2019年12月安徽省皖江名校联盟2020届高三毕业班联考数学(理)试题及答案解析

数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合(){}30A x x x =-?，{}2B x y x =-，则()U A B Çð等于（ ） A. ()0,2 B. ()0,3 C. Æ D. (]0,2【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得集合A ，进而可得U A ð，求解函数定义域可得集合B ，利用交集求解即可. 【详解】因为集合(){}()300,3U A x x x =-<=ð，(],2B =-?，所以()(]0,2U A B ?ð，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.2.复数z 满足(32)43i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 由题意得，43(43)(32)11732(32)(32)1313i i i iz i i i +++===+--+，则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 3.已知向量()1,3a =，(),1b m =，若//a b ，则m = （ ） A. 13-B. 13C. 3-D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可.【详解】向量()()1,3,,1a b m ==，若//a b ，则113m ?，解得1m =.【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题. 4.已知函数()1112xf x e =-+，则()f x 是（ ） A. 奇函数，且在R 上是增函数 B. 偶函数，且在()0,+?上是增函数 C. 奇函数，且在R 上是减函数 D. 偶函数，且在()0,+?上是减函数【答案】C 【解析】 【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用()()0f x f x -+=可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R ，关于原点对称，()1112x f x e --=-+ 112x x e e =-+，有()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数， 函数()1112xf x e =-+，显然是减函数. 故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 23【答案】A 【解析】 【分析】还原几何体得四棱锥P ABCD -，其中PA ^面ABCD ，分别计算各侧面的面积即可得解.【详解】还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥P ABCD -，其中PA ^面ABCD ，11151,?2,2222PADPABPCDSPA AD S PA AB S PD CD ======. PCB 中有6,2,22PC BC PB =222BC PC PB +=，所以90PCB ??.所以132PCBSPC BC ==. 所以面积最大值是PAB D 的面积，等于2.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属于中档题. 6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352a a +=且2454a a +=，则55Sa （ ） A. 256 B. 255 C. 16 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n 项和，从而可得nnS a ，令5n =求解即可.【详解】由1352a a +=，可得21152a a q +=； 由31154a q a q +=. 两式作比可得：可得12q =，12a =， 所以212n n a -骣琪=琪桫，2142n n S -骣琪=-琪桫，21n n n S a =-，所以5552131Sa =-=.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项公式，属于公式运用的题目，属于基础题. 7.把函数()sin cos f x x x =-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3p，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ） A. 175,66p p轾--犏犏臌 B. 57,66p p轾-犏犏臌 C. 24,33p p轾-犏犏臌 D. 719,66p p轾犏犏臌【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换可得函数()2sin 212x g x x p骣琪=-琪桫，再由22212x k p p p -?22k pp ?，k Z Î，可解得单调增区间，即可得解. 【详解】函数()sin cos f x x x =-=2sin 4x x p骣琪-琪桫的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得24x y x p骣琪=-琪桫的图象，再向左平移3p ，得到函数()12sin 234g x x p p 轾骣犏琪+-琪犏桫臌2sin 212x x p 骣琪=-琪桫的图象. 由22212x k p pp -?22k p p ?，k Z Î，得574466k xk p pp p -＃+，k Z Î. 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间57,66p p轾-犏犏臌， 故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x 的系数提出，属于中档题.8.若实数x ，y 满足约束条件2027030x y x y y ì--?ïï+-?íï-?ïî，则1x z y +=的最小值为（ ）A.23 B. 1 C. 2 D. 145【解析】 【分析】作出不等式的可行域，1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点()1,0-连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.【详解】作出不等式组构成的区域，1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点()1,0D -连线的斜率的倒数，由图象知AD 的斜率最大，由2703x y y ì+-=ïí=ïî得13x y ì=ïí=ïî，所以()1,3A ，此时11233z +==. 故选A.【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：z Ax By C =++的几何意义为可行域内的点到直线A 0x By C ++=22A B +()()22b z x a y =-+-的几何意义为可行域内的点到点()a,b 的距离的平方。

绝密★启用前安徽省皖江名校联盟2020届高三毕业班上学期12月联考化学试题2019年12月本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

第I卷第1至第4页，第II卷第4至第6页。

全卷满分100分，考试时间100分钟。

考生注意事项：1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2.答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

3.答第II卷时,必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。

必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,．在试题卷、草稿纸上答题无效。

．．4.考试结束,务必将试题卷和答题卡－并上交。

可能用到的原子量：H1 C12 N14 O16 Si28 S32 Cl35.5 Fe56 Cu64第I卷(选择题共48分)－、选择题(本题共16小题,每小题3分,共48分。

在每小题列出的四个选项中,只有－项是最符合题目要求的。

)1.化学与生活密切相关。

下列说法错误的是A.纯碱可用于去除餐具的油污B.“火树银花”中的焰火实质上是金属元素的焰色反应C.碳酸钡可用于胃肠X射线造影检查D.煤经过气化、液化等化学变化过程,可以转化为清洁能源2.下列有关物质性质与用途的因果关系说法正确的是A.SO2具有氧化性,可用于漂白纸浆B.晶体硅熔点高、硬度大,可用于制光导纤维C.漂白粉具有还原性,可用于自来水的杀菌消毒D.生石灰能与水反应,可用作食品干燥剂3.N A代表阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是A.标准状况下,11.2 L Cl2溶于水,溶液中Cl－,ClO－和HClO的微粒数之和为N AB.32.5 g FeCl3水解形成的Fe(OH)3胶体粒子数为0.2N AC.标准状况下,4.48 L氢气、一氧化碳的混合气体完全燃烧,消耗氧分子的数目为0.1N AD.密闭容器中2 mol NO与l molO2充分反应,产物的分子数为2N A4.下列离子方程式正确的是A.酸化NAlO3和NaI的混合溶液：I－＋IO3－＋6H＋＝I2＋3 H2OB.Ca(HCO3)2溶液与少量NaOH溶液反应：Ca2＋＋HCO3－＋OH－＝CaCO3↓＋H2OC.大理石与醋酸反应：CO32－＋2CH3COOH＝2CH3COO－＋H2O＋CO2↑D.向氯化钙溶液中通入少量CO2气体：Ca2＋＋CO2＋H2O＝CaCO3↓＋2H＋5.侯德榜是近代化学工业的奠基人之一,是世界制碱业的权威。

