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证明数列n重根式的极限存在

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0106极限存在准则两个重要极限

0106极限存在准则两个重要极限

n→ ∞
xn + 1 =
2
2 2 x lim 3 + xn , xn + 1 = 3 + xn , n +1 = lim ( 3 + xn ), n→ ∞ n→ ∞
1 + 13 1 − 13 A = 3 + A, 解得 A1 = , A2 = (舍去)， 2 2 1 + 13 ∴ lim xn = . 2 n→ ∞
◆ 进一步可证 :
1 x 1 x lim (1 + ) = e, lim (1 + ) = e, lim (1 + 1 ) x = e. x → +∞ x → −∞ x x x →∞ x
1 x ◆ lim (1 + ) = e x x →∞
1∞型
1 ⊗ 定理 若 lim ⊗ = ∞ , 则有 lim (1 + ) = e x →a x →a ⊗
显然 xn+1 > xn , ∴ {xn } 单调增 加;
xn < 1 + 1 + 1 1 1 1 1 1 + ++ < 1 + 1 + + + n ⋅ ( n − 1) 2⋅1 3⋅ 2 2! 3! n!
1 = 3 − < 3, ∴ 数列{x } 有上界 ; n n
1 n ∴ lim xn 存在 , 即 lim (1 + ) 存在, n→ ∞ n→ ∞ n 1 n 记 lim (1 + ) = e, e = 2.71828. n→ ∞ n
x →0
∴ lim (1 − cos x ) = 0, ∴ lim cos x = 1,
x →0
1-7存在准则两个重要极限

1-7存在准则两个重要极限


例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1 1 ) 1.
x [x]
x [x]
x [x]
lim (1 1 )[ x] x [x] 1
lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )1 e,
x [x] 1
x [x] 1
lim (1 1 )x e.
x
x
令 t x,
lim (1 1 )x lim (1 1)t lim (1 1 )t
7、 lim(1 x )2x _________. x x
8、 lim(1 1 ) x _________.
x
x
二、求下列各极限:
1、 lim 1 cos 2x x0 x sin x
2、 lim(tan x)tan 2x x 4
3、 lim( x a ) x x x a
4、 lim( n2 1)n n n 1
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
0 cos x 1 1 cos x 2sin 2 x 2( x)2 x2 , 22 2
lim x2 0, lim(1 cos x) 0,
x0 2
2、 lim sin 2x __________. x0 sin 3x
3、 lim arc cot x __________.
1.6.极限存在准则

1.6.极限存在准则

第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、极限存在准则
二、两个重要极限
1
本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重 要的极限公式：
lim
x 0
sin x x
1
lim (1
x
1 x
) e
x
为此先介绍判定极限存在的准则.
2
一、极限存在准则
1. 两边夹准则
准则Ⅰ 如果数列 { xn }, { yn }及{ zn } 满足下列条件:
n n
2

n 1
2
,
又 lim
n n n
2
n
lim
n
1,
lim
n n 1
2
n
lim
1 1 1 n
2
n
由两边夹定理得
1 n n
2
lim (
n
1 n 1
2

1 n 2
2

) 1.
7
注
利用两边夹准则是求极限的一个重要手段,
将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简, 找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x) 和h(x)即可.
( )2 2
13
例
lim n sin
n
2 n
sin lim 2
n
2 n
2
2 n
例
求 lim3.
3
解
sin 3 ( x a )
x a
例
lim
sin
3 3
x
x 0
3x
sin x 1 lim 3 x0 3 x 3 1
(1
1
浅谈极限的求解方法毕业论文

浅谈极限的求解方法毕业论文

共17页第1页浅谈函数极限求解方法学生:陈智年指导老师：赵守江三峡大学理学院摘要:极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述,都可以用极限来描述。

如函数在某点处导数的定义，定积分的定义,偏导数的定义，二重积分的定义，三重积分的定义，无穷级数的定义都是用极限来定义的。

极限是研究数学分析的基本工具。

极限是贯穿数学分析的一条主线。

学好极限要从以下两个方面着手：1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限。

本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述。

对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的，但是对于一个比较复杂的极限的计算，例如的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的，然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续．传统的极限的计算方法不下十几种，但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法，很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算Abstract：Limit is the basis of mathematical analysis ，the basic concepts of mathematical analysis of expression ，can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point ，the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals ，triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to investigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . define the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible，but for a more complicated limit calculations，such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospital's Rule is more complicated , however，Taylor shows the calculation is much simpler ，which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of calculating the limit of no less than a dozen，but when calculating the limits specific to different characteristics ，whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only be summarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas for different characteristics ，and thus simplify the calculation 关键词：极限；极限的定义；极限的性质；罗必达法则；泰勒公式;单调有限法则；积分中值定理；拉格朗日中值定理共17页第2页Keywords :Limit；ultimate limits of nature；Luo's Rule; Taylor formula；monotonous limited law；integral mean value theorem; Lagrange mean value theorem与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物。

