2020年12月安徽省皖江名校联盟2021届高三上学期第四次联考数学(文)试题及答案解析

安徽省皖江名校2020届高三第四次联考数学文试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则等于（）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.3.已知函数，则是（）A. 奇函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是增函数C. 奇函数，且在上是减函数D. 偶函数，且在上是减函数4.如图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.5.某单位为了解用电量（度）与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：（度）由表中数据得线性回归方程中，预测当温度为时，用电量的度数约为（）A. 64B. 66C. 68D. 706.已知等比数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.7.已知函数的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.8.设双曲的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的A. B. C. D.9.如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（）A. B. C. D.10.的斜边等于4，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（）A. B.C. D.12.已知函数与轴相切与点，且极大值为4，则等于（）A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上.13.已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围为__________．14.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为__________．15.设变量，，满足约束条件，则目标函数的最小值是__________．16.已知函数在上恰有一个最大值点和最小值点，则的取值范围是__________．17.为了解中学生对交通安全知识的掌握情况，从农村中学和城镇中学各选取100名同学进行交通安全知识竞赛.下图1和图2分别是对农村中学和城镇中学参加竞赛的学生成绩按，，，分组，得到的频率分布直方图.（Ⅰ）分别估算参加这次知识竞赛的农村中学和城镇中学的平均成绩；（Ⅱ）完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“农村中学和城镇中学的学生对交通安全知识的掌握情况有显著差异”？附：临界值表：18.如图，在梯形中，，，，四边形是正方形，且，点在线段上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当平面时，求四棱锥的体积.19.已知数列的前项的和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.20.如图，是的外角平分线，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的长.21.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过，.（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）四边形的四个顶点都在椭圆上，且对角线，过原点，若，求证：四边形的面积为定值，并求出此定值.22.已知函数在处的切线方程.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：当时.安徽省皖江名校2020届高三第四次联考数学文试题参考答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得集合A，进而可得，求解函数定义域可得集合B，利用交集求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.2.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算可得解.【详解】因为，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.3.已知函数，则是（）A. 奇函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是增函数C. 奇函数，且在上是减函数D. 偶函数，且在上是减函数【答案】C【解析】【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R，关于原点对称，，有，所以是奇函数，函数，显然是减函数.故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.4.如图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图还原得四棱锥，结合四棱锥的结构特征直接求表面积即可.【详解】如图所示，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，2个侧面是腰长为2的等腰直角三角形，另外2个侧面是边为，，直角三角形，所以表面积为.【点睛】三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.5.某单位为了解用电量（度）与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：（度）由表中数据得线性回归方程中，预测当温度为时，用电量的度数约为（）A. 64B. 66C. 68D. 70【答案】D【解析】【分析】由题意先求出回归方程，再将代入回归方程，即可求出结果.【详解】由已知，，将其代入回归方程得，故回归方程为，当时，，选D.【点睛】本题主要考查回归直线方程，由回归直线必然过样本中心即可求回归直线的方程，属于基础题型.6.已知等比数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n项和，从而可得，令求解即可. 【详解】由，可得；由.两式作比可得：可得，，所以，，，所以.故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式，属于公式运用的题目，属于基础题.7.已知函数的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简函数得，得为函数的最大值，结合函数的周期性可知时函数应取最小值，从而得解.【详解】函数（其中）.易知.当，即时函数取得最大值，又函数的周期为，所以时函数应取最小值.即.故选B.【点睛】本题主要利用了两角和及二倍角公式化简三角函数，并利用三角函数的性质解题，属于中档题.8.设双曲的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设该双曲线方程为得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB的斜率为由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率；设该双曲线方程为可得它的渐近线方程为，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为，∵直线FB与直线互相垂直，∵双曲线的离心率e＞1，∴e=,故选：D考点：双曲线的简单性质9.如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中点为，可证得平面平面，即的面积即为所求，然后利用梯形的面积公式求解即可.【详解】取的中点为.易知，，所以四边形为平行四边形，所以.又和为平面的两条相交直线，所以平面平面，即的面积即为所求.由，，所以四边形为梯形，高为.所以面积为：.故选B.【点睛】本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断，面面平行性质，四棱柱的结构特征，解答本题的关键是画出截面，并分析其几何特征，属于中档题.10.的斜边等于4，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合三角形及圆的特征可得，进而利用数量积运算可得最值，从而得解.【详解】.注意，，所以当与同向时取最大值5，反向时取小值-3.故选C.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.11.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：设此圆的圆心坐标为，则圆的半径，当且仅当时，等号成立，圆的面积最小，此时圆心坐标为，半径为，所以圆的方程为，选A.考点：圆的方程、基本不等式.12.已知函数与轴相切与点，且极大值为4，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知是的极值，再求导分析极值可知，从而得a，进而可求. 【详解】由题意时，是的极值，所以..因为取得极值为0，极大值为4，所以当时取得极大值，解得.所以，.故选B.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的极值，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上.13.已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】由是的充分不必要条件，可得是的充分不必要条件，从而得且，列不等式求解即可. 【详解】，，由题意是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，即，于是且，得，经检验.故答案为：.【点睛】逻辑联结词，且：全真为真，一假为假；或：一真为真，全假为假；非：真假相反.本题中是的充分不必要条件，也可以考虑逆否命题来解决.14.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，执行循环结构的程序框图，直到满足条件结束循环，输出结果即可.【详解】程序运行如下：，；，；,；，；，，变量的值以4为周期循环变化，当时，，时，，结束循环，输出的值为.故答案为：.【点睛】识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．15.设变量，，满足约束条件，则目标函数的最小值是__________．【答案】7【解析】作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)设z=F(x,y)=2x+3y，将直线l:z=2x+3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F(2,1)=716.已知函数在上恰有一个最大值点和最小值点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据条件得的范围，由条件可知右端点应该在第一个最小值后第二个最大值前，即得，解不等式即可得解.【详解】由题设，所以应该在第一个最小值后第二个最大值前，所以有，得，所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数图象的性质，考查学生的计算能力，属于中档题.在应用函数y=Asin（ω x +φ）的图像和性质研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应写在答题卡上的指定区域内.17.为了解中学生对交通安全知识的掌握情况，从农村中学和城镇中学各选取100名同学进行交通安全知识竞赛.下图1和图2分别是对农村中学和城镇中学参加竞赛的学生成绩按，，，分组，得到的频率分布直方图.（Ⅰ）分别估算参加这次知识竞赛的农村中学和城镇中学的平均成绩；（Ⅱ）完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“农村中学和城镇中学的学生对交通安全知识的掌握情况有显著差异”？附：临界值表：【答案】（Ⅰ）农村中学的竞赛平均成绩56，城镇中学的竞赛平均成绩60；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和即可得平均值；（Ⅱ）根据已知数据完成列联表，再利用公式计算出观测值，再查表下结论即可.【详解】（Ⅰ）农村中学的竞赛平均成绩，城镇中学的竞赛平均成绩.（Ⅱ），有的把握认为“农村中学和城镇中学的学生对交通安全知识的掌握情况有显著差异”【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．18.如图，在梯形中，，，，四边形是正方形，且，点在线段上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当平面时，求四棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）分析梯形的角度可得，即得，又，从而得证；（Ⅱ）设对角线，交于点，连接，易得四边形是平行四边形，得，由梯形面积公式可得底面积，高为，利用椎体的体积公式即可得解.【详解】（Ⅰ）由题设易得，所以，，，（第2问用）因此，又，和为平面内两条相交直线，所以平面（Ⅱ）设对角线，交于点，连接，则由平面可得，进而四边形是平行四边形，所以.四棱锥的底面积是.由（Ⅰ）知四棱锥的高是所以体积.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明及线面平行的性质，还有椎体的体积公式，考查一定的空间想象力，属于中档题.19.已知数列的前项的和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由及时，可得，再由是等差数列，利用基本量运算求解即可；（Ⅱ）由，利用错位相减法求和即可.【详解】（Ⅰ），时，，也符合此式，所以.又，，可得，，所以（Ⅱ），所以，所以，错位相减得，所以【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.20.如图，是的外角平分线，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的长.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由角平分线及互补的关系可得，可得，从而得解；（Ⅱ）在和中，分别用余弦定理表示和，再利用，解方程即可得解.【详解】（Ⅰ）由题设，，所以（Ⅱ）在中，由余弦定理，在中，又，所以，进而.【点睛】本题主要考查了正余弦定理的灵活应用，需要对图形的几何特征进行分析，需要一定的能力，属于中档题.21.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过，.（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；（Ⅱ）四边形的四个顶点都在椭圆上，且对角线，过原点，若，求证：四边形的面积为定值，并求出此定值.【答案】（Ⅰ）标准方程，离心率（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）先设椭圆方程，再由题意，列方程组求解即可;（Ⅱ）先设的方程为，联立直线与曲线方程，由根与系数关系，结合题意表示出，即可求出的关系式，进而由面积公式可求出结果.【详解】（I）设椭圆的方程为，则所以椭圆的标准方程，所以，离心率（Ⅱ）证明：不妨设点、位于轴的上方，则直线的斜率存在，设的方程为，，.联立，得，则，. ①由，得. ②由①、②，得. ③设原点到直线的距离为，，④由③、④，得，故四边形的面积为定值，且定值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质，通常情况下，需要联立直线与曲线方程，结合根与系数的关系来求解，属于中档试题.22.已知函数在处的切线方程.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：当时.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题设，运算求解即可；（Ⅱ）令，，通过求两次导数分析函数单调性可得存在在唯一的使得，当或者时，单调递增，当时，单调递减，进而有，从而得证.【详解】（Ⅰ），由题设（Ⅱ）实际上是证明时，的图象在切线的上方.令，，则，，所以在上单调递减，在上单调递增；在唯一的极小值.注意到，，而，所以，所以；又因为在上单调递减，所以存在在唯一的使得；因此当或者时，，当时，；所以当或者时，单调递增，当时，单调递减；由于，所以，当且仅当时等号成立；所以时，不等式成立.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。

