为A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，这榫卯构件中榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积，外表积，应选C.【方法点睛】此题利用空间几何体的三视图重点考察学生的空间想象才能和抽象思维才能，属于难题.三视图问题是考察学生空间想象才能最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及一样图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 椭圆的左、右焦点分别为，假设在直线上存在点使线段的中垂线过点，那么椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线上存在点使线段的中垂线过点，所以，根据种垂涎的性质以及直角三角形的性质可得，，，又因为，椭圆离心率的取值范围是，应选B.11. ，且，那么A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，令，那么原式化为，解得舍去〕，故，那么，即，即，，解得或者，那么，应选D.12. 函数假设关于的方程至少有两个不同的实数解，那么实数的取值范围为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】令，关于的方程至少有两个不同的实数解等价于，至少有两个不同的实数解，即函数的图象与直线至少有两个交点，作出函数的图象如下图，直线过定点，故可以寻找出临界状态下虚线所示，联立，故，即，令，解得，，故，结合图象知，实数的取值范围为，应选A.【方法点睛】函数有零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题：本小题4小题，每一小题5分，一共20分.13. 在1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个不同的数，取到3的概率为_________．【答案】【解析】在、中任取三个不同的数，一共有种取法，其中一定取到的方法有种，在、中任取三个不同的数取到的概率为，故答案为.14. 的面积为，角的对边分别为，假设，，，那么___________．【答案】【解析】，，，可得，所以得，由余弦定理可得，，故答案为.15. 函数是偶函数，定义域为，且时，，那么曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】曲线在点处的切线方程为，又是偶函数，曲线在点处的切线方程与曲线在点处的切线方程成心轴对称，为，故答案为.【方法点晴】此题主要考察函数的奇偶性以及利用导数求曲线切线题，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：〔1〕求出在处的导数，即在点出的切线斜率〔当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为〕；〔2〕由点斜式求得切线方程.16. 正方体的体积为1，点在线段上〔点异于点〕，点为线段的中点，假设平面截正方体所得的截面为四边形，那么线段长的取值范围为__________ ．【答案】【解析】依题意，正方体的棱长为，如下图，当点线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，平面与平面也有交线，故截面为五边形，平面截正方体所得的截面为四边形，线段的取值范围为，故答案为.∽21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〔一〕必考题：一共60分17. 是等比数列，满足，且. 〔Ⅰ〕求的通项公式和前项和；〔Ⅱ〕求的通项公式.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕由，令可解得，，从而可得的通项公式和前项和；〔II〕结合〔I〕的结论，可得，从而得时，，两式相减、化简即可得的通项公式.试题解析：〔Ⅰ〕，，，，，，是等比数列，，的通项公式为，的前项和.〔Ⅱ〕由及得，时，，，，，的通项公式为.，18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的阅读网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下列图所示：〔Ⅰ)以频率估计概率，假设在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况在300M∽400M之间，求的期望；〔Ⅱ〕求被抽查的居民使用流量的平均值；〔Ⅲ〕经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：折扣1折2折3折4折5折销售份数50 85 115 140 160试建立关于的的回归方程.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】(Ⅰ)0.75；(Ⅱ)369M；(Ⅲ).【解析】试题分析：〔I〕直接根据二项分布的期望公式求解即可；〔II〕根据频率分布直方图中数据，每组数据中间值与纵坐标的乘积之和即是被抽查的居民使用流量的平均值；(Ⅲ)先根据平均值公式求出样本中心点的坐标，利用公式求出，样本中心点坐标代入回归方程可得，从而可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕依题意，∽，故；〔Ⅱ〕依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为；〔Ⅲ)由题意可知，，，所以，关于的回归方程为： .【方法点晴】此题主要考察二项分布的期望公式、直方图的应用和线性回归方程的求法，属于难题.求回归直线方程的步骤：①根据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点〔靠近点〕，与的延长线交于点，连接. 〔Ⅰ〕求证：平面平面；〔Ⅱ〕求二面角的正切值【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：〔I〕由线面垂直的性质可得，由矩形的性质可得，从而由线面垂直的断定定理可得平面，进而由面面垂直的断定定理可得结论；〔II〕以，，分别为，，轴建立如下图的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得夹角余弦值，利用同角三角函数之间的关系可得正切值.试题解析：〔Ⅰ〕证明：因为平面，所以又因为底面是矩形，所以又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.〔Ⅱ)解：方法一：〔几何法)过点作，垂足为点，连接. 不妨设，那么.因为平面，所以.又因为底面是矩形，所以.又因为，所以平面，所以A.又因为，所以平面，所以所以就是二面角的平面角.在中，由勾股定理得，由等面积法，得，又由平行线分线段成比例定理，得.所以.所以.所以.所以二面角的正切值为.方法二：〔向量法〕以，，分别为，，轴建立如下图的空间直角坐标系：不妨设，那么由〔Ⅱ〕可得，.又由平行线分线段成比例定理，得，所以，所以.所以点，，.那么，.设平面的法向量为，那么由得得令，得平面的一个法向量为；又易知平面的一个法向量为；设二面角的大小为，那么.所以.所以二面角的正切值为.【方法点晴】此题主要考察线面垂直的断定定理及面面垂直的断定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔4〕将空间位置关系转化为向量关系；〔5〕根据定理结论求出相应的角和间隔 .20. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时，.〔Ⅰ〕求抛物线的方程；〔Ⅱ〕假设抛物线上存在点，使得，求直线的方程.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕利用拋物线的定义,结合即可得，，从而抛物线的方程为；〔II〕方程为，由得，令，，,利用韦达定理及,建立关于的方程,解方程即可求直线的方程.试题解析：〔Ⅰ〕的准线方程为，当点纵坐标为1时，，，势物线的方程为.〔Ⅱ〕在上，，又,设方程为，由得，令，，那么，，，，,，或者0，当时，过点〔舍〕，，方程为.21. 函数.〔Ⅰ〕假设，证明：函数在上单调递减；〔Ⅱ〕是否存在实数，使得函数在内存在两个极值点？假设存在，务实数的取值范围；假设不存在，请说明理由. 〔参考数据：，〕【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕；求导得，只需利用导数研究函数的单调性，求出最大值，从而证明即可得结论；〔II〕讨论时，时两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，排除不合题意的情况，从而可得使得函数在内存在两个极值点的实数的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕函数的定义域是.求导得.设，那么与同号.所以，假设，那么对任意恒成立.所以函数在上单调递减.又，所以当时，满足.即当时，满足.所以函数在上单调递减.〔Ⅱ〕①当时，函数在上单调递减.由，又，时，，取，那么，所以一定存在某个实数，使得.故在上，；在上，.即在上，；在上，.所以函数在上单调递增，在只有1个极值点，不合题意，舍去；②当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.故函数的单调情况如下表：0 ＋极小值要使函数在内存在两个极值点，那么需满足，即，解得又，，所以.此时，，又，；综上，存在实数，使得函数在内存在两个极值点.选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题. 假如多做，那么按所做的第一题计分.22. 平面直角坐标系中，直线的参数方程是〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.〔Ⅰ〕求直线的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线与曲线相交于两点，求.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3.【解析】试题分析：〔I〕利用代入法消去参数，将直线的参数方程化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，再利用互化公式可得到直线的极坐标方程；〔II〕将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程,可得关于的一元二次方程,然后根据韦达定理以及极径的几何意义,可以得到的值.试题解析：〔Ⅰ〕由得，的极坐标方程为即，.〔Ⅱ〕由得，设，，那么，.23. 函数.〔Ⅰ〕假设，解不等式；〔Ⅱ〕假设不等式对任意恒成立，务实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：〔I〕对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；〔II〕利用根本不等式求得的最小值为，不等式对任意恒成立，等价于，平方后利用一元二次不等式的解法求解即可求得实数的取值范围.试题解析：〔Ⅰ〕时，，由得，不等式的解集为.〔Ⅱ〕对成立，又对成立，，，即.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

安徽省皖江名校联盟2021届高三下学期开年考（2月）理科试题考生注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合30x M x x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,(){}2lg 81N x x x =++>,则M N =（ ）A.(]0,1B.(]1,3C.()0,2D.(]2,1-2.若复数z 满足2i i z a ⋅=+（a ∈R ,i 是虚数单位）,且4z =,则a =（ ）B.C.±D.±3.函数()()ln ,10e ,01ax x xf x x ⎧--⎪=⎨⎪⎩（a ∈R ,e 是自然对数的底数）且()12f =,则()41log 3e f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（ ）A.1--B.1-+C.1D.1+4.若数列{}n a 各项均为正数,满足()2*11,2nn n a a n n a -+=∈N ,且2020215a =,202225a =,则2021a =（ ）A.25B.65C.15D.55.我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）,将数据按照[)0,0.5,[)0.5,1,…,[]4,4.5分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.则估计全市居民月均用水量的中位数是（ ）A.2.25吨B.2.24吨C.2.06吨D.2.04吨6.执行如图所示的程序框图,则输出s 的值为（ ） A.4-B.8-C.203-D.11215-7.已知圆锥的顶点为A ,过母线AB 、AC 的截面面积是若AB 、AC 的夹角是60︒,且AC 与圆锥底面所成的角是30︒,则该圆锥的表面积是（ ）A.B.()6πC.()6πD.()6π+8.设0ω>,将函数()sin 43f x x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到函数()y g x =的图象.若()g x 在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上单调递增,在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减,则ω=（ ） A.362k -,k ∈N B.362k +,k ∈N C.32D.39.有8位学生春游,其中小学生2名、初中生3名、高中生3名.现将他们排成一列,要求2名小学生相邻、3名初中生相邻,3名高中生中任意两名都不相邻,则不同的排法种数有（ ） A.288种B.144种C.72种D.36种10.若关于x 的不等式4142x a x +-对任意2x >恒成立,则正实数a 的最大值是（ ） A.1B.2C.3D.411.设a ∈R ,e 为自然对数的底数,函数()e sin x f x a x =-在()0,π内有且仅有一个零点,则a =（ ）A.e πB.1-C.4e π4π12.已知抛物线2:2C y px =的焦点F 与双曲线221621x y -=的右焦点重合,斜率为k 的直线l 与C 的两个交点为A ,B .若4AF BF +=,则k 的取值范围是（ ）A.15,,⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.150,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.15,,⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.150,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.命题“x ∀∈R ,222x x -”的否定是__________.14.设点O 是ABC △外接圆的圆心,3AB =,且4AO BC ⋅=-.则sin sin BC的值是__________. 15.如图1,在一个正方形1234S S S S 内,有一个小正方形和四个全等的等边三角形.将四个等边三角形折起来,使1S ,2S ,3S ,4S 重合于点S ,且折叠后的四棱锥S ABCD -的外接球的表面积是16π（如图2）,则四棱锥S ABCD -的体积是 .16.