2０1９－２0２0年高三联考数学理试题 含答案本试卷共4页,21小题,满分1５0分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知{}2|450 A x x x =--=，{}2| 1 B x x ==，则A B =（ )Ａ．{}1 B.{} 1 , 1 , 5 -C ．{} 1 -D ．{} 1 , 1 , 5 --2．设条件p :0≥a ；条件ｑ：02≥+a a ,那么p 是ｑ的Ａ.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 D .既不充分也不必要条件3.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为62A ．2y x =±B ．x y 2±=C ．x y 22±=D ．12y x =± 4.下列命题不正确．．．的是 A.如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直;B ．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；Ｃ.如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行;Ｄ．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直.5.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是 （ )A.()x f 是偶函数 Ｂ. ()x f 的值域为[)+∞-,1 C.()x f 是周期函数 D ． ()x f 是增函数６．在△A ＢC 中，AB=2，ＡC=3，1=•,则___BC =. Ｂ C. 7．节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是ﻩ( )Ａ．14ﻩB.12Ｃ.34D ．788．在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则 （ )A.平面α与平面β所成的(锐)二面角为045 B ．平面α与平面β垂直 C ．平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为060二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题５分,满分3０分） (一)必做题(９~13题） 9. 复数121ii+-的值是 ． １０．若数列{}n a 满足：1111,()2n n a a a n N *+==∈，其前n 项和为n S ，则44S a = . 11． 执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .１2. 已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为____＿____＿.1３.将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有＿_＿_____种（用数字作答）(二）选做题(14～15题,考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分)。

安徽省江淮名校2019届高三12月联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合(){}30A x x x =-≥，{B x y ==，则()U A B ð等于（ ） A ．()0,2 B ．()0,3 C ．∅ D ．(]0,22.复数z 满足()3243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知向量()1,3a =，(),1b m =，若//a b ，则m = （ ） A ．13-B ．13C ．3-D ．3 4.已知函数()1112xf x e =-+，则()f x 是（ ） A.奇函数，且在R 上是增函数 B ．偶函数，且在()0,+∞上是增函数 C.奇函数，且在R 上是减函数 D ．偶函数，且在()0,+∞上是减函数5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（ ）A ．2 B．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352a a +=且2454a a +=，则55Sa （ ）A ．256B ．255 C.16 D ．317.把函数()sin cos f x x x =-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3π，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为（ ）A ．175,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．57,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 24,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．719,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.若实数x ，y 满足约束条件2027030x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则1x z y +=的最小值为（ ）A ．23 B ．1 C.2 D ．1459.如图，在矩形ABCD 中的曲线是sin y x =，cos y x =的一部分，点,02B π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1D ，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A．)41πB．)41πC.)41π D．)41π10.Rt ABC ∆的斜边AB 等于4，点P 在以C 为圆心，1为半径的圆上，则PA PB 的取值范围是（ ）A ．35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []3,5- D．1⎡-+⎣ 11.体积为43的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA =，2ABC π∠=，则球O 的表面积的最小值为（ ）A ．8πB ．9π C.12π D ．16π12.设函数()f x 的导数为()'f x ，且()()'x f x x e x f x +=，()1f π=-，()22f π=-，则当0x >时，()f x（ ）A ．有极大值，无极小值B ．无极大值，有极小值 C.既有极大值又有极小值 D ．既无极大值又无极小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知:3p x a -<，()():230q x x -->，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围为 ． 14.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在()0,2上恰有一个最大值点和最小值点，则ω的取值范围是 ．15.已知正数a ，b 满足1a b +=，则12a b a b +++的最大值为 ． 16.在四边形ABCD 中，7AB =，6AC =，11cos 14BAC ∠=，6sin CD DAC =∠，则BD 的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1BC CD AD ===，60ABC ∠=，四边形BDEF 是正方形，且2ADE π∠=，点G 在线段EF 上.（Ⅰ）求证：AD ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）当//BG 平面ACE 时，求四棱锥A BDEG -的体积.18.如图，AD 是ABC ∆的外平分线，且BC CD =.（Ⅰ）求sin sin BACB∠∠；（Ⅱ）若4AD =，5CD =，求AB 的长.19.已知数列{}n a 的前n 项的和22n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令()()111n n n n n a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.在四棱锥S ABCD -中，侧面SCD ⊥底面ABCD ，//BC AD ，CD AD ⊥，1SD AD CD ===，12BC =，SC =（Ⅰ）求SC 与平面SAB 所成角的正弦值；（Ⅱ）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值. 21.已知()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()()()21f x kx k k Z ≥-+∈对任意2x >都成立，求整数k 的最大值. 22.已知()xf x e =，()g x ax b =+，其中a ，b R ∈.（Ⅰ）当1a =是，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间； （Ⅱ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值.理科参考答案一、选择题1-5:DABCA 6-10:DBABC 11、12：CB1.【解析】因为集合(){}()300,3U A x x x =-<=ð，(],2B =-∞，所以()(]0,2U AB =ð，选D.2.【解析】题意得，4332i z i +==-()()()()43323232i i i i ++=-+1171313i+，在复平面内对应的点位于第一象限，选A. 3.【解析】略4.【解析】定义域关于原点对称，()1112xf x e --=-+112x x e e =-+，所以()()0f x f x -+=，奇函数，减函数显然.5.【解析】四棱锥P ABCD -的4个侧面都是直角三角形，面积最大值是PCD ∆的面积，等于2.6.【解析】可求12q =，12a =，212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2142n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21n n n S a =-，所以5552131Sa =-=. 7.函数()sin cos f x x x =-=4x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得24x y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再向左平移3π，得到函数()1234g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦212x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.