3.数列极限存在

x2 x1
x
二 、极限存在准则的应用
1 1 1 1 例1 已知数列 xn , 其中 xn 1 1! 2! 3! n!
证明 此数列极限存在。
证：xn 显然单调递增，且
1 1 1 1 xn 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 n n 1 1- 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 1 2 2 2 1 2
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
bn
1 2 1.5 1.666666667 1.6 1.625 1.615384615 1.619047619 1.617647059 1.618181818 1.617977528 1.618055556 1.618025751
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。高（ 137米）与底边长（227米）之比为0.629,但这些金字塔底 面的边长与高之比都接近于0.618.
绘画艺术中的黄金分割
蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体 现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完 美.
大自然中的斐波那契数列
• 花瓣的数目
3 证： b1 1， b2 2， b3 2 Fn Fn 1 Fn 1 1 bn 1 1 Fn Fn bn 1
用数学归纳法容易证明：
并求此极限。
(n 1,2,)
数列 b2 n 是单调减少的。 数列b2 n-1 是单调增加的；
又对一切 n, 1 bn 2 成立，
海棠（2）
钱兰（3）
大自然中的斐波那契数列
• 花瓣的数目

数列极限证明题型及解题方法
数列极限证明题型主要包括单调有界数列的极限证明、递推数列的极限证明、函数极限与数列极限的关系证明等。

下面介绍一些常见的数列极限证明题型及解题方法。

1. 单调有界数列的极限证明：
设数列{an}为单调递增数列且有上界，要证明序列{an}收敛。

一般可采用以下两种方法之一：
- 利用单调有界原理：由于数列{an}为单调递增且有上边界，根据单调有界原理，该数列必定存在极限。

- 找到上确界和下确界：由于该数列有上界，可设上界为M，同时查找下确界，证明数列{an}的极限存在。

2. 递推数列的极限证明：
设数列{an}满足递推关系an+1 = f(an)，其中f(x)为已知函数。

一般可采用以下两种方法之一：
- 显式计算法：若递推关系能够推导出显式的解析表达式an = g(n)，则可通过计算g(n)的极限来证明数列{an}的极限存在。

- 极限迭代法：设数列{an}的极限为L，对递推关系an+1 =
f(an)两边同时取极限，得到L = f(L)，进而求得L的值。

3. 函数极限与数列极限的关系证明：
对于给定的函数f(x)，要证明该函数在某点c处存在极限L，可以采用以下方法之一：
- 利用数列极限定义：构造数列{an}，使得函数f(x)在点c附近的取值与数列{an}之间存在关系，然后利用数列的极限来证明函数的极限存在。

- 利用函数极限定义：对于给定的极限L，构造函数f(x)，使得当x趋近于c时，函数f(x)的极限趋近于L。

§３ 数列极限存在的条件教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。

教学要求：（１）掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；（２）初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy 准则判断某些数列的敛散性。

教学重点：单调有界定理、Cauchy 收敛准则及其应用。

教学难点：相关定理的应用。

教学方法：讲练结合。

教学程序：引言在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。

这是极限理论的两基本问题。

在实际应用中，解决了数列{}n a 极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当n 充分大时，n a 能充分接近其极限a ，故可用n a 作为a 的近似值。

本节将重点讨论极限的存在性问题。

为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。

从收敛数列的有界性可知：若{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列；但反之不一定对，即{}n a 有界不足以保证{}n a 收敛。

例如{}(1)n -。

但直观看来，若{}n a 有界，又{}n a 随n 的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）。

为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列。

一、 单调数列定义 若数列{}n a 的各项满足不等式11()n n n a a a a ++≤≥，则称{}n a 为递增（递减）数列。

递增和递减数列统称为单调数列．例如：1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列；{}2n 为递增数列；(1)n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭不是单调数列。

二、 单调有界定理〔问题〕 （1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？一个数列{}n a ，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了。

数列极限的知识点总结一、数列极限的定义1.1 数列首先要了解数列的概念。

数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的有序集合。

数列通常用符号{an}表示，其中an代表数列的第n个元素。

数列是数学中一种基本的数学概念，它在许多数学问题中都起着重要的作用。

1.2 数列极限接着要了解数列的极限。

数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列中的元素an的值趋近于一个常数L，即lim(an) = L。

如果这样一个数L存在，那么我们就说数列{an}收敛，并且把L称为数列的极限，记作lim(an) = L。

如果这样一个数L不存在，那么我们就说数列{an}发散。

1.3 数列极限的形式化定义对于给定的数ε，如果存在一个正整数N，使得当n大于N时，|an - L| < ε恒成立，那么称L是数列{an}的极限。

这样的N存在的话，就称这N是数L和ε的函数。

1.4 无穷大数列如果数列{an}中的元素an当n趋向于无穷大时，它的绝对值|an|趋向于无穷大，那么就称数列{an}是无穷大的。

对于无穷大数列，我们通常用符号lim(an) = ±∞来表示。

1.5 注意事项在讨论数列极限的问题时，需要注意以下几点：1) 数列的极限可能是一个有限的常数，也可能是无穷大。

2) 一般来说，数列的极限不一定存在，也可能有多个极限（一般在不同n的取值范围内）。

3) 要特别注意当n趋于无穷大时，数列中的元素an的绝对值的行为，关系到数列是否是无穷大数列。

以上是数列极限的基本概念和定义，下面我们将介绍数列极限的相关性质。

二、数列极限的相关性质2.1 唯一性如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。

换句话说，如果lim(an) = L1和lim(an) = L2，那么L1 = L2。

2.2 有界性如果数列{an}收敛，那么它一定是有界的，即存在一个正实数M，使得|an| < M（n∈N）。

2.3 保号性如果数列{an}收敛到一个有限的极限L，那么当n充分大时，数列{an}的元素和L有相同的正负号。