已知n S 是各项均不为零的等差数列{}n a 的前n 项和,且()2*21n n S a n -=∈N,使不等式1231a a a +2234345121111142n n n n n a a a a a a a a a λ++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭成立,则实数λ的最大值是__________.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分） 在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,向量()2,sin m b c C =+,向量()sin ,2n B c b =+,且满足2sin m n a A ⋅=.（1）求角A 的大小；（2）若ABC △外接圆的半径是1,求当函数()cos24cos sin f B B A B =-取最大值时ABC △的周长.如图3,在ABV △中,1AC BC CV ===,AC VB ⊥于C .现将ABV △沿AC 折叠,使V AC B --为直二面角（如图4）,D 是棱AB 的中点,连接CD 、VB 、VD .（1）证明：平面VAB ⊥平面VCD ； （2）若棱AB 上有一点E 满足14BE BA =,求二面角C VE A --的余弦值.19.（12分）已知椭圆()222:1012x y C b b+=>中,以()2,1Q -为中点的弦AB 所在直线的方程是240x y -+=.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点(),0P m 为椭圆C 长轴上的一个动点,过点P的直线l 交椭圆C 于S ,T 两点,证明：22PS PT +为定值.已知函数()2ln f x x ax x =+-,其中0a . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()()2e 1ln x g x f x a x x =++--,证明：当0x >时,()3112g x x >+.21.（12分）新冠肺炎,全民防控.冠状肺炎的感染主要是人与人之间进行传播,可以通过飞沫、粪便、接触等进行传染.冠状肺炎感染人群年龄大多是40岁以上的人群.该病毒进入人体后有潜伏期（潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时期）,潜伏期越长,感染到他人的可能性越高.现对200个病例的潜伏期（单位：天）进行调查,统计发现潜伏期的中位数为5,平均数为7.1,方差为506.一般认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”,按照年龄统计样本,得到下面的22⨯列联表：（1）能否有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关？ （2）假设潜伏期服从正态分布()2,Nμσ,其中μ近似为样本平均数,2σ近似为样本方差.（i ）很多省份对入境人员一律要求隔离14天,请用概率和统计的知识解释其合理性；（ⅱ）将样本频率近似当作概率,设另随机抽取的25个病例中属于“长潜伏期”的病例个数是X ,()*,025X k k k =∈N 的概率记作()()*,025P X k k k =∈N ,试求X 的数学期望以及当()P X k =取最大值时k 的值.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.若随机变量Z 服从正态分布()2,Nμσ,则()0.6826P Z μσμσ-<<+=,()22P Z μσμσ-<<+0.9544=,()330.9974P Z μσμσ-<<+= 2.25≈.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos 3sin kkx ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,且在两坐标系下长度单位相同.曲线2C 的极坐标方程为2cos 8sin 50ρθρθ-+=.（1）当1k =时,1C 是什么曲线？（2）当4k =时,求1C 与2C 的公共点的直角坐标.23.（10分）选修4-5：不等式选讲 设a ∈R ,()3f x x x a =--+. （1）当2a =时,解不等式()1f x >；（2）若对于任意实数x ,不等式()2f x a 恒成立,求a 的取值范围.——★ 参*考*答*案 ★——1.『解析』因为{}03M x x =<≤,{}{}22021N x x x x x x =+->=<->或, 所以{}(]131,3MN x x =<≤=.2.『解析』因为()12222a i i a i a z i i +⋅+===--,所以4z ==,a =±.3.『解析』由()12f =,ln 2a =.()()ln 2ln ,10,,01,xx x f x e x ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩即()()ln ,10,2,01,x x x f x x ⎧--≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩于是()4log 3411log 3ln 21f f e e ⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭4.『解析』由条件211nn n a a a -+=知,数列{}n a 是等比数列,则其公比满足2202220203a q a ==,q =因此2021202015a a q ==.5.『解析』由频率分布直方图可知,月用水量在[)0,0.5的频率为0.080.50.04⨯=. 同理,在[)0.5,1,[)1.5,2,[)2,2.5,[)3,3.5,[)3.5,4,[]4,4.5等组的频率分布为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由()10.040.080.210.250.060.040.0220.5a -++++++=⨯⨯,解得0.30=a ,设中位数为x 吨.因为前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5++++=>,前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<,所以2 2.5x <.由()0.5020.50.48x ⨯-=-,解得 2.04x =.6.『解析』0k =时,4s =-；1k =时,448s =--=-；2k =时,420833s =-+=-； 133k +=≥时.此时退出循环,输出的203s =-.7.『解析』设圆锥的母线长是l,则21sin602l⋅︒=,l=.,圆锥底面半径是cos30︒=于是该圆锥的表面积是()21262πππ⋅⋅=.8.『解析』由题意知,()()sing x xω=.当3xπ=时,函数()g x取得最大值,所以232kππωπ⋅=+,k Z∈.解得362kω=+,k N∈.因为()g x在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上递增,在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减,所以312πππω≥+且5123πππω≥-,解得125ω<≤.因此32ω=.9.『解析』第一步,先将2名小学生看成一个人,3名初中生看成一个人,然后排成一排有22A种不同排法；第二步,将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中,有33A种不同排法；第三步,排2名小学生有22A种不同排法,排3名初中生有33A种不同排法.根据分步计数原理,共有23232323144A A A A=种不同排法.10.『解析』()()min4242411818444222x xxa x a x a a x a--⎡⎤+≥⇔++≥⇔++≥⎢⎥---⎣⎦,即84a⇔≥,解得04a<≤.11.『解析』由sin0xe a x-=得,sin xa x e=.因为()00,π∈,所以sin0x>.因此sinxeax=.令()sinxeg xx=,0xπ<<,则()()2sin cossinxe x xg xx-'=.由()0g x'=得4xπ=.当04xπ<<时,()0g x'<；当4xππ<<时,()0g x'>,所以()4min4g x g eππ⎛⎫==⎪⎝⎭.因此4a eπ=.12.『解析』双曲线的标准方差是22111162x y-=,其右焦点是3,04⎛⎫⎪⎝⎭.所以324p=,32p=,抛物线C 是23y x =.联立23y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去y ,化简整理得()222230k x kb x b +-+=.由()2222340∆=--⨯>kb k b 得,129kb <,34kb <.因为4AF BF +=, 所以12342x x ++=,即1252x x +=.而12223kb x x k -+=-,即22352kb k --=,解得2654k b k -=.代入34kb <得到,265344k k k -⋅<,k <或k >.13.『答案』0∃∈x R ,2002x -<14.『答案』13『解析』设点D 是边BC 的中点,则()()()()221122AO BC AD DO BC AD BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=⋅=+⋅-=- 即()21942AC -=-,21AC =.故sin 1sin 3B AC C AB ==. 15.『答案』163『解析』在图4中,连接AC ,BD 交于点O ,则O 是正四棱锥外接球的球心,正四棱锥的所有棱都相等,设其为x ,则外接球的半径是2OA x =,所以24162x ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,x =.因此2SO OA x ===.故四棱锥S ABCD -的体积是(2211162333x SO ⋅⋅=⨯⨯=.16.『答案』445『解析』因为()()()1212121212n n n n a a S n a ---+==-,所以221n n S a -=就是()21n n a -2n a =,21n a n =-,*∈n N .等差数列{}n a 的首项11a =,公差2d =.因为一般项1211211114n n n n n n n a a a a a a a +++++⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 所以原式1223234511211111114n n n n a a a a a a a a a a a a +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()212121112432123n n n n a a a a n n ++⎛⎫+=-=⎪++⎝⎭. 即()()222113212342n n n n n n λ+⎛⎫≥+ ⎪++⎝⎭.所以存在*∈n N ,使()()432123n n λ≤++成立,λ≤()()max 443212345n n ⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦.故实数λ的最大值是445. 17.『解』（1）由已知2sin m n a A ⋅=,得()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++ 再根据正弦定理有,()()2222a b c b c b c =+++,即222a b c bc =++.由余弦定理得,2222cos a b c bc A =+-,1cos 2A =-因为()0,A π∈,所以23A π=. （2）由（1）知()2213cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f B B B B B B ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭.因为03B π<<,所以sin 0,2B ⎛∈ ⎝⎭.因此当1sin 2B =时,()f B 有最大值32此时2sin a R A ==,2sin 1b c R B ===. 故ABC △的周长是2. 18.『解』（1）在图4中,AC BC =,D 是AB 的中点,CD AB ∴⊥.又V AC B --为直二面角,VC AC ⊥,VC ∴⊥底面ABC . 而AB ⊂平面ABC ,VC AB ∴⊥,且VCCD C =,因此AB ⊥平面VCD .又AB ⊂平面VAB ,∴平面VAB ⊥平面VCD .（2）以CA 、CB 、CV 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0C ,()1,0,0A ,()0,1,0B ,()0,0,1V ,()0,0,1CV = 因为14BE BA =,所以13,,044E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,那么13,,044CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设平面VCE 的法向量(),,t m n p =,由0CV t ⋅=得,0p =. 由0CE t ⋅=得,13044m n +=，所以()3,1,0t =-. 同理可以求得平面VAB 的一个法向量()1,1,1s =. 于是cos ,153s t s t s t⋅-===⋅⋅又二面角C VE A --为锐角,所以二面角C VE A --的余弦值为15.19.『解』（1）设()11,A x y ,()22,B x y ,则2211222222112112x y bx y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,相减得,()()()()12121212212x x x x y y y y b +-+-+=,所以21212121212y y y y b x x x x -+⋅=--+,即122121212021202y y y y b x x x x +--⋅=-+--，所以2111222AB OQ b k k ⋅=-=-⨯,23b =.故椭圆C 的方程是221123x y +=.（2）设直线()1:2l y x m =-交椭圆于()11,S x y ,()22,T x y , 由()2212412y x m x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去y 得,2222120x mx m -+-=. 因此12x x m +=,212122m x x -=.于是()()2222221122PS PTx m y x m y +=-++-+()()()()222212121212555222444x m x m x x x x m x x m ⎡⎤=-+-=+--++⎣⎦ ()222251222154m m m m =-+-+=. 故22PS PT +为定值,且为15.20.『解』（1）()212121ax x f x ax x x-+'=+-=,0x >.若0a =,()1x f x x-'=-,()f x 在()0,1内单增,在()1,+∞内单减. 若0a >,由2210ax x -+=知,18a ∆=-. 当180a ∆=-≤,即18a ≥时,2210ax x -+≥,此时()f x 在()0,+∞内单增. 当180a ∆=->,即108a <<时,14x a ±=.此时()f x在⎛ ⎝⎭,⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单增,在⎝⎭内单减. （2）因为()()()221ln x x g x f x e a x x e x x =++--=+-, 所以()3112g x x >+就是23112x e x x x +->+,即231102x e x x x +--->.