由22212x k πππ-≤-22k ππ≤+，k Z ∈，得574466k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈.当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间57,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，先B.8.【解析】作出不等式组构成的区域，1x z y+=的几何意义是可行域内的点与点()1,0D -连线的斜率的倒数，由图象知AD 的斜率最大，由2703x y y +-=⎧⎨=⎩得13x y =⎧⎨=⎩，所以()1,3A ，此时11233z +==.选A.9.【解析】几何概型，()402cos sin 12ABCD x x dx S p S ππ-==⨯⎰阴影[])4044sin cos 1x x πππ=⨯-=.10.【解析】()()PA PB PC CAPC CB =++()2PC CA CB PC CA CB =+++注意0CA CB =，21PC =，4CA CB +=所以当PC 与CA CB +同向时取最大值5，反向时取取小值-3.11.【解析】把三棱锥放在长方体中，由已知条件容易得到122ABC s AB BC ∆=⨯=，所以222AC AB BC =+28AB BC ≥⨯⨯=，因此22212PC PA AC =+≥，注意2PC R =，所以球O 的表面积的最小值是12π.（此题如果把ABC ∠改成23π，将不能直接使用基本不等式，增加难度）12.【解析】由题设()()'x f x fx e x =+，所以()()'1101f f e e π=+=-<，()()'222024f f e e π=+=->，所以存在()01,2x ∈使得()'00f x =，又()()()'''2xxf x f x f x e x-=+0x xe e x =+>，所以()'f x 在()0,+∞上单调递增. 所以当()00,x x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增.因此，当0x x =时，()f x 取极小值，但无极大值，故选B.二、填空题13.【答案】[]0,5 【解析】{}:33p A x a x a =-<<+，{}:23q B x x =<<，由题意p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件，即q p ⇒，于是B A ⊆且B A ≠，得320533a a a -≤⎧⇒≤≤⎨≤+⎩，取值范围是[]0,5. 14.【答案】713,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由题设2333x πππωω<+<+，所以23πω+应该在第一个最小值后第二个最大值前，所以有352232πππω<+≤，得7131212ππω<≤，所以ω的取值范围是713,1212ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦.15.【答案】54- 【解析】令1x a =+，2y b =+则4x y +=，于是原式等于122x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭()11224x y x y ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭12234y x x y ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭35244+-≤-=，最大值可以取到.16.【答案】8 【解析】由6sin CD DAC =∠得62sin CDR DAC==∠，所以ACD ∆外接圆直径6AC =，取AC 中点O ，连接BO，由余弦定理5BO ==，所以max 538BD =+=三、解答题17.【解析】（Ⅰ）由题设易得6CDB CBD π∠=∠=，所以6DBA π∠=，2ADB π∠=，BD =，2AB =（第2问用）因此AD BD ⊥，又AD DE ⊥，所以AD ⊥平面BDEF （Ⅱ）设对角线AC ，BD 交于点H ，连接GH ，则由//BG 平面ACE 可得//BG GH ，进而四边形BGEH 是平行四边形，所以23EG BH BD ===. 四棱锥A BDEG -D的底面积是1522S ==. 由（Ⅰ）知四棱锥A BDEGD -的高是1AD = 所以体积115513326V Sh ==⨯⨯=.18.【解析】（Ⅰ）由题设2ABD ACD S S ∆∆=，sin sin sin BAD DAE CAD ∠=∠=∠， 所以sin sin B AC ACB AB ∠=∠sin sin AC AD CAD AB AD BAD ∠=∠12ACD ABD S S ∆∆==（Ⅱ）由余弦定理2224102410cos ADB AB =+-⨯⨯⨯∠，22245245cos AC ADB =+-⨯⨯⨯∠ 注意224AB AC =，所以3cos 5ABD ∠=，进而AB = 19.【解析】（Ⅰ）113a S ==，1n >时，1n n n a S S -=-=()()222121n n n n +--+-21n =+，1n =也符合此式，所以21n a n =+.又1213b b a +==，2325b b a +==，可得31221b b b d -==⇒=，11b =，所以n b n =（Ⅱ）()()111n n n nn a c b ++==+()()()1122121n n nn n n +++=+⨯+，所以232232n T =⨯+⨯()112n n ++++⨯，所以3422232n T =⨯+⨯+()212n n +++⨯，错位相减得23222n T -=⨯++()12212n n n +++-+⨯，所以22n n T n +=20.【解析】在平面SCD 内作DE CD ⊥交SC 于点E ，又侧面SCD ⊥底面ABCD ，所以DE ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，轴z ，建立如图所示的空间直角坐标系.易得()1,0,0A ，1,1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1,0C ，()0,0,0D . 由已知条件，cos SDC ∠=11312112+-=-⨯⨯，得23SDC π∠=，所以点S坐标为10,2⎛-⎝⎭所以向量11,,2SA ⎛= ⎝⎭，13,,22SB ⎛= ⎝⎭，30,,2SC ⎛= ⎝⎭，10,,2SD ⎛= ⎝⎭（Ⅰ）设平面SAB 的法向量(),,n x y z =则00nSA nSB ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩10213022x y z x y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩63,55n ⎛⇒= ⎝，230n =设求SC 与平面SAB 所成角为θ，则sin cos SC θ=<，91020n >==（Ⅱ）设平面SAD 的法向量(),,m x y z =则00m SA m DA ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩1022102x y z x⎧+-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(m ⇒=，23m=所以cos n <，9352m +==平面SAD 与平面SAB 21.【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域是()0,+∞，令()'ln 10fx x =+=1x e⇒=， 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1x e =处取唯一的极小值，也是最小值11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（Ⅱ）()()21f x kx k ≥-+ln 22x x k x +⇔≤- （注意2x >），记()ln 22x x g x x +=-，则()()'22ln 42x x g x x --=-考查函数()2ln 4h x x x =--，()'210h x x=->()2x >，()h x 在定义域上单调递增. 显然有()842ln80h =-<，()1062ln100h =->，所以存在唯一的()08,10x ∈使得()0002ln 40h x x x =-+=.在()02,x 上()0h x <，()'0g x <，()g x 单调递减；在()0,x +∞上()0h x >，()'0g x >，()g x 单调递11 增.所以()g x 在0x 取唯一的极小值也是最小值()0000ln 22x x g x x +=-，注意此时()00h x =⇒004ln 2x x -=， 所以()0004222x x g x x -⨯+=-()()0123,42x =-∈，所以整数k 的最大值可以取3 22.【解析】（Ⅰ）1a =时，()x F x e x b =--，定义域是全体实数，求导得()'1x F x e =-， 令()'00F x x =⇒=，所以()F x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增（Ⅱ）令()()f x g x -=0x e ax b --≥在R 上恒成立，则()x G x e ax =-a a b +≥+在R 上恒成立所以()x G x e ax a =-+在R 上有最小值，求导得()'x G x e a =-.若0a <，显然()G x 可以任意小，不符合题意.若0a =，则b 最大也只能取0.当0a >时，令()'0x G x e a =-=ln x a ⇒=，于是()G x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞单调递增，在ln x a =取唯一的极小值也是最小值 ()ln G a =ln ln a e a a a -+=2ln a a a -，令()()2ln 0h a a a a a =->，则()'1ln h a a =-，令()'0h a a e =⇒=所以()()2ln 0h a a a a a =->在()0,e 上单调递增，在(),e +∞单调递减， 在a e =取唯一极大值也是最大值()h e e =，此时a e =，0b =，所以a b +的最大值等于e备注一：结合图象，指数函数在直线的上方，斜率0a ≥显然，再讨论0a >的情况.备注二：考虑到()()f x g x -=0xe ax b --≥在R 上恒成立，令1x =即得a b e +≤.取a e =，0b = 证明xe ex ≥在R 上恒成立也给满分.。

