3数列极限存在的条件

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数列极限的性质

如果 lim xn = a , ∃n0 , n > n0时有xn ≥ 0, 那么a ≥ 0.
4.保不等式性 (保序性 ) 保不等式性保序保序性保不等式命题4 命题如果 lim xn = a , lim yn = b均存在,
n →∞ n →∞
且有a > b, 那么∃N , ∀n > N ,有xn > yn . 有
仿照上面命题的推论可得命题的推论2. 仿照上面命题3的推论可得命题的推论命题的推论1可得命题4的推论
5. 极限的四则运算法则定理 1 设limxn = a,limxn = b,
n→ ∞ n→ ∞
(1) lim xn ± yn ) = a ± b; ( 则 (2) lim( xn ⋅ yn ) = a⋅ b;
n→ ∞ n→ ∞
xn a (3) lim = , 其 b ≠ 0. 中 n→ y ∞ b n xn a 对 (3) lim = ( b ≠ 0) 的明以于证予 n→ y ∞ b n
视明到极的号 . 重 ,证用了限保性
a0 nm + a1nm −1 + L + am 例1 求 lim n →∞ b n n + b n n −1 + L + b 0 1 n
n→∞
例3 求 lim ( n→ ∞
1 n +1
2
n +2 n +n 1 解倘若我们由 lim = 0 ( k = 1, 2,L , n ) , n →∞ n2 + k 根据极限的四则运算法则得 1 1 1 + +L+ lim( ) n →∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n 1 1 1 = lim + lim + L + lim =0 2 2 2 n →∞ n →∞ n + 1 n→∞ n + 2 n +n 那就错了.

数列极限的定义和判定方法

数列极限的定义和判定方法数列是数学中的重要概念，它在许多数学领域中都有广泛的应用。

在数列中，极限是一个关键的概念，它可以帮助我们更好地理解数列的变化趋势和性质。

本文将介绍数列极限的定义和判定方法，希望能够对读者有所帮助。

一、数列极限的定义数列的极限是指随着数列项的无限增加，数列的值逐渐趋近于一个常数。

数列极限的定义可以用以下形式来描述：对于给定的实数L，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n大于N时，数列的项a_n满足不等式|a_n - L| < ε，那么我们说数列的极限为L。

在这个定义中，L表示数列的极限值，ε表示误差范围，N表示某个正整数。

二、数列极限的判定方法1. 数列极限的定义判定法根据数列极限的定义，我们可以通过判断数列是否满足定义来确定其极限。

具体步骤如下：（1）根据给定的极限值L和误差范围ε，找到对应的正整数N。

（2）验证对于任意大于N的整数n，数列的项a_n是否满足不等式|a_n - L| < ε。

（3）如果满足上述条件，则数列的极限为L；否则，数列不存在极限。

这种判定方法较为直接，但需要根据具体的数列和极限值进行具体的推导分析。

2. 数列极限的基本性质判定法数列极限的判定方法中，除了直接根据定义判断外，还有一些基本性质可以用来帮助判断。

以下是常用的基本性质：（1）有界性：如果数列有界，即存在一个常数M，使得对于所有的正整数n，都有|a_n| ≤ M，那么数列必存在极限。

（2）单调性：如果数列单调递增且有上界（或递减且有下界），那么数列必存在极限。

（3）夹逼准则：如果存在两个数列{a_n}和{b_n}，使得对于所有的正整数n，都有a_n ≤ c_n ≤ b_n，且数列{a_n}和{b_n}的极限都为L，那么数列{c_n}的极限也为L。

（4）递推公式：如果数列通过递推公式来定义，且递推公式能够收敛到一个常数L，那么数列的极限也为L。

根据上述性质，我们可以利用数列的特点和性质，通过分析数列的变化趋势来判定其极限。

高等数学第2章第3节数列极限存在的条件.

§３数列极限存在的条件引言在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）．这是极限理论的两基本问题．在实际应用中，解决了数列极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当充分大时，能充分接近其极限a，故可用作为a的近似值．本节将重点讨论极限的存在性问题．为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断．从收敛数列的有界性可知：若收敛，则为有界数列；但反之不一定对，即有界不足以保证收敛．例如．但直观看来，若有界，又随n的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）．为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列．一、单调有界定理1 单调数列定义若数列的各项满足不等式，则称为递增（递减）数列．递增和递减数列统称为单调数列．例如：为递减数列；为递增数列；不是单调数列．2 单调有界定理〔问题〕（1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？一个数列，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了．此即下面的极限存在的判断方法．定理（单调有界定理）在实数系中，有界且单调数列必有极限．例１设其中，证明数列收敛．例２证明下列数列收敛，并求其极限：．例３．证明设S为有界数集，证明：若，则存在严格递增数列，使得例4 证明存在．二、柯西收敛准则单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则．1．Cauchy收敛准则：定理（Ｃauchy收敛准则）数列收敛的充分必要条件是：对任给的，存在正整数Ｎ，使得当时有．2．说明（1）Ｃauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题．（2）Ｃauchy收敛准则的条件称为Ｃauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数．或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起．（3）Ｃauchy准则把定义中与a的之差换成与之差．其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性．例5 证明收敛．3．Ｃauchy收敛准则逆否命题若存在正数，使对任意正数N，存在正整数，使则数列发散．例证明发散．作业：P38 1（1）（2），3（1），5（2），7。