令()23112xh x e x x x =+---,0x >,则()23212x h x e x x '=+--,0x >, ()23x h x e x ''=+-,0x >.由()30x h x e '''=-=得,ln3x =,()ln3h ''是()h x ''的最小值. 于是()()ln353ln30h x h ''''≥=->,()h x '在0x >时单增, 所以()()00h x h ''>=,()h x 在0x >时单增. 故当0x >时,()()00h x h >=,即()3112g x x >+. 21.『解』（1）()22200304011020 3.171406050150K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,由于3.17 3.841<,故没有95%的把握认为“长潜伏期”与年龄有关； （2）（i ）若潜伏期服从()27.1,2.25N ,由()10.997413.850.00132P Z -≥==, 得潜伏期超过14天的概率很低,因此隔离14天是合理的.（ii ）由于200个病例中有50个属于“长潜伏期”,将样本频率视作概率,一个患者属于“长潜伏期”的概率是14,又另随机抽取的25个病例中属于“长潜伏期”的病例个数是X , 则1~25,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则()254E X =, 且()()25*2513,02544k kk P X k C k N k -⎛⎫⎛⎫==∈≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由251261252525124125251313444413134444k k k kk k k k k kk k C C C C -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩,得111322k ≤≤,又*∈k N ,所以6k =. 故X 的数学期望是254,()P X k =取最大值时k 的值为6.22.『解』（1）当1k =时,2cos 3sin kkx t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩就是2cos 3sin x t y t =⎧⎨=⎩,即cos 2sin 3xt y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因为22sin cos 1t t +=,所以22149x y +=. 故曲线1C 以坐标原点为中心,焦点在y 轴上,长轴长为6,短轴长为4的椭圆.（2）当4k =时,2cos 3sin k k x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩就是442cos 3sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩,即22cos sin t t ==.因为22sin cos 1t t +=,1=,即为曲线1C 的普通服从. 因为曲线2C 的极坐标方程为2cos 8sin 50ρθρθ-+=, 所以其直角坐标方程是2850x y -+=.联立12850x y =-+=⎩解得,1234x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故1C 与2C 的公共点的直角坐标是13,24⎛⎫⎪⎝⎭23.『解』（1）2a =时,不等式()1f x >就是321x x --+>.因为()5, 221, 235, 3x f x x x x <-⎧⎪=-+-≤<⎨⎪-≥⎩所以()1f x >等价于251x <-⎧⎨>⎩或230x x -≤<⎧⎨<⎩或351x ≥⎧⎨->⎩,因此0x <.故不等式()1f x >的解集是(),0-∞. （2）因为a b a b -≤-, 所以()()()333f x x x ax x a a =--+--+=+.因此()f x 的最大值为3a +.则对于任意实数x ,()2f x a 恒成立等价于32a a +.当3a -时,32a a +,得3a ；当3a <-时,32a a --,1a -,不成立. 综上可知,a 的取值范围是[)3,+∞.。

“皖豫名校联盟体”2021届高中毕业班第二次考试理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：1．已知集合{}210A x x =-≤，21B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A ．()0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．[)1,2-2．已知复数z 满足i 2z -=，则z 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知向量(),0AB m =，()2,2BC =-，()AB AC BC +⊥，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．某校高三学生小李每天早晨7点下课后，从教室到学校餐吃早餐，步行4分钟，打饭所需时间Z （单位：分钟）服从正态分布()5,1N ，吃饭需要15分钟，而后步行4分钟返回教室．已知学校要求学生7：30开始在教室内上自习，则小李上自习不迟到的概率约为（保留至小数点后四位小数） 参考数据：若随机变量()2,Z Nμσ=，则()0.6827P Z μσμσ-<<+≈，()22P Z μσμσ-<<+0.9545≈，()330.9973P Z μσμσ-<<+≈．A ．0.1657B ．0.8344C ．0.9773D ．0.99875．在平面四边形ABCD 中，1CD =，AC BD ⊥，CDB ϕ∠=（ϕ为锐角），45ACB ∠=︒ϕ+cos ϕ=，则BC =（ ）A ．1B C ．2D ．126．过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆与圆2216x y +=的相交弦所在直线的方程为（ ）A ．220x y -+=B ．20x y -+=C ．20x y -=D ．220x y ++=7．某日化用品厂家研发了一种新的牙膏产品，该产品的成本由生产成本和销售成本组成．每批产品的销售成本y （元）与生产该产品的数x （千件）满足指数函数模型 3.4710mxy =⨯，已知每件产品的生产成本为10元，生产12千件该产品时，总成本为123470元．若销售成本增加1倍，则生产该产品的数量增加了（ ）千件．（lg 20.3≈） A ．1.2B ．1.1C ．0.9D ．0.38．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，点P 在C 上且P 在准线上的投影为Q ，直线QF 交C 于点D ，且2QD DF =，则PFQ △的面积为（ ）A ．4B ．C ．D ．9．已知函数2cos cos2y x x =+在[]0,a 上单调递减，则实数a 的最大值为（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．π10．已知双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>，若存在斜率为1的直线与1C 的左、右两支分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点在圆2C ：()22425x y +-=上，则1C 的离心率的最小值为（ ）A BC ．2D 11．某几何体的三视图如图所示，图中两个M 点为直观图中的一个点M ，两个点N 也为直观图中的同一个点N ，且分别为所在棱的中点，则在此几何体表面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）正视图侧视图俯视图ABC ．2D ．12+12．已知函数()(]()248,0,2,48,2,,x x x g x x x ⎧-+∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩()()2f x kx g x =--在()0+∞，上有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A．()8,+∞B．()()8,11,⋃+∞C．()8,4D．()()8,11,4⋃二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件0,240,40,x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则52z x y =+的最大值为_________．14．高二足球队教练分六个项目对本队全体队员进行了测试，小华同学将自己的成绩与全体队员的平均分绘制成雷达图如图，若从中任选3个项目，则至少有两项小华的成绩高于该队平均分的选法有_________种．15．费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120°．已知ABC △的三个内角均小于120°，P 为ABC △的费马点，且3PA PB PC ++=，则ABC △面积的最大值为_________．16．把圆心角为90°的扇形铁片围成一个侧面积为216πm 的圆锥（接缝处忽略不计），该圆锥竖直倒置后放入一个球，该球恰好与圆锥的侧面上边缘相切，则球心到圆锥顶点的距离为_________m ． 三、解答题：17．已知数列{}n a 的前n 项和12n n S a =+，在等差数列{}n b 中，120b =，359b b b =+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中项的最大值．18．如图所示，在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥底面ABCD ．90ABC ∠=︒，60ACD ∠=︒，AC AD =，2SA =，3AB =，1BC =．设平面SCD 与平面SAB 的交线为l ，E 为SD 的中点．（Ⅰ）求证：//l 平面ACE ；（Ⅱ）当四棱锥S ABCD -的体积最大时，求平面ABCD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值．19．某网站的调查显示，健身操类、跑步类、拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面．从某健身房随机抽取200名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示．平均每天健身时间（分钟）[)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90人数203644504010柱状图（1）柱状图（2）（Ⅰ）若这200名会员的平均体重减少不低于5kg ，就认为该计划有效，根据上述柱状图，试问：该计划是否又效？（每组数据用该组区间的中点值作代表）（Ⅱ）请根据图中数椐填写下面的22⨯列联表，试问：是否有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关？（Ⅲ）以这200名会员平均每天健身时间的频率，代替该健身房1名会员平均每天健身时间发生的概率，若在该健身房随机调查12名会员，则其中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能（即概率最大）是多少?参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆C 上一点，且1260F MF ∠=︒，12F MF △的面积为3，过2F ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得过点P 的直线交椭圆C 于G ，H 两点，且满足22GP HP +=()23GP HP ⋅恒成立？若存在，求2m 的值；若不存在，说明理由．21．设函数()22ex F x x -=-．（Ⅰ）若()F x 的图象的一条切线l 在y 轴上的截距为1，求切线l 的方程； （II ）求函数()()()2ln f x x F x =+的极值点个数．（二）选考题：22．[选修4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos ,y 1sin x αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 的对称中心为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PAB △的面积．23．[选修4—5：不等式选讲]已知实数a ，b ，c 满足0a >，0b >，0c >．（Ⅰ）若1abc =ab bc ac ++；（Ⅱ）若1ab =，()()11a b ++的最小值为m ，求不等式11x x m ++-≤的解集．“皖豫名校联盟体”2021届高中毕业班第二次考试理科数学•答案—、选择题 1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．A 7．A8．D9．C10．B11．B12．D二、填空题 13．14 14．10 15．416．15三、解答题17．解析（Ⅰ）因为12n n S a =+，所以0n a ≠． 当2n ≥时，1112n n S a --=+，两式相减，得11121222n n n n n a a a a a --=+--=-， 即()122n n a a n -=≥，所以{}n a 是等比数列，公比2q =， 当1n =时，11112S a a =+=，即11a =-，所以12n n a -=-．（Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，则111120,248,b b d b d b d =⎧⎨+=+++⎩解之得2d =-，所以222n b n =-． 所以12222n n n b na --=-． 设12222n n nc --=-， 则()11212221222262222n n n n n n n nc c ---------=-+=．因为当13n >时，1n n c c -<，当13n =时，1n n c c -=，当13n <时，1n n c c ->， 所以当12n =或13时n c最大，即n nb a 最大，最大值为101121024=．18．解析（Ⅰ）在Rt ABC △中，因为1BC =，AB = 所以tan BAC ∠==2AC =， 所以30BAC ∠=︒．在ABC △中，因为AC AD =，60ACD ∠=︒，所以ACD △为等边三角形， 所以2CD =，60CAD ∠=︒，所以90BAD ∠=︒， 又90ABC ∠=︒，所以//BC AD ．如图，延长AB 和DC 交于点F ，连接SF ，因为F AB ∈，AB ⊂平面SAB ，所以F ∈平面SAB ． 同理可得F ∈平面SCD ． 所以SF 所在直线即为直线l ． 因为12BC FC AD FD ==，所以C 为DF 的中点，所以在SDF △中，//l CE ． 因为l 不在平面ACE 内，CE ⊂平面ACE ，所以//l 平面ACE ．（Ⅱ）过S 向AB 作垂线，垂足为P ，因为平面SAB ⊥底面ABCD ，所以SP ⊥底面ABCD ．因为梯形ABCD 的面积和SA 的长为定值，所以当点P 与A 重合，即SA ⊥底面ABCD 时，四棱锥S ABCD -的体积最大．当点P 与A 重合时，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AS 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，可得()0,0,0A ，)C，()0,0,2S ，()0,1,1E ，()0,1,1AE =，()3,1,0AC =．