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1 安徽省江淮名校2019届高三12月联考数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U R =，集合(){}30A x x x =-≥，{}2B x y x ==
-，则()U A B ð等于（ ） A ．()0,2 B ．()0,3 C ．∅ D ．(]0,2
2.复数z 满足()3243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3.已知向量()1,3a =，(),1b m =，若//a b ，则m = （ ）
A ．13-
B ．13
C ．3-
D ．3 4.已知函数()1112x f x e =
-+，则()f x 是（ ） A.奇函数，且在R 上是增函数 B ．偶函数，且在()0,+∞上是增函数
C.奇函数，且在R 上是减函数 D ．偶函数，且在()0,+∞上是减函数
5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（ ）
A ．2
B 35．236.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352a a +=且2454a a +=，则55
S a （ ）。

2019-2020学年安徽省皖江名校联盟高三（下）第五次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{y|y =√3x +3, x ≥0}，B ＝{x|y =√3−x}，则A ∩B ＝（ ） A.(√3,2] B.[2, 3] C.(√3,3] D.[3, +∞) 【答案】 B【考点】 交集及其运算 【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【解答】A ＝[2, +∞), B ＝(−∞, 3]， ∴ A ∩B ＝[2, 3]．2. 已知i 是虚数单位，且2+i1−i −i 5，且z 的共轭复数为z ¯，则z ⋅z ¯=( ) A.2 B.√5 C.√2D.12【答案】 D【考点】 复数的运算 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z ⋅z ¯=|z|2求解． 【解答】 ∵ z =2+i1−i −i 5， ∴ z =(2+i)(1+i)2−i =12+12i ，则z ¯=12−12i ， 则z ⋅z ¯=|z|2=12．3. 已知函数f(x)={log 3(x −2),x >2√f(x +13),x ≤2 ，则f(−2)＝（ ）A.1B.√2C.12D.√3【答案】 B【考点】函数的求值 【解析】由条件可得f(−2)=√f(11)=√log 39，由此能求出结果． 【解答】函数f(x)={log 3(x −2),x >2√f(x +13),x ≤2，由条件可得f(−2)=√f(11)=√log 39=√2，4. 在数学中，泰勒级数用无限项连加式--级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正切三角函数等等，其中泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克•泰勒(SirBrookTaylor)的名字来命名的.1715年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：e x=∑ ∞n=0xnn!=x 00!+x 11!+x 22!+x 33!+⋯+x nn!，其中x ∈R ，n ∈N ∗，n !＝1×2×3×4×...×n ，例如：0!＝1，1!＝1，2!＝2，3!＝6．试用上述公式估计e 12的近似值为（精确到0.001）（ ） A.1.601 B.1.642 C.1.648 D.1.647【答案】 C【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】根据题意，由题目的条件，设f(x)＝e x，进而可得f(12)=e 12=(12)00!+121+142×1+183×2×1+1164×3×2×1⋯⋯，计算即可得答案．【解答】根据题意，设f(x)＝e x =∑ ∞n=0x n n!=x 00!+x 11!+x 22!+x 33!+⋯+x n n!，其中x ∈R ，n ∈N ∗，令x =12可得：f(12)=e 12=(12)00!+121+142×1+183×2×1+1164×3×2×1⋯⋯≈1.648434≈1.648；5. 对于不重合的直线m ，l 和平面α，β，下列可以推出α⊥β成立的是（ ） A.m // l ，m ⊂β，l ⊥α B.m ⊥l ，α∩β＝l ，m ⊂α C.m // l ，m ⊥α，l ⊥β D.m // l ，l ⊥α，m ⊥β【答案】 A【考点】平面与平面之间的位置关系 【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．对于A ，m // l ，m ⊂β，l ⊥α，得α⊥β；对于B ，当直线m 在平面α内部，且垂直于两个平面的交线l 时，也会出现面α、β相交不垂直的情况，故错；对于C ，m // l ，m ⊥α，l ⊥β⇒α // β，故错；对于D ，l // m ，l ⊥α，m ⊥β，则α、β应该为平行关系，故D 错误．6. 已知单位向量a →满足等式2|a →|＝|b →|，|a →+2b →|=√13，则a →与b →的夹角为（ ） A.30∘ B.60∘C.90∘D.120∘【答案】 D【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】运用向量的平方即为模的平方，求出a ，b 的数量积，再由向量的夹角公式，计算即可得到． 【解答】设a →与b →的夹角为θ，∵ a →是单位向量，∴ |a →|=1，由2|a →|=|b →|，|a →+2b →|=√13，平方得：|a →|=1，|b →|=2，a →2+4a ⋅b →+4b →2=13， ∴ 1+4×1×2×cos θ+16＝13， ∴ cos θ=−12，又θ∈[0, π]，∴ θ＝120∘，7. 已知f(x)是偶函数，且x >0时，f(x)=1x −12x 2，若a ＝f(lg 5)，b ＝f(12)，c ＝f(ln 17)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A.c <a <bB.b <c <aC.a <b <cD.a <c <b【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】结合已知x >0时函数的解析式可判断好安师大单调性，然后根据偶函数的性质即可比较大小． 【解答】由条件易得f(x)是定义在R 上的偶函数，且在[0, +∞)上递减，而lg 5>lg √10=12，且lg 5<1，ln 17=−ln 7<−1，c ＝f(−ln 7)＝f(ln 7)， 故c <a <b ．8. 已知函数f(x)＝3sinωx−√3cosωx(ω>0)的最小正周期为π，把f(x)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位可得函数g(x)的图象，若g(π3)=3√35，则cos2φ＝（）A.3 10B.45C.110D.25【答案】A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换二倍角的三角函数【解析】利用两角差的正弦函数公式可求函数解析式f(x)=2√3sin(ωx−π6)，利用周期公式可求ω的值，根据函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换可求g(x)的解析式，进而利用诱导公式即可求解．【解答】由于：f(x)＝3sinωx−√3cosωx=2√3sin(ωx−π6)，由最小正周期π=2π2，可得：ω＝2，再由平移可得g(x)=2√3sin(2x−π6−2φ)，由g(π3)=3√35，可得2√3sin(π2−2φ)=3√35，即cos2φ=310．9. 我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二．问物几何？”这里的几何指多少的意思．翻译成数学语言就是：求正整数N，使N除以3余2，除以5余2．根据这一数学思想，今有由小到大排列的所有正整数数列{a n}、{b n}，{a n}满足被3除余2，a1＝2，{b n}满足被5除余2，b1＝2，把数列{a n}与{b n}相同的项从小到大组成一个新数列，记为{c n}，则下列说法正确的是（）A.c2＝a1+b1B.c6＝a2b3C.c10＝a46D.a1+2b2＝c4【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】由条件可知a n＝2+3(n−1)＝3n−1，b n＝2+5(n−1)＝5n−3，c n＝2+15(n−1)＝15n−13，根据解析式分别求出选项数值可知．【解答】由条件可知a n＝2+3(n−1)＝3n−1，b n＝2+5(n−1)＝5n−3，c n＝2+15(n−1)＝15n−13，根据解析式分别求出选项数值可知，仅有C项c10＝a46＝137符合题意，10. 函数f(x)＝x5e x的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据题意，分析可得当x<0:f(x)＝x5e x<0，排除B，求出函数的导数，分析可得x ＝0或x＝−5，则在x＝−5和x＝0处的切线应该与x轴平行，故排除AD，据此分析可得答案．【解答】根据题意，f(x)＝x5e x，当x<0:f(x)＝x5e x<0，排除B，f(x)＝x5e x，则f′(x)＝(x5+5x4)e x＝0，解可得x＝0或x＝−5，则在x＝−5和x＝0处的切线应该与x轴平行，故排除AD，11. 