安徽省“皖江名校联盟”2023-2024学年高三上学期12月月考数学数学姓名：_________座位号：_________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1i z =+，则2z 的共轭复数是（）A.2B.2iC.2- D.2i-2.集合U =R ，集合{}2log (1)A x y x ==-，{}13B x x =+<，则{}41x x -<≤=（）A.()U A Bð B.U ()A B ð C.U ()A B ð D.()U A Bð3.函数21()1x f x x +=-，则下列函数中为奇函数的是（）A.(2)1f x +-B.(1)2f x +- C.(1)2f x ++ D.(2)1f x -+4.已知向量(1,1)a =，(1,1)b =- ，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A.1λμ=- B.1λμ= C.1λμ+=- D.1λμ+=5.2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射任务取得圆满成功，开启了我国空间站应用发展的新阶段.在太空站内有甲，乙、丙三名航天员，按照一定顺序依次出仓进行同一试验、每次只派一人、每人最多出仓一次，且时间不超过10分钟.若第一次试验不成功，返仓后派下一人重复进行试验，若试验成功终止试验.已知甲，乙，丙10分钟内试验成功的概率分别为910，89，78，每人试检能否成功相互独立，则试验成功的概率为（）A.710B.119120C.359360D.7197206.在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则cos A =（）A.1010B.31010C.1010-D.31010-7.已知数列{}n a 对任意*k ∈N 满足132k k a a k ++=+，则22023a a +=（）A.3032B.3035C.3038D.30418.在ABC △中，6BC =，8AB AC +=，E ，F ，G 分别为三边BC ，CA ，AB 的中点，将AFG △，BEG △，CEF △分别沿FG ，EG ，EF 向上折起，使得A ，B ，C 重合，记为P ，则三棱锥P EFG -的外接球表面积的最小值为（）A.152π B.172π C.192π D.212π二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 的前n 项和为29n S n n =-，则下列说法正确的是（）A.18a =- B.数列{}n a 是递增数列C.数列{}n S 的最小项为9S 和10S D.满足0n S <的最大正整数8n =10.设0a >，0b >，满足21a b +=，则下列说法正确的是（）A.ab 的最大值是14B.12a b+的最小值是9C.22a b +的最小值是15D.224a b +的最小值是111.已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面圆的半径分别为1和3，母线AB 长为4，E 是母线AB 的中点，则（）A.圆台的侧面积为16πB.圆台的内切球的表面积为3πC.圆台的体积为2633D.在圆台侧面上从C 到E 的最短路径的长度为12.已知函数321()(,)3f x x x ax b a b =+++∈R ，则（）A.0a >时，函数()f x 在R 上单调递增B.3a =-时，若()f x 有3个零点，则实数b 的取值范围是59,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C.若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =，则1233x x x ++=D.若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中01x x ≠，则10230x x ++=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为__________.14.设向量a 和b 满足||a b += ，||2a b -=，则a b ⋅ 的值为__________.15.已知函数1()12xf x =+，若不等式()e 1(ln ln )xf a f a x ≤--恒成立，则a 的最小值为__________.16.若cos5π是关于x 的方程3210ax bx ++=（a ，b 都是整数）的一个实根，则a b +=__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18.（12分）从2021年秋季学期起，安徽省启动实施高考综合改革，实行高考科目“312++”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、生物、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级ABCDE人数比例15%35%35%13%2%赋分区间[]86,100[]71,85[]56,70[]41,55[]30,40将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为2211Y Y T TY Y T T --=--，其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T ，2T 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y 表示考生的原始分，T 表示考生的等级分，规定原始分为1Y 时，等级分为1T .某次生物考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.（1）根据频率分布直方图求a ，b 的值，并估计此次生物考试原始分的平均值；（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试生物成绩A 等级的原始分区间；（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生生物成绩的原始分为83，试计算其等级分.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是边长为4的菱形，3PAB DAB π∠=∠=，PA PB ⊥，点E 在线段PB 上，CD DE ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD .（1）求四面体E PAD -的体积；（2）求直线DE 与平面CDP 所成角的正弦值.20.（12分）记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()cos 22cos cos c b A a A B A B +=≤.（1）求A ；（2）若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，求ABC △面积的最小值.21.（12分）已知数列{}n a 满足11a =，112n n n a a +++=.（1）证明：数列232n na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设12111n nT a a a =+++ ，证明：74n T <对任意*n ∈N 成立.22.（12分）设函数1()ln 1f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的单调性.（2）设数列{}n a 满足11nn a n ⎛⎫=+⎪⎝⎭，证明数列是单调递增数列，且e n a <，*n ∈N （其中e 为自然对数的底）.数学参考答案题号123456789101112答案DDBADCCBABDBCACDBD1.【解析】22(1i)2i z =+=，共轭复数是2i -.2.【解析】集合{}1A x x =>，{}42B x x =-<<，所以(){}U 41A B x x =-<≤ ð.3.【解析】213()211x f x x x +==+--关于点(1,2)对称，故将()f x 的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，图像关于原点对称，选A.事实上2(1)13(1)22(1)1x f x x x+++-=-=+-为奇函数.4.【解析】由题设(1)(1)(1)(1)0λμλμ+++--=，化简可得1λμ=-.5.【解析】解析1：试验任务不成功的的概率是987111111098720p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以成功的概率是719720.解析2：试验任务成功的事件M 是甲成功的事件1M ，甲不成功乙成功的事件2M ，甲乙都不成功丙成立的事件3M 的和，事件1M ，2M ，3M 互斥，()1910P M =，()2988110990P M ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，()39877111098720P M ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以试验任务成功的概率()123987119()1090720720PM P M M M =++=++=.故选D.6.【解析】设BC 边上的高1AD =，结合4B π=可得AB =AC =，3BC =，由余弦定理10cos 10A ==-.7.【解析】易得23k k a a +-=，2113(1)k a a k -=+-，21232k a a k -+=+，220233*********a a +=⨯+=.8.【解析】设2m AB =，2AC n =，由题设4m n +=.三棱锥P EFG -中，3FG PE ==，EF PG m ==，EG PF n ==，将P EFG -放在棱长为x ，y ，z 的长方体中，有2222222223x y y z m z x n ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三棱锥P EFG -的外接球就是长方体的外接球，所以()2222221(2)92R x y z m n =++=++，由基本不等式222()82m n m n ++≥=，所以外接球表面积21174(98)22S R πππ=≥+=.9.【答案】ABD【解析】可求210n a n =-，数列{}n S 的最小项为4S 和5S .选项C 错误，其余易验证都正确.10.【答案】BC【解析】21a b +=≥，ab 的最大值是18，当122a b ==时，224a b +取最小值是12，选项AD 错误.11.【答案】ACD【解析】轴截面梯形的上底为2，下底为6，高为，所以圆台的侧面积(13)416S ππ=+⨯=，圆台的体积1263(93)33V πππ=++⨯=.的内切圆（两组对边的和相等），，表面积为12π.在圆台侧面上从C 到E 的最短路径，在展开图中是线段CE ==.12.【答案】BD【解析】求导22()2(1)1f x x x a x a '=++=++-，当(0,1)a ∈时，()0f x '=有2个不相等的实根1x ，2x ，在区间()12,x x 上()0f x '<，()f x 单调递减，选项A 错误.当3a =-时，令2()23(3)(1)0f x x x x x '=+-=+-=，得13x =-，21x =，若()f x 有3个零点，则极大值(3)90f b -=+>，极小值5(1)03f b =-<，实数b 的取值范围是59,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，选项B 正确.令二阶导数()220f x x ''=+=，得1x =-，则三次函数()f x 的对称中心是()()1,1f --.当直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =时，点A 一定是对称中心，所以123133x x x x ++==-，选项C 错误.若()f x 存在极值点0x ，则2()(1)10f x x a '=++-=，1a <，()2011x a +=-.令102x x t +=，得102x t x =-，因为()()01f x f x =，于是()()002f x f t x =-，所以()()()32320000*********x x ax b t x t x a t x b +++=-+-+-+，化简得：()201303t t x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为01x x ≠，故030x t -≠，于是3t =-，即10230x x ++=.选项D 正确.故选BD.13.【答案】39【解析】从小到大排序：25，29，30，32，37，38，40，42，又875%6⨯=，第75百分位数为：3840392+=.14.【答案】2【解析】由题设22212a a b b +⋅+= ，2224a a b b -⋅+= ，所以2a b ⋅=.15.【答案】1e【解析】函数1()12x f x =+在R 上单调递减，且11()()11212x xf x f x -+-=+=++，所以()e1(ln ln )(ln ln )ln xx f a f a x f x a f a ⎛⎫≤--=-= ⎪⎝⎭，由单调性可得e lnxxa a≥.所以e ln x x x x a a ≥，考查函数()e x g x x =的单调性可得ln ln ln xx x a a≥=-，所以ln ln a x x ≥-恒成立，易得()ln h x x x =-的最大值是1-，因此ln 1a ≥-，1ea ≥.16.【答案】0【解析】因为2224242cos cos 12cos 122cos 18cos 8cos 1555555ππππππ⎡⎤=-=-=--=--⎢⎥⎣⎦，所以4228cos8cos cos 10,8cos cos 1cos 1cos 105555555πππππππ⎛⎫⎛⎫-++=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以28coscos 11cos 10555πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又cos 105π+≠，所以2328coscos 118cos 8cos 105555ππππ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，比较系数可得8a =，8b =-，0a b +=.17.【解析】（1）观察图象可得2A =，函数()f x 的周期1121212T ππππω⎛⎫=--==⎪⎝⎭，解得2ω=，即()2sin(2)f x x ϕ=+，由2sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得6k πϕπ-+=，即6k πϕπ=+，Z k ∈，而||2πϕ<，则6πϕ=，所以函数()y f x =的解析式是()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将()f x 的图象向左平移12π个单位长度，可得到函数2sin 22sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()2sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当04x π≤≤时，44333x πππ≤+≤，则2sin 423x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以，()2g x ≤≤，因此，()g x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2].18.【解析】（1）由题意可知：10100.310(0.0450.020)0.7a b a +=⎧⎨++=⎩，解得0.0050.025a b =⎧⎨=⎩，可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以生物原始分的平均值等于500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[85,95)的占比为5%，位于区间[75,85)的占比为20%，因为成绩A 等级占比为15%，所以等级A 的原始分区间的最低分位于区间[75,85)，估计等级A 的原始分区间的最低分为15%5%85108020%--⨯=，已知最高分为94，所以估计此次考试生物成绩A 等级的原始分区间为[]80,94.（3）由9483100838086TT --=--，解得89T =，该学生的等级分为89分.19.【解析】（1）过点E 作EF AB ⊥于F ，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，所以EF ⊥面ABCD ，因为CD ⊂面ABCD ，所以EF CD ⊥.又CD DE ⊥，且EF DE E α=，所以CD ⊥面DEF ，可得CD DF ⊥，因为//AB CD ，得DF AB ⊥.由题设易得ABD △是等边三角形，所以F 点是AB 的中点.在Rt PAB △中，3PAB π∠=，6PBA π∠=，EF 垂直平分AB ，可得AEF BEF △△≌，6EAF π∠=，进一步AEF AEP △△≌，所以1112323323PAE PAB S S ==⨯⨯⨯=△△.因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，DF AB ⊥，所以DF ⊥面P AB .在等边三角形ABD △中，4AB =，DF =.DF 是四面体E PAD -的高.所以112343333E PAD D PAE PAE V V S DF --==⨯=⨯△.（2）由（1）知EF ⊥面ABCD ，DF AB ⊥，以F 为原点，FD ，FB ，FE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得坐标，D，4,0)C，0,0,3E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,P -，所以(0,4,0)DC =，3DE ⎛=- ⎝⎭，(DP =-- ，令平面CDP 的法向量(,,)n x y z =，则40,0,n DC y n DP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩取(1,0,2)n = ，又233DE ⎛=- ⎝⎭，设直线DE 与平面CDP 所成角为θ，则||2sin |cos ,|10||||DE n DE n DE n θ⋅=〈〉==所以直线DE 与平面CDP 所成角的正弦值为210.20.【解析】（1）由已知和正弦定理可得：sin sin cos 22sin cos cos C B A A A B +=，所以sin sin 2cos sin cos 2sin(2)0C A B B A A B =-=->.又因为(0,)C π∈，2(0,)A B π-∈，所以2C A B =-或者2C A B π+-=.当2C A B =-时，2A B A B π++-=，3A π=；当2C AB π+-=时，2A B =与题设A B ≤不符.综上所述，3A π=.（2）ABC △面积13sin 234S bc bc π==，由AD 是角平分线，6BAD CAD π∠=∠=，因为ABC ABD ADC S S S =+△△△，得111sin sin sin 232626bc b c πππ=+，即3b c bc +=，由基本不等式3bc bc ≥，43bc ≥，当且仅当233b c ==时等号成立.所以面积33434433S bc =≥⨯=.故ABC △面积的最小值33.21.【解析】（1）由已知112n n n a a +++=得1111222n n n n a a +++⨯=，因此1121232322n n n n a a ++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又1121362a -=-，所以数列232n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16-，公比为12-的等比数列，因此12113622n n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以12(1)3n nn a ++-=，（2）由已知11a =，23a =，35a =，…，显然n T 单调递增，1212114734T T a a <=+=<.当2n >且n 是奇数时，()()111111111112222113333212122222121n n n n n n n n n n n n n n a a ++++++-++⎛⎫⎛⎫+=+=⨯<⨯=+ ⎪ ⎪+-⨯+-⎝⎭⎝⎭，所以34111121111111117371313444222222n n n n n n T a a a +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+++++=+⨯-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ .当2n >且n 是偶数时，则1n +是奇数，有174n n T T +<<，所以，对任意*N n ∈，1211174n n T a a a =+++< .22.【解析】（1）函数()f x 的定义域是(,1)(0,)-∞-+∞ ，先证明ln 1x x ≤-，设()ln 1g x x x =-+，则1()1g x x'=-，在(0,1)上()0g x '>，()g x 单调递增，在(1,)+∞上()0g x '<，()g x 单调递减，()(1)0g x g ≤=，所以ln 1x x ≤-.可得11ln 1x x ≤-，得到1ln 1x x≥-，等号当且仅当1x =时成立，所以111()ln 110111x f x x x x x ⎛⎫'=+-≥--= ⎪+++⎝⎭，注意111x+≠，所以()0f x '>恒成立.因此，()f x 的定义域在区间(,1)-∞-和(0,)+∞上都是单调递增.（2）由题设11n n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11111n n a n ++⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，1ln ln 1n a n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11ln (1)ln 11n a n n +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭，只需证明11ln 1(1)ln 11n n n n ⎛⎫⎛⎫+<++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，因为1()ln1f x xx⎛⎫=+⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增，显然成立.下面证明11nna en⎛⎫=+<⎪⎝⎭，等价于证明1ln ln11na nn⎛⎫=+<⎪⎝⎭，也即证明11ln1n n⎛⎫+<⎪⎝⎭，由（1）过程可知ln(1)x x+≤，故原不等式得证.。

