函数导数易错点

函数与导数易错题作者：吉冬林管永健来源：《高考进行时·高三数学》2013年第06期1. 函数f（x）=log2（4-x2）的值域为.2. 已知函数f（x）=3x，x∈[0，1]92-32x，x∈（1，3]，当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是.3. 已知函数f（x）=ex-1，g（x）=-x2+4x-3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为.4. 已知f（x）=log3x+2（x∈[1，9]），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值是.5. 已知函数f（x）=|x2-6|，若a6. 若函数f（x）=2x2-ln x在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是.7. 已知f（x）是定义在[-2，2]上的函数，且对任意实数x1，x2（x1≠x2），恒有f（x1）-f （x2）x1-x2>0，且f（x）的最大值为1，则满足f（log2x）8. 已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，则a的值取范围是.9. 设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg 1+ax1+2x是奇函数，则a+b的取值范围是.10. 若函数f（x）=k-2x1+k·2x（a为常数）在定义域上为奇函数，则k=.11. 若函数f（x）=loga（x+x2+2a2）是奇函数，则a=.12. 设f（x）是定义在（-1，1）上的偶函数在（0，1）上单调递增，若f（a-2）-f（4-a2）13. 已知函数f（x）=ln1+x1-x+sin x，则关于a的不等式f（a-2）+f（a2-4）14. 设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f（x）=ax+1，-1≤xbx+2x+1，0≤x≤1，其中a，b∈R.若f12=f32，则a+3b的值为.15. 已知曲线C：y=x3-3x2+2x，过原点的直线l与曲线C相切，则直线l的方程为.16. 函数f（x）=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为.17. 函数f（x）=（x-1）sin πx-1（-118. 已知函数f（x）=x+12，x∈0，12，2x-1，x∈12，2若存在x1，x2，当0≤x119. 若函数f（x）=x-1-aln x（a20. 设函数f（x）=ax-（k-1）a-x（a>0且a≠1）是定义域为R的奇函数.（1）求k值；（2）若f（1）（3）若f（1）=32，且g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值.21. 已知a>0，函数f（x）=ax3-bx（x∈R）图象上相异两点A，B处的切线分别为l1，l2，且l1∥l2.（1）判断函数f（x）的奇偶性，并判断A，B是否关于原点对称；（2）若直线l1，l2都与AB垂直，求实数b的取值范围.22. 已知函数f（x）=aln x-ax-3（a∈R）.（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2m2+f′（x）在区间（t，3）上总存在极值？23. 设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且当-1≤x（1）求函数f（x）的解析式；（2）当124. 设函数fn（x）=-xn+3ax+b（n∈N*，a，b∈R）.（1）若a=b=1，求f3（x）在[0，2]上的最大值和最小值；（2）若对任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f3（x1）-f3（x2）|≤1，求a的取值范围；（3）若|f4（x）|在[-1，1]上的最大值为12，求a，b的值.25. 已知f（x）=xln x，g（x）=-x2+ax-3.（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有ln x>1ex-2ex成立.（作者：吉冬林管永健江苏省邗江中学）。

《导数与函数的极值、最值》知识清单一、导数的概念导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

对于函数 y ＝ f(x)，其在点 x ＝ x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝ limₕ→₀ f(x₀＋ h) f(x₀) ／ h导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线斜率。

如果导数存在，则函数在该点处可导。

二、函数的极值1、极值的定义函数在某区间内的极大值和极小值统称为极值。

极大值是指在该区间内比其附近的函数值都大的函数值；极小值则是指在该区间内比其附近的函数值都小的函数值。

2、极值点的判别方法（1）导数为零的点：若函数 f(x) 在点 x₀处可导，且 f'（x₀) ＝ 0，则 x₀可能是极值点。

（2）导数不存在的点：函数在某些点处导数不存在，但也可能是极值点。

3、第一导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀的某个邻域内可导，且 f'（x₀) ＝ 0。

（1）如果当 x ＜ x₀时，f'（x) ＞ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＜ 0，则 f(x) 在 x₀处取得极大值。

（2）如果当 x ＜ x₀时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ x₀时，f'（x) ＞ 0，则 f(x) 在 x₀处取得极小值。