以A为顶点的三棱锥A−BCD，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A为顶点，以面BCD为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（）A.2B.4C.6D.7【答案】【考点】柱体、锥体、台体的侧面积和表面积【解析】把三棱锥A−BCD补成长方体，则三棱锥A−BCD外接球即是长方体的外接球，设长方体的棱长分别为a，b，c，所以a2+b2+c2＝8，由2ab≤a2+b2，2ac≤a2+c2，2bc≤b2+c2得2(ab+ac+bc)≤2(a2+b2+c2)，所以ab+ac+bc≤8，从而三棱(ab+ac+bc)≤(4)锥的侧面积之和S=12【解答】把三棱锥A−BCD补成长方体，如图所示：，则三棱锥A−BCD外接球即是长方体的外接球，设长方体的棱长分别为a，b，c，∵三棱锥A−BCD外接球的表面积为8π，∴ 三棱锥A −BCD 外接球的半径为√2， ∴ a 2+b 2+c 2＝8，∵ 2ab ≤a 2+b 2，2ac ≤a 2+c 2，2bc ≤b 2+c 2， ∴ 2(ab +ac +bc)≤2(a 2+b 2+c 2)， ∴ ab +ac +bc ≤8，∴ 三棱锥的侧面积之和S =12(ab +ac +bc)≤4， 故选：B ．12. 已知双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其右支上存在一点M ，使得MF 1→⋅MF 2→=0，直线MF 2平行于双曲线的其中一条渐近线，则双曲线C 的离心率为（ ）A.√2B.√3C.2D.√5 【答案】 A【考点】双曲线的离心率 【解析】利用已知条件推出双曲线的渐近线的关系，然后求解离心率即可． 【解答】由题意双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其右支上存在一点M ，使得MF 1→⋅MF 2→=0，直线MF 2平行于双曲线的其中一条渐近线， 可知：a ＝b ，所以双曲线的离心率为：e =ca =√2a a=√2．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在横线上.2019年，习近平同志在福建、浙江等地调研期间，提出了“绿水青山就是金山银山”的科学论断，将绿色发展理念贯穿于治国理政思想之中．为了响应中央号召，某日深圳环保局随机抽查了本市市区汽车尾气排放污染物x 单位：ppm)与当天私家车路上行驶的时间y （单位：小时）之间的关系，从某主干路随机抽取10辆私家车，根据测量数据的散点图可以看出x 与y 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为y =0.3x −0.4，若该10辆车中有一辆私家车的尾气排放污染物为6（单位：ppm ），据此估计该私家车行驶的时间为________小时． 【答案】 1.4【考点】求解线性回归方程 【解析】直接在线性回归方程中取x ＝6求得y 值即可． 【解答】由y =0.3x −0.4，取x ＝6，得y =0.3×6−0.4=1.4．∴ 估计该私家车行驶的时间为1.4小时．已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长AB =√62，侧棱AA 1＝1，则BD 1与AA 1所成的角为________． 【答案】 60∘【考点】异面直线及其所成的角 【解析】由BB 1 // AA 1可知∠B 1BD 1即为BD 1与AA 1所成角，易求BD 1＝2，cos ∠B 1BD 1=BB 1BD 1=12，从而得到∠B 1BD 1＝60∘． 【解答】连接D 1B 1，如图所示：，∵ BB 1 // AA 1，∴ ∠B 1BD 1即为BD 1与AA 1所成角， ∵ AB =√62，AA 1＝1，∴ BD 1=(√62)(√62)=2，∴ cos ∠B 1BD 1=BB1BD 1=12，∴ ∠B 1BD 1＝60∘， 故答案为：60∘．把(√x 2−1x)8−n (n ∈N ∗，且1<n <4)的展开式中存在常数项，则展开式的二项式系数最大的一项系数为________． 【答案】−52【考点】二项式定理及相关概念 【解析】利用通通项公式，令x 的幂指数等于0，求出n 、r 的值，可得结论． 【解答】∵ (√x2−1x )8−n 的展开式中第r +1项为T r+1=C 8−n r⋅(12√x)8−n−r ⋅(−1x )r=C 8−nr ⋅(12)8−n−r ⋅(−1)r⋅x4−n 2−3r 2，由4−n2−3r 2=0，可得n ＝8−3r(r ＝0, 1, 2, 3,…,8−n)，由条件可知满足条件的只有n ＝2，r ＝2，则(12√x −1x)6的展开式中，二项式系数的最大项为T 4， 其系数为C 63⋅(12)3⋅(−1)3=−52．已知函数f(x)＝e x (2x −1)，g(x)＝k(x −1)，(k <1)，若f(x)<g(x)在x ∈R 上仅有3个整数解，则k 的取值范围是________|74e 2≤k <53e 2} ．【答案】 {k【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 【解析】由已知不等式转化为f(x)图象要在g(x)直线的下方，结合导数与函数的性质及特殊点的函数值进行比较即可求解． 【解答】根据已知条件：f(x)<g(x)可得：f(x)图象要在g(x)直线的下方，下面研究g(x)＝k(x −1)，(k <1)，直线过定点(1, 0)，容易判断f(0)<g(0)， 下面研究函数f(x)＝e x (2x −1)， ∵ f ′(x)＝e x (2x +1)＝0，∴ x =−12；∴ f ′(x)>0⇒x >−12；f ′(x)<0⇒x <−12，根据f(x)的图象单调性可以判断若f(x)<g(x)在x ∈R 仅有3个整数解， 则除0外，还有两个解应该是−1，−2， 从而列式满足的条件为：{f(−3)≥g(−3)f(−2)<g(−2)k <1 ，即{−7e −3≥−4k −5e −2<−3k k <1，解可得，74e ≤k <53e三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应写在答题卡上的指定区域内.已知{a n }是各项均为正数，前n 项和为S n ，S n ＝−a n +b ，若a 2a 4=14． (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n ＝(−1)n ⋅log 2a n ，求{b n }的前2n +1项和T 2n+1． 【答案】（1）根据已知条件可知：S n ＝−a n +b ，从而有：S n−1＝−a n +b ，(n ≥2) 作差可得：a n−1＝2a n ， ∴ a nan−1=12(n ≥2)，故有{a n }是各项均为正数的等比数列，a 2a 4=14∴ a 32=14，由{a n }是各项均为正数可知，a 3=12，故q =√a 5a 3=12，故a n =a 3q n−3=(12)n−2；（2）由条件可得b n =(−1)n ⋅log 2a n =(−1)n ⋅(2−n)=(−1)n+1(n −2)，∴ T 2n+1＝(−1−0)+(1−2)+(3−4)+...+[(2n −3)−(2n −2)]+(2n −1)＝−n +2n −1＝n −(1) 【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】(Ⅰ)利用已知条件，列出方程，求出数列的公比与第三项，然后求解数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)推出b n =(−1)n ⋅log 2a n =(−1)n ⋅(2−n)=(−1)n+1(n −2)，然后利用分组求和法解答． 【解答】（1）根据已知条件可知：S n ＝−a n +b ，从而有：S n−1＝−a n +b ，(n ≥2) 作差可得：a n−1＝2a n ， ∴a n a n−1=12(n ≥2)，故有{a n }是各项均为正数的等比数列，a 2a 4=14∴ a 32=14，由{a n }是各项均为正数可知，a 3=12，故q =√a 5a 3=12，故a n =a 3q n−3=(12)n−2；（2）由条件可得b n =(−1)n ⋅log 2a n =(−1)n ⋅(2−n)=(−1)n+1(n −2)，∴ T 2n+1＝(−1−0)+(1−2)+(3−4)+...+[(2n −3)−(2n −2)]+(2n −1)＝−n +2n −1＝n −(1)在如图所示的几何体中，底面为平行四边形ABCD ，侧面△MAD 是正三角形，CD ⊥MD ，面NMAB ∩面NMDC ＝MN ，AD ＝2CD ＝4，AC ＝2√5，MN ＝1． (Ⅰ)求证：MN ⊥MA ；(Ⅱ)求二面角M −BD −N 的余弦值．【答案】（1）证明：由AD ＝2CD ＝4，AC =2√5，可知：AD ＝4，CD ＝2， ∴ △ACD 为直角三角形，从而可知四边形ABCD 为矩形， 又∵ CD ⊥MD ，AD ∩MD ＝D ， ∴ 平面MAD ⊥平面ABCD ，∵ 平面MAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴ AB ⊥平面MAD ， ∵ AB // CD ，CD ⊂平面MCD ，AB ⊄平面MCD ，∴ AB // 平面MCD ， 而平面MAB ∩平面MCD ＝MN ，MN // 平面MCD ， 又MA ⊂平面MAD ，∴ MN ⊥MA ．（2）如图，以AD 的中点为原点，建立空间直角坐标系O −xyz ．则B(2, 2, 0)，D(−2, 0, 0)，M(0,0,2√3)，N(0,1,2√3)， ∴ BD →=(−4,−2,0)，BM →=(−2,−2,2√3)， 设平面MBD 的一个法向量为n 1＝(x 1, y 1, z 1)，由{n 1⋅BD →=0n 1⋅BM →=0 可得{−4x 1−2y 1=0−2x 1−2y 1+2√3z 1=0 ，令x 1＝3可得n 1=(3,−6−√3)．