设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z =，由0,30,n AE y zn AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取z =(1,3,n =-，由题意，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,2AS =，则2cos ,77n AS n AS nAS⋅===⋅．所以平面ABCD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值为7． 19．解析（Ⅰ）柱状图（1）中的体重平均值为()950.31050.51150.2104kg ⨯+⨯+⨯=． 柱状图（2）中的体重平均值为()850.1950.41050.599kg ⨯+⨯+⨯=． 因为104995-=，所以该计划有效． （Ⅱ）22⨯列联表如下：2K 的观测值为()2200408020609.524 6.63510010060140k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关．（Ⅲ）由题意可知，该健身房每名会员平均每天的健身时间不低于70分钟的概率为5012004=． 设抽取的12人中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数为X ，则112,4XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()12121344kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =，1，2， (12)得()()()()11P X k P X k P X k P X k =≥=+⎧⎪⎨=≥=-⎪⎩，，得121111121212113112121313444413134444k k k kk k k k k kk k C C C C -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，，化简得91344k ≤≤，又k ∈N ，所以3k =，即12名会员中平均每天的健身时间不低于70分钟的人数最有可能是3人． 20．解析（Ⅰ）设11MF r =，22MF r =，则122r r a +=，① 在12MF F △中，121sin 602S r r =︒=1243r r =，② 由余弦定理得22212122cos 604r r r r c +-⋅︒=，即()22121234r r rr c +-=，将①②代入得221a c -=，所以21b =．又22b a =，解得a = 所以椭圆C 的方程为2212x y +=． （Ⅱ）由条件可得22113GPHP+=恒成立．当直线GH 的斜率为零时，点C ，H 为椭圆长轴的端点，则()()))()22222222111132m mGPHPm mm++=+==-，解得223m =或24m =． 当直线GH 不与x 轴重合时，设直线GH 的方程为x ty m =+，()11,G x y ，()22,H x y ，联立22,1,2x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得()2222220t y mty m +++-=，由0∆>，得222m t -<，由根与系数的关系得12222mt y y t +=-+，212222m y y t -⋅=+． 所以()()()()()222121212222222222222121212211111111y y y y y y t y t y t y y t y y GP HP +-++=+===++++ ()22222222222223212mt m t t m t t -⎛⎫--⨯ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭．所以()()2222232420m m m t t -+--=， 所以223m =． 综上可得存在满足条件的点P ，且223m =． 21．解析（Ⅰ）由题可知()22e x F x -'=-．设切点坐标为()0200,2e x x x --，则()0202ex F x -'=-， 则切线方程为()()()0022002e 2e x x y x x x ----=--， 故切线l 在y 轴上的截距为()020e 11x x --=，即0201e 1x x -=-， 在同一坐标系中画出2e x y -=和11y x =-的图象，可得02x =，所以切线l 的方程为1y x =+． （Ⅱ）由题可知()()22ln 2e x f x x x -=+-，则()()22ln e x x x x f x x-+-'=，其中0x >． 设()()22ln ex g x x x x -=+-，则()()()212e x x x g x x -+-'=， 设()22e x h x x -=-，则()()21e x h x x -'=-+，因为()0h x '<，所以()h x 在()0,+∞上单调递减，因为()020h =>，()20h =，所以当()0,2x ∈时，()0h x >，此时()0g x '>，()g x 在()0,2上单调递增， 当()2,x ∈+∞时，()0h x <，此时()0g x '<，()g x 在()2,+∞上单调递减，所以()g x 在()0,+∞上的最大值为()22ln 220g =+>． 因为12e 11121e 0e e e g -⎛⎫⎛⎫=-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x 在()0,2上单调递增，()20g >， 所以11,2e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x =，当()10,x x ∈时，()0g x <，所以()0f x '<，()f x 在()10,x 上单调递减， 当()1,2x x ∈时，()0g x >，所以()0f x '>，()f x 在()1,2x 上单调递增， 所以()f x 在1x x =处取得极小值．因为()2242ln 484e 228420g =+-<⨯+-⨯<， ()g x 在()2,+∞上单调递减，()20g >，所以()22,4x ∃∈，使得()20g x =，当()22,x x ∈时，()0g x >，所以()0f x '>，()f x 在()22,x 上单调递增， 当()2,x x ∈+∞时，()0g x <，所以()0f x '<，()f x 在()2,x +∞上单调递减， 所以()f x 在2x x =处取得极大值．故函数()()()2ln f x x F x =+有两个极值点．22．解析（Ⅰ）曲线C 的参数方程变形得1cos ,21sin ,x y αα-⎧=⎪⎨⎪-=⎩平方后相加得普通方程为()()221114x y -+-=．πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即cos sin 2ρθρθ-=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入即可得到直线l 的直角坐标方程为2x y -=． （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立()()22111,42,x y x y ⎧-⎪+-=⎨⎪-=⎩可得2526330x x -+=，解得13x =，2115x =，所以125AB x =-=．又因为对称中心()1,1P 到直线l 的距离为d ==所以PAB △的面积为1142255AB d =⨯=．23．解析（Ⅰ）由基本不等式可知ab bc +≥=，ab ac +≥=bc ac +≥=ab bc ac ++，当且仅当a b c ==时等号成立．（Ⅱ）因为1a +≥，1b +≥相乘得()()114a b ++≥=，当且仅当1a b ==时等号成立． 故4m =．若1x ≥，则1124x x x ++-=≤，所以12x ≤≤；若11x -<<，则1124x x ++-=<恒成立；若1x ≤-，则1124x x x ++-=-≤，解得2x ≥-，所以21x -≤≤-． 综上，不等式的解集为{}22x x -≤≤．。

2021年安徽省“五校联盟”高考数学第二次联考试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合2{|10}A x x =->，2{|log 0}B x x =>，则(AB = ) A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ．{|1}x x <-D ．{|1x x <-或1}x > 2．（5分）已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a b 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．（5分）下列说法中错误的是( )A ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -” B ．在ABC ∆中，sin sin cos cos A B A B A B <⇔<⇔>C ．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变D ．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为( )A ．2B ．22C ．23D ．25．（5分）已知平面向量(3a =，1)-，||2b =，且(2)()2a b a b +⋅-=，则||(a b -= )A ．2B ．2C ．3D ．36．（5分）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型0.540sin()13,02()39014,2x x x f x ex π-⎧+<⎪=⎨⎪⋅+⎩．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过*()n n N ∈小时才可以驾车，则n 的值为( )（参考数据：15 2.71ln ≈，30 3.40)ln ≈车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别 阈值(/100)mg mL饮酒驾车[20，80) 醉酒驾车 [80，)+∞A ．5B ．6C ．7D ．87．（5分）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个(11，22，⋯，99)，则共有多少个这样的三位回文数( )A ．64B ．72C ．80D ．908．（5分）设5log 4a =，2b ln =，0.1c π=，则( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<9．（5分）2()2(4)21f x f x x x =--+-，则()y f x =在(2，f （2）)处的切线方程为( )A ．230x y --=B ．2370x y ++=C ．230x y -+=D ．2370x y +-=10．（5分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，3sin sin sin 2A B C +=，当内角C 最大且3b =时，ABC ∆的面积等于( )A ．933+B ．23C ．25D ．3632- 11．（5分）如图，已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，连接2AF ，2BF ，在2ABF ∆中，2AB BF =，231cos 32ABF ∠=，则双曲线的离心率为( )A ．2B 2C 3D 32 12．（5分）已知函数2()cos()(0)3f x x πωω=->，1x 、2x 、3[0x ∈，]π，且[0x ∀∈，]π都有12()()()f x f x f x ，满足3()0f x =的实数3x 有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数1x 有且只有1个；②满足题目条件的实数2x 有且只有1个；③()f x 在(0,)10π上单调递增；④ω的取值范围是1319(,]66． 其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩，则32z x y =+的最小值是 ．14．（5分）若二项式27()a x x+的展开式的各项系数之和为1-，则含1x -项的系数是 ． 15．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且||3||AF FB =，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ．16．（5分）已知菱形ABCD 的边长为4，对角线4BD =，将ABD ∆沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120︒，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{}n a ，n S 是n a 的前n 项的和，且满足*21()n n S a n N =-∈，数列{}n b 是等差数列，264b b a +=，5462a b b -=．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n S 的前n 项和为n T ，设23412()(1)n n n n n n n T b b c b b +++++=-，求{}n c 的前n 项的和n D ． 18．（12分）如图，在三棱锥A BCD -中，ABC ∆是边长为3的等边三角形，CD CB =，CD ⊥平面ABC ，点M 、N 分别为AC 、CD 的中点，点P 为线段BD 上一点，且//BM 平面APN ．（1）求证：BM AN ⊥；（2）求直线AP 与平面ABC 所成角的正弦值．19．（12分）已知圆22:(1)16C x y -+=，点(1,0)F -，P 是圆C 上一动点，若线段PF 的垂直平分线和CP 相交于点M ．（1）求点M 的轨迹方程E ．（2）A ，B 是M 的轨迹方程与x 轴的交点（点A 在点B 左边），直线GH 过点(4,0)T 与轨迹E 交于G ，H 两点，直线AG 与1x =交于点N ，求证：动直线NH 过定点．20．（12分）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫()Demere 向另一位著名的数学家帕斯卡(B ．)Pascal 提出了一个问题，帕斯卡和费马()Fermat 讨论了这个问题，后来惠更斯(C ．)Huygens 也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢*(1,)k k k N >∈局，谁便赢得全部奖金a 元．每局甲赢的概率为(01)p p <<，乙赢的概率为1p -，且每场比赛相互独立．在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:P P乙甲分配奖金． （1）规定如果出现无人先赢k 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:P P 乙甲分配奖金．若4k =，2m =，1n =，34p =，求:P P 乙甲． （2）记事件A 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当4k =，2m =，1n =时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率()f p ，并判断当45p 时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件．