2(5)实数基本定理

2(5)实数基本定理


15
例4 设有两个正数满足0 a1 b1,
作 an1
anbn
,
bn1
an
2
bn
.
证明:
lim
n
an
,
lim
n
bn
存在且相等.
分析:只要证明 an ,bn
满足闭区间套定理的条件即可.
16
上面的定理只适合于特殊的数列,
对于一般的数列,我们先介绍子列的概念.
在数列 xn中依次任意抽出无穷多项:
1
1 x
x
1
1 n
n1
结合夹逼准则,可证 lim (1 1 )x e
x
x
7
(3) 考虑 lim (1 1 )x
x
x
令 y x
可证明 lim (1 1 )x e
x
x
故 lim(1 1)x e
x
x
令t 1 x
1
得到 lim(1 x) x e x0
8
例1 判断下列数列的收敛性
(1)
an
1 31
lim
n
xn
0
lim
xn1
1 lim
1 xn 1
x n n
n
xn
2
10
例3 证明数列 xn a a 极限存在.
a ,a 0(n重根式)的
证 (1) 显然 xn1 xn ,
所以{xn} 是单调增加的;
(2) 因为 x1
a 1
1 4a 2
数列的极限值
假定 xk 1
1 4a , 2
用归纳法可证明
1 xn
,
x1
2
Q.
可以证明: xn
极限的存在准则

极限的存在准则


例3
证明 lim n 1.
n
1 n
证
当 n 1 时,
n 1, 令 n 1 an , (an 0)
根据牛顿二项式公式
1 n
1 n
则 n (1 an )n , n (1 an )n
n( n 1) 2 n( n 1) 2 n 1 nan an an an , 2 2
极限的存在准则
一、夹逼准则 二、单调有界收敛准则 三、极限存在的柯西准则
一、夹逼准则
准则 (数列收敛的夹逼准则)
如果数列{ xn }、 { yn } 及 { zn } 满足下列条件 : (1) yn xn zn
n
( n 1, 2, 3, );
n
( 2) lim yn a , lim zn a , 那么数列{ xn } 存在, 且 lim xn a .
x x0 ( x ) x x0 ( x ) x x0 ( x ) o
lim h( x ) A,
那么 lim f ( x ) 存在, 且等于 A.
n2 sin n2 例1 求极限 lim . n n
3
解
0
3
n2 sin n2 3 n2 1 3 n 0, n n n
3
n2 sin n2 0. 根据夹逼准则可知 lim n n
说明 : 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn 与 zn , 并且 yn 与zn 的极限是容易求的 .
1 1 1 . 例2 求 lim 2 2 2 n n 1 n 2 n n 1 1 n n , 解 2 2 2 2 n 1 n n n 1 n n 1 n 1, 又 lim 2 lim n n n n 1 1 n n 1 lim 2 lim 1, 由夹逼准则得 n n 1 n 1 1 2 n 1 1 1 lim 2 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
极限存在准则与两个重要极限资料

极限存在准则与两个重要极限资料


1
(1
1 )(1
2 )(1
n1 )
2! n
n! n n
n
xn

11
1 2!
1 n!

11
1 2

1 2n1

3

1 2n1

3,
{xn}是有界的; 单调上升有上界必有极限
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.718281828459045) 无理数
12 23
n1 n
2 1 2, n
{ xn}是有上界的;
因此, 利用单调有界数列必收敛准则即得结论.
15
2.5 极限存在准则 两个重要极限
例 证明数列 xn 3 3 3
(n重根式)的极限存在.
证 (1) 显然 xn1 xn ,
{xn}是单调增加的; (2) x1 3 3, 假定 xk 3,
1.
8
2.5 极限存在准则 两个重要极限
0
例 lim x 0 lim
x
lim sin x 1 lim x 1
x0 x
x0 sin x
cos x 1.
x0 tan x x0 sin x
例
sin3 3 lim x0 3x
x
0
0
1 3
lxim0
sin
3
3
x
x
3
n
an

bn

cn ,求 lim n
xn .
解 法一 由于 a xn a n 3
1
以及 lima a, lim a n 3 lim a 3n a 1
极限存在准则两个重要极限公式