同理可得，平面NBDR 的一个法向量为n 2＝(1, −2, 0)，则cos <n 1，n 2>=n 1⋅n 2|n 1|⋅|n 2|=15√5⋅4√3=√154， ∴ 二面角M −BD −N 的余弦值为√154．【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)推导出△ACD 为直角三角形，从而可知四边形ABCD 为矩形，进而平面MAD ⊥平面ABCD ，AB ⊥平面MAD ，AB // 平面MCD ，由此能证明MN ⊥MA ．(Ⅱ)以AD 的中点为原点，建立空间直角坐标系O −xyz ．利用向量法能求出二面角M −BD −N 的余弦值． 【解答】（1）证明：由AD ＝2CD ＝4，AC =2√5，可知：AD ＝4，CD ＝2， ∴ △ACD 为直角三角形，从而可知四边形ABCD 为矩形， 又∵ CD ⊥MD ，AD ∩MD ＝D ， ∴ 平面MAD ⊥平面ABCD ，∵ 平面MAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴ AB ⊥平面MAD ， ∵ AB // CD ，CD ⊂平面MCD ，AB ⊄平面MCD ，∴ AB // 平面MCD ， 而平面MAB ∩平面MCD ＝MN ，MN // 平面MCD ， 又MA ⊂平面MAD ，∴ MN ⊥MA ．（2）如图，以AD 的中点为原点，建立空间直角坐标系O −xyz ． 则B(2, 2, 0)，D(−2, 0, 0)，M(0,0,2√3)，N(0,1,2√3)， ∴ BD →=(−4,−2,0)，BM →=(−2,−2,2√3)， 设平面MBD 的一个法向量为n 1＝(x 1, y 1, z 1)，由{n 1⋅BD →=0n 1⋅BM →=0 可得{−4x 1−2y 1=0−2x 1−2y 1+2√3z 1=0 ，令x 1＝3可得n 1=(3,−6−√3)． 同理可得，平面NBDR 的一个法向量为n 2＝(1, −2, 0)，则cos <n 1，n 2>=n 1⋅n 2|n 1|⋅|n 2|=√5⋅4√3=√154， ∴ 二面角M −BD −N 的余弦值为√154．已知O 为坐标原点，若斜率为−2的直线l 过点G(0, 1)，与抛物线C:y 2＝2px 交于A ，B 两点，OA →⋅OB →=−74．(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)若过点M(2, 0)的直线l 0与抛物线C 相交于P ，Q 两点，求证：1|PM|+1|QM|为定值． 【答案】（1）∵ 直线l 的斜率为−2且过点G(0, 1)， ∴ 直线l 的方程为：y ＝−2x +1，联立方程{y =−2x +1y 2=2px ，消去y 得：4x 2−(2p +4)x +1＝0，∴ x A +x B =p+22，x A x B =14，∴ y A y B =−√2px A ⋅2px B =−p ， ∵ OA →⋅OB →=−74， ∴ x A x B +y A y B =−74， ∴ 14−p =−74，∴ p ＝2；（2）由(Ⅰ)可知，抛物线C 的方程为：y 2＝4x ，①当直线PQ 的斜率不存在时，显然P(2, 2√2)，Q(2, −2√2)， ∴ |PM|＝|QM|＝2√2， ∴1|PM|2+1|QM|2=14，②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为：y ＝k(x −2)，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，联立方程{y =k(x −2)y 2=4x ，消去y 得：k 2x 2−(4k 2+4)x +4k 2＝0， ∴ x 1+x 2=4k 2+4k 2，x 1x 2＝4，∵ |PM|2=(x 1−2)2+y 12=x 12−4x 1+4+y 12=x 12+4，同理可得|QM|2=x 22+4， ∴ 1|PM|+1|QM| =1x 12+4+1x 22+4=(x 22+4)+(x 12+4)(x 12+4)(x 22+4)=x 12+x 22+8(x 1x 2)2+4(x 12+x 22)+16 =x 12+x 22+2x 1x 2(x 1x 2)2+4(x 12+x 22+2x 1x 2)−16 =(x 1+x 2)24(x 1+x 2)2 =14， 综上所述，1|PM|2+1|QM|2为定值14．【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】(Ⅰ)先求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合题目条件，即可求出p 的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抛物线C 的方程为：y 2＝4x ，当直线PQ 的斜率不存在时，显然P(2, 2√2)，Q(2, −2√2)，所以1|PM|2+1|QM|2=14，当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为：y ＝k(x −2)，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，所以1|PM|2+1|QM|2 =1x 12+4+1x 22+4，联立直线PQ 与抛物线方程，利用韦达定理代入上式化简得1|PM|2+1|QM|2=14，故1|PM|2+1|QM|2为定值14．【解答】（1）∵ 直线l 的斜率为−2且过点G(0, 1)， ∴ 直线l 的方程为：y ＝−2x +1，联立方程{y =−2x +1y 2=2px ，消去y 得：4x 2−(2p +4)x +1＝0，∴ x A +x B =p+22，x A x B =14，∴ y A y B =−√2px A ⋅2px B =−p ， ∵ OA →⋅OB →=−74， ∴ x A x B +y A y B =−74， ∴ 14−p =−74，∴ p ＝2；（2）由(Ⅰ)可知，抛物线C 的方程为：y 2＝4x ，①当直线PQ 的斜率不存在时，显然P(2, 2√2)，Q(2, −2√2)， ∴ |PM|＝|QM|＝2√2， ∴ 1|PM|2+1|QM|2=14，②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为：y ＝k(x −2)，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，联立方程{y =k(x −2)y 2=4x ，消去y 得：k 2x 2−(4k 2+4)x +4k 2＝0， ∴ x 1+x 2=4k 2+4k 2，x 1x 2＝4，∵ |PM|2=(x 1−2)2+y 12=x 12−4x 1+4+y 12=x 12+4，同理可得|QM|2=x 22+4， ∴ 1|PM|2+1|QM|2 =1x 12+4+1x 22+4=(x 22+4)+(x 12+4)(x 12+4)(x 22+4)=x 12+x 22+8(x 1x 2)2+4(x 12+x 22)+16 =x 12+x 22+2x 1x 2(x 1x 2)2+4(x 12+x 22+2x 1x 2)−16 =(x 1+x 2)2122 =14， 综上所述，1|PM|2+1|QM|2为定值14．2019年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行，此次活动主题为“珍惜海洋资源保护海洋生物多样性”，旨在进一步提高公众对节约利用海洋资源、保护海洋生物多样性的认识，为保护蓝色家园做出贡献．联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”，为了响应世界海洋日的活动，2019年12月北京某高校行政主管部门从该大学随机抽取部分大学生进行一次海洋知识测试，并根据被测验学生的成绩（得分都在区间[50, 100]内）绘制成如图所示的频率分布直方图． (Ⅰ)试求被测验大学生得分的中位数（保留到整数）；(Ⅱ)若学生的得分成绩不低于80分的认为是“成绩优秀”，现在从认为“成绩优秀”的学生中根据原有分组按照分层抽样的方法抽取10人进行奖励，最后再从这10人中随机选取3人作为优秀代表发言．①求所抽取的3人不属于同一组的概率；②记这3人中，ξ为测试成绩在[90, 100]内的人数，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）由频率分步直方图可知，第一组的频率为0.08，第二组的频率为0.16，第三组的频率为0.36， 由于0.08+0.16−0.24<0.5，而0.08+0.16+0.36−0.6>0.5， ∴ 这组数据的中位数在第三组，即70+0.5−0.240.36×10≈77．∴ 被测验大学生得分的中位数约为7；（2）认为“成绩优秀”的被测验学生共有两组，其频率分布为0.24，0.16， 根据分层抽样的方法可知，两组抽取的人数分别为6人、4人，①从10人中任选3人，有C 103种不同情况，抽取的3人不属于同一组的情况有C 64C41+C 61C42，故所抽取的3人不属于同一组的概率为P =C 62C41+C 61C42C 103=45；②由条件可得ξ的取值可能有0，1，2，3，且P(ξ=0)=C 63C 103=16，P(ξ=1)=C 62C41C 103=12，P(ξ=2)=C 61C42C 103=310，P(ξ=3)=C 43C 103=130∴ ξ的分布列为∴ ξ的数学期望为Eξ=0×16+1×12+2×310+3×130=1.2．