4、第二导数判别法设函数 f(x) 在点 x₀处具有二阶导数，且 f'（x₀) ＝ 0，f'＇（x₀) ≠ 0。

（1）若 f'＇（x₀) ＜ 0，则函数 f(x) 在 x₀处取得极大值。

（2）若 f'＇（x₀) ＞ 0，则函数 f(x) 在 x₀处取得极小值。

三、函数的最值1、最值的定义函数在某个区间内的最大值和最小值分别称为函数在该区间内的最值。

2、求最值的步骤（1）求函数在给定区间内的导数。

（2）找出导数为零的点和导数不存在的点。

（3）计算这些点以及区间端点处的函数值。

（4）比较这些函数值，最大的即为最大值，最小的即为最小值。

高等数学中易错知识点总结1．在一元函数中，若函数在某点连续，则该函数在该点必有极限。

若函数在某点不连续，则该函数在该点必无极限。

2, 在一元函数中，若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。

但是如果函数不可导，不能推出函数在该点一定不连续。

3. 基本初等函数在其定义域内是连续的，而初等函数在其定义区间上是连续的。

4．若函数在某一区间上连续，则在这个区间上，该函数存在原函数。

若函数在某一区间上不连续，则在这个区间上，该函数也可能存在原函数，不能说该函数在区间上必无原函数。

5. 在二元函数中，两个偏导数存在与该函数的连续性没有关系。

但是若果二元函数可微，则该函数必然连续。

6．在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点。

函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。

在多元函数中，若偏导数存在，则极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。

7. 函数f(x)的周期性和奇偶性与它的导数的周期性和奇偶性有什么关系？a.函数f(x)与它的导数的周期一样：可导的周期函数，其导数必定是周期函数证明如下：设可导函数为f(x),因为它是周期函数,所以f(x+T)=f(x),--->f'(x)=(x+T)'*f'(x+T)=1*f'(x+T)所以f'(x+T)=f'(x),就是说它的导函数也是周期函数.b. 函数f(x)与它的导数的奇偶性相反：可导的偶函数的导数是奇函数证明如下: 一、根指导数定义和偶函数定义,有f′(-x)=lim{[f(-x+h)-f(-x)]/h} =lim{[f(x-h)-f(x)]/(-h)} =-f′(x) 二、根据复合函数的求导法则, 设f(x)为偶函数,则有f(-x)=f(x) 对上式两边关于x求导数,则有8. 设函数y=f(x)在x=a处可导,则函数y=f(x)的绝对值在x=a处不可导的充分条件是: f(a)=0,f'(a)≠0证明如下：f(a)=0,f'(a)>0或f'(a)<0 ①f(a)=0,f'(a)>0lim(x→a-)f'(x)=-f'(a)lim(x→a+)f'(x)=f'(a)≠-f'(a)=lim(x→a-)f'(x) ∴x=a处导数不存在②f(a)=0,f'(a)<0 lim(x→a-)f'(x)=f'(a)lim(x→a+)f'(x)=-f'(a)≠f'(a)=lim(x→a-)f'(x)∴x=a处导数不存在如果想不通,就当f(x)=x吧,|x|在x=0处导数不存在9.闭区间上的单调函数必可积。

高数易错点总结1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数？答：当函数在x=a处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如y=2x+1(x<=1)，y=2x+3(x>1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。

对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。

2对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y>0的情况下是否相同？答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)* (x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方，所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y>0易知对于方差也是同样道理的。

且对于方差在X-Y 小于0的情况下也有类似结论。

对于Z=max(X,Y) 求E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在y=x的上方为f(x,y)* x，下方为f(x,y)* y。

对Z=min(X,Y)同理可推。

避免了先求F Z(z)= F x(z)* F Y(z)和F Z(z)=1-(1- F x(z))* (1- F Y(z)),再对z求导的麻烦。

3为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。

答：用反证法，假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a 处的左极限=F(x)在x=a处的右极限= F(x)在间断点x=a处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以F(x)在x=a处的左导数=F(x) 在x=a处的右导数= F(x)的导函数在x=a处的函数值，换句话说就是f(x)在x=a处的左极限= f(x)在x=a的右极限= f(x)在间断点x=a处的函数值，（因为F(x)连续，所以F(x) 在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限），这样f(x)在x=a处连续，与题设条件矛盾，所以原命题正确。

高考数学导数：极值与最值问题解析在高考数学中，导数部分的极值与最值问题一直是重点和难点，也是许多同学感到头疼的知识点。

但其实，只要我们掌握了正确的方法和思路，这类问题也并非不可攻克。

接下来，让我们一起深入探讨一下高考数学中导数的极值与最值问题。

一、极值与最值的基本概念首先，我们要明确极值和最值的定义。

极值是指函数在某个局部范围内的最大值或最小值。

也就是说，在函数的某个区间内，如果在某一点处的函数值比它附近其他点的函数值都大（小），那么这个点对应的函数值就是极大值（极小值）。

而最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。

需要注意的是，极值不一定是最值，最值也不一定是极值。

例如，函数在一个区间内可能有多个极值，但只有一个最大值和一个最小值。

二、求极值的方法1、求导数这是解决极值问题的关键步骤。

对于给定的函数，我们先对其求导，得到导函数。

2、令导数为 0求出导函数后，令其等于 0，解出这些方程的根。

这些根就是可能的极值点。

3、判断极值点通过导数的正负来判断极值点的类型。

如果在极值点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么这个点就是极大值点；反之，如果在极值点的左侧导数为负，右侧导数为正，那么这个点就是极小值点。

例如，对于函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 2，其导函数为 f'（x) ＝ 3x² 6x。