安徽省皖江联盟2020届高三12月份联考试题数学(文科)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

第I卷第1至第2页，第II卷第2至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．上答题无效。

．．．．．．4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z满足(1－2i)z＝4＋3i(i为虚数单位)，则复数z的模等于C. D.2.已知全集为R，集合A＝{－2，－1，0，1，2}，12xB xx-⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()UA Bð的元素个数为A.1B.2C.3D.43.已知函数f(x)在区间(a，b)上可导，则“函数f(x)在区间(a，b)上有最小值”是“存在x0∈(a，b)，满足f’(x0)＝0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是39271250。

公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355113和约率227。

绝密★启用前皖中名校联盟2023-2024学年（上）高三第四次联考数学试题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合AA={−2,1,3}，BB={xx|√ 2xx+3>0}，则AA∩BB=( )A. (−32,+∞)B. {1,3}C. {−1}D. {3}2.若复数zz满足(1+ii)zz=3−ii，则|zz|=( )A. √ 5B. 5C. 2√ 5D. 203.若角αα的终边上有一点PP(−2,mm)，且sinαα=−√ 55，则mm=( )A. 4B. ±4C. −1D. ±14.已知ll，mm是两条不同的直线，αα，ββ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若αα⊥ββ，ll⊂αα，mm⊂ββ，则ll⊥mmB. 若mm⊥ββ，αα⊥ββ，则mm//ααC. 若ll//mm，ll⊥αα，mm⊥ββ，则αα//ββD. 若αα//ββ，且ll与αα所成的角和mm与ββ所成的角相等，则ll//mm5.设aa∈RR，则“aa>0”是“aa3>aa2的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.粮食是关系国计民生的重要战略物资.如图为储备水稻的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为10mm ，上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的4倍，且这两个圆锥的顶点相距12mm ，每立方米的空间大约可装0.75吨的水稻，则该粮仓最多可装水稻( )A. 175ππ吨B. 200ππ吨C. 225ππ吨D. 250ππ吨7.镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺、国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位、国家3AA 级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺塔的高度MMMM ，他在塔的正北方向找到一座建筑物AABB ，高为7.5mm ，在地面上点CC 处(BB ,CC ,MM 在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部AA ，镇国寺塔顶部MM 的仰角分别为15∘和60∘，在AA 处测得镇国寺塔顶部MM 的仰角为30∘，则镇国寺塔的高度约为 ( )(参考数据：√ 3≈1.73)A. 31.42mmB. 33.26mmC. 35.48mmD. 37.52mm( )A. (0,2√ 2)B. (0,4)C. (2√ 2,+∞)D. (4,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20分。