21．（12分）已知函数22()()x f x e x mx m =++，2()g x ax x axlnx =++．（1）若函数()f x 在1x =-处取极小值，求实数m 的值；（2）设0m =，若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()()f x g x 恒成立，求实数a 的值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：(x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩是参数）． （1）若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且||AB m 值．（2）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =+--．（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若关于x 的不等式2()2a f x a -有解，求a 的取值范围．2021年安徽省“五校联盟”高考数学第二次联考试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合2{|10}A x x =->，2{|log 0}B x x =>，则(AB = ) A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ．{|1}x x <-D ．{|1x x <-或1}x > 【解答】解：由A 中不等式变形得：(1)(1)0x x +->，解得：1x <-或1x >，即{|1A x x =<-或1}x >，由B 中不等式变形得：22log 0log 1x >=，解得：1x >，即{|1}B x x =>，则{|1}A B x x =>，故选：B ．2．（5分）已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a b 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解答】解：由(1)(1)i bi a +-=，得(1)(1)b b i a ++-=，则110b a b +=⎧⎨-=⎩，得2a =，1b =． ∴2a b=． 故选：A ．3．（5分）下列说法中错误的是( )A ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -” B ．在ABC ∆中，sin sin cos cos A B A B A B <⇔<⇔>C ．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变D ．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立【解答】解：命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -”满足命题的否定形式，所以A 确；A B >，则a b >，利用正弦定理可得2sin a r A =，2sin b r B =，故sin sin A B >．由同角三角函数的基本关系可得cos cos A B <，所以B 正确；这6个数的平均数为3，方差为2现又加入一个新数据3，此时这7个数的平均数为3，方差为172763⨯⨯=，所以C 不正确； 从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”包含：事件：没有红球和事件，只有一个红球；与“都是红球”互斥且对立，所以D 正确； 故选：C ．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为( )A ．2B ．22C ．23D ．2【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A BCD -； 如图所示：所以：2CD =，2BC =，22BD =，22(2)26AO +，22AD =22AB =， 所以1222222ABC ACD S S ∆∆==⨯⨯12222BCD S ∆=⨯⨯=， 1226232ABD S ∆=⨯= 故选：C ．5．（5分）已知平面向量(3a =，1)-，||2b =，且(2)()2a b a b +⋅-=，则||(a b -= )A 2B ．2C 3D ．3【解答】解：平面向量(3a =，1)-，||2b =，且(2)()2a b a b +⋅-=，2222a a b b +⋅-=，可得2a b ⋅=， 则22||24422a b a a b b -=-⋅+=-+故选：A ．6．（5分）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型0.540sin()13,02()39014,2x x x f x ex π-⎧+<⎪=⎨⎪⋅+⎩．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过*()n n N ∈小时才可以驾车，则n 的值为( )（参考数据：15 2.71ln ≈，30 3.40)ln ≈车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别 阈值(/100)mg mL饮酒驾车[20，80) 醉酒驾车 [80，)+∞A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，令0.52901420n n e -⎧⎨⋅+<⎩，得0.52115n n e -⎧⎪⎨<⎪⎩， 解得2152 2.71 5.42n ln >≈⨯=，*n N ∈，n ∴的值为6．故选：B ．7．（5分）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个(11，22，⋯，99)，则共有多少个这样的三位回文数( )A ．64B ．72C ．80D ．90【解答】解：3位回文数的特点为，百位和个位数字相同但不能为零， 第一步，选百位和个位数字，共有9种选法； 第二步，选中间数字，有10种选法； 故3位回文数有91090⨯=个， 故选：D ．8．（5分）设5log 4a =，2b ln =，0.1c π=，则( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<【解答】解：5550log 1log 4log 51=<<=，01a ∴<<，0121ln ln lne =<<=，01b ∴<<，又544422252252525ln log a ln ln ln b ln ln ln ln ln ln ln =====⋅⋅，且252ln lne <=， ∴1ab>， 01b a ∴<<<，0.101ππ>=，1c ∴>，b ac ∴<<，故选：B ．9．（5分）2()2(4)21f x f x x x =--+-，则()y f x =在(2，f （2）)处的切线方程为( )A ．230x y --=B ．2370x y ++=C ．230x y -+=D ．2370x y +-=【解答】解：取2x =，得f （2）2f =（2）1-，可得f （2）1=， 对函数2()2(4)21f x f x x x =--+-求导，得()2(4)22f x f x x ''=---+，f '∴（2）2f '=-（2）2-，得f '（2）23=-，由此可得曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率23k =-．∴所求切线方程为21(2)3y x -=--，化简2370x y +-=，故选：D ．10．（5分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，3sin sin sin 2A B C +=，当内角C 最大且3b =时，ABC ∆的面积等于( ) A ．933+ B ．23 C ．25 D ．3632- 【解答】解：因为3sin sin sin 2A B C +=，由正弦定理得32a b c +=，所以222924c a ab b ++=，所以222229()558a b c a b ab +-=+-，由余弦定理得222225581551cos (28)218189a b c a b ab a b C ab ab b a +-+-==⋅-=， 当且仅当55a b b a =，即a b =时取等号，此时cos C 取得最小值19，C 取得最大值， 所以45sin C =， ABC ∆的面积1145sin 332522S ab C ==⨯⨯⨯=． 故选：C ．11．（5分）如图，已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，连接2AF ，2BF ，在2ABF ∆中，2AB BF =，231cos 32ABF ∠=，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．2C ．3 D．32【解答】解：设2||AF m =，由双曲线的定义可得1||2AF m a =-， 由2||||AB BF =，可得212||||2m a BF BF a -=-=，即有4m a =， 因为2ABF ∆为等腰三角形，所以2212121231cos cos(2)cos212cos 32ABF F AF F AF F AF π∠=-∠=-∠=-∠=， 解得121cos 8F AF ∠=，在△12F AF 中，22222212121212||||||(2)(4)(2)1cos 2||||2248AF AF F F a a c F AF AF AF a a +-+-∠===⋅⨯⨯， 化为32c a =，即有32c e a ==． 故选：D ．12．（5分）已知函数2()cos()(0)3f x x πωω=->，1x 、2x 、3[0x ∈，]π，且[0x ∀∈，]π都有12()()()f x f x f x ，满足3()0f x =的实数3x 有且只有3个，给出下述四个结论： ①满足题目条件的实数1x 有且只有1个； ②满足题目条件的实数2x 有且只有1个； ③()f x 在(0,)10π上单调递增；④ω的取值范围是1319(,]66．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：0ω>，当[0x ∈，]π时，222[,]333x πππωπω-∈--． 设23x t πω-=进行替换，作出函数cos y t =的图象如下图所示：由于函数()y f x =在[0，]π上满足3()0f x =的实数3x 有且只有3个，即函数cosy t=在22[,]33πππω--上有且只有3个零点，由图象可知325 232ππππω-<，解得131966ω<，结论④不正确；由图象知，cosy t=在22[,]33πππω--上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误；当(0,)10xπ∈时，222(,)33103xπππωπω-∈--，由131966ω<知2710320πωππ-<-<，所以cosy t=在22(,)3103ππωπ--上递增，则函数()y f x=在(0,)10π上单调递增，结论③正确．综上，正确的有①③．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若实数x，y满足约束条件340340x yx yx y-+⎧⎪--⎨⎪+⎩，则32z x y=+的最小值是1-．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立340x yx y+=⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A-，由32z x y=+，得322zy x=-+，由图可知，当直线322zy x=-+过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1-．故答案为：1-．14．（5分）若二项式27()axx+的展开式的各项系数之和为1-，则含1x-项的系数是672-．【解答】解：由题意令1x =代入二项式可得：7(1)1a +=-，则11a +=-，所以2a =-，所以二项式272()x x -的展开式的通项公式为271431772()()(2)r r r rr r r T C x C x x--+=⋅⋅-=-，令1431r -=-，解得5r =，所以含1x -的系数为557(2)2132672C -=-⨯=-， 故答案为：672-．15．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且||3||AF FB =，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 53． 【解答】解：抛物线22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2， 可得2p =，即有抛物线的方程为24y x =， 则(1,0)F ，准线的方程为1x =-，设直线AB 的方程为1x my =+，与抛物线的方程24y x =联立，可得2440y my --=， 设A ，B 的纵坐标分别为1y ，2y ， 则124y y m +=，124y y =-，①由||3||AF FB =，可得3AF FB =，即有1203(0)y y -=-，②由①②解得m =， 可得AB 的中点的横坐标为215212133m +=⨯+=．所以线段AB 的中点到y 轴的距离为53．故答案为：53．16．（5分）已知菱形ABCD 的边长为4，对角线4BD =，将ABD ∆沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120︒，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为1123π． 【解答】解：将ABD ∆沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；ABD ∆与BCD ∆是边长为4的等边三角形．分别记三角形ABD ∆与BCD ∆的重心为G 、F ，则1233EG EA==，1233EF EC==；即EF EG=；因为ABD∆与BCD∆都是边长为4的等边三角形，所以点G是ABD∆的外心，点F是BCD∆的外心；记该几何体ABCD的外接球球心为O，连接OF，OG，根据球的性质，可得OF⊥平面BCD，OG⊥平面ABD，所以OGE∆与OFE∆都是直角三角形，且OE为公共边，所以Rt OGE∆与Rt OFE∆全等，因此1602OEG OEF AEC∠=∠=∠=︒，所以43OE=；因为AE BD⊥，CE BD⊥，AE CE E=，且AE⊂平面AEC，CE⊂平面AEC，所以BD⊥平面AEC；又OE⊂平面AEC，所以BD OE⊥，连接OB，则外接球半径22221OB OE BE=+=，所以外接球表面积为1123π．故答案为：1123π．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{}na，nS是na的前n项的和，且满足*21()n nS a n N=-∈，数列{}nb是等差数列，264b b a+=，5462a b b-=．（1）求{}na，{}nb的通项公式；（2）设数列{}nS的前n项和为nT，设23412()(1)n n n nnn nT b bcb b+++++=-，求{}nc的前n项的和nD．