令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2。

当 x ＜ 0 时，f'（x) ＞ 0；当 0 ＜x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。

所以，x ＝ 0 是极大值点，极大值为 f(0) ＝ 2；x ＝ 2 是极小值点，极小值为 f(2) ＝－2。

三、求最值的方法1、求出函数在区间内的极值按照前面提到的求极值的方法，找出函数在给定区间内的所有极值。

2、求出区间端点处的函数值将区间的端点代入函数，得到相应的函数值。

高三数学二轮复习专题讲解 第14讲 易错点-函数与导数专题综述函数与导数是高考中的重点和难点，各种题型都有考查，也有一定的计算量！但我们要必拿选择填空的中等题分数，主要考查的知识点有函数的概念（函数的定义域、解析式、值域）、性质（单调性、奇偶性、对称性）、图象，导数的概念及其几何意义；对这些知识理解不到位或把握不全面或对题意理解不准确，就容易造成会而不对、对而不全的结果专题探究探究1:函数性质掌握不牢致错函数的单调性、奇偶性、周期性等在考题中不限制于以课本的定义给出，我们要关注它们等价变形形式和相关结论，如单调性的等价变形形式有： (1)若[]12,,x x a b ∀∈,12x x ≠,()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()()12120f x f x x x -⇔>-()f x ⇔在[],a b 上是增函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()()12120f x f x x x -⇔<-()f x ⇔在[],a b 上是减函数.(2) 若12x x ≠,且()()1212f x f x k x x ->-,则()y f x kx =-是增函数.奇偶性的相关结论有：(1)()f x 是偶函数⇔()()()()()()0f x f x f x f x f x f x =-⇔=⇔--=； (2)()f x 是奇函数⇔()()()()0f x f x f x f x -=-⇔+-=； (3)若函数()f x 在0x =处有意义,则()00f =；(4)()f x a +是偶函数,则()()f x a f x a +=-+,()f x 是偶函数,则()()f x a f x a +=-+. 利用函数的对称性与奇偶性会推导函数的周期性：(1)函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >）,若()f x 为奇函数,则其周期为4T a =；若()f x 为偶函数,则其周期为2T a =.(2)函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数.(2022江苏联考)已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =-对称，且对x R ∀∈有()() 4.f x f x +-=当(0,2]x ∈时，() 2.f x x =+则下列说法正确的是(). ()f x 的最小正周期是8 . ()f x 的最大值为5 . (2022)0f = . (2)f x +为偶函数 【规范解析】解：.A 因为(1)y f x =-的图象关于直线1x =-对称，所以()f x 关于直线2x =-对称；即有()(4)f x f x =--，()(4)f x f x -=-，又()()4f xf x +-=，所以(4)(4)4f x f x --++=，即()(4)4f x f x ++=，所以()4(f x f x =-+，又()4f x f x=--，()(4)(4)f x f x f x -=+=-，所以()(8)f x f x =+，所以()f x 的周期8T =，故 正确； .由 知(2022)(20228)f f =-(202288)(6)(2)4(2)440f f f f =--===-=-=-=，故 正确； .由 知()(4)f x f x -=+所以(2)(2)f x f x +=-+，则(2)f x +为偶函数，故 正确； .当(0,2]x ∈时，()2f x x =+，结合以上知函数图象大致为则()f x 的最大值为4，故 错误.故答案选：.ACD(2022福建联考)已知定义在 上的函数()f x ，对任意实数x 有(4)()f x f x +=-，函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称，若当(0,1]x ∈时()f x x =，则()A. ()f x 为偶函数B. ()f x 为周期函数C. (2023)1f =-D. 当[3,4)x ∈时，()f x =探究2:函数图象识别时不细致致错函数图象是函数性质的直观反映,由函数表达式识别函数图象时由于我们平时形成的一些错误的认识,还有惯性思维,不做深入的研究,导致得出错误的结论.我们在辨别图象时可从奇偶性、单调性、特殊值等方面来排除不合适的，从而得到正确答案.(2022福建联考)函数31()cos (66)31x x f x x x -=-+剟的图象大致为()A. B. C. D.【规范解析】解：函数31()cos (66)31x x f x x x -=-+剟，满足3113()cos()cos ()3113x xx x f x x x f x -----=-==-++，()f x ∴为奇函数，()f x 的图象关于原点对称，排除 ，.B 当x π=时，13()013f πππ-=<+，排除.C 故选.D (2022福建省福州市期中)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.观察以下四个图象的特征，试判断与函数()1sin ,(,0)f x x x x x x ππ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭剟相对应的图象是()A. B. C.D.探究3:比较大小时没有选对方法致错在比较数与式的大小时常利用指数函数、幂函数及对数函数单调性比较大小.若比较指数式与对数式的大小，或同是指数式（对数式）但底数不相同，这些情况下常利用中间量比较大小，常用的中间量是0,1,1-，有时也可借助13,2,22等中间量来比较大小.若两个式子结构比较复杂，但结构类似，这种情况下常利用式子的结构构造函数，然后利用函数单调性比较大小.(2022江苏联考)如果01a <<，那么下列不等式中正确的是()A. 1132(1)(1)a a ->- B. (1)log (1)0a a -+>C. 32(1)(1)a a ->+D. 1(1)1a a +->【规范解析】解：由题意 01a <<，所以()()10,1a -∈，()()11,2a +∈，得()1xy a =-为R 上的减函数，又1123>，所以()()113211a a ->-，10(1)(1=)1a a a +-<-而(1)log a y x -=单调递减，(1)(1)log (1)log 1=0a a a --+<， 32(1)1(1)a a -<<+，故选：.A(2022安徽省池州市单元测试)已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若ln3(4)a f =，(2)eb f -=，1(ln)(c f π=其中e 为自然对数的底数，π为圆周率)，则a ，b ，c 的大小关系为()A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. c b a >>探究4:混淆两类切线致错求曲线的切线方程一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同．虽只有一字之差,意义完全不同,“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点,这个点不一定是切点,求曲线过某点的切线方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线,求过某点的切线条数一般也是先设切点,把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.(2022山东模拟)已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，也是曲线ln y x m =+的切线，则实数k =__________，实数m =__________. 【规范解析】解：设y kx =与x y e =和ln y x m =+的切点分别为11(,)x x e ，22(,ln )x x m +，x y e =的导数xy e '=，1x e k ∴=，且11x k x e=，解得11x =，k e ∴=；ln y x m =+的导数1y x'=，21k e x ∴==，21x e ∴=，又22ln kx x m =+，11ln 2.m e e e∴=⨯-=故答案为 ；2.(2022河南信阳月考)若曲线2y x =与ln()y x a =-有一条斜率为2的公切线，则()a =A. 1ln 22- B. 1ln 22C. ln 2-D. ln 2探究5:混淆导数与单调性的关系致错研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意:一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零.