绝密★启用前“皖豫名校联盟体”2021届高中毕业班第四次考试文科数学学校：___________题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2-1≤0}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则A ∩B ＝ A ．(0，1)B ．(0，1]C ．[-1，1]D ．[-1，2)2．22i(1i)z +=-的共轭复数为 A ．1i 2--B ．1i 2-+C ．1i 2-D ．1i 2+3．已知向量(,0)AB m =，(2,2)BC =-，()AB AC BC +⊥，则m 的值为A ．1B ．2C ．3D ．44．某校高三学生小李每天早晨7点下课后，从教室到学校餐厅吃早餐，步行4分钟，统计小李一段时间打饭所需时间Z （单位：分钟），整理得到如图所示的频率分布直方图，吃饭需要15分钟，而后步行4分钟返回教室．已知学校要求学生7:30开始在教室内上自习，则小李上自习不迟到的概率约为A ．0.7B ．0.5C ．0.4D ．0.35．在平面四边形ABCD 中，CD ＝1，AC ⊥BD ，∠CDB ＝φ（φ为锐角），∠ACB ＝453 sin cos 3ϕϕ+=，则BC ＝A ．1B 3C 2D ．126．过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，-7)的圆与圆x 2+y 2＝16的相交弦所在直线的方程为A ．x -2y +2＝0B ．x -y +2＝0C ．x -2y ＝0D ．x +2y +2＝0 7．某日化用品厂家研发了一种新的牙膏产品，该产品的成本由生产成本和销售成本组成．每批产品的销售成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）满足指数函数模型y ＝3.47×10mx，已知每件产品的生产成本为10元，生产12千件该产品时，总成本为123470元．若销售成本增加1倍，则生产该产品的数量增加了（）千件．(lg2≈0.3) A ．1.2B ．1.1C ．0.9D ．0.38．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点P 在C 上且P 在准线上的投影为Q ，直线QF 交C 于点D ，且|QD |＝2|DF |，则△PFQ 的面积为 A ．4B ．43C ．83D ．1639．已知函数y ＝2|cos x |+cos2x 在[0，a ]上单调递减，则实数a 的最大值为 A ．π4B ．π3C ．π2D ．π 10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点M 在双曲线右支上，若△MOF 为等边三角形（点O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为A ．31+B ．21+C ．3D ．211．某几何体的三视图如图所示，图中两个M 点为直观图中的同一个点M ，两个N 点也为直观图中的同一个点N ，且分别为所在棱的中点，则在此几何体表面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A 73+B 723+13D ．3112．已知函数248,(0,2],()48,(2,),x x x g x x x ⎧-+∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩f (x )＝|kx -2|-g (x )(k ＞0)在(0，+∞)上有3个不同的零点，则k 的取值范围是A ．(0，4)B ．(1，+∞)C ．(0，1)∪(1，+∞)D ．(0，1)∪(1，4) 二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件0,240,40,x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则z ＝5x +2y 的最大值为__________．14．高二足球队教练分六个项目对本队全体队员进行了测试，小华同学将自己的成绩与全体队员的平均分绘制成雷达图如图．若从中任选2个项目，则至少有1项小华的成绩高于该队平均分的概率为__________．15．费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120°．已知△ABC 的三个内角均小于120°，P 为△ABC 的费马点，且PA +PB +PC ＝3，则△ABC 面积的最大值为__________．16．把圆心角为90°的扇形铁片围成一个侧面积为16πm 2的圆锥（接缝处忽略不计），该圆锥竖直倒置后放入一个球，该球恰好与圆锥的侧面上边缘相切，则球心到圆锥顶点的距离为__________m ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1+2a n ，在等差数列{b n }中，b 1＝20，b 3＝b 5+b 9． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中项的最大值．18．某网站的调查显示，健身操类、跑步类、拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面．从某健身房随机抽取200名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示．平均每天健身时间（分钟）[30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90)人数20 36 44 50 40 10（Ⅰ）若这200名会员的平均体重减少不低于5kg，就认为该计划有效，根据上述柱状图，试问：该计划是否有效？（每组数据用该组区间的中点值作代表）（Ⅱ）请根据图中数据填写下面的2×2列联表，试问：是否有99%的把握认为平均每天健平均每天健身时间低于60分钟平均每天健身时间不低于60分钟合计健身前体重低于100kg健身前体重不低于100kg 80合计200参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n＝a+b+c+d．P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819．如图所示，在四棱锥-中，平面⊥底面，∠＝90°，∠＝60°，AC＝AD，SA＝2，3AB=，BC＝1．设平面SCD与平面SAB的交线为l，E为SD的中点．（Ⅰ）求证：l∥平面ACE；（Ⅱ）若在棱AB 上存在一点Q ，使得DQ ⊥平面SAC ，当四棱锥S -ABCD 的体积最大时，求SQ 的值．20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆C 上一点，且∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2，过F 2 （Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P (m ，0)，使得过点P 的直线交椭圆C 于G ，H 两点，且满足|GP |2+|HP |2＝3(|GP |·|HP |)2恒成立？若存在，求m 2的值；若不存在，说明理由．21．已知函数2()(1)ln 2af x x b x x =-+-，且当a ＝0时，f (x )的最大值为-1． （Ⅰ）当a ＝0时，求f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； （Ⅱ）当a ∈(1，e)时，证明：f (x )的极大值小于23-．（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos ,1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 的对称中心为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求△PAB 的面积． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0．（Ⅰ）若abc ＝1ab bc ac ++；（Ⅱ）若ab ＝1，(1+a )(1+b )的最小值为m ，求不等式|x +1|+|x -1|≤m 的解集． “皖豫名校联盟体”2021届高中毕业班第四次考试 文科数学·答案 一、选择题 1．答案B 2．答案A 3．答案B 4．答案C 5．答案C 6．答案A 7．答案A 8．答案D 9．答案C 10．答案A 11．答案B 12．答案D 二、填空题13．答案14 14．答案45 15．16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．命题意图本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及数列中值最大的项的求解． 解析（Ⅰ）因为S n ＝1+2a n ，所以a n ≠0．当n ≥2时，S n -1＝1+2a n -1，两式相减，得a n ＝1+2a n -1-2a n -1＝2a n -2a n -1，即a n ＝2a n -1(n ≥2)，所以{a n }是等比数列，公比q ＝2，当n ＝1时，S 1＝1+2a 1＝a 1，即a 1＝-1，所以a n ＝-2n -1．（Ⅱ）设{b n }的公差为d ，则111120,248,b b d b d b d =⎧⎨+=+++⎩解之得d ＝-2，所以b n ＝22-2n ．所以12222n n n b n a --=-．设12222n n n c --=-，则112222222(1)22n n n n n n c c -------=-+= 12622n n--．因为当n ＞13时，c n ＜c n -1，当n ＝13时，c n ＝c n -1，当n ＜13时，c n ＞c n -1，所以当n ＝12或13时c n 最大，即n n b a 最大，最大值为101110242=．18．命题意图本题主要考查独立性检验．解析（Ⅰ）柱状图（1）中的体重平均值为95×0.3+105×0.5+115×0.2＝104(kg)．柱状图（2）中的体重平均值为85×0.1+95×0.4+105×0.5＝99(kg)．因为104-99＝5，所以该计划有效．（Ⅱ）2×2列联表如下：K 2的观测值为200(40802060)9.524 6.63510010060140k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以有99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关．19．命题意图本题主要考查线面平行的证明及与几何体体积有关的最值问题．解析（Ⅰ）在Rt △ABC 中，因为BC ＝1，AB =tan BAC ∠=，AC ＝2，所以∠BAC ＝30°．在△ACD 中，因为AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，所以△ACD 为等边三角形，所以CD ＝2，∠CAD ＝60°，所以∠BAD ＝90°，又∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD ．如图，延长AB 和DC 交于点F ，连接SF ，因为F ∈AB ，AB ⊂平面SAB ，所以F ∈平面SAB ．同理可得F ∈平面SCD ．所以SF 所在直线即为直线l ．因为BC FCAD FD==12，所以C 为DF 的中点，所以在△SDF 中，l ∥CE ．因为l 不在平面ACE 内，CE ⊂平面ACE ，所以l ∥平面ACE ．（Ⅱ）过S 向AB 作垂线，垂足为P ，因为平面SAB ⊥底面ABCD ，所以SP ⊥底面ABCD ，因为梯形ABCD 的面积和SA 的长为定值，所以当点P 与A 重合，即SA ⊥底面ABCD 时，四棱锥S -ABCD 的体积最大．因为DQ ⊥平面SAC ，AC ⊂平面SAC ，所以DQ ⊥AC ，所以DQ 经过AC 的中点，所以∠ADQ ＝30°，所以23tan 2tan30AQ AD ADQ =⋅∠=⋅=°，故22234323SQ ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭．20．命题意图本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系． 解析（Ⅰ）设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1+r 2＝2a ，①在△MF 1F 2中，1213sin 602S r r =°，即1243r r =，②由余弦定理得22212122cos604r r r r c +⋅-=°，即(r 1+r 2)2-3r 1r 2＝4c 2，将①②代入得a 2-c 2＝1，所以b 2＝1．又222b a =2a =C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）由条件可得22113||||GP HP +=恒成立．当直线GH 的斜率为零时，点G ，H 为椭圆长轴的端点，则22222211(2)(2)3||||2(2)(()2)m m GP HP m m m ++-+==--+，解得223m =或m 2＝4．当直线GH 不与x 轴重合时，设直线GH 的方程为x ＝ty +m ，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，联立22,1,2x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得(t 2+2)y 2+2mty +m 2-2＝0，由Δ＞0，得m 2-2＜t 2，由根与系数的关系得12222mty y t +=-+，212222m y y t -=+．所以2211||||GP HP +=222222212121222222222222212121222222211223(1)(1)(1)(1)2(1(2))mt m y y y y y y t t t y t y t y y t y y m t t -⎛⎫--⨯ ⎪++-++⎝⎭+====++++⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭．所以(3m 2-2)(m 2+m 2t 2-4t 2-2)＝0，所以223m =．综上可得存在满足条件的点P ，且223m =． 21．命题意图本题主要考查导数的几何意义及导数在研究函数极值问题中的应用．解析（Ⅰ）f (x )的定义域为(0，+∞)．当a ＝0时，f (x )＝b ln x -x ．①若b ≤0，因为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 212b -->-，所以不满足题意．②若b ＞0，()1bf x x'=-．当0＜x ＜b 时，f ′(x )＞0，当x ＞b 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，b )上单调递增，在(b ，+∞)上单调递减，故x ＝b 是f (x )在(0，+∞)上的唯一最大值点．由于f (1)＝-1，所以b ＝1．所以1()1f x x'=-，f ′(1)＝0，故所求切线方程为y +1＝0×(x -1)，即切线方程为y ＝-1． （Ⅱ）1(1)(1)()(1)1x ax f x a x x x --'=-+-=，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，21x a=，当1＜a ＜e 时，101a <<，因为当10x a <<时，f ′(x )＞0，当11x a<<时，f ′(x )＜0，当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在(1，+∞)上是增函数．所以f (x )的极大值为2111111ln ln 1222a a f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设1()ln 122a g a a a =---，其中a ∈(1，e)，则2222211121(1)()02222a a a g a a a a a -+-'=+-==>，所以g (a )在(1，e)上是增函数，所以e 111112()(e)2e 23222e 2e 233g a g ⎛⎫⎛⎫<=--=--<--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即f (x )的极大值小于23-．22．命题意图本题主要考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化． 解析（Ⅰ）曲线C 的参数方程变形得1cos ,21sin ,x y αα-⎧=⎪⎨⎪-=⎩平方后相加得普通方程为2(1)(4x y -+-21)1=．πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ρcos θ-ρsin θ＝2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可得到直线l 的直角坐标方程为x -y ＝2．（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立22(1)(1)1,42,xyx y⎧-+-=⎪⎨⎪-=⎩可得5x2-26x+33＝0，解得x1＝3，211 5x=，所以12|||AB x x=-=．又因为对称中心P(1，1)到直线l的距离为d==PAB的面积为114||225AB d==．23．命题意图本题主要考查基本不等式及绝对值不等式的求解．解析（Ⅰ）由基本不等式可知ab bc+≥，ab ac+≥=，bc ac+≥=ab bc ac≤++，当且仅当a＝b＝c时等号成立．（Ⅱ）因为1a+≥1b+≥(1)(1)4a b++≥，当且仅当a＝b＝1时等号成立．故m＝4．若x≥1，则|x+1|+|x-1|＝2x≤4，所以1≤x≤2；若-1＜x＜1，则|x+1|+|x-1|＝2＜4恒成立；若x≤-1，则|x+1|+|x-1|＝-2x≤4，解得x≥-2，所以-2≤x ≤-1．综上，不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．。

