几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分：
年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min
一.知识点：
知识点一几个常用函数的导数
知识点二基本初等函数的导数公式
二.典例分析：
题型一 利用导数公式求出函数的导数 例1 求下列函数的导数：
(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2
. 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4
；
(4)y ′＝(4
x 3
)′＝(x 34)′＝1
434x -＝344
x
；(5)y ′＝(log 3x )′＝1
x ln 3；
(6)y ＝1－2sin 2
x
2
＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x .
反思与感悟 若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导． 题型二 利用导数公式解决切线有关问题
例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2
上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别
作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________． 答案 (1，－4)
解析 y ′＝x ，k PA ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴PA 的直线方程为y －8＝4(x －4)，
即y ＝4x －8，
QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝－4.
∴A (1，－4)．
(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直并说明理由．
解 设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直，
则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0， 要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin 2x 0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤
题型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y ＝x 2
上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．
解 设切点坐标为(x 0，x 2
0)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2
的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．
∵y ′＝(x 2
)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，14)，
∴所求的最短距离d ＝|12－1
4－2|2
＝72
8.
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． 三.课堂小结：
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y ＝1－2sin 2
x
2的导数．因为y ＝1－2sin 2
x
2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
精练部分：
年级：高三 科目：数学 类型:同步
难易程度：易 建议用时：随堂练习10-15min 课后作业30min
四.随堂练习： 一、选择题
1．下列各式中正确的个数是( )
①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2
；③(1
x
)′＝－12x －32；④(5x 2
)′＝25x －35；⑤(cos x )′
＝－sin x ；⑥(cos 2)′＝－sin 2. A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 B
2．已知过曲线y ＝1
x
上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( )
或⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－2 答案 B
解析 y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B.
3．已知f (x )＝x a
，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A
解析 f ′(x )＝ax
a －1，f ′(－1)＝a (－1)
a －1
＝－4，a ＝4.
4．已知曲线y ＝x 3
在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( ) A ．4 B ．－4 C ．28 D ．－28 答案 C
解析 ∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8，①又y ′|x ＝2＝3×22
＝12＝k ，② 由①②可得：k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28. 5．已知f (x )＝1
x ，g (x )＝mx ，且g ′(2)＝
1
f ′2
，则m ＝________.
答案 －4
解析 f ′(x )＝－1
x 2，g ′(x )＝m .∵g ′(2)＝
1
f ′2
，∴m ＝－4.
6．设曲线y ＝e x
在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x
(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为
________． 答案 (1,1) 五. 课后作业：