若研究函数的单调性可转化为解不等式()()()()1200a x x x x x --><>或0,首先根据a 的符号进行讨论,当a 的符号确定后,再根据12,x x 是否在定义域内讨论,当12,x x 都在定义域内时在根据12,x x 的大小进行讨论.(2022福建省福州市期中)已知函数()ln nx f x x mx xe =+-(1)当0n =时，讨论函数()f x 在区间(0,3)的单调性【规范解析】解：(1)当0n =时，函数()ln (03)f x x mx x x =+-<<，1(1)1()1m x f x m x x-+'=+-=当1m …时，(0,3)x ∈，()0f x '>，()f x ∴在(0,3)上单调递增， 当1m <时，令1()0,1f x x m'==-， ①当131m <-时，即23m <时， 由()0f x '>得：101x m <<-，由()0f x '<得：131x m<<-， ∴当23m <时，函数()f x 在1(0,)1m -上单调递增，在1(,3)1m-上单调递减. ②当131m-…时，即213m <…时，由03,()0x f x <<'>得03x <<，∴当213m <…时，函数()f x 在(0,3)上单调递增，综上所述：当23m …时，函数()f x 在(0,3)上单调递增；当23m <时，函数()f x 在1(0,)1m -上单调递增，在1(,3)1m -上单调递减.(2022河北联考)已知函数()ln sin f x a x x x =-+，其中a 为非零常数．(1)若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；探究6:混淆导数与极值的关系致错对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是在x 0点两侧导数异号,且0()0f x '=,即0()0f x '=是x 0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑0()0f x '=,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”,防止产生增根．(2022河北省张家口市期中)已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图，则下列叙述正确的是()A. 函数()f x 只有一个极值点B. 函数()f x 满足(4)(1)f f -<-，且在4x =-处取得极小值C. 函数()f x 在2x =处取得极大值D. 函数()f x 在(),4-∞-内单调递减【规范解析】解：由导函数的图象可得，当2x <时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；当2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递减区间为()2,+∞， 只有当2x =时函数取得极大值，无极小值. 故选：.AC(2022湖南联考)已知函数()(3)2.x f x x e x -=++(1)证明：()f x 恰有两个极值点;探究7:函数零点与方程的根不会转化致错确定函数零点所在区间、零点个数或已知函数零点情况求参数，常通过数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，所以研究函数与方程问题不要得“意”忘“形”.(2022河北期中)已知函数,()e ,x xx a f x x x a⎧⎪=⎨⎪<⎩…，若存在不相等的1x ，2x ，3x ，满足123()()()f x f x f x ==，则实数a 的取值范围是__________.【规范解析】解：由题意可知，对于()xx f x e=，则1().x xf x e -'=当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x =时，函数()f x 取得最大值为1(1)f e =，如图，分别画出函数x xy e =和y x =在 上的图象，用一条平行于x 轴的直线y m =截图象，有3个交点时，即存在1x ，2x ，3x ，使得123()()()f x f x f x m ===，当(1,)a ∈+∞或(,0]a ∈-∞时，最多有2个交点，所以不成立;当(0,1)a ∈时，存在3个交点，所以a 的取值范围是(0,1). 故答案为：(0,1)(2022福建月考)函数()ln (),0()(2),(0)x x f x x x x ⎧-<=⎨-⎩…，若关于x 的方程22()()10f x af x -+=有6个不相等的实数根，则a 的取值范围是__________.专题升华函数的定义域是研究函数图象与性质的第一要素，性质是函数的基本属性，图象是其性质的外在表现；把握各性质的定义和等价表达式是根本；导数是研究函数性质的的根本工具，遇到参数时要紧记“分类讨论”；导函数图象与原函数图象的关系不能混淆！复合函数要会分解，定义域先行，内层函数的值域是外层函数的定义域，要清醒对待两者的身份！【答案详解】变式训练1【答案】.ABD【解析】由函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称可知，函数()f x 的图象关于 轴对称， 故()f x 为偶函数.选项 正确;由(4)()f x f x +=-，得(44)(4)()f x f x f x ++=-+=，()f x ∴是周期8T =的偶函数，(2023)(25381)(1)(1) 1.f f f f ∴=⨯-=-==选项 正确，选项 错误;设[3,4)x ∈，则4[1,0),4(0,1],x x -∈--∈()f x 为偶函数，(4)(4)f x f x ∴-=-，由(0,1]x ∈时，()f x =，得(4)(4.f x f x -=--又(4)()f x f x +=-，()(4)f x f x ∴=--=选项 正确.故选：.ABD变式训练2【答案】【解析】因为()1sin ,(,0)f x x x x x x ππ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭剟，所以()()1sin f x x x f x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除 、 选项； 又0x π<<时，()10f =，令6x π=，则6sin 0666f ππππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除 选项.故选：.D变式训练3【答案】【解析】根据题意，函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，则函数()f x 的图象关于 轴对称，即函数()f x 为偶函数，满足()()f x f x -=，则1(l n )(l n )c f f ππ==，ln31444ln ln 120e e π->=>>=>>， 又由(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，则有a c b >>；故选：.A变式训练4【答案】【解析】由2y x =得2y x '=，令22y x '==，解得1x =，由点斜式得切线方程：12(1)y x -=-，即21y x =-，由l n ()y x a =-，得1y x a '=-，令12y x a '==-，解得12x a =+，代入ln()y x a =-得：ln 2y =-，将1(,ln 2)2a +-代入21y x =-，得：11ln 22()1ln 222a a -=+-⇒=-，故选：.A变式训练5【解析】(1)由题知()cos 1(0)af x x x x'=-+>，若0a >，因为0x >，1cos 0x -…，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2a x <-，从而11 / 11 ()2cos 1(1cos )0f x x x '<--+=-+…，所以()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，不满足题意，综上分析，a的取值范围是(0,).+∞变式训练6【解析】(1)证明：依题意()f x 的定义域为 ，()(2)2x f x x e -'=-++，令()(2)2x m x x e -=-++，()(1).x m x x e -'=+当(1,)x ∈-+∞时，()0m x '>，所以()f x '在(1,)-+∞单调递增；当(,1)x ∈-∞-时，()0m x '<，所以()f x '在(),1-∞-单调递减．又因为(1)20f e '-=-<，(0)0f '=，(2)20f '-=>，所以()f x '在(),1-∞-恰有1个零点0x ，在()1,-+∞恰有1个零点0，且当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，当0(,0)x x ∈时，()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时，()0.f x '>所以()f x 在0(,)x -∞单调递增，在0(,0)x 单调递减，在(0,)+∞单调递增．所以()f x 恰有一个极大值点0x 和一个极小值点0，即()f x 恰有两个极值点．变式训练7【解析】函数()f x 的图象如图所示，令()t f x =，结合图象可知，若关于x 的方程22()()10f x af x -+=有6个不等的实数根，则关于 的方程2210t at -+=在[0,1)有两个不等实数根，因为221y t at =-+的图象过点(0,1)，则280014210a a a ⎧∆=->⎪⎪<<⎨⎪-+>⎪⎩，解得3.a <<故答案为：。