极限存在准则两个重要极限公式


令t =1x, 则:
lim(1
1
x)x
=
lim(1
1)t
=
e.
x0
t
t
此结论可推广到
1
lim1 ( x)( x) = e
xa
条件是x a时, ( x) 0，其中a可为
有限值，也可为
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
14
例5 求 lim(1 1 )x .
n2 n n2 1
又 lim n
n = lim n2 n n
1 1 1 = 1,
n
lim
n
n = lim n2 1 n
1 = 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 L 1 ) = 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
6
例2 证明数列 xn = 3 3 L 3 (n重根 式)的极限存在.
证: 显然 xn1 > xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 = 3 3, 假定 xk 3, xk1 = 3 xk 3 3 3,
xn 是有界的 ;
原式
=
lim x (1
x 1 )x
x
=
e e 1
=
e2
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
16
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
10 lim sin x = 1; x0 x
数列极限存在的条(2)

数列极限存在的条(2)

k n k 1
8
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
1 2
1
a xn2
1 2
1
(
a a
)
2
1.
xn
↘···,
lim
n
xn
a.
例4
1）证明序列
xn
1
1 2
1 3
1 n
ln
n
的极限存在；
2）求极限 lim[ 1 1 1 (1)n1 1 ]
n
23
n
6
解 1） 因 x 1 时有
x ln(1 x) x 1 x
(x 0)
所以
1 ln(1 1 ) 1
n 1
n
1 1 n 1
1
n 1
,
n n 1
xn ↗.
取
a 1, b 1 1 , 又有 1 1 n 1 1 对 n 成立，
2n
2n 2
1
1 2n
n
2,
x2 n
1
1
2n
2n
4.
30
bn 10n
,
有
14
么么么么方面
• Sds绝对是假的
an p an
bn1 10n1
bn2 10n2
bn p 10n p
9 10n1
1
1 10
极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式

极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式


即 a yn a , a zn a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn

a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当
x

U
0
(
x 2
)2

1 2

12
2
2
1. 2
2. lim(1 1 )n e
n
n
定义 lim(1 1)n e
n
n
设
xn

(1

1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2)(1 n 1).
C
B
1. lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为 x , OAB的高为 BD ,
于是有 sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOC的面积
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
注
lim cos x 1, 又lim1 1,
lim sin x 1.
极限准则1-6-1

极限准则1-6-1

第一章
第六节
极限存在准则与 两个重要极限
一、夹逼准则 二、 单调有界准则
一、夹逼准则
定理1(夹逼定理） 定理1(夹逼定理） 1(夹逼定理 如果当 x ∈U(x0 , δ)(或 x > M)时, 有
o
(1) g( x) ≤ f ( x) ≤ h( x),
(2) lim g( x) = A,
x→x0 ( x→∞) x→x0 ( x→∞)
于是数列 是单调有界数列，故有极限. 于是数列{x n }是单调有界数列，故有极限
1 下证 lim 1+ = e. x→+∞ x
1 1 1 当 x > 0 时, 设 n ≤ x < n +1, 则 < ≤ , n +1 x n 1 )n < ( + 1)x< ( + 1)n+1 1 x (1+ n+1 1 n
1 n 设 x n = (1 + ) n
n 1 n( n − 1) 1 n( n − 1)L( n − n + 1) 1 = 1+ ⋅ + ⋅ 2 +L+ ⋅ n 1! n 2! n n! n
1 1 1 1 2 n−1 ). = 1 + 1 + (1 − ) + L + (1 − )(1 − )L(1 − 2! n n! n n n
t
1 − cos x 例5 求 lim . 2 x→0 x
x 2 x 2 sin sin 2 = 1 lim 2 解 原式 = lim x →0 x2 2 x→0 x 2 ( ) 2 x sin 1 2 )2 1 2 = lim( = ⋅1 x→0 x 2 2 2 1 = . 2

《微积分》复习大纲1

《微积分》复习大纲第二章、极限与连续第一节、数列的极限教学目的和要求：1、通过割圆术和截杖问题的计算实例引入数列极限的概念，从中领会极限的基本思想。

2、使学生了解的极限定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。

重点：数列极限的概念教学过程：一、问题的提出1、刘徽的割圆术2、截杖问题二、数列极限的定义注：1、数列是否有极限，与其前面的有限项无关•而与从某项以后的变化情况有关，因此改变一个数列的有限项的值或去掉或添加有限项，均不改变{ X n} 的收敛与发散性；2、在证明数列有极限时，不一定要找到最小的正整数N,只要证明其存在即可.显然，如果证明了存在符合要求的正整数N,那么这种就有无穷多个.3、数列极限的定义未给出求极限的方法.第二节、函数的极限教学目的和要求：1、理解函数极限的概念，了解；-X ,；定义。