2021年高三第四次联考语文参考答案题号12345710答案B D B B C D B 题号111214171819答案C C D C A D1.B（A项，“因文学自觉、史部独立而逐渐扩充到文学创作者和研究者”因果关系不正确。

C项，“它按照空间顺序和史书体例书写文学史”不正确。

原文为“编撰方式作为内容在空间层面的构建范式”，“借鉴史书体例”。

D项，“后者与史书的纪事本末体相同”不正确。

原文为“同史书的纪事本末体异曲同工”。

）2.D（“按由汉至唐朝代顺序逐层论述”不正确。

文章并非如此，唐朝甚至没有涉及。

）3.B（“没有局限于朝代文学，而是自觉地从文学本体出发”的不包括西汉刘歆。

）4.B（“最大优点是绝对保密”“未来有望取代经典通信”于文无据，材料一只说“量子通信具有绝对保密……等优点”，“可以完成经典通信所不能完成的特殊任务”。

）5.C（“量子保密通信设备也还没有研制成功”不正确。

材料三中只提到“……量子保密通信设备小型化、高可靠、低成本发展方向上必须迈过的‘门槛’”。

）6.①加强新材料、新工艺、新方法的研究，努力突破底层技术。

②强化多个方向的协同和积淀，建设和培育产业链。

③形成市场互动，推动产业升级。

（每点2分，意思对即可）7.D（“给全文笼罩了浓郁的悲剧气氛，使小说情调一下子由激越变得阴沉压抑”不正确。

小说结尾虽然写到将军辞世，但从总体看，小说情调是悲壮、崇高的。

）8.①借将军的回忆，再现当年红军长征时的艰辛与苦难，丰富了小说的内容；②交代吴先的身份和纸条来历，解释前文悬念并照应标题，也为下文相关情节做了铺垫；③展现以吴先为代表的红军战士英勇无畏、无私奉献的崇高精神。

（每点2分）9.①前一张为吴先烈士牺牲前所写，请求代交党费，体现了他忠诚于党，信念坚定；②后一张为将军病中所写，要求将最后的积蓄交给家乡并署两人名字，体现了他敬重烈士、热爱家乡，无私奉献；③两张纸条前后照应，不仅突出了老一辈革命者的光辉形象，也象征着革命精神永续传承，深化了小说主旨。

安徽省省城名校 2020 届高三第四次联考试题（数学文） word 版本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题） 两部分。

满分 150 分，考试时间 120分钟。

请在答题卷上作答。

第 I 卷 选择题（共 45 分）一、选择题（此题共有 10 小题，每题5 分，共 50 分。

每题给出的四个选项中，只有一个选项是最切合题目要求的）1．若复数a3i (a R, i 为虚数单位 ) 是纯虚数，则实数 a 的值为 1 2i（）A ． -6B ． 13C ．3D ． 1322．已知会合A{ x | x 2 3x 0}, B { y | yx 2 2, x [ 2,1]}，则 AIB =（）A ． [-2 ， 3]B ．[0 ，1]C ． [-2 ， 1]D ． [0 ，2]3．已知直线 m,l ，平面α、β，且 m,l，给出以下命题：①若 / / , 则 m l②若, 则 m / /l③若 ml ,则 / /④若 m / /l ,则。

此中正确命题的个数是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 44．若对全部正数 x 、 y ，不等式11a 都建立，则 a 的最大值是x yx y（）A ． 1B ． 2C ． 2D ． 45．如下图，点 S 在平面 ABC 外， SBAC,SBAC 2 。

E 、F 分别是 SC 和 AB 的中点，则 EF 的长是（）A ． 1B ． 2C ．2D ．122x y 1y6．若实数 x ， y 知足 x 0，则 的取值范围是x 2y 2（）A ． 1,2B ． 1,1C ． 2,1D ． 0,123237．数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a n1 ，则S 10 等于n(n2)（ ）A ． 175B ．72C ．10D ．11264551212r rr r rr r r8 ． 若 非 零 向 量 a 与b 的 夹 角 为， 且 (3a 2b) a ， 则 6a b 与b 的 夹 角为3（ ）A ． 0B ．C ．D ．6329．已知函数 f ( x) 的图像与函数 h( x)1 2的图像对于点 A （ 0，1）对称，则当 x1, 2xx3时， f ( x) 的值域为（ ）A ． 5 ,10B ． 2,5C ． 2,10D ． 2,232310 ．在底面直径和高均为 a 的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大表面积为（）A ． a 2B ． a2C ． a 2D ． a243 2二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分。