新《函数与导数》专题解析一、选择题1．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．34【答案】B 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程()0f x =可得出函数()y f x =的零点．【详解】141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ，2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为32，故选B.【点睛】本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题．2．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( ) A ．[0,1] B ．[1,1]- C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,)-+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2xy t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.【详解】由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，2ax ay b t=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限， 则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ， 解得0t >且1t ≠ ，即t 的取值范围是()()0,11,+∞U . 故选：C 【点睛】本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.3．3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =⎰（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1【答案】A 【解析】 【分析】首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入11adx x⎰即可求出结果. 【详解】解题分析根据二项式3ax ⎛- ⎝⎭的展开式的通项公式得221213()4a T C ax x +⎛== ⎝⎭. Q 第三项的系数为1，1,44aa ∴=∴=，则4411111d d ln 2ln 2a x x x x x ===⎰⎰.故选：A 【点睛】本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k kk n T a b -+=.属于中等题.4．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.5．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（ ）．A B ．C ．2D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >>22a ba b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---≥=当且仅当2a b a b-=-，即a b -=时等号成立所以22a b a b +-的最下值为故答案选D考点：基本不等式．6．已知函数()()1110x x e f x x e++-=<与()()1ln x xg x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-,可转化问题为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ϕ的范围,进而求解.【详解】由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1111e e 10ex x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >,则方程()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解,即方程()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-, 即可转化为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,()()11e 1e 1e 1x x x x x x x ϕ--=-+='++Q ,令()=e 1xm x x --，则()=e 10xm x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1xm x x --在()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=，即()0x ϕ'>Q 在()0,∞+上恒成立， ∴()x ϕ在()0,∞+上为增函数,当0x >时,则()()101x eϕϕ>=-, 所以11ea >-, 故选:D 【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.7．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（ ）时，其容积最大．A ．34B ．23C ．13D ．12【答案】B 【解析】 【分析】设正六棱柱容器的底面边长为x ,)31x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()32921224V x x x x x x x =+⋅⋅-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)12x -,所以正六棱柱容器的容积为()())()329214V x x x x x x x =+-=-+, 所以()227942V x x x '=-+,则在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上,()0V x '>；在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, 所以当23x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3221f x f x -=-,且()f x 在[1, )+∞上单调递增,则（ ）A ．()()()0.31.130. 20.54f f log f << B ．()()()0.31.130. 240.5f f f log <<C ．()()()1.10.3340.20.5f f f log << D ．()()()0.31.130.50.24f log f f << 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得()f x 的图象关于直线1x =对称.因为0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,即可得解.【详解】解：依题意可得,()f x 的图象关于直线1x =对称. 因为()()()0.31.1330.20,1,0.5 2 1,,044,8log log ∈=-∈-∈,则0.31.130.21log 0.5141-<-<-，又()f x 在[1,)+∞上单调递增,所以()()()0.31.130.20.54f f log f <<.故选:A. 【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.9．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】 【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号， 故则41m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．10．若函数321()1232b f x x x bx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（ ）.A ．423b -B ．3223b - C ．0D ．2316b b -【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到(2)f 是函数的极小值即可．【详解】解：2()(2)2()(2)f x x b x b x b x '=-++=--， ∵函数()f x 在区间[3,1]-上不是单调函数，31b ∴-<<，由()0f x '>，解得：2x >或x b <， 由()0f x '<，解得：2b x <<，()f x ∴的极小值为()84(2)424233f b b b =-++=-，故选：A.【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.11．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()80f x f x ++=，且()55f =，则()()20192024f f +=（ ）A ．-5B ．5C ．0D ．4043【答案】B 【解析】 【分析】根据(8)()0f x f x ++=得函数的周期为16，结合()55f =，(0)0f =即可求解. 【详解】由(8)()0f x f x ++=，得(8)()f x f x +=-，所以(16)(8)()f x f x f x +=-+=.故函数()y f x =是以16为周期的周期函数. 又在(8)()0f x f x ++=中，令0x =，得(8)(0)0f f +=， 且奇函数()y f x =是定义在R 上的函数，所以(0)0f =.故(8)0f =.故(2024)(161268)(8)0f f f =⨯+==. 又在(8)()0f x f x ++=中，令3x =-，得(5)(3)0f f +-=.得(5)(3)(3)5f f f =--==，则(2019)(161263)(3)5f f f =⨯+==. 所以(2019)(2024)5f f +=. 故选：B. 【点睛】此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R 上的奇函数的特征求值.12．若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)+∞ B ．[)1,+∞ C ．()1,+∞D ．()+∞【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，则只需10a -+?即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得：()()sin cos 4x x xf x e x a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x Q 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e > 04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ sin ,142x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.13．函数()3ln 2xf x x x=+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．64y x =- B ．75y x =- C ．63=-y x D ．74y x =-【答案】B 【解析】 【分析】首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可.【详解】由函数的解析式可得：()221ln '6x f x x x-=+， 则所求切线的斜率()221ln1'16171k f -==+⨯=， 且：()012121f =+⨯=，即切点坐标为()1,2， 由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-. 本题选择B 选项. 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.14．[]()x a,b ,f x m ∀∈≥恒成立，等价于[]()x a,b ,[f x ]m min ∈≥15．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D 【解析】 【分析】 由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.【详解】 由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，.当时，由于函数和函数在上都为增函数，此时，函数在上为增函数； 当时，在上为增函数；当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，，所以，函数在上为增函数.综上所述：函数在区间上为增函数，故选D.【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.16．若曲线43y x x ax =-+(0x >)存在斜率小于1的切线，则a 的取值范围为（ ）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案； 【详解】由题意可得32431y x x a '=-+<在()0,x ∈+∞上有解，设()3243f x x x a =-+(0x >)，()()2126621f x x x x x '=-=-，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x >， ∴()f x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，∴()min 11124f x f a ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，解得：54a <.故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.17．若函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '．若()3f x '<恒成立，()20f -=，则()36f x x <+ 解集为（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,2-C ．(),2-∞D ．()2,-+∞【答案】D【解析】【分析】设()()36g x f x x =--，求导后可得()g x 在R 上单调递减，再结合()20g -=即可得解.【详解】设()()36g x f x x =--， Q ()3f x '<，∴()()30g x f x ''=-<，∴()g x 在R 上单调递减，又()()22660g f -=-+-=，不等式()36f x x <+即()0g x <，∴2x >-，∴不等式()36f x x <+的解集为()2,-+∞.故选：D.【点睛】本题考查了导数的应用，关键是由题意构造出新函数，属于中档题.18．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭UD ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 【答案】C【解析】【分析】 对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围.【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2], 因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a ,所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）,由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2],当a≥23时，-a+2≤2a,由题得21,1222aaa a-+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩.当0＜a＜23时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜12.所以0＜a＜12.综合得a的范围为a＜12或1≤a≤2，故选C.【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．曲线3πcos02y x x⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x轴以及直线3π2x=所围图形的面积为（）A．4B．2C．52D．3【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：()332222(0cos)sin2S x dx xππππ=-=-=⎰，选B.考点：定积分的几何意义20．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（）.（取lg30.4771≈，lg20.3010≈）A．16 B．17 C．24 D．25【答案】D【解析】【分析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果. 【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n n n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭， 即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造. 故选：D .【点睛】 本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.。