2、使学生了解的函数极限性质重点：函数极限的概念教学过程：一、函数极限的定义1、自变量趋于无穷大时函数的极限注：讨论当自变量X的绝对值|X无限增大（X r ,X r 一，X））时，函数f （X）无限趋近于一个常数A的情形.2、自变量趋于有限值时函数的极限注：研究自变量x无限趋近于一个常数x o,(x— x0,x_. x0,x_. \7),函数f (x) 无限趋近于一个常数A的情形.三、例题分析例1证明lim叱=0.x注：1本题考察用定义验证函数极限的一般过程2、若|im f x =c，则直线y = c是函数y= f x的图形的水平渐近线。

例2:证明lim c =c ( c为常数).X—注：常数在任一点的极限是常数。

例3:证明lim x = x0.X—sxo例4:证明lim匸1 =2.一x—1注：函数在某一点是否有极限，与该点是否有定义无关。

\+1, x c0例5:设f (x)=彳0, x =0证验当X T0时，f (x )的极限不存在.x2 -1, x 0注：函数f X当x > X。

极限存在法则 两重要极限

1 1 1 又注意到: 又注意到: xn < 1 + 1 + + + ⋅ ⋅ ⋅ + 2! 3! n!
高等数学（ 高等数学（上）
1 [ x] 1 x 1 [ x]+1 (1 + ) ≤ (1 + ) ≤ (1 + ) , [ x] + 1 x [ x] 1 [ x]+1 1 [ x] 1 而 lim (1 + ) = lim (1 + ) ⋅ lim (1 + ) x→+∞ x→+∞ x→+∞ [ x] [ x] [ x] =
高等数学（ 高等数学（上）
例 2 证明 lim
n→∞
n
n
n =1
n(n − 1) 2 n(n − 1) 2 n xn + ... + xn > xn ⇒ n = (1 + xn ) = 1 + nxn + 2 2 2 2 2 2 lim = 0. ; n→∞ ⇒ xn < ⇒ 0 < xn < n −1 n−1 n−1 由夹逼准则⇒lim xn = 0 ⇒ lim n n = 1.
数列{xn}
单调增加 ,若 x1 ≤ x2 ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ xn ≤ ⋅ ⋅ ⋅ 单调减少 ,若 x1 ≥ x2 ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥ xn ≥ ⋅ ⋅ ⋅
准则Ⅱ(单调有界收敛准则)单调有界数列必有极限. 准则Ⅱ(单调有界收敛准则)单调有界数列必有极限. Ⅱ(单调有界收敛准则 几何解释: 几何解释:
第六节
极限存在准则
两个重要极限
夹逼准则) 准则 I (夹逼准则) 如果{ x n }， y n } 及 { z n } { 满足下列条件： 满足下列条件： （1） yn ≤ xn ≤ zn （2） lim yn = a

证明数列n重根式的极限存在


| yn | M 1
1 | y 恒成立，即 n | M 恒成立。
意义： 将一般极限问题转化为无穷小问题.
数列的无穷小常用 n , n 等符号表示.
数列的极限(86) 14
3.无穷小的运算性质
性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 设 n , n 为两个无穷小,即对于任意 0 ，
yn a n , zn b n ,
其中 n , n 为无穷小，且使 zn b n 0 ， 于是
yn a n a b n a n . zn b n b （ b b n )
2 lim b ( b ) b 0, 且 b n a n 为无穷小， 因 n n b n a n 所以，由无穷小性质 3，分式： （ b b n ) 为无穷小，再由定理 6 ，定理得证。
存在 N 0 ，使得当 n N 时，恒有
n
2 ,
n

2
同时成立。于是 n n n n , 2 2 n n 0 (n ).
数列的极限(86) 15
注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 例如, n 时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为 1不是无穷小 . n
存在正整数 N ，使得对于一切 n N ,均有
yn M
恒成立,则称数列 { yn } 为无穷大,记作
lim yn
n
或
yn (n ).
12
数列的极限(86)
定理5
1 y y 若数列 n 为无穷大,则 n 为无穷小；
1 y y 反之，若数列 n 为非零无穷小,则 n 为无穷大。