数 学姓名：_________ 座位号：_________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数1i z =+，则2z 共轭复数是（ ）A. 2B. 2iC. 2-D. 2i-2. 集合U =R ，集合(){}2log 1A x y x ==-，{}13B x x =+<，则{}41x x -<≤=（ ）A. ()U A B∩ð B. ()U A B ðC. ()U A B ⋂ð D. ()U A B⋂ð3. 函数21()1x f x x +=-，则下列函数中为奇函数的是（ ）A. (2)1f x +- B. (1)2f x +-C. (1)2f x ++ D. (2)1f x -+4. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（ ）A. 1λμ+=B. 1λμ+=-C. 1λμ= D. 1λμ=-5. 2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射任务取得圆满成功，开启了我国空间站应用发展的新阶段.在太空站内有甲，乙、丙三名航天员，按照一定顺序依次出仓进行同一试验、每次只派一人、每人最多出的仓一次，且时间不超过10分钟.若第一次试验不成功，返仓后派下一人重复进行试验，若试验成功终止试验.已知甲，乙，丙10分钟内试验成功的概率分别为910，89，78，每人试检能否成功相互独立，则试验成功的概率为（ ）A.710B.119120C.359360D.7197206. 在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）A.B.C.D. 7. 已知数列{}n a 对任意*k ∈N 满足132k k a a k ++=+，则22023a a +=（ ）A. 3032B. 3035C. 3038D. 30418. 在ABC 中，6BC =，8AB AC +=，E ，F ，G 分别为三边BC ，CA ，AB 的中点，将AFG ，BEG ，CEF △分别沿FG ，EG ，EF 向上折起，使得A ，B ，C 重合，记为P ，则三棱锥P EFG -的外接球表面积的最小值为（ ）A.15π2B.17π2C.19π2D.21π2二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 已知数列{}n a 的前n 项和为29n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）A. 18a =- B. 数列{}n a 是递增数列C. 数列{}n S 的最小项为9S 和10S D. 满足0nS <的最大正整数8n =10. 设0a >，0b >，满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ）A. ab 的最大值是14B.12a b+的最小值是9C. 22a b +最小值是15D. 224a b +的最小值是111. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面圆的半径分别为1和3，母线AB 长为4，E 是母线AB 的中点，则（ ）的A. 圆台的侧面积为16πB. 圆台内切球的表面积为3πC.πD. 在圆台侧面上从C 到E的最短路径的长度为12 已知函数321()(,)3f x x x ax b a b =+++∈R ，则（ ）A. 0a >时，函数()f x 在R 上单调递增B. 3a =-时，若()f x 有3个零点，则实数b 的取值范围是59,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =，则1233x x x ++=D. 若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ≠，则10230x x ++=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为______.14. 设向量a 和b满足||a b += ，||2a b -= ，则a b ⋅ 的值为__________.15. 已知函数1()12xf x =+，若不等式()e 1(ln ln )xf a f a x ≤--恒成立，则a 的最小值为__________.16. 若πcos5是关于x 的方程3210ax bx ++=（a ，b 都是整数）的一个实根，则a b +=__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐的.标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18. 从2021年秋季学期起，安徽省启动实施高考综合改革，实行高考科目“312++”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、生物、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E 人数比例15%35%35%13%2%赋分区间[]86,100[]71,85[]56,70[]41,55[]30,40将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为2211Y Y T TY Y T T --=--，其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T ，2T 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y 表示考生的原始分，T 表示考生的等级分，规定原始分为1Y 时，等级分为1T .某次生物考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组，第五组[85,95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.（1）根据频率分布直方图求a ，b 的值，并估计此次生物考试原始分的平均值；（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试生物成绩A 等级的原始分区间；（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生生物成绩的原始分为83，试计算其等级分.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，π3PAB DAB ∠=∠=，PA PB ⊥，点E 在线段PB 上，CD DE ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）求四面体E PAD -的体积；（2）求直线DE 与平面CDP 所成角的正弦值．20. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()cos 22cos cos c b A a A B A B +=≤.（1）求A ；（2）若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，求ABC 面积的最小值.21. 已知数列{}n a 满足11a =，112n n n a a +++=.（1）证明：数列232n na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设12111n n T a a a =+++ ，证明：74n T <对任意*N n ∈成立22. 设函数1()ln 1f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的单调性.（2）设数列{}n a 满足11nn a n ⎛+⎫⎪⎝⎭=，证明：数列是单调递增数列，且e n a <，*n ∈N （其中e 为自然对数的底）..数 学姓名：_________ 座位号：_________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数1i z =+，则2z 的共轭复数是（ ）A. 2 B. 2iC. 2- D. 2i-【答案】D 【解析】【分析】先利用复数的乘方运算化简，再利用共轭复数的定义求解.【详解】解：22(1i)2i z =+=，则共轭复数是2i -.故选：D2. 集合U =R ，集合(){}2log 1A x y x ==-，{}13B x x =+<，则{}41x x -<≤=（ ）A. ()U A B∩ð B. ()U A B ðC. ()U A B ⋂ð D. ()U A B⋂ð【答案】D 【解析】【分析】先求解出集合,A B ，再分别验证四个选项即可.【详解】集合{}1A x x =>，{}42B x x =-<<，{|4U x x B =≤-ð或2}x ≥，{}1U A x x =≤ð，{}|4A B x x =>- ，{}|12A B x x ⋂=<<，所以(){}|2U A B x x =≥ ð，故选项A 不正确；{}()|4U A B x x ⋃=≤-ð，故选项B 不正确；{()|1U A B x x ⋂=≤ð或}2x ≥，故选项C 不正确；(){}41UA B x x ⋂=-<≤ð，故选项D 正确；故选：D.3. 函数21()1x f x x +=-，则下列函数中为奇函数的是（ ）A. (2)1f x +- B. (1)2f x +-C. (1)2f x ++ D. (2)1f x -+【答案】B 【解析】【分析】由函数图象的平移变换结合奇函数定义可解.详解】213()211x f x x x +==+--关于点(1,2)对称，故将()f x 的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，图像关于原点对称，（事实上3(1)22f x x+-=-=为奇函数），故选：B.4. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（ ）A. 1λμ+=B. 1λμ+=-C. 1λμ=D. 1λμ=-【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算求出a b λ+ ，a b μ+，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，【即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．5. 2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射任务取得圆满成功，开启了我国空间站应用发展的新阶段.在太空站内有甲，乙、丙三名航天员，按照一定顺序依次出仓进行同一试验、每次只派一人、每人最多出仓一次，且时间不超过10分钟.若第一次试验不成功，返仓后派下一人重复进行试验，若试验成功终止试验.已知甲，乙，丙10分钟内试验成功的概率分别为910，89，78，每人试检能否成功相互独立，则试验成功的概率为（ ）A.710B.119120C.359360D.719720【答案】D 【解析】【分析】法一：利用对立事件的概率求解；法二：设试验任务成功的事件M ，甲成功的事件1M ，甲不成功乙成功的事件2M ，甲乙都不成功丙成功的事件3M ，由事件1M ，2M ，3M 互斥求解.【详解】解：法一：试验任务不成功的的概率是987111111098720p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以成功概率是719720法二：不妨设按照甲乙丙顺序依次出仓进行试验，设试验任务成功的事件M ，甲成功的事件1M ，甲不成功乙成功的事件2M ，甲乙都不成功丙成立的事件3M ，()1910P M =，()2988110990P M ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，()39877111098720P M ⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为事件1M ，2M ，3M 互斥，所以试验任务成功的概率()123987119()1090720720P M P M M M =++=++=.故选：D.6. 在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）A.B.C.D. 的【答案】C 【解析】【详解】试题分析：设,2,sin cos cos AD a AB CD a AC A ααββ=⇒===⇒====⇒cos()αβ=+=,故选C.考点：解三角形.7. 已知数列{}n a 对任意*k ∈N 满足132k k a a k ++=+，则22023a a +=（ ）A. 3032 B. 3035C. 3038D. 3041【答案】C 【解析】.【详解】因为132k k a a k ++=+，所以()1231235k k a a k k +++=++=+，两式相减得：23k k a a +-=，令1k =得125a a +=，所以2113(1)k a a k -=+-，所以21232k a a k -+=+，当1012k =时，220233*********a a +=⨯+=.故选：C.8. 在ABC 中，6BC =，8AB AC +=，E ，F ，G 分别为三边BC ，CA ，AB 的中点，将AFG ，BEG ，CEF △分别沿FG ，EG ，EF 向上折起，使得A ，B ，C 重合，记为P ，则三棱锥P EFG -的外接球表面积的最小值为（ ）A.15π2B.17π2C.19π2D.21π2【答案】B 【解析】【分析】设2AB m =，2AC n =，由题设4m n+=．将P EFG -放在棱长为x ，y ，z 长方体中，可得,,,,x y z m n 的关系式，三棱锥P EFG -的外接球就是长方体的外接球，利用基本不等式结合球的表面积公式求解.【详解】设2AB m =，2AC n =，由题设4m n+=.三棱锥P EFG -中，3FG PE ==，EF PG m ==，EG PF n ==，将P EFG -放在棱长为x ，y ，z 的长方体中，如图，则有2222222223x y y z m z x n ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三棱锥P EFG -的外接球就是长方体的外接球，所以()2222221(2)92R x y z m n =++=++，由基本不等式222()82m n m n ++≥=，当且仅当2m n ==时等号成立，所以外接球表面积2117π4π(98)π22S R =≥+=.故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的难点是根据题意得到三棱锥P EFG -的特征，从而放置到相应的长方体中，由此得解.二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 已知数列{}n a 的前n 项和为29n S n n =-，则下列说法正确的是（ ）的A. 18a =- B. 数列{}n a 是递增数列C. 数列{}n S 的最小项为9S 和10S D. 满足0nS <的最大正整数8n =【答案】ABD 【解析】【分析】先根据29n S n n =-求出210n a n =-，即可判断选项A 、B ；再利用二次函数性质可判断选项C ；最后根据0nS <解不等式即可判断选项D.详解】 29n S n n=-∴当1n =时，121198a S ==-=-；当2n ≥时，()()()1229191210n n n a S S n n n n n -⎡⎤==-----=-⎣⎦-；12110a ⨯-=∴210n a n =-.120n n a a +-=>∴数列{}n a 是递增数列，故选项A 、B 正确；22981924n S n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭*N n ∈∴当4n =或5n =时n S 最小，即数列{}n S 的最小项为4S 和5S ，故选项C 错误，令0nS <，得09n <<，*N n ∈，即满足0n S <的最大正整数8n =，故选项D 正确.故选：ABD10. 设0a >，0b >，满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ）A. ab 的最大值是14B.12a b+的最小值是9C. 22a b +的最小值是15D. 224a b +的最小值是1【答案】BC 【解析】【分析】根据正实数a ，b 满足21a b +=，结合基本不等式和二次函数求最值即可判断.【详解】解：对于A ，正实数a ，b 满足21a b +=，所以2a b +≥，则1≥，即18ab ≤，【当且仅当2a b =，即11,24a b ==等号成立，所以ab 有最大值18，故A 错误；对于B ，()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13a b ==时等号成立，则12a b+有最小值9，故B 正确；对于C ，正实数a ，b 满足21a b +=，则120a b =->，故102b <<，所以()2222222112541555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，则当25b =时，22a b +有最小值15，故C 正确；对于D ，结合C 可知，()222222114124841842a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭，则当14b =时，22a b +有最小值12，故D 错误.故选：BC.11. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面圆的半径分别为1和3，母线AB 长为4，E 是母线AB 的中点，则（ ）A. 圆台的侧面积为16πB. 圆台的内切球的表面积为3πC. πD. 在圆台侧面上从C 到E 的最短路径的长度为【答案】ACD 【解析】【分析】根据圆台、球、最短距离等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】轴截面梯形的上底为2，下底为6，高为，4=，设侧面展开图的扇环对应的圆心为O ，141,,633OA OB OB OB OB -===，2π3π6⨯=，所以侧面展开图是半圆环（如图），所以圆台的侧面积π(13)416πS =+⨯=，圆台的体积1(9ππ3π)π3V =++⨯=.，12π.在圆台侧面上从C 到E 的最短路径，在展开图中是线段CE ==.故选：ACD12. 已知函数321()(,)3f x x x ax b a b =+++∈R ，则（ ）A. 0a >时，函数()f x 在R 上单调递增B. 3a =-时，若()f x 有3个零点，则实数b 的取值范围是59,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =，则1233x x x ++=D. 若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ≠，则10230x x ++=【答案】BD 【解析】【分析】根据函数求导后公式及结合a 的取值情况可对A 项判断；3a =-，求出()223f x x x =+-'再结合函数极大小值即可对B 项判断；求出函数的二阶导数，从而求出对称中心点()()1,1f --即可对C 项判断；根据函数存在极值点0x 再结合令102x x t +=，求出t ，即可对D 项判断.【详解】对于A ：求导22()2(1)1f x x x a x a '=++=++-，当(0,1)a ∈时，()0f x '=有2个不相等的实根1x ，2x ，在区间()12,x x 上()0f x '<，()f x 单调递减，故选项A 错误.对于B ：当3a =-时，令2()23(3)(1)0f x x x x x '=+-=+-=，得13x =-，21x =，若()f x 有3个零点，则极大值(3)90f b -=+>，极小值5(1)03f b =-<，实数b 的取值范围是59,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选项B 正确.