【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）由频率分步直方图可知，数据的中位数在第三组，求出即可；（2）①认为“成绩优秀”的被测验学生共有两组，其频率分布为0.24，0.16，根据分层抽样的方法可知，两组抽取的人数分别为6人、4人，抽取的3人不属于同一组的情况有C 64C41+C 61C42，利用概率公式求出即可；②由条件可得ξ的取值可能有0，1，2，3，求出ξ的分布列，列出表格，求出数学期望即可． 【解答】（1）由频率分步直方图可知，第一组的频率为0.08，第二组的频率为0.16，第三组的频率为0.36， 由于0.08+0.16−0.24<0.5，而0.08+0.16+0.36−0.6>0.5， ∴ 这组数据的中位数在第三组，即70+0.5−0.240.36×10≈77．∴ 被测验大学生得分的中位数约为7；（2）认为“成绩优秀”的被测验学生共有两组，其频率分布为0.24，0.16， 根据分层抽样的方法可知，两组抽取的人数分别为6人、4人，①从10人中任选3人，有C 103种不同情况，抽取的3人不属于同一组的情况有C 64C41+C 61C42，故所抽取的3人不属于同一组的概率为P =C 62C41+C 61C42C 103=45；②由条件可得ξ的取值可能有0，1，2，3，且P(ξ=0)=C 63C 103=16，P(ξ=1)=C 62C41C 103=12，P(ξ=2)=C 61C42C 103=310，P(ξ=3)=C43 C103=130∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望为Eξ=0×16+1×12+2×310+3×130=1.2．已知函数f(x)＝ln x+kx+2．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数g(x)=e xax −x+2，当k＝−1且0<a≤e22，求证：g(x)>f(x)．【答案】（1）函数的定义域为(0, +∞)，f′(x)=1x +k=kx+1x，当k≥0时，f′(x)>0，故函数f(x)在(0, +∞)单调递增；当k<0时，令f′(x)＝0，解得x=−1k >0，故函数f(x)在(0,−1k)单调递减，在(−1k,+∞)单调递增；（2）证明：根据已知条件，f(x)＝ln x−x+2，要证g(x)>f(x)，即证e x>ax ln x，①当0<x≤1时，e x>1，ax ln x≤0，显然成立；②当x>1时，x ln x>0，结合已知0<a≤e22可得，0<ax ln x≤12e2x ln x，于是问题转化为e x>12e2x ln x，即证2e x−2x−ln x>0，令ℎ(x)=2e x−2x −ln x(x>0)，则ℎ(x)=2e x−2(x−1)−xx，令φ(x)＝2e x−2(x−1)−x，则φ′(x)＝2xe x−2−1且在(0, +∞)单调递增，∵φ′(1)=2e−1<0,φ′(2)=3>0，∴存在x0∈(1, 2)，使得φ(x0)＝0，即2x0e x0−2=1，∴φ(x)在(1, x0)单调递减，在(x0, +∞)单调递增，又φ(1)＝−1<0，φ(2)＝0，故当x∈(1, 2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(2, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)≥ℎ(2)＝1−ln2>0，故ℎ(x)>0，即得证．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求导，分k≥0及k<0讨论即可得出单调性情况；(Ⅱ)问题转化为证明e x>ax ln x，分0<x≤1及x>1两种情况讨论即可得证．【解答】（1）函数的定义域为(0, +∞)，f′(x)=1x +k=kx+1x，当k≥0时，f′(x)>0，故函数f(x)在(0, +∞)单调递增；当k<0时，令f′(x)＝0，解得x=−1k >0，故函数f(x)在(0,−1k)单调递减，在(−1k,+∞)单调递增；（2）证明：根据已知条件，f(x)＝ln x−x+2，要证g(x)>f(x)，即证e x>ax ln x，①当0<x≤1时，e x>1，ax ln x≤0，显然成立；②当x>1时，x ln x>0，结合已知0<a≤e22可得，0<ax ln x≤12e2x ln x，于是问题转化为e x>12e2x ln x，即证2e x−2x−ln x>0，令ℎ(x)=2e x−2x −ln x(x>0)，则ℎ(x)=2e x−2(x−1)−xx2，令φ(x)＝2e x−2(x−1)−x，则φ′(x)＝2xe x−2−1且在(0, +∞)单调递增，∵φ′(1)=2e−1<0,φ′(2)=3>0，∴存在x0∈(1, 2)，使得φ(x0)＝0，即2x0e x0−2=1，∴φ(x)在(1, x0)单调递减，在(x0, +∞)单调递增，又φ(1)＝−1<0，φ(2)＝0，故当x∈(1, 2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(2, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，∴ℎ(x)≥ℎ(2)＝1−ln2>0，故ℎ(x)>0，即得证．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为{x=1+t cosαy=−1+t sinα（其中t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．(Ⅰ)若点P(x, y)在直线l上，且x−y−2x+y=3，求直线l的斜率；(Ⅱ)若a=π4，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【答案】（1）设点P(1+1cos a, −1+1sin a)，则x−y−2x+y =t cosα−t sinαt cosα+t sinα=sinα−cosαcosα+sinα=3，整理可得2sinα＝−cosα，即tanα=−12，∴直线l的斜率为−12．（2）曲线C的方程可化为ρ2＝2ρsinθ，化成普通方程可得x2+y2＝2y，即x2+(y−1)2＝1，曲线C表示圆心为C(0, 1)，半径为1的圆，直线l的参数方程化成普通方程可得x−y−2＝0，圆心C到直线l的距离为d=√2=3√22，则曲线C上的点到直线l的距离的最大值为3√22+1．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)直接利用三角函数的关系式的变换的应用求出结果；(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】（1）设点P(1+1cos a, −1+1sin a)，则x−y−2x+y =t cosα−t sinαt cosα+t sinα=sinα−cosαcosα+sinα=3，整理可得2sinα＝−cosα，即tanα=−12，∴直线l的斜率为−12．（2）曲线C的方程可化为ρ2＝2ρsinθ，化成普通方程可得x2+y2＝2y，即x2+(y−1)2＝1，曲线C表示圆心为C(0, 1)，半径为1的圆，直线l的参数方程化成普通方程可得x−y−2＝0，圆心C到直线l的距离为d=√2=3√22，则曲线C上的点到直线l的距离的最大值为3√22+1．[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)＝|x−1|−|ax−2a|（其中a∈R）．(Ⅰ)若a＝1，求不等式f(x)<1的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≥x−4对∀x∈[2, 8)恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）f(x)＝|x−1|−|ax−2a|，若a＝1，不等式f(x)<1可化为：|x−1|−|x−2|<1，当x≤1时，1−x−(2−x)<1，即0<2，成立；当1<x≤2时，x−1−(2−x)<1，即x<2，成立；当x>2时，x−1−(x−2)<1，即0<0，不成立；综上所述，若a＝1，不等式f(x)<1的解集为(−∞, 2]；（2）因为x∈[2, 8)，所以f(x)＝|x−1|−|ax−2a|＝x−1−|a|(x−2)，故不等式f(x)≥x−4对∀x∈[2, 8)恒成立⇔x−1−|a|(x−2)≥x−4恒成立，即|a|≤(3x−2)min，因为y=3x−2在区间[2, 8)上单调递减，所以|a|≤38−2=12，解得：−12≤a≤12，即a 的取值范围为[−12, 12]．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)a ＝1，不等式f(x)<1可化为：|x −1|−|x −2|<1，对x 分：当x ≤1；当1<x ≤2；当x >2三类讨论，即可求得不等式f(x)<1的解集；(Ⅱ)不等式f(x)≥x −4对∀x ∈[2, 8)恒成立⇔x −1−|a|(x −2)≥x −4恒成立，即|a|≤(3x−2)min ，利用y =3x−2在区间[2, 8)上单调递减即可求得y min ，继而可求a 的取值范围． 【解答】（1）f(x)＝|x −1|−|ax −2a|，若a ＝1，不等式f(x)<1可化为：|x −1|−|x −2|<1， 当x ≤1时，1−x −(2−x)<1，即0<2，成立； 当1<x ≤2时，x −1−(2−x)<1，即x <2，成立； 当x >2时，x −1−(x −2)<1，即0<0，不成立； 综上所述，若a ＝1，不等式f(x)<1的解集为(−∞, 2]；（2）因为x ∈[2, 8)，所以f(x)＝|x −1|−|ax −2a|＝x −1−|a|(x −2)，故不等式f(x)≥x −4对∀x ∈[2, 8)恒成立⇔x −1−|a|(x −2)≥x −4恒成立， 即|a|≤(3x−2)min ，因为y =3x−2在区间[2, 8)上单调递减， 所以|a|≤38−2=12，解得：−12≤a ≤12， 即a 的取值范围为[−12, 12]．。