数列极限的存在准则

xn 的展开式中共有 n 1 项，每一项为正数。
xn 1
1 1 1 1 1 ... 2! n1 1 1 2 k 1 1 n 1 1 n 1 ... 1 n 1 k! 1 1 2 n1 1 n 1 1 n 1 ... 1 n 1 n! 1 1 2 n 1 n 1 1 n 1 ... 1 n 1 ( n 1)!
例3 证明数列 2, 2 2 , , 2 2 2 , 单调有界, 并求极限. 例4 设a 0, x1 0, xn1
解由均值不等式, 有
1 a xn , 求 lim xn . n 2 xn
1 a a xn1 xn xn a { xn }有下界. 2 xn xn
{an }单调增加,有上界,故收敛.
其实, 在 1时,{an }收敛.只是证明稍麻烦些.
1 1 1 而an 1 ... , n 1, 2, ..., 2 3 n 在 1时{an }发散.
如果{an }在 1时收敛,设 lim an a , 那么应有 lim a2 n a , lim a2 n an 0,
n
n
1 1 1 例2 设an 1 ... , n 1, 2, ..., 2 3 n 2, 证明{an }收敛.
证明：数列递增性显然，下面证明有上界： 1 1 1 2, an 1 2 2 ... 2 2 3 n 1 1 1 1 1 ... 2 2, 1 2 2 3 ( n 1) n n
1 lim 1 n 2n 1

数学分析9数列极限存在的条件

§３数列极限存在的条件教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。

教学要求：（１）掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；（２）初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy 准则判断某些数列的敛散性。

教学重点：单调有界定理、Cauchy 收敛准则及其应用。

教学难点：相关定理的应用。

教学方法：讲练结合。

教学程序：引言在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。

这是极限理论的两基本问题。

在实际应用中，解决了数列{}n a 极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当n 充分大时，n a 能充分接近其极限a ，故可用n a 作为a 的近似值。

本节将重点讨论极限的存在性问题。

为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。

从收敛数列的有界性可知：若{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列；但反之不一定对，即{}n a 有界不足以保证{}n a 收敛。

例如{}(1)n -。

但直观看来，若{}n a 有界，又{}n a 随n 的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）。

为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列。

一、单调数列定义若数列{}n a 的各项满足不等式11()n n n a a a a ++≤≥，则称{}n a 为递增（递减）数列。

递增和递减数列统称为单调数列．例如：1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列；{}2n 为递增数列；(1)n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭不是单调数列。

二、单调有界定理〔问题〕（1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？一个数列{}n a ，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了。

数列极限存在的条件

其中 2，证明 {an } 收敛。
证明：{an } 递增显然，下面证明有上界，事实上：
11
1
an 1 22 32 ... n2
1 1 1 ... 1
12 23
(n 1) n
1 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
12 23
n 1 n
2
1 n
2,
n
1,2,....
bm2 10m2
bn 10n
9 10m1
9 10m2
9 10n
9 10m1
(1
1 10nm
1 1
)
1 10m
(1
1 10nm
)
10
1 10m
1 m
故数列{an}满足Cauchy收敛条件，从而收敛。 20
• 2 Ｃauchy收敛准则逆否命题
• 若存在正数 0,使对任给正整数N,存在
正整数n0 , m0 N,使
联系到该数列的单调性，可知对一切正整数n ，都有
(1 1 )n 4 n
,即
{(1 1 )n} n
有上界。
于是 {(1 1 ) n } 单调递增上界，即收敛。 n
习惯上记lim (1 1)n e 。
n
n
17
二 Cauchy收敛准则：
1 Ｃauchy收敛准则
定理2.10 数列an 收敛的充分必要条件是：
单调递增数列 {xn} S, 使得
lim
n
xn
a
.
Pr oof :supS a S
0, x S, s.t. a x a
现取1 1, x1 S, s.t. a 1 x1 a
取 2
min{1 2