选修2-2导数易错题，好题专练选择题（共19小题）1．（2012•赣州模拟）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f′（x）=0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|的取值范围是（）C．D．A．B．{2．（2012•安徽模拟）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则（）3f（1）＜f（3）C．3f（1）=f（3）D．f（1）=f（3）A．3f（1）＞f（3））B．3．函数f1（x）=cosx﹣sinx，记f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…f n（x）=f n﹣1′（x），（n∈N*，n≥2），则=（）C．0D．2008A．{B．4．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=x2+2x•f′（1）+3，则f′（1）的值为（）﹣4B．4C．2D．﹣2—A．5．已知函数，对任意x∈（0，3]，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）恒成立，则（）、A．函数h（x）有最大值也有最小值B．函数h（x）只有最小值C．函数h（x）只有最大值D．函数h（x）没有最大值也没有最小值?6．对任意x∈R，函数f（x）的导数存在，若f′（x）＞f（x），则以下正确的是（）A．f（2011）＞e2011•f（0）B．f（2011）＜e2011•f（0）C．f（2011）＞f（0）D．《f（2011）＜f（0）7．已知函数f（x）=x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010），则f′（0）等于（）2010!A．0B．20102C．2010/D．8．（2014•郑州模拟）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）D．2A．0B．﹣4C．.﹣29．（2014•新余二模）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1为奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）！（﹣∞，e4）D．（e4，+∞）10．（2014•泸州三模）已知f （x ）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f′（x ）是f （x ）的导函数，若对∀x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣2x ]=3，则方程f′（x ）﹣=0的解所在的区间是（ ） A ．（0，）B ． #（，1）C ． （1，2）D ． （2，3）11．（2014•信阳一模）已知函数f （x ）=lnx+tanα（α∈（0，））的导函数为f′（x ），若使得f′（x 0）=f （x 0）立的x 0＜1，则实数α的取值范围为（ ） A ． （，） ( B ．（0，） C ． （，） D ．（0，）12．（2014•洛阳二模）已知任何一个三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d （a≠0）都有对称中心M （x 0，f （x 0）），记函数f （x ）的导函数为f′（x ），f′（x ）的导函数为f″（x ），则有f″（x ）=0．若函数f （x ）=x 3﹣3x 2，则f （）+f （）+f （）+…+f （）=（ ）A ． ( 4027B ． ﹣4027C ． 8054D ． ﹣805413．（2014•河南模拟）设函数f （x ）的导函数为f′（x ），若对任意x ∈R 都有f′（x ）＞f （x ）成立，则（ ） . A ． f （ln2014）＜2014f （0） B ． f （ln2014）=2014f （0） C ． f （ln2014）＞2014f （0） D ． ?f （ln2014）与2014f （0）的大小关系不确定14．（2014•河南一模）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f （x ），对∀x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣log 3 x]=4，则函数g （x ）=f （x ﹣1）﹣f′（x ﹣1）﹣3的零点所在区间是（ ）A ． （1，2）B ． （2，3）C ．（，1） 【 D ．（0，）15．（2014•浙江模拟）已知f （x ）为R 上的可导函数，且满足f （x ）＞f′（x ），对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ． * f （a ）＞e a f （0）D ． f （a ）＜e a f （0）16．（2014•泰安二模）函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣1）=1，对任意x ∈R ，f′（x ）＞3，则f （x ）＞3x+4的解集为（ ）A ． （﹣1，1）B ． （﹣1，+∞） ；C ．（﹣∞，﹣1） D ． （﹣∞，+∞） 17．（2014•马鞍山二模）定义域为R 的函数f （x ），满足f （0）=1，f′（x ）＜f （x ）+1，则不等式f （x ）+1＜2e x 的解集为（ ）{x∈R|0＜x＜1}18．（2014•广安一模）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0．（其中f′（x）是f（x）的导函数）．设a=（log4）•f（log4），b=•f （）．c=（lg）•f（lg），判断大小为（）a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞bA．c＞a＞b>B．19．（2014•漳州一模）已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则以下判断正确的是（）B．f（2013）＜e2013f（0）A．）f（2013）＞e2013f（0）C．f（2013）=e2013f（0）D．f（2013）与e2013f（0）大小无法确定·参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2012•赣州模拟）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），若a+b+c=0，导函数f′（x）满足f′（0）f′（1）＞0，设f′（x）=0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|的取值范围是（）D．A．B．C．!考点：导数的加法与减法法则；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：先求出f′（x）=3ax2+2bx+c，可得==++，由f′0）•f′（1）＞0，{解得﹣2＜＜﹣1，利用二次函数的性质求出的范围，即可求得|x1﹣x2|的取值范围．解答：解：由题意得：f′（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，∴x1+x2=﹣，x1•x2=．∴|x1﹣x2|2 =﹣4x1x2 ，∴=﹣4x1•x2 =．∵a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b，∴==++．∵f′0）•f′（1）＞0，f（0）=c=﹣（a+b），且f′（1）=3a+2b+c=2a+b，∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：+3 +2＜0，解得﹣2＜＜﹣1．由二次函数的性质可得，当=﹣时，有最小值为，%当趋于﹣1时，趋于，故∈，故|x1﹣x2|∈，故选A．点评：本题考查根与系数的关系的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．2．（2012•安徽模拟）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则（）3f（1）＜f（3）C．3f（1）=f（3）D．f（1）=f（3）A．3f（1）＞f（3）<B．考点：导数的乘法与除法法则．专题：]计算题；压轴题．分析：根据条件f（x）＞xf′（x）可构造函数g（x）=，然后得到函数的单调性，从而得到所求．解答：解：设g（x）=，g′（x）=∵f（x）＞xf′（x），∴g′（x）=＜0即g（x）在（0，+∞）上单调递减函数∴即3f（1）＞f（3）故选A．)点评：本题主要考查了导数除法的运算法则，以及利用构造法是解题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．3．函数f1（x）=cosx﹣sinx，记f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…f n（x）=f n﹣1′（x），（n∈N*，n≥2），则=（）A．B．C．、D．2008考点：导数的加法与减法法则；函数的周期性．专题：计算题．分析：先求出f2（x）、f3（x）、f4（x），观察所求的结果，归纳其中的周期性规律，求解即可．）