证明数列n重根式的极限存在共41页


46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
证明数列n重根式的极限存在
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、Байду номын сангаас革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
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数列的极限(86) 3
几何意义：数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在 闭区间[ M , M ]上.
定理 2
收敛数列必有界.
n
证 设 lim xn a ,
由定义,
取 1,
则N , 使得当 n N时, 恒有 xn a 1,
即有 a 1 xn a 1.
令 M max{ x1 , x2 ,, xN , a 1},
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故极限唯一。
(2)
有界性
对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自然数
n, 恒有 x n M 成立, 则称数列 x n 有界, 否
则, 称为无界. 如
n 数 列 xn , 有界; 数列 x 2n , 无界. n n1
注意： 在子列 { xnk } 中，一般项 xnk是第 k项，而 在原数列 { xn } 中却是第 nk 项，显然， nk k .
数列的极限(86) 9
引理
收敛数列的任一子列收敛且极限相同．
证 设数列 { xnk } 是数列 { xn } 的任一子数列.
lim x n a ,
n
0, N 0, 使 n N 时, 恒有 xn a .
而xn无休止地反复取 1, 1两个数,
数列的极限(86) 5
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
(3)
保号性
*证
数列的极限(86) 6
数列的极限(86)
7
(4)
定理 4
保序性
若存在正整数 N ，当 n
则对一切自然数 n,皆有 x n M , 故xn 有界.
数列的极限(86) 4
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 因此，无界数列必发散. 例 6
证明数列x n ( 1)
n1
是发散的.
1 设 lim xn a , 由定义, 对于 , 证 n 2 1 则N , 使得当n N时, 有 x n a 成立, 2 1 1 即当n N时, x n (a , a ), 区间长度为1. 2 2
性质2 有界数列与无穷小的乘积仍是无穷小.
证 设 { yn } 为有界数列,即对于任意自然数 n ， 存在正数 M ，使得 | yn | M 。
由于 n 为无穷小,即对于任意 0 ，
数列的极限(86) 16
存在 N 0 ，使得当 n N 时，恒有
由定义,
0, N1 , N 2 , 使得 当n N1时, 恒有 xn a ;
当n N2时, 恒有 xn b ;
取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时, 有
a b ( x n b) ( x n a )
数列的极限(86) 2
| yn | M 1
1 | y 恒成立，即 n | M 恒成立。
意义： 将一般极限问题转化为无穷小问题.
数列的无穷小常用 n , n 等符号表示.
数列的极限(86) 14
3.无穷小的运算性质
性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 设 n , n 为两个无穷小,即对于任意 0 ，
y n z n ，且
则a b 。
lim z n b ,
n
数列的极限(86)
8
(5)
子列的收敛性
在数列 xn 中任意抽取无限多项并 保持这 些项在原数列xn 中的先后次序，这样得 到的一个数列称为原数 列 xn 的子列．
x1 , x2 ,, xi , xn , x n1 , x n2 ,, x nk , 如，
*证 设数列 yn 为无穷大,即对于任意 0 ，取
M 1 ,总存在正整数 N ，当 n N 时，有
| yn | M 1
1 | y 恒成立，即 n | 恒成立。
数列的极限(86)
13
反之，设 yn 为非零无穷小,即对于任意 M 0 ，
1 M 取 ,总存在正整数 N ，当 n N 时，有
存在 N 0 ，使得当 n N 时，恒有
n
2 ,
n

2
同时成立。于是 n n n n , 2 2 n n 0 (n ).
数列的极限(86) 15
注意：无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 例如, n 时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为 1不是无穷小 . n
第1章 函数、极限与连续
1.2 数列的极限
1.2.1.1 数列极限性质
1.2.2 无穷大与无穷小
1.2.3 极限的四则运算
2018/10/9
北京师范大学
1
6. 数列极限的性质： (1) 唯一性
定理 1 每个收敛的数列只有一个极限.
n n
证 设 lim xn a, 又 lim xn b,
yn
恒成立,则称数列 { yn } 为无穷小,记作
lim yn 0 或
n
yn 0 ( n ).
11
数列的极限(86)
( 1)n . 如， 数 列 是n 时 的 无 穷 小 n
2、无穷大
绝对值无限增大的数列称之.
若对于任意给定的正数 M (不论它多么大),总
存在正整数 N ，使得对于一切 n N ,均有
yn M
恒成立,则称数列 { yn } 为无穷大,记作
lim yn
n
或
yn (n ).
12
数列的极限(86)
定理5
1 y y 若数列 n 为无穷大,则 n 为无穷小；
1 y y 反之，若数列 n 为非零无穷小,则 n 为无穷大。
取 K N,
则当 k K 时,
k
nk nK N .

xnk a .
lim x nk a .
数列的极限(86) 10
1.2.2
无穷小与无穷大
极限为零的数列称之.
1、无穷小
若对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正整数 N ,使得对于一切 n N ,均有