【解答】解：（1）1n=时，11a=；2n 时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，则12n n a a -=，所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以12n n a -=；由{}n b 是等差数列，设公差为d ，由426428b b b a =+==，5461642a b b -=-=， 得44b =，66b =， 所以264d =-，即1d =， 所以n b n =；（2）由（1）可得21nn S =-，2312(12)(2222)2212nnn n T n n n +-=+++⋯+-=-=---，11223412()(34)222(1)(1)(1)()(1)(2)12n n n nn n n n n n n n T b b n c b b n n n n +++++++++=-=-=-+++++， 所以233445122222222222()()()(1)()2(1)233445122n n n n n n D n n n +++=-+++-+-⋯+-+=-+-⋅+++． 18．（12分）如图，在三棱锥A BCD -中，ABC ∆是边长为3的等边三角形，CD CB =，CD ⊥平面ABC ，点M 、N 分别为AC 、CD 的中点，点P 为线段BD 上一点，且//BM 平面APN ．（1）求证：BM AN ⊥；（2）求直线AP 与平面ABC 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：CD ABC CD BM BM ABC ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面，（2分） 又正ABC ∆中，AM MC BM AC =⇒⊥，（2分） ∴BM CD BM AC BM CD AC C ⎫⊥⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭面ACD ，BM AN ∴⊥，（1分）（2）解：连接MD 交AN 于G ，连接PG ，作PH BC ⊥于H ，连接AH ， ABC BCD ABC BCD BC PH PH BC ⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊥⎭平面平面平面平面平面ABC ，（2分） PAH ∴∠为AP 与平面ABC 所成角，（1分） 又AN ，DM 都是ACD ∆的中线，G ∴为ACD ∆的重心．（1分）又//////BM PAN BM PG P BMD APN PG ⎫⇒⎬=⎭平面平面平面，（2分） P ∴为BD 的三等分点，113PH CD ==（1分）Rt AHP ∴∆中：1PH =，222cos7,223AH AB BH AB BH AP π=+-⋅⋅==（1分）∴2sin 22PH PAH AP ∠===1分） 法二：建立如图空间直角坐标系：（1分）003333333(3,0,0),(0,,0),(0,3,0),((),(,,0)224B N D A M P x y （2分）00(3,,0)(3,3,0)BP BD x y λλ=⇒-=-， (33P λ∴-，3λ，0)（1分）设面APN 的法向量为(,,)n x y z =，∴333(3)30012(1)()020*******x y AP n x y AN n x y λλλλ⎧--=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⇒-+-=⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎪⎩，（1分） 令1x =，则221,2121y z λλλ--==--， ∴39332213(,0,(1,,)0421213BM n λλλλ-⋅=-⋅=⇒=--，（1分） (2P ∴，1，0)，（1分）又面ABC 的法向量为：1(0,1,0)n =，（1分）∴1113(,1,3)(0,1,0)222sin ||||221AP n AP n θ⋅⋅==⋅⋅（2分） 19．（12分）已知圆22:(1)16C x y -+=，点(1,0)F -，P 是圆C 上一动点，若线段PF 的垂直平分线和CP 相交于点M ． （1）求点M 的轨迹方程E ．（2）A ，B 是M 的轨迹方程与x 轴的交点（点A 在点B 左边），直线GH 过点(4,0)T 与轨迹E 交于G ，H 两点，直线AG 与1x =交于点N ，求证：动直线NH 过定点． 【解答】解：（1）由圆22(1)16x y -+=，可得圆心(1,0)C ，半径4r =， 因为||24FC =<，所以点F 在圆C 内，又由点M 在线段PF 的垂直平分线上，所以MF MP =， 所以4MC MF MP MC PC +=+==，由椭圆的定义知，点M 的轨迹是以F ，C 为焦点的椭圆， 其中2a =，1c =，23b =，所以点M 的轨迹方程为22143x y +=．证明：（2）设直线GH 的方程为4x my =+，1(G x ，1)y ，2(H x ，2)y ，(2,0)A -，(2,0)B ，将4x my =+代入22143x y +=，得22(34)24360m y my +++=，1222434m y y m -+=+，1223634y y m =+， 相交，∴△0>， 设直线AG 的方程为11(2)2y y x x =++，令1x =得1132y y x =+，113(1,)2y N x ∴+ 1212322NB HB y y k k x x -=--+- 1221121212123(2)(2)46()0(2)(2)(2)(2)y x y x my y y y x x x x -++++=-=-=+-+-，所以直线NH 恒过(2,0)．20．（12分）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫()Demere 向另一位著名的数学家帕斯卡(B ．)Pascal 提出了一个问题，帕斯卡和费马()Fermat 讨论了这个问题，后来惠更斯(C ．)Huygens 也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢*(1,)k k k N >∈局，谁便赢得全部奖金a 元．每局甲赢的概率为(01)p p <<，乙赢的概率为1p -，且每场比赛相互独立．在甲赢了()m m k <局，乙赢了()n n k <局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:P P乙甲分配奖金． （1）规定如果出现无人先赢k 局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:P P乙甲分配奖金．若4k =，2m =，1n =，34p =，求:P P 乙甲． （2）记事件A 为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当4k =，2m =，1n =时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率()f p ，并判断当45p时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件． 【解答】解：（1）设比赛再继续进行X 局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢． 由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部奖金． 当2X =时，甲以4:1赢，所以339(2)4416P X ==⨯=；当3X =时，甲以4:2赢，所以123139(3)44432P X C ==⨯⨯⨯=； 当4X =时，甲以4:3赢，所以22313327(4)()444256P X C ==⨯⨯⨯=． 所以，甲赢的概率为99272431632256256++=． 所以，:243:13P P=乙甲； （2）设比赛继续进行Y 局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢．当3Y =时，乙以4:2赢，3(3)(1)P Y p ==-；当4Y =时，乙以4:3赢，1333(4)(1)3(1)P Y C p p p p ==-=-； 所以，乙赢得全部奖金的概率为P （A ）333(1)3(1)(13)(1)p p p p p =-+-=+-．于是甲赢得全部奖金的概率3()1(13)(1)f p p p =-+-．求导，322()3(1)(13)3(1)(1)12(1)f p p p p p p '=---+⋅--=-． 因为415P <，所以()0f p '>，所以()f p 在4[,1)5上单调递增， 于是4608()()5625min f p f ==． 故乙赢的概率为6081710.02720.05625625-==<，故事件A 是小概率事件． 21．（12分）已知函数22()()x f x e x mx m =++，2()g x ax x axlnx =++．（1）若函数()f x 在1x =-处取极小值，求实数m 的值；（2）设0m =，若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()()f x g x 恒成立，求实数a 的值．【解答】解：（1）22()[(2)]x f x e x m x m m '=++++，由题意得(1)0f '-=，即1m =±，当1m =时，()(1)(2)x f x e x x '=++，此时()f x 在(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，符合题意；当1m =-时，()(1)x f x e x x '=+，此时()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减，不符合题意．综上可得，1m =．（2）由()()f x g x 得1()0x xe a x lnx --+，指数化得不等式1()0x lnx e a x lnx +--+恒成立，令t x lnx =+，则t R ∀∈，不等式10t e at --恒成立，令()1t h t e at =--，t R ∈，则()t h t e a '=-，当0a 时，()0h t '>，()h t 单调递增，1(1)10h a e-=+-<，不符合题意； 当0a >时，令()0h t '=，得x lna =，当(,)x lna ∈-∞时，()0h t '<，()h t 单调递减， 当(,)x lna ∈+∞时，()0h t '>，()h t 单调递增，所以()()1min h t h lna a alna ==--，所以10a alna --，即110lna a +-， 令ϕ（a ）11lna a =+-，则ϕ'（a ）21a a-=，所以ϕ（a ）在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又ϕ（1）0=，所以1a =．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：(x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩是参数）． （1）若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且||AB m 值．（2）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，即24cos ρρθ=，化为直角坐标方程是：224x y x +=，即22(2)4x y -+=；直线l 的直角坐标方程为：y x m =-，∴圆心(2,0)到直线l 的距离（弦心距）为d ==圆心(2,0)到直线y x m=-的距离为：=，|2|1m∴-=，解得1m=或3m=；⋯（5分）（2）曲线C的方程可化为22(2)4x y-+=，其参数方程为22cos(2sinxyθθθ=+⎧⎨=⎩为参数）；又(,)M x y为曲线C上任意一点，22cos2sin2)4x yπθθθ∴+=++=++，x y∴+的取值范围是[2-+．⋯（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x=+--．（1）求不等式()2f x<的解集；（2）若关于x的不等式2()2af x a-有解，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数2,11()|21||1|3,1212,2x xf x x x x xx x⎧⎪+⎪⎪=+--=-<<⎨⎪⎪---⎪⎩，当1x时，不等式化为22x+<，解得0x<，可得x∈∅；当112x-<<时，不等式化为32x<，解得23x<，可得1223x-<<；当12x-时，不等式化为22x--<，解得4x>-，可得142x-<-；综上可得，原不等式的解集为2(4,)3-；（2）关于x的不等式2()2af x a-有解，即为：2()2minaf x a-，由1x时，23x+；112x-<<时，333:2x-<<12x -时，322x ---． 可得3()2min f x =-， 即有2322a a --， 解得13a -； 所以a 的取值范围是[1-，3]．。

皖江名校联盟2021届高三第二次联考数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}0,1,2,3A =，{}24B x y x ==-，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A.{}0,1B.{}1,2C.{}0D.{}0,1,22.已知命题p ：x R ∀∈，2230x x -+>，则p ⌝（） A.x R ∃∈，2230x x -+≤ B.x R ∀∈，2230x x -+≤ C.x R ∃∈，2230x x -+> D.x R ∀∈，2230x x -+≥3.定积分()122131d x x x x --+-=⎰（）A.12π+B.22π+C.3π+D.4π+4.函数cos 22xxy =的图象大致是（） A. B. C.D.5.已知命题p ：22x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，命题q ：22162x y m m +=-+表示椭圆，若命题“p q ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是（） A.26m -<<B.06m <<C.06m <<且2m ≠D.26m -<<且2m ≠6.围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3613种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列最接近52361100003的是（）（注：lg30.477≈）A.2510B.2610C.3510D.36107.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值（）A.恒小于0B.恒等于0C.恒大于0D.无法判断8.对x R ∀∈，不等式()()21110a x a x -+--<恒成立，则实数a 的取值范围是（） A.()3,1- B.(]3,1- C.()4,1-D.[]4,1-9.已知4log 5a =，41log 314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 6c =，则（）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.b a c >>10.函数()31f x x ax =-+在()2,2-上不单调的一个充分不必要条件是（） A.[]0,12a ∈ B.()0,15a ∈ C.()0,12a ∈D.()1,12a ∈11.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()2f x f x -=，且当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，若函数()()()()log 21a g x f x x a =-+>在区间()1,3-上恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A.