解答：解：由题意，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx﹣cosxf3（x）=f2′（x）=﹣cosx+sinx，f4（x）=（﹣cosx+sinx）′=sinx+cos x，f5（x）=cosx﹣sinx，以此类推，可得出f n（x）=f n+4（x）又∵f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=0，∴==﹣．故选B．点评：;本题以三角函数为载体，考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，解题的关键是判断出函数导数变化的周期性．．4．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=x2+2x•f′（1）+3，则f′（1）的值为（）A．﹣4B．4C．、2D．﹣2考点：导数的加法与减法法则．专题：导数的概念及应用．分析：求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1即可得到答案．)解答：解：由f（x）=x2+2x•f′（1）+3，得f′（x）=2x+2f′（1），∴f′（1）=2+2f′（1），解得f′（1）=﹣2．故选D．点评：本题考查了导数的加法法则与减法法则，考查了基本初等函数的导函数，是基础的计算题．5．已知函数，对任意x∈（0，3]，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）恒成立，则（）}A．函数h（x）有最大值也有最小值B．函数h（x）只有最小值C．函数h（x）只有最大值D．函数h（x）没有最大值也没有最小值#考点：导数的加法与减法法则．专题：导数的概念及应用．分析：由题意可得h′（x）＜0，可得在（0，3]上是减函数，故当x=3时，h（x）有最小值为h （3），没有最大值，从而得出结论．解答：解：函数，对任意x∈（0，3]，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）恒成立，故有h′（x）=＜0，∴在（0，3]上是减函数，故当x=3时，h（x）有最小值为h（3），没有最大值，（故选B．点评：本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于基础题．6．对任意x∈R，函数f（x）的导数存在，若f′（x）＞f（x），则以下正确的是（）A．f（2011）＞e2011•f（0）B．f（2011）＜e2011•f（0）：C．f（2011）＞f（0）D．f（2011）＜f（0）考点：导数的乘法与除法法则；导数的运算．专题：证明题．分析：，由f′（x）＞f（x）可得f'（x）﹣f（x）＞0，而由e﹣x[f′（x）﹣f（x）]＞0可判断函数e﹣x f（x）是单调递增函数，结合对x取特殊值可求．∴f′（x）﹣f（x）＞0∵e﹣x＞0∴e﹣x[f′（x）﹣f（x）]＞0∴e﹣x f′（x）﹣e﹣x f（x）＞0而[e﹣x f（x）]′=（e﹣x）′f（x）+e﹣x f′（x）=﹣e﹣x f（x）+e﹣x f′（x）＞0∴e﹣x f（x）是单调递增函数取x=2011，【于是e﹣2011f（2011）＞e﹣0f（0）=f（0）∴f（2011）＞e2011f（0）．故选A点评：本题主要考查了导数的基本运算及利用导数判断函数的单调性，这里的关键，是观察和利用e﹣x f（x）的导函数的形式．属于基础题．7．已知函数f（x）=x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010），则f′（0）等于（）A．0(20102C．2010D．2010!B．考点：导数的乘法与除法法则．专题：、计算题．分析：令g（x）=[（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010）]，则f（x）=x•g（x），利用导数的乘法运算法则可得f′（0）=0•g′（0）+1×g（0）=g（0），运算求得结果．解答：解：∵f（x）=x（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010），令g（x）=[（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）…（x﹣2010）]，则函数f（x）=x•g（x）．∴f′（x）=x•g′（x）+1×g（x）．∴f′（0）=0•g′（0）+1×g（0）=g（0）=（﹣1）（﹣2）（﹣3）…（﹣2010）=2010!，故选D．点评：）本题主要考查导数的乘法运算法则的应用，属于基础题．8．（2014•郑州模拟）已知f（x）=x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）2A．0B．﹣4C．﹣2￥D．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取x=1可求2f′（1）的值．解答：%解：由f（x）=x2+2xf′（1），得：f′（x）=2x+2f′（1），取x=1得：f′（1）=2×1+2f′（1），所以，f′（1）=﹣2．故f′（0）=2f′（1）=﹣4，故答案为：B．点评：本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的f′（1），在这里f′（1）只是一个常数，此题是基础题．9．（2014•新余二模）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1为奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（）《A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4）D．（e4，+∞）》考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：根据条件构造函数令g（x）=，判断函数g（x）的单调性即可求出不等式的解集．解答：解：令g（x）=，则=，∵f（x）＞f′（x），;∴g′（x）＜0，即g（x）为减函数，∵y=f（x）﹣1为奇函数，∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，g（0）=1，则不等式f（x）＜e x 等价为=g（0），即g（x）＜g（0），解得x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．<点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力．10．（2014•泸州三模）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，f′（x）是f（x）的导函数，若对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣2x]=3，则方程f′（x ）﹣=0的解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．]（1，2）D．（2，3）考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由题意，可知f（x）﹣2X是定值，令t=f（x）﹣2X，得出f（x）=2X+t，再由f（t）=2t+t=3求出t的值，即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f′（x ）﹣=0的解所在的区间，即得正确选项．!解答：解：由题意，可知f（x）﹣2X是定值，不妨令t=f（x）﹣2X，则f（x）=2X+t 又f（t）=2t+t=3，解得t=1所以有f（x）=2X+1令F（x）=f′（x ）﹣=2X•ln2﹣可得F（1）=21•ln2﹣4＜0，F（2）=22•ln2﹣2＞0，即F（x）=2X•ln2﹣零点在区间（1，2）内所以f′（x ）﹣=0的解所在的区间是（1，2）故选：C．"点评：本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）﹣2x是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度．11．（2014•信阳一模）已知函数f（x）=lnx+tanα（α∈（0，））的导函数为f′（x），若使得f′（x0）=f（x0）立的x0＜1，则实数α的取值范围为（）A．（，）B．（0，）C．>（，）D．（0，）考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由于f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），可得=ln x0+ta n α，即tan α=﹣ln x0，由0＜x0＜1，可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，即可得出．~解答：解：∵f′（x）=，f′（x0）=，f′（x0）=f（x0），∴=ln x0+tan α，∴tan α=﹣ln x0，又∵0＜x0＜1，∴可得﹣ln x0＞1，即tan α＞1，∴α∈（，）．故选：A．点评：本题考查了导数的运算法则、对数函数和正切函数的单调性，属于中档题．；12．