数学分析2-323 数列极限存在的条件

n
2
) 1
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n 1)
n! n 1 n 1
n1
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n ).
(n 1)! n 1 n 1
n1
把 en 和 en1的展开式作比较就可发现, en 的展开
式有 n 1 项,其中的每一项都比 en1 的展开式中
的前 n 1 项小,而 en1 的最后一项大于零.因此
n(n 1) n!
11 nn
1 1 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 ) 1! 2! n 3! n n
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n 1),
(1)
n! n n
n
前页后页返回
由此得
en1
1
1 1!
1 (1 2!
1 n
) 1
1 (1 3!
1 n
)(1 1
A2 2 A，并解出 A 2, A 1.
由极限的不等式性, 知道 A 0 , 所以
lim
n
an
2
.
前页后页返回
例2 下面的叙述错在哪儿？
“设 an 2n, n 1, 2, , 则
an1 2n1 2an .
因为显然有
an
0,
所以
{ an }
递增 . 设
lim
n
an
A,
从而得出
A 2A A 0,
即 lim 2n 0 .” n
以前知道圆周率 π 是一个重要的无理数,现在来
介绍另一个重要的无理数 e.
前页后页返回
考察数列
en
(1
1 n
)n
的收敛性,下面的证法

第一节数列极限存在准则-3分析

am
| .
故数列{an
}收敛. 11
例5(P38) 证明 : 任一无限十进小数 0. b1b2 bn 的n位不
足近似(n 1, 2, )所组成的数列
b1 10
,
b1 10

b2 102
,
, b1 10

b2 102

bn 10n
,
(2)
满足柯西条件(从而必收敛),其中bk为0,1, 2, , 9中的一个数, k 1, 2, .
由定理2.9 知 lim n 及 lim n 1 存在 . n n 1 n n
实际上
n
n1
lim 1, lim 1.
n n 1
n n
4
例1( P 35)
设an
1
1 2

1 3

2. 证明数列{an }收敛.

1 n
，n

1,
2,
, 其中实数
例证
证明：若an 1

0＝
1 2

0，N
1
2
N

1 n
，则数列{an
}发散.
，m，2m N，有
| a2m am |

1 1 m1 m2
1 2m
11 2m 2m

1 2m

m
1 2m

1 2

0.
故数列{an }发散.
柯西收敛准则的等价叙述(补充):
数,其值用e= 2.7182818284……)来表示，即
lim(1 1 )n e.
n
n
9

2.3数列极限存在的条件——收敛准则

14
1 1 n
n
1 1 1 1 1 2! 3! n!
1 n 1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 1 3 n 1 3 1 2 2 2 2 1 2 n 1 合上 xn 1 ，单增有界。 n 1
n n
1 1 n
n1

1 n n 2 n1
n 2
n1
1
n 2

1 n 1 ( n 1 ) n1 n 2
n 2
2 n n1
n 2
n1
1 xn 1 n 1 limxn lim 1 e n n n
1 lim yn lim 1 n n n
n1
1 第二个重要极限的特点：无穷小量 n 与无穷大量n 的乘积=1。
19
§2.4.3 数列的子列
若数列{yn} 单调，当数列{yn}再增加有界这个条件，则数列{yn} 必收敛。对于单调数列{yn} ，还可以增加什么条件，代替有界条件，仍然保证数列{yn} 收敛。另外，所遇到的数列大多数都不具有单调性，如何使研究其收敛性问题得到简化？例如，数列xn= si n
1 1 n1
n1 1 表明数列 1 单调减 n
16
于是
1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n 1 1 1 1 n1 n2
n
β β 1 1 β
β β2 1 2β
所以
1 1 4 1 0 β (1 5 ) 2 2

极限存在准则两个重要极限公式

夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限单调上升有上界数列必有极限
说明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则