对于C ：令二阶导数()220f x x ''=+=，得=1x -，则三次函数()f x 的对称中心是()()1,1f --.当直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =时，点A 一定是对称中心，所以123133x x x x ++==-，故选项C 错误.对于D ：若()f x 存在极值点0x ，则2()(1)10f x x a '=++-=，1a <，()2011x a +=-.令102+=x x t ，得102x t x =-，因为()()01f x f x =，于是()()002=-fx f t x ，所以()()()32320000001122233x x ax b t x t x a t x b +++=-+-+-+，化简得：()201303t t x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为10x x ≠，故030x t -≠，于是3=-，即10230x x ++=.故选项D 正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为______.【答案】39【解析】【分析】根据第75百分位数的定义计算可得答案.【详解】8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，因为875%6⨯=，所以第75百分位数为3840392+=.故答案为：3914. 设向量a 和b 满足||a b += ，||2a b -= ，则a b ⋅ 的值为__________.【答案】2【解析】【分析】根据平面向量的模及数量积运算量即可解答.【详解】因为||a b += ||2a b -=所以22212a b b a +⋅+=，2224a a b b -⋅+=，所以2a b ×= .故答案为：215. 已知函数1()12x f x =+，若不等式()e 1(ln ln )xf a f a x ≤--恒成立，则a 的最小值为__________.【答案】1e【解析】【分析】根据函数()112x f x =+求出其单调性，且()()1111212x xf x f x -+-=+=++，从而可得()e ln x xf a f a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合函数的单调性从而求解.【详解】由函数21x y =+在R 上单调递增，所以函数1()12xf x =+在R 上单调递减，且11()()11212x xf x f x -+-=+=++，所以()()()e1ln ln ln ln ln xx f a f a x x a f a ⎛⎫≤---= ⎪⎝⎭，0x >，由函数()f x 单调性可得e lnxx a a≥.所以ln e ln e xxa x x x x a a a≥=，构造函数()()e 0x g x x x =>，()()e e 1e x x xg x x x =+=+'，当0x >时，()0g x '>，()g x 在区间()0,+∞单调递增，所以lnln ln xx x a a≥=-，所以ln ln a x x ≥-恒成立，构造函数()()ln 0h x x x x =->，()111x h x x x-=-='，当01x <<，()0h x '>，()h x 在区间()0,1上单调递增；当1x >，()0h x '<，()h x 在区间()1,+∞上单调递减；所以当1x =时()h x 取得极大值也是最大值()1ln111h =-=-，因此ln 1a ≥-，所以1e a ≥，a 的最小值为1e.故答案为：1e .16. 若πcos 5是关于x 的方程3210ax bx ++=（a ，b 都是整数）的一个实根，则a b +=__________.【答案】0【解析】【分析】由22242π4π2ππππcos cos 12cos 122cos 18cos 8cos 1555555⎡⎤=-=-=--=-+-⎢⎥⎣⎦，转化为32ππ8cos 8cos 1055-+=，利用待定系数法法求解.【详解】因为22242π4π2ππππcos cos 12cos 122cos 18cos 8cos 1555555⎡⎤=-=-=--=-+-⎢⎥⎣⎦，所以422πππππππ8cos8cos cos 10,8cos cos 1cos 1cos 105555555⎛⎫⎛⎫-++=+-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2ππ8coscos 11cos 1055⎡⎤⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎢⎥⎭⎝⎭⎣⎦，又πcos 105+≠，所以232ππππ8coscos 118cos 8cos 105555⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，又因为3210ax bx ++=，所以8a =，8b =-，则0a b +=.故答案为：0四、解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）[2]【解析】【分析】（1）根据图象易得A 和周期，结合0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭可得结果；（2）根据平移和伸缩变换可得()g x ，进而由整体法即可求解函数的值域.【小问1详解】观察图象可得2A =，函数()f x 的周期11ππ2ππ1212T ω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，解得2ω=，即()2sin(2)f x x ϕ=+，由ππ2sin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得ππ6k ϕ-+=，即ππ6k ϕ=+，Z k ∈，而||2ϕπ<，则π6ϕ=，所以函数()y f x =的解析式是π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】将()f x 的图象向左平移π12个单位长度，可得到函数πππ2sin 22sin 21263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则π()2sin 43g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当π04x ≤≤时，ππ4π4333x ≤+≤，则π2sin 423x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()2g x ≤≤，因此()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2].18. 从2021年秋季学期起，安徽省启动实施高考综合改革，实行高考科目“312++”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、生物、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E 人数比例15%35%35%13%2%赋分区间[]86,100[]71,85[]56,70[]41,55[]30,40将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为2211Y Y T T Y Y T T --=--，其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T ，2T 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y 表示考生的原始分，T 表示考生的等级分，规定原始分为1Y 时，等级分为1T .某次生物考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组，第五组[85,95)，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.（1）根据频率分布直方图求a ，b 的值，并估计此次生物考试原始分的平均值；（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试生物成绩A 等级的原始分区间；（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生生物成绩的原始分为83，试计算其等级分.【答案】（1）0.0050.025a b =⎧⎨=⎩，平均分为69.5分；（2）[]80,94；（3）89分.【解析】【分析】（1）由题设及直方图列方程组求参数，再根据直方图求平均值；（2）由区间占比和成绩A 等级占比分析出等级A 的原始分区间最低分所在区间，并求出最低分，即可得结果；（3）根据赋分转换公式求等级分即可.【小问1详解】由题意知：10100.310(0.0450.020)0.7a b a +=⎧⎨⨯++=⎩，解得0.0050.025a b =⎧⎨=⎩，故每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以生物原始分的平均值等于500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分.【小问2详解】由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[85,95)的占比为5%，位于区间[75,85)的占比为20%，因为成绩A 等级占比为15%，所以等级A 的原始分区间最低分位于区间[75,85)，估计等级A 的原始分区间的最低分为15%5%85108020%--⨯=分，已知最高分为94，所以估计此次考试生物成绩A 等级的原始分区间为[]80,94.【小问3详解】由9483100838086TT --=--，解得89T =，该学生的等级分为89分.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，π3PAB DAB ∠=∠=，PA PB ⊥，点E 在线段PB 上，CD DE ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）求四面体E PAD -的体积；（2）求直线DE 与平面CDP 所成角的正弦值．【答案】（1）43（2【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接,BD DO ，过点P 作DO 的平行线PG ，易证⊥DO AB ，根据面面垂直的性质可得DO ⊥平面PAB ，从而可得PG ⊥平面PAB ，以点P 为原点，建立空间直角坐标系，取PA 的中点F ，连接OF ，根据AB DC =求得C 点得坐标，根据CD DE ⊥，求出PE ，再根据锥体得体积公式即可得解；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】取AB 的中点O ，连接,BD DO ，过点P 作DO 的平行线PG ，在菱形ABCD 中，π,3DAB ABD ∠=∴ 为等边三角形，又底面ABCD 是边长为4的菱形，OD ∴=，且⊥DO AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB DO =⊂平面ABCD ，DO ∴⊥平面PAB ，又//,DO PG PG ∴⊥平面PAB ，又,PA PB ⊂平面,,PAB PA PG PB PG ∴⊥⊥，又PA PB ⊥，如图以点P原点，建立空间直角坐标系，π,2,3PAB DAB PA PB ∠=∠=∴== 取PA 的中点F ，连接OF，则1OF AF ==，(0,0,0),(2,0,0),(0,P A B O D ∴，(2,AB ∴=-，设(,,)C a b c，则(1,DC a b c =-- ，由AB DC =，得1,a b c =-==，即((2,C CD -=-，设PE d =，则(0,,0),(1,E d DE d ∴=---，,2(0,CD DE CD DE d d ⊥∴⋅=-+-=∴= ，为PE ∴=1142323E PAD D PAE V V --∴==⨯⨯=；【小问2详解】设平面CDP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，由(2,PD CD ==-，得20,0,n CD x n PD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取1)n =- ，又1,DE ⎛=-- ⎝ ，∴直线DE 与平面CDP所成角的正弦值为：cos ,DE .20. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()cos 22cos cos c b A a A B A B +=≤.（1）求A ；（2）若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，求ABC 面积的最小值.【答案】（1）3A π=（2【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理边化角即可求解;（2）表示出所求面积后运用基本不等式即可求解.【详解】（1）由已知和正弦定理可得：sin sin cos 22sin cos cos C B A A A B +=，所以sin sin 2cos sin cos 2sin(2)0C A B B A A B =-=->.又因为(0,)C π∈，2(0,)A B π-∈，所以C 2A B =-或者2C A B π+-=.当C 2A B =-时，2A B A B π++-=，3A π=；当2C A B π+-=时，2A B =与题设A B ≤不符.综上所述，3A π=.（2）ABC面积1sin 23S bc π==，由AD 是角平分线，6BAD CAD π∠=∠=，因为ABC ABD ADC S S S =+ ，得111sin sin sin 232626bc b c πππ=+，即b c +=≥，43bc ≥，当且仅当b c ==.所以面积43S =≥=故ABC.21. 已知数列{}n a 满足11a =，112n n n a a +++=.（1）证明：数列232n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设12111n n T a a a =+++ ，证明：74n T <对任意*N n ∈成立.【答案】（1）证明见解析，12(1)3n nn a ++-= （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题中递推公式可求得1121223223n n n n a a ++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，从而即可证明；（2）利用分组并项法可求当n 为奇数和偶数时n T 值的情况并适当应用放缩，从而求证.【小问1详解】证明：由已知112n n n a a +++=得1111222n n n n a a +++⨯=，因此1121232322n n n n a a ++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又1121362a -=-，所以数列232n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16-，公比为12-的等比数列，因此12113622n n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以12(1)3n n n a ++-=.【小问2详解】证明：由已知11a =，23a =，35a =，…，显然n T 单调递增，1212114734T T a a <=+=<.当2n >且n 是奇数时，()()111111111112222113333212122222121n n n n n n n n n n n n n n a a ++++++-++⎛⎫⎛⎫+=+=⨯<⨯=+ ⎪ ⎪+-⨯+-⎝⎭⎝⎭，所以34111121111111117371313444222222n n n n n n T a a a +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<+++++=+⨯-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦ .当2n >且n 是偶数时，则1n +是奇数，有174n n T T +<<，所以，对任意*N n ∈，1211174n n T a a a =+++< .22. 设函数1()ln 1f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的单调性.（2）设数列{}n a 满足11nn a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，证明：数列是单调递增数列，且e n a <，*n ∈N （其中e 为自然对数的底）.【答案】22. 在区间(,1)-∞-和(0,)+∞上都是单调递增 23. 证明见解析【解析】【分析】（1）求出定义域，先证出ln 1≤-x x ，得到1ln 1x x ≥-，故()0f x '>，求出单调性；（2）在（1）的基础上，得到11ln 1(1)ln 11n n n n ⎛⎫⎛⎫+<++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故数列是单调递增数列，由（1）得到11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，得到1ln ln 11n a n n ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，故e n a <.【小问1详解】函数()f x 的定义域是(,1)(0,)-∞-⋃+∞，先证明ln 1≤-x x ，设()ln 1g x x x =-+，则1()1g x x'=-，在()0,1x ∈上()0g x '>，()g x 单调递增，在(1,)+∞上()0g x '<，()g x 单调递减，()(1)0g x g ≤=，所以ln 1≤-x x .可得11ln 1x x≤-，得到1ln 1x x ≥-，等号当且仅当1x =时成立，所以111()ln 110111x f x x x x x ⎛⎫'=+-≥--= ⎪+++⎝⎭，注意111x+≠，所以()0f x '>恒成立.因此()f x 的定义域在区间(,1)-∞-，(0,)+∞上都是单调递增.【小问2详解】由题设11n n a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，11111n n a n ++⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，1ln ln 1n a n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11ln (1)ln 11n a n n +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭，只需证明11ln 1(1)ln 11n n n n ⎛⎫⎛⎫+<++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，因为1()ln 1f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增，显然成立.下面证明11e n n a n ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，等价于证明1ln ln 11n a n n ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，也即证明11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，由（1）过程可知ln(1)x x +≤，故原不等式得证.【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。