（2014•洛阳二模）已知任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有对称中心M（x0，f（x0）），记函数f （x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2，则f （）+f （）+f （）+…+f （）=（）A．4027B．﹣4027C．8054D．【﹣8054考点：导数的运算．分析： 由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，﹣2）对称，即f （x ）+f （2﹣x ）=﹣4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2013对﹣4和一个f （1）=﹣2，可得答案．解答： 解：由题意f （x ）=x 3﹣3x 2，则f′（x ）=3x 2﹣6x ，f″（x ）=6x ﹣6，;由f″（x 0）=0得x 0=1，而f （1）=﹣2，故函数f （x ）=x 3﹣3x 2关于点（1，﹣2）对称， 即f （x ）+f （2﹣x ）=﹣4． ∴f （）+f （）=﹣4，…=﹣4，，∴（）+f （）+f （）+…+f （）=﹣4×2013+（﹣2）=﹣8054，故选：D ．点评： 本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键． 13．（2014•河南模拟）设函数f （x ）的导函数为f′（x ），若对任意x ∈R 都有f′（x ）＞f （x ）成立，则（ ） … A ． f （ln2014）＜2014f （0） B ． f （ln2014）=2014f （0） C ． f （ln2014）＞2014f （0） D ． %f （ln2014）与2014f （0）的大小关系不确定考点： 导数的运算．专题： 函数的性质及应用． 分析：构造函数g （x ）=，利用导数可判断g （x ）的单调性，由单调性可得g （ln2014）与g （0）的大小关系，整理即可得到答案．解答：令g （x ）=，则g′（x ）==，-因为对任意x ∈R 都有f′（x ）＞f （x ），所以g′（x ）＞0，即g （x ）在R 上单调递增， 又ln2014＞0，所以g （ln2014）＞g （0），即，所以 f （ln2014）＞2014f （0）， 故选：C ．点评： 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．14．（2014•河南一模）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f （x ），对∀x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣log 3 x]=4，则函数g （x ）=f （x ﹣1）﹣f′（x ﹣1）﹣3的零点所在区间是（ ） ） A ． （1，2） B ． （2，3） C ． （，1） D ．（0，）考点： （导数的运算；函数零点的判定定理．分析：由∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），求出g（x）的解析式，并说明g（x）的单调性，计算g（2），g（3），确定符号，由零点存在定理即可得到答案．解答：解：∵对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3 x]=4，∴可设f（x）﹣log3 x=c（c为常数），则f（x）=log3 x+c，∴f[f（x）﹣log3 x]=f（c）=log3c+c=4，∴c=3，∴f（x）=log3 x+3，]∴g（x）=f（x﹣1）﹣f′（x﹣1）﹣3=log3（x﹣1）﹣log3e在（1，+∞）上为增函数，g（2）=﹣log3e＜0，g（3）=log32﹣log3e=log 3＞0，由零点存在定理得，函数g（x）的零点所在的区间为（2，3）．故选B．点评：本题主要考查函数的零点的判断，考查应用零点存在定理判断函数的零点所在范围，同时考查函数导数的运算和函数的单调性，是一道函数综合题．15．（2014•浙江模拟）已知f（x）为R上的可导函数，且满足f（x）＞f′（x），对任意正实数a，下面不等式恒成立的是（）B．C．f（a）＞e a f（0）D．f（a）＜e a f（0）A．:考点：导数的运算．导数的综合应用．{专题：分析：根据条件构造函数F（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．解答：解：设F（x）=，则F'（x）=，∵f（x）＞f′（x），∴F'（x）＜0，即函数F（x）在定义域上单调递减．∵任意正实数a，满足a＞0，（∴F（a）＜F（0），即，∴f（a）＜e a f（0），故选：D．点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．16．（2014•泰安二模）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）￥A．考点：【导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数F（x）=f（x）﹣（3x+4），由f（﹣1）=1得F（﹣1）的值，求F（x）的导函数，根据f′（x）＞3，得F（x）在R上为增函数，根据函数的单调性得F（x）大于0的解集，从而得所求不等式的解集．解答：解：设F（x）=f（x）﹣（3x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣3+4）=1﹣1=0，又对任意x∈R，f′（x）＞3，∴F′（x）=f′（x）﹣3＞0，]∴F（x）在R上是增函数，∴F（x）＞0的解集是（﹣1，+∞），即f（x）＞3x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选：B．点评：本题考查了运用函数思想求解不等式的问题，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，是易错题．17．（2014•马鞍山二模）定义域为R的函数f（x），满足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜2e x的解集为（）A．；B．{x∈R|0＜x＜1}C．{x∈R|x＜0}D．{x∈R|x＞0} {x∈R|x＞1}考点：导数的运算．导数的综合应用．(专题：分析：根据条件构造函数g（x）=，然后利用导数判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：构造函数∵f'（x）＜f（x）+1，∴g'（x）＜0，故g（x）在R上为减函数，而g（0）=2不等式f（x）+1＜2e x化为g（x）＜g（0），解得x＞0，故选D．点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件构造函数是解决本题的关键，有一点的难度．18．（2014•广安一模）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0．（其中f′（x）是f（x）的导函数）．设a=（log4）•f（log4），b=•f （）．c=（lg）•f（lg），判断大小为（）A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b考点：导数的运算．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数g（x）=xf（x），由已知可判断出函数的奇偶性与单调性，进而判断a，b，c的大小．解答：解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），∵当x∈（0，+∞）时，f（x）+xf′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，且函数图象过原点又∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴g（x）=xf（x）是定义在实数集R上的偶函数，又∵|log4|＞||＞|lg|，∴a＞b＞c；故选：B．点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性问题，其中判断出函数g（x）=xf（x）的单调性与奇偶性是解题的关键．19．（2014•漳州一模）已知f（x）为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则以下判断正确的是（）A．f（2013）＞e2013f（0）B．f（2013）＜e2013f（0）C．f（2013）=e2013f（0）D．f（2013）与e2013f（0）大小无法确定考点：导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：设函数h（x）=，求得h′（x）＜0，可得h（x）在R上单调递减，可得h（2013）＜h（0），再进一步化简，可得结论．解答：解：设函数h（x）=，∵∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则h′（x）=＜0，∴h（x）在R上单调递减，∴h（2013）＜h（0），即＜，即f（2013）＜e2013f（0），故选：B．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性比较两个函数值的大小，属于基础题．。