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§３数列极限存在的条件
教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。
教学要求：（１）掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；
（２）初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。
数列极限的两大问题
• 数列极限的存在性；（此问题为最关键的问题）
正整数n0,m0 N,使
an0 am0 0
• 则数列{a n }发散.
例 6证数明{列 (1)n}发.散
证明: 0 1,N N ,
n0 2N 1, m0 2N ,
s.t. (1)n0 (1)m0 2 0 故数列{(1)n}发散。
作业 P39 1(2)(4),3(1),5(2),7
例5 任一无限十进小数 0.b1b2 bn 的n位
不足近似 (n 1,2,)所组成的数列
b1 , 10
1b101b022
,
,1b101b022
1b0nn
,
满足柯西条(从件而必收)敛,其中bk为0,1,2, ,9
中的一个数
证明：因为 0 ,对 N 1,s.t.nm N 时
an am
bm 1 10 m 1
现取 1 1 , x 1 S , s .t . a 1 x 1 a
取 2 min{
1 2
,a
x1}
0,x2
S
,
s .t. a x 2 a 2 a ( a x1 ) x1
一般地，按上述步骤得到
x n1 S 后
取 n min{
1 n
,a
x n1}
0,xn
S
,
• 证明:对递减数列 a n
•
由确界原理, a n 有下确界,令 ainfa{n}
• •
下证 lni man a
由下确界定义: 0 , a N { a n } s .t.a ,N a
•
故 nN 时 anaNa
•
而 n,anaa
•
所以 nN 时 an a
•
即 lni man a
对任一正整数 n，有
bn1an1 bnbn1aan ba bnbn1bbn(n1)bn
于b 是 n 1 a n 1 ( n 1 ) b n ( b a )
整理后得不等式：
a n 1 b n (n ( 1 )a n )b ( 1 )
令 a11,b11代1入有
n1 n
(1 1 )n1(11)n
anan 1(anan 1)，
则称 a n 为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列．
例如：
1 n
为递减数列；
n 2 为递增数列；
(
1 n
)
n
不是单调数列。
如果数a列 n满足条件 a 1a 2a na n 1 ,单调增加
a 1a 2a na n 1 ,单调减少
单调数列
几个简单的单调数列：
其中 2，证明 { a n } 收敛。
证明：{a n } 递增显然，下面证明有上界，事实上：
an1212312... n12
111... 1 12 23 (n1)n
1(11)(11)( 1 1)
12 23
n1 n
212,n1,2,.... n
故数 {an} 列单调，有从界而。收敛
例２证明数列
n1
n
即{(11)n}为递增数。列
n
再a以 1,b11代(1 入 )得 2n
(n 1 )an b (n 1 )n (12 1 n)1 2
故 1 得由 1 (1 1)n1 (1 1)2 n 4
2 n2 2 n
上式对一切正整数 n都成立，即对一切偶数 n，有
(1 1)n 4 n
联系到该数列的单调性，可知对一切正整数n，都有
• 数列极限值的大小；（存在性成立后，才想办法计算极限）
几种证明极限存在的方法：
• 按照数列极限的定义证明。 • 按照奇、偶子列的收敛性证明。 • 依据任意子列的收敛性证明。 • 利用夹逼准则证明。
最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性
一单调有界定理
1 单调数列
定义
若数列 a n 的各项满足不等式
所以两边取极限a得 2 a2
解a得 2或 a1不可能
所l以 im2 2 22 n
例3 设S为有界集，证明：若 suSpaS,则存在严格
单调递增数列 {xn}S, 使得 ln im xn a.
Pr oof : sup S a S
0 , x S , s .t. a x a
(1 1)n 4 n
,即
{(1 1 )n } n
有上界。
于是 {(1 1 ) n } 单调递增上界，即收敛。 n
习惯l上 im (1 记 1)n e 。 n n
二 Cauchy收敛准则：
1 Ｃauchy收敛准则
定理2.10 数列 a n 收敛的充分必要条件是：
对任给的 0 ,存在正整数Ｎ，使
s .t . a x n a n a ( a x n 1 ) x n 1 ,
上述步骤无限进 ,得行到下数 {x去 n列 }S, 它是严格递,增且数列
an
xn
aan
xn
a
n
1 n
故ln im xn a
•
例4
证明
lim(1
n
1 )n n
存在。
证明：先建立一个不等式，设 ba0
得当 n,m N 时有 | an am | 。
根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。
1 收敛数列的各项越到后面，项之间几乎“挤”在了一起。 2 判别{ a n } 的收敛性只要根据本身满足的特性就可以判别，
不需要引入别的数列作参照。
3 把数列项与其极限的关系变换为数列各个项之间的关系。
1 ann,n1,2,. ..ln im an0;
1 ann,n1,2,. ..ln im an0;
a n q n ,(0 q 1 )n , 1 ,2 ,. .l n . ia n m 0 ;
2 单调有界准则
定理在实数系中，有界且单调数列必有极限。
几何解释:
x1 x 2 x 3x n xn1 A M x
几点说明：
• 通常该准则变通为：
1）单调递增有上界的数列存在极限。 2）单调递减有下界的数列存在极限。 • 本定理只是证明了存在性。 • 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。
• 此定理的条件为充分非必要条件。
an
(1)n
1,n1,2,.... n
例1
设
11 1 an123.. .n,n1,2,...

bm2 10 m 2
bn 10 n
9 10 m 1
9 10 m 2
9 10
n
9 10 m 1
(1
10
1
nm
1 1
)
1 10 m
(1
1 10 n m
)
10
1 10 m
1 m
故数 {an}满列 C 足 a收 uc敛 h， y从条而件。收
• 2 Ｃauchy收敛准则逆否命题
• 若存在正数 0 ,使对任给正整数N,存在
2, 2 2,L,1244224L432,L
n个根号
收敛，并求其极限.
证明：记 an 2 2 2, 则 an1 2an
先证 { a n } 有界: 10 a1 2
20 设an 2
则 an12an222
故 n,an 2
从而 an 12an2anan 故 {a n } 单调有界，因而收敛。
令 lni man a 由a于 n212an