姓名座位号(在此卷上答题无效)安徽省皖江名校联盟2022-2023学年高三上学期12月第四次联考试题数学本试卷共4页,22题。

全卷满分150分,考试时间120分钟。

考生注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={y |y =4-2x ，x >1},N={x |x >0,x ∈Z },则M ∩N 的子集个数为A.2B.4C.6D.82.i 是虚数单位,若2i 42ia --为纯虚数,则实数a 的值为A.4 B.-4 C.1 D.-13.在二战期间,技术先进的德国坦克使德军占据了战场主动权,了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义,盟军请统计学家参与情报的收集和分析工作.在缴获的德军坦克上发现每辆坦克都有独一无二的发动机序列号,前6位表示生产的年月,最后4位是按生产顺序开始的连续编号.统计学家将缴获的德军坦克序列号作为样本,用样本估计总体的方法推断德军每月生产的坦克数.假设德军某月生产的坦克总数为N ,缴获的该月生产的n 辆坦克编号从小到大为x 1,x 2,…,x n ,缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的,缴获坦克的编号x 1,x 2,…,x n ,相当于从[1,N ]中随机抽取的n 个整数,这n 个数将区间[0,N ]分成(n +1)个小区间(如图).可以用前n 个区间的平均长度n x n 估计所有(n +1)个区间的平均长度1N n +,进而得到N 的估计.如果缴获的坦克编号为:35,67,90,127,185,245,287.则可以估计德军每月生产的坦克数为A.288B.308C.328D.3484.ΔABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若6b=5c,C =2B ,则cos C =A.725- B.725 C.2425- D.24255.若∠AOB=∠BOC=∠COA=3π,直线OA 与平面OBC 所成的角为θ,则tan θ=A.B.C.2D.36.已知点O 是△ABC 的外心,AB=3,AC=2,则AO BC ⋅ =A.32- B.32 C.52 D.-527.已知数列{a n }是等差数列,(b n }是等比数列,且113355111,248a b a b a b +++，成等差数列,则61027b b b =A.14 B.12 C.2 D.48.已知函数f (x )的定义域为R ,且f (x-1)+f (x+1)=2,f (x-2)是偶函数,若f (0)=0，1()n i f i =∑=2023,则n 的值为A.2021B.2022C.2023D.2024二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.如果a >b 且ab ≠0,则下列结论正确的有A.a -b >0B.b a >1C.11a b <D.e a >e b10.已知函数f (x )=sin(ωx +6π)在(0,4]上有最大值和最小值,且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的,则整数ω的取值可能是A.-1B.-2C.1D.211.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点P 是线段AD 1上的动点,则下列命题正确的是A.异面直线C 1P 与CB 1所成角的大小为定值B.三棱锥D-BPC 1的体积是定值C.直线CP 和平面ABC 1D 1所成的角的大小是定值D.若点Q 是线段BD 上动点,则直线PQ 与A 1C 不可能平行12.设a =ln1.01,b =1-cos0.01,c =tan0.01,d =e 0.01-1,则A.a 最小 B.d 最大 C.b +c <a +d D.a +b <c +d三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知两个等差数列3,6,9,…,198及3,8,13,…,188,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则新数列的各项之和为14.已知函数()22(1)()ln 11x x a x f x x x ⎧++<⎪=⎨+≥⎪⎩,若方程f (x )-2=0恰好有3个不同的根,则实数a 的取值范围是15.某校高二年级有男生400人和女生600人,为分析期末物理调研测试成绩,按照男女比例通过分层随机抽样的方法取到一个样本,样本中男生的平均成绩为80分,方差为10,女生的平均成绩为60分,方差为20,由此可以估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为。

卜人入州八九几市潮王学校皖江联盟2021届高三数学上学期12月联考试题文本套试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两局部。

第I卷第1至第2页，第II卷第2至第4页。

全卷总分值是150分，考试时间是是120分钟。

考生本卷须知：2.答第I卷时，每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹明晰。

必须在题号所指示的答题区域答题，超出答题区域书写之答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4.在考试完毕之后，必须将试题卷和答题卡一并上交。

第I卷(选择题一共60分)一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

1.复数z满足(1－2i)z＝4＋3i(i为虚数单位)，那么复数z的模等于A.52.全集为R，集合A＝{－2，－1，0，1，2}，12xB xx-⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，那么()UA B的元素个数为3.函数f(x)在区间(a，b)上可导，那么“函数f(x)在区间(a，b)上有最小值〞是“存在x0∈(a，b)，满足f’(x0)＝0〞的021年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术〞计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是39271250。

公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出准确到小数点后7位的结果，给出缺乏近似值415926和过剩近似值415927，还得到两个近似分数值，密率355113和约率227。

大约在公元530年，印度数学HY 4140096)。

在这4个圆周率的近似值中，最接近真实值的是A.39271250B.355113C.2275.函数是奇函数y ＝f(x)＋x 2，且f(1)＝1，那么f(－1)＝6.如图，各棱长均为1的正三棱柱ABC 一A 1B 1C 1，M ，N 分别为线段A 1B ，B 1C 上的动点，且MN//平面ACC 1A 1，那么这样的MN 有7.数列{a n }的通项为1n n a n k +=-，对任意n∈N *，都有a n ≥a 5，那么正数k 的取值范围是 A.k≤5B.k>5C.4<k<5D.5<k<68.如下列图的程序输出的结果为95040，那么判断框中应填A.i≤10B.i≥10C.i≤9D.i≥98.函数f(x)＝cos2x ＋2sinx 在[－π，π]上的图象是△ABC 的外心，AB ＝2，AC ＝3，那么AO BC ⋅= A.52- B.32C.52D.32- 11.点P(x ，y)是曲线C ：1(0)y x x => 321()3f x x x =-在区间(a ，a ＋5)内存在最小值，那么实数a 的取值范围是 A.(－3，2)B.[－3，2)C.[－1，2)D.(－1，2)第II 卷本卷须知：第II 卷一共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写答题，假设在试题卷上答题，答案无效。

2020—2021学年高三年级考试卷文科数学一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 已知集合11M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，(){}2log 1N x x a =-<，M N ⊆，则a 的取值范围是（ ） A.1,0 B. 0,1 C. []1,0- D. 0,1C 2. 31log 4a =，1413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，143c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. c a b <<C. a c b <<D. c b a <<A 3. 命题p ：0a b ⋅<，则,a b <>为钝角；q ：()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则以下真命题是（ ）A. p q ∧B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧⌝ B4. 函数1sin ()lg ,cos 22x f x x x ππ+⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象大致是（ ） A. B.C. D.A5. 函数ln y x ax =+的图象与直线21y x =-相切，则a =（ ）A. -1B. 1C. -2D. 2B6. 已知等差数列{}n a 满足：10a >，35S a =，1a ，2a ，42a +成等比数列，则12222n a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A. ()2413n - B. ()1413n -C. 41n -D. 44n -A7. 某几何体三视图如图，则该几何体的最长棱与最短棱长度之和为（ ）A. 33B. 5C. 25D. 223+D8. 函数()3sin 4cos f x x x =+在区间[]0,π上对称轴为x ϕ=，则cos ϕ=（ ）A. 1-B. 0C. 35D. 45D9. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11C D 中点，则BM 与AC 所成角的余弦值为（）A. 14B. 24C.16 D. 26D 10. 数列{}n a 满足：123a =，311n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为3的等比数列，则1220a a a ⋅⋅⋅=（ ） A. 2020313+ B. 202013123+⋅ C. 2020313- D. 202013123-⋅ B 11. 已知函数()()ln 1f x x =-，()()f a f b >，以下命题：①若2a >，则a b >；②若a b >，则2a >；③若2a >，则111a b +<；④若2a >，则111a b+>.其中正确的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4C 12. 若函数()()x x f x e e m mx =--有两个不同零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B. ()1,+∞ C. ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. (),e +∞B二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分.13. 已知向量()1,3a =，()4,1b =-，则a b +=________.514. 实数x ，y 满足条件101010x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪++≥⎩，则2x y -的最大值为________.315. 已知函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意x ∈R ，恒有()()f x f x '>，()1a ef =-，()0b f =，()1f c e=，则a ，b ，c 的大小关系是_________. a b c <<16. 我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k ，则两个几何体的体积比也为k .已知线段AB 长为4，直线l 过点A 且与AB 垂直，以B 为圆心，以1为半径的圆绕l 旋转一周，得到环体M ；以A ，B 分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N ；过AB 且与l 垂直的平面为β，平面//αβ，且距离为h ，若平面α截圆柱体N 所得截面面积为1S ，平面α截环体M 所得截面面积为2S ，则12S S =________，环体M 体积为_________.(1). 12π (2). 28π 三、解答题：共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤. 17. 数列{}n a 前n 项和为n S ，满足：12a =，122n n a S +=+. （1）求证：数列{}1n S +是等比数列； （2）求和：12n S S S ++⋅⋅⋅+.（1）证明见解析；（2）13322n n +--.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，四边形ABCD 是矩形，M 为PC 中点，BM AC ⊥.（1）求线段AB 的长；（2）求点D 到平面PAB 的距离.（1）2；（22.19. 已知函数2()28f x x x =--.（1）画出()f x 的图象，并写出()f x 的增区间（不需要证明）；（2）若()f x 的图象与216y x kx k =-+-在[]2,4-上没有公共点，求k 的取值范围. （1）图象见解析；()2,1-，()4,+∞（写作[]2,1-，[)4,+∞亦可）；（2）04k <<. 20. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：1sin sin sin (sin sin )2a Ab Bc C a B b A +=++. （1）求C ∠；（2）若ABC 周长为6，求ABC 面积的最大值.（1）60︒；（23.21. 如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，90DAB ∠=︒，12AD AB DC ==.（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ； （2）M 为PC 中点，平面MAD 交PB 于Q ，求:PQ QB . （1）证明见解析；（2）2:1. 22. 已知函数()2()ln 12x f x x x =+-+. （1）证明：0x >时，()0f x >；（2）证明：111ln 13521n n ++⋅⋅⋅+<++（1）证明见解析；（2）证明见解析.。