(]3,5 B.()3,5C.D.12.已知函数21()1x x f x x ++=+，()g x x m =-+，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（）A.179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C.17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.179,,42⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2,2()(1),22x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()2log 3f 的值为_______.14.已知p ：()29x m -<，q ：()4log 31x +<，若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，则m 的取值范围是_______.15.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,2x ∈时，()22xf x =-，所以在[]2,6x ∈-上关于x 的方程()()3log 30f x x -+=恰有________个不同的实数根. 16.已知函数3211()32x f x ax ax xe =+-有三个极值点，则a 的取值范围是_______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知m R ∈，设p ：[]1,1x ∀∈-，222420x x m m --+-≥成立；q ：[]1,2x ∃∈，()212log 11x mx -+<-成立，如果“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围. 18.已知函数()22g x x x a =-+在[]1,x m ∈时有最大值为1，最小值为0.（1）求实数a 的值； （2）设()()g x f x x=，若不等式1122log 2log 0f x k x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭在[]4,8x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围.19.已知定义在R 上的函数()()12,2xx b f x a R b R a+-=∈∈+是奇函数.（1）若关于x 的方程()0f x m +=有正根，求实数m 的取值范围；（2）当()1,2x ∈时，不等式()230xkf x +->恒成立，求实数k 的取值范围.20.已知函数()212x x f x kx e =++-（e 为自然对数的底数）.（1）当1k =时，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程和()f x 的单调区间； （2）当[)2,x ∈+∞时，()0f x ≤，求整数k 的最大值.21.新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x （万元）在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x mf x x=-+（其中m 为参数）作为补助款发放方案. （1）判断使用参数12m =是否满足条件，并说明理由； （2）求同时满足条件①②的参数m 的取值范围. 22.已知函数()()1ln 2f x x ax a R =-∈. （1）若()f x 的最大值为-1，求a 的值；（2）若存在实数1,,42m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且2m n -≥，使得()()f m f n =，求证：8ln 2ln 23a ≤≤. 2021届高三第二次联考 理数参考答案 一、选择题 1-5：AABDC6-10：DCBDD11-12：CA1.由Venn 图知：阴影部分对应的集合为U AC B ，∵{{}22B x y x x x ===≤-≥或，{}0,1,2,3A =，∴{}22U C B x x =-<<，即{}0,1U A C B =.故选A.2.由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题p ：x R ∀∈，2230x x -+>， 则p ⌝：x R ∃∈，2230x x -+≤.3.(11232111322x x dx x x π--⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭⎰111122222ππ=-+++=+，故选B.4.由函数解析式可看出，函数的零点呈周期性出现，且x →+∞时，函数值在x 轴上下震荡，幅度越来越小，而当x →-∞时，函数值在x 轴上下震荡，幅度越来越大.可直接得出答案.5.因为命题“p q ∧”为真命题，所以命题p 和命题q 均为真命题，对于命题p ：22x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，所以0m >，对于命题q ：22162x y m m +=-+表示椭圆，所以602062m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得26m -<<且2m ≠，综上：实数m 的取值范围是06m <<且2m ≠. 6.由题意，对于52361100003，得525236136110000lg lg10000lg3524361lg335.83=-=⨯-⨯≈， 得5235.836110000103≈，可得D 中3610与其最接近.故选D. 7.当1x <时，()1'0xx f x e-=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数，由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，∴()f x 在()1,+∞内是减函数.∴()()350f f ->.8.对x R ∀∈，不等式()()21110a x a x -+--<恒成立.当1a =时，则有10-<恒成立；当10a -<时，则()()21410a a ∆=-+-<，解得31a -<<.综上所述，实数a 的取值范围是(]3,1-.故选B. 9.∵21111log (2)log (2)log (2)log log (1)2n n n n n n n n n n n ++++++⋅⎡⎤=+⋅=⎢⎥+⎣⎦，∵22(2)2(1)n n n n n +⋅=+<+，∴21log (2)12n n n ++⋅⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，因而1log (2)1log (1)n n n n ++<+，即1log (2)log (1)n n n n ++<+，则45log 5log 6>，即2a c >>；而4441log 13log log 3314434b -⎛⎫==== ⎪⎝⎭，所以b a c >>.选D.10.由已知，当()2,2x ∈-时，()2'3f x x a =-，当()2'30f x x a =-≥或()2'30f x x a =-≤，()f x 为单调函数，则0a ≤或12a ≥，故()f x 在()2,2-上不单调时，a 的范围为()0,12，C 是充要条件，D 是充分不必要条件.故选：D.11.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，可求得[]1,0x ∈-，函数()()31xf x f x -=-=-，()()2f x f x -=，即周期为2，又由函数()()()()log 21a g x f x x a =-+>在区间()1,3-恰有3个不同的零点，即函数()y f x =与()log 2a y x =+的图象在区间()1,3-上有3个不同的交点，又由()()132f f ==，则满足()log 122a +<且()log 322a +≥a <≤.12.依题意221(1)(1)11()11111x x x x f x x x x x +++-++===++-+++，则()()21'11f x x =-+，当[]1,3x ∈时，()'0f x >，故函数()f x 在[]1,3上单调递增，当[]11,3x ∈时，()1313,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；而函数()g x x m =-+在[]1,3上单调递减，故()[]23,1g x m m ∈--，则只需[]313,3,124m m ⎡⎤⊆--⎢⎥⎣⎦，故3321314m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得17942m ≤≤，∴179,42m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 二、填空题 13.答案：3∵2log 32<，∴()()331log 2log 212f f =+.∵2log 312+>，∴()()2log 622log 31log 626f f +===，∴()2log 33f =.14.答案：[]2,0-因为q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件，解不等式()29x m -<，得33m x m -<<+，解不等式()4log 31x +<，解得31x -<<.p ：33m x m -<<+，q ：31x -<<，∴{}{}3331x m x m x x ⊃-<<+-<<≠，所以3331m m -≤-⎧⎨+≥⎩，即20m -≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]2,0-.15.答案：4∵()()2f x f x +=-，()()4f x f x +=，∴函数()f x 的周期为4.令()y f x =，()()3log 3g x x =+画函数的图像，则满足()()66f g =，恰有4个交点. 16.答案：(),e +∞∵()2'xxf x ax ax e xe =+--，等价为()2'0xxf x ax ax e xe =+--=有三个不同的实根，即()()110x ax x x e +-+=，∴()()10x x ax e +-=，则1x =-，则0x ax e -=，有两个不等于-1的根，则xe a x=，设()x e h x x =，则()22'(1)x x x h e x e e x x x x --==，则由()'0h x >得1x >，由()'0h x <得1x <且0x ≠，当1x =时，()()minh x e =，当0x <时，()0h x <，作出()xe hx x=图象，要使xe a x=有两个不同的根，则满足a e >，∴(),a e ∈+∞.三、解答题17.若p 为真，则对[]1,1x ∀∈-，22422m m x x -≤--恒成立，设()222f x x x =--，配方得()()213f x x =--，∴()f x 在[]1,1-上的最小值为-3，∴243m m -≤-解得13m ≤≤，∴p 为真时，13m ≤≤.若q 为真，则[]1,2x ∃∈，212x mx -+>成立，即21x m x-<成立.设()211x g x x x x -==-，则()g x 在[]1,2上是增函数，∴()g x 的最大值为()322g =， ∴32m <，∴q 为真时，32m <. ∵“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，∴p 与q 一真一假.当p 真q 假时，1332m m ≤≤⎧⎪⎨≥⎪⎩，∴332m ≤≤.当p 假q 真时，∴1332m m m <>⎧⎪⎨<⎪⎩或，∴1m <. 综上所述，()3,1,32m ⎡⎤∈-∞⎢⎥⎣⎦. 18.（1）函数22()2(1)1g x x x a x a =-+=-+-，∴()g x 在区间[]1,m 上是增函数，故2()21(1)120g m m m a g a ⎧=-+=⎨=-+=⎩，解得12a m =⎧⎨=⎩.（2）由已知可得()221g x x x =-+，则()1()2g x f x x x x==+-， 所以不等式()22log 2log 0f x k x -⋅≤，转化为2221log 22log 0log x k x x+--⋅≤， 在[]4,8x ∈上恒成立.设2log t x =，则[]2,3t ∈，即1220t kt t+--≤，在[]2,3t ∈，上恒成立，即：22121211k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，∵[]2,3t ∈，∴111,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴当113t =时，211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值，最大值为21419t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则429k ≥，即29k ≥，∴k 的取值范围是2,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.19.（1）由题意：()00f =，解得1b =，再由()()11f f =--，得10121242a a ---=-++，解得2a =，当2a =，1b =时，112()22xx f x +-=+，定义域为R ， 111212()()2222x x x x f x f x --++--+-===-++，()f x 为奇函数，∴2a =，1b =.（不验证，不扣分）()121212()22221x x x xm f x +-+-=-==++，即11221x m =-+，∵0x >，212x+>，110212x <<+， ∴11102212x <-<+，∵()m f x =-有正根，∴10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）由2()30xkf x +->，得1123222x xx k +-⋅>-+，∵()1,2x ∈，所以121022x x +-+<+， ∴()()1322212xx xk +-+<-.令21xt -+=，则()3,1t ∈--，此时不等式可化为42k t t ⎛⎫<-⎪⎝⎭， 记4()2h t t t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当()3,1t ∈--时，4y t =和y t =-均为减函数，∴()h t 为减函数，故10()6,3h t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∵()k h t <恒成立，∴6k ≤-. 20.（1）当1k =时，2()12x x f x x e =++-，()'1x f x x e =+-；知()00f =，()'00f =，故可得切线方程为0y =；设()1xg x x e =+-，∵()'1xg x e =-，令()'0g x =，解得0x =，∴()'f x 在区间(),0-∞单调递增，在区间()0,+∞单调递减，∴()()''00f x f ≤=， ∴()f x 在R 上单调递减.（2）∵[)2,x ∈+∞时，()0f x ≤恒成立，即：[)2,x ∈+∞，2()102x x f x kx e =++-≤恒成立. 又()'xf x x k e =+-，设()xg x x k e =+-，()'1xg x e =-，()'f x 在区间(),0-∞单调递增，在区间()0,+∞单调递减，故()()''01f x f k ≤=-.