2020届安徽省皖江名校联盟高三第一次联考理科数学附答案第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A 3x 2},B {lnx 0}x x =-≤≤=≥{，则AB =A.3,2,1,0,1}---{B.1,2}{C.3x 1}x -≤≤{D.1x 2}x ≤≤{ 2.已知复数134z i=+，则下列说法正确的是 A.复数z 的实部为3 B.复数z 的虚部为425i C.复数z 的共轭复数为342525i + D.复数z 的模为1 3.椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为A.(5，0)B.(0，5) ，0) D.(04.已知m ＝1og 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则A.m<n<pB.m<p<nC.p<m<nD.n<p<m 5.曲线32()xy x x e =+在x ＝1处的切线方程为A.y ＝7ex －5eB.y ＝7ex ＋9eC.y ＝3ex ＋5eD.y ＝3ex －5e 6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝11，S 15＝15，则a 2＝ A.18 B.16 C.14 D.127.要得到函数y 的图象，只需将函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移4π个单位长度 D.向左平移2π个单位长度8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为 A.12 B.14 C.16 D.189.定义在R 上的奇函数f(x)满足，当0x ≤时，()xxf x e e -=-，则不等式f(x 2－2x)－f(3)<0的解集为A.(－1，3)B.(－3，1)C.(,1)(3,)-∞-+∞ D.(,3)(1,)-∞-+∞10.过原点O 作直线l ：(2m ＋n)x ＋(m －n)y －2m ＋2n ＝0的垂线，垂足为P ，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离的最大值为1 2 C.1 D.2 11.已知圆锥的母线长l 为4，侧面积为S ，体积为V ，则VS取得最大值时圆锥的侧面积为A. B. C. D.12.已知点A 是双曲线22221x y a b+=（a>0，b>0）的右顶点，若存在过点N(3a ，0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得△AMN 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率A.存在最大值4 B.存在最大值3 C.存在最小值4 D.存在最小值3第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题 数学（理）一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A B C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题. 2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭Q {2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U A C B ∴=-I ，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】(),a b Q 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。