①当10k -≤，即1k ≤时，()'0f x ≤，故()f x 在[)2,+∞单调递减.故()()22221f x f k e ≤=++-，若满足题意，只需2320k e +-≤，解得2322e k ≤-. 故1k ≤；②当10k ->，即1k >时，∵()'f x 在区间()2,+∞单调递减，且()2'22f k e =+-，1.当()'20f ≤时，()()'20f x f ≤≤，此时()f x 在区间[)2,+∞单调递减，要满足题意只需()22320f k e =+-≤，解得2322e k ≤-，故此时只需231,22e k ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. 2.当()'20f >时，因为()'f x 在区间()2,+∞单调递减，故一定存在02x >，()000'0x f x x k e =+-=，且使得()f x 在区间()02,x 单调递增，()0,x +∞单调递减.故()02max00()12x x f x f x kx e ==++-要满足题意，只需()max 0f x ≤，即0200102x x kx e ++-≤.结合000x x k e +-=，只需2000102x x k kx +---≥，02x >恒成立即可. 只需2001(1)102x k x k -+-+-≥在02x >时恒成立即可. 显然2001(1)12y x k x k =-+-+-是关于0x 且开口向下的二次函数，无法满足题意.综上所述：满足题意的范围是23,22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.又因为k Z ∈，且()232,322e -∈，故满足题意的整数k 的最大值为2.21.（1）当12m =时，所以12()44x f x x=-+， 只要证明()f x 在[]4,8x ∈为增函数且121()442x f x x x =-+≥即可.∵2112'()04f x x =+>，∴()f x 在[]4,8x ∈为增函数；又由121442x x x -+≥，可化为：216480x x -+≤，设：()21648g x x x =-+，因对称轴为8x =且在()4,8x ∈为递减函数且()40g =，∴121()442x f x x x =-+≥恒成立； （2）由条件①可知，()44x mf x x=-+在[]4,8上单调递增，∵22214'()44m x m f x x x +=+=，所以当0m ≥时，()'0f x ≥满足条件；当0m <时，由()'0f x =可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，∴4≤，解得40m -≤<，∴4m ≥-，由②可知，()2x f x ≥，即不等式44x mx+≤在[]4,8上恒成立，等价于22114(8)1644m x x x ≤-+=--+.当4x =时，21(8)164y x =--+取最小值12，∴12m ≤，综上，参数m 的取值范围是[]4,12-.22.（1）根据题意可得x 的取值范围为0x >，12'()22a ax f x x x-=-=-， 若0a ≤，则()'0f x ≥，所以()f x 在()0,+∞上单调递增，()f x 无最值，不合题意； 若0a >，当20x a <<时，()'0f x >，当2x a >时，()'0f x <， 所以函数()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 的最大值2212ln 12f a a a a ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭，解得2a =，符合题意.综上，2a =.（2）若()()f m f n =，则由（1）知0a >，所以函数()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 若存在实数1,,42m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f m f n =，则2a 介于m ，n 之间，不妨设1242m n a ≤<<≤， ∵()f x 在2,m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()()f m f n =，所以当m x n ≤≤时，()()()f x f m f n ≥=，由142m n ≤<≤，2m n -≥，可得[]2,m n ∈，故()()()2f f m f n ≥=，又()f x 在2,m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且122m a ≤<，所以()12f m f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. 同理()()42f f ≤. 所以11ln ln 224ln 42ln 2a a a a ⎧-≤-⎪⎨⎪-≤-⎩，解得8ln 2ln 23a ≤≤，不等式得证.。

安徽省江淮名校 2021届高三其次次联考数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间：120分钟。

考生务必将答案答在答题卷上，在试卷上作答无效。

考试结束后只交答题卷。

第I 卷 （选择题共50分）一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知集合{}{}||2,,2,A x x x R B x x z=≤∈=∈，则AB =（ ）A ．（0,2）B ．[0，2]C ．{0,2}D ．{0,l,2}．2．复数21ii -在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()sin (,0)f x x x R ωω=∈>的最小正周期为π，为了得到函数()sin()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ． 向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度4．已知等差数列{a n }的前n 项之和是S n ，则－a m <a 1<－a m+l 是S m >0，S m+1<0的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不毖要5．244(2cos tan )2xx dx ππ+⎰A ．22π+B 2C ．2πD ．2π+6．若非零向量,a b ，满足||||a b b +=，则（ ）A ．|2 a |>|2 a + b |B ．|2 a |<|2 a + b |C ．|2 b |>|a + 2b |D ．|2 b |<|a + 2b |7．已知函数()xf x a x b =+-，的零点0(,1)()x n n n Z ∈+∈，其中常数a ，b 满足2a =3，3b =2，则n 的值是（ ） A ．－2 B ．－l C ．0 D ．1 8．已知数列{a n }的前n 项之和是S n ，且4S n =（a n +1）2，则下列说法正确的是 A ．数列{a n }为等差数列 B ．数列{a n }为等差或等比数列 C ．数列{a n }为等比数列 D ．数列{a n }可能既不是等差数列也不是等比数列 9．平面对量,a b 满足|3,a b |≤4，则向量,a b 的最小值为A ．43 B ．－43 C ． 34 D ．－ 3410．已知G 点为△ABC 的重心，且AG BG ⊥，若112tan tan tan A B C λ+=，则实数λ的值为A ．1B ．23C ．25D ． 27第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置，） 11．命题”存在x 0>一1，2x +x 0 －2022>0”的否定是12．如图，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y=lo 1223,,xy x y ==⎝⎭，的图像上，且矩形的边分别平行两坐标轴，若A 点的纵坐标是2，则D 点的坐标是 。

数学(理科)1.已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{B x y ==，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A.{}0,1 B.{}1,2 C.{}0 D.{}0,1,2【答案】A2.命题“x R ∀∈，2230x x -+>”的否定为（）A.x R ∀∈，2230x x -+≥ B.x R ∀∈，2230x x -+≤C.0x R ∃∈，200230x x -+> D.0x R ∃∈，200230x x -+≤【答案】D3.定积分(1213d xx x --+=⎰（）A.12π+B.22π+C.3π+ D.4π+【答案】B 4.函数cos 22xxy =的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D5.已知命题p ：22x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，命题q ：22162x y m m +=-+表示椭圆，若命题“p q ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是（）A.26m -<< B.06m <<C.06m <<且2m ≠ D.26m -<<且2m ≠【答案】C6.围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3613种不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列最接近52361100003的是（）（注：lg 30.477≈）A.2510B.2610C.3510 D.3610【答案】D7.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值（）A.恒小于0B.恒等于0C.恒大于0D.无法判断【答案】C8.对x R ∀∈，不等式()()21110a x a x -+--<恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.()3,1- B.(]3,1- C.()4,1- D.[]4,1-【答案】B9.已知4log 5a =，41log 314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 6c =，则（）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a>> D.b a c>>【答案】D10.函数()31f x x ax =-+在()2,2-上不单调的一个充分不必要条件是（）A.[]0,12a ∈B.()0,15a ∈C.()0,12a ∈D.()1,12a ∈【答案】D11.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()2f x f x -=，且当[]0,1x ∈时，()31x f x =-，若函数()()()()log 21a g x f x x a =-+>在区间()1,3-上恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A.(]3,5 B.()3,5C.D.【答案】C12.已知函数21()1x x f x x ++=+，()g x x m =-+，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（）A.179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ C.17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A二､填空题13.已知函数2,2()(1),22x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()2log 3f 的值为_______.【答案】314.已知p ：()29x m -<，q ：()4log 31x +<，若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，则m 的取值范围是_______.【答案】[]2,0-15.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,2x ∈时，()22xf x =-，所以在[]2,6x ∈-上关于x 的方程()()3log 30f x x -+=恰有________个不同的实数根.【答案】416.已知函数3211()32x f x ax ax xe =+-有三个极值点，则a 的取值范围是_______.【答案】(),e +∞三､解答题17.已知m R ∈，设p ：[]1,1x ∀∈-，222420x x m m --+-≥成立；q ：[]1,2x ∃∈，()212log 11x mx -+<-成立，如果“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围.【答案】()3,1,32m ⎡⎤∈-∞⎢⎥⎣⎦18.已知函数()22g x x x a =-+在[]1,x m ∈时有最大值为1，最小值为0.（1）求实数a 的值；（2）设()()g x f x x =，若不等式1122log 2log 0f x k x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭在[]4,8x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1；（2）2,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.19.已知定义在R 上的函数()()12,2x x b f x a R b R a+-=∈∈+是奇函数.（1）若关于x 的方程()0f x m +=有正根，求实数m 的取值范围；（2）当()1,2x ∈时，不等式()230xkf x +->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6k ≤-.20.已知函数()212x x f x kx e =++-(e 为自然对数的底数).（1）当1k =时，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程和()f x 的单调区间；（2）当[)2,x ∈+∞时，()0f x ≤，求整数k 的最大值.【答案】（1）切线方程为0y =，()f x 在R 上单调递减；（2）最大值为2.21.新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x (万元)在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x (万元)随企业原纳税额x (万元)的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x mf x x=-+(其中m 为参数)作为补助款发放方案.（1）判断使用参数12m =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①②的参数m 的取值范围.【答案】（1）满足，理由见解析；（2）[]4,12-.22.已知函数()()1ln 2f x x ax a R =-∈.（1）若()f x的最大值为-1，求a的值；（2）若存在实数1,,42m n⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且2m n-≥，使得()()f m f n=，求证：8ln2ln23a≤≤.【答案】（1）2a=；（2）证明见解析.。