数列极限存在的条

数列的极限
一，数列极限定义
简单来讲就是：一个数列随着序数的增加最终会趋于或等于一个数，这个数就是数列的极限。

证明题要结合书上的公式
二，收敛数列的性质
1唯一性：收敛数列只有一个极限
2有界性：收敛数列一定有界。

(收敛数列最终都会趋于或等于一个数，所以有界)但有界数列不一定就是收敛数列，如-1，1，-1，1……,这个数列就是发散的，因为它同时趋于-1和1。

（有界是因为它的绝对值小于等于1，可参考上节所讲如何判定数列有界）这个数列同时说明了发散数列不一定无界。

3保号性：就是有一个数列，当其中一个数从它开始大于零，那么它之后的数都大于零。

推论：当一个数列存在某一个数大于零，那么这个数列的极限也大于零
4收敛数列与其子数列间的关系：如果一个数列收敛于A，那么它的任意子数列也收敛于A，但子数列收敛，原数列不一定收敛；子数列收敛于A，原数列不一定收敛于A，有可能原数列不收敛，可参考我在有界性中提到的例子，同时这个例子也说明一个发散的数列也可能有收敛的子数列。

第六节 极限存在准则 两个重要极限 ㈠本课的基本要求了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

㈡本课的重点、难点重点是两个重要极限，难点是用两个重要极限求极限 ㈢教学内容本节介绍判定极限存在的两个准则，并利用它们求出微积分中两个重要极限：1sin lim=→xxx 及 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim一．夹逼准则准则Ⅰ 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足下列条件：⑴),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ，⑵a z a yn n nn ==∞→∞→lim lim ,，那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。

证 因a z a y n n →→,，所以根据数列极限的定义，∃>∀,0ε正整数1N ，当1N n >时，有ε<-a y n ；又∃正整数2N ，当2N n >时，有ε<-a z n 。

现在取},max{21N N N =，则当N n >时，有ε<-a y n ，ε<-a z n 同时成立，即εε+<<-a y a n ，εε+<<-a z a n 同时成立。

又因n x 介于n y 和n z 之间，所以当N n >时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即ε<-a x n 成立，这就证明了a x n n =∞→lim 。

上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限： 准则Ⅰ’ 如果⑴当),(0r x U x∈（或M x >）时，)()()(x h x f x g ≤≤ ⑵A x h A x g x x x x x x ==∞→→∞→→)(,)(lim lim )()(00，那么)(lim)(0x f x x x ∞→→存在，且等于A 。

准则Ⅰ及准则Ⅰ’称为夹逼准则。

准则不仅告诉我们怎样判定一个函数（数列）极限是否存在，同时也给了我们一种新的求极限的方法：即为了求得某一函数的极限，不直接求（比较困难）它的极限，而是把它夹在两个已知（易求的）有同一极限的函数之间，那么这个函数的极限必存在，且等于这个公共的极限。

数列极限存在的条件
1. 数列极限的定义：
数列极限是指当一组数的k项的取值趋向于一个值时，此数列的k项称为极限值。

2. 数列极限存在的条件：
(1) 数列项具有确定的规律性：求极限必须有一个已知的数列，该数列必须具有一个确定的规律性或者说，必须是数系。

(2) 导数存在：不存在极限的情况通常是由于数列函数无法在某一点求得它的导数，或者说导数为正无限大、负无限大或无穷大。

(3) 无穷多项式存在：无穷项数列的极限应存在，这样的函数往往可以简化为无穷多项式的形式。

(4) 左右极限存在：左右极限的存在是数列极限存在的充要条件，即对于任意一个数列，其任意一点处必须具有左右极限才能满足数列极限存在条件。

(5) 极限算法存在：若数列满足上述条件，那么就可以通过极限算法来计算极限的值。

(6) 原函数的准确性：在计算极限的值时，数列函数的准确性也非常重要，原函数需要能够准确的表达该数列的趋势。

数列的极限与边界数列是数学中的一个重要概念，它由按照一定规律排列的一系列数字组成。

数列的极限与边界是数列在逼近终点时所遵循的规律与限制。

本文将探讨数列的极限与边界。

一、数列的极限数列的极限是指当数列的项无限逼近某个值时，该值被称为数列的极限。

数学符号表示为liman=n→∞。

1. 无穷大与无穷小在数列中，当数列的项无限逼近正无穷或负无穷时，我们称之为无穷大。

而当数列的项无限逼近零时，我们称之为无穷小。

2. 极限的存在性数列的极限并不总是存在，有些数列的极限是不存在的。

存在极限的数列被称为收敛数列，不存在极限的数列被称为发散数列。

3. 收敛数列的性质收敛数列具有以下性质：- 收敛数列的极限是唯一的；- 若数列{an}与{bn}分别收敛于a和b，则{an+bn}也收敛，并且其极限为a+b；- 若数列{an}收敛于a，且对于每一个n，有an≤bn≤cn，则数列{bn}和{cn}也收敛，并且它们的极限都是a。

二、数列的边界数列的边界是指数列的项在有限范围内所能够达到的上下限。

在数列中，存在上确界和下确界。

上确界是指数列的项中最大的一个值，而下确界是指数列的项中最小的一个值。

1. 上确界的定义对于数列{an}，如果存在一个实数M，使得对于任意的n，都有an≤M成立，那么M就是该数列的上确界。

2. 下确界的定义对于数列{an}，如果存在一个实数m，使得对于任意的n，都有an≥m成立，那么m就是该数列的下确界。

3. 数列的有界性如果数列既有上确界，又有下确界时，我们称该数列是有界的；如果不存在上确界或下确界，则该数列是无界的。

三、数列的极限与边界的关系数列的极限与边界是数列的内在联系。

在数列中，若数列的极限存在，则该数列必定是有界的，即存在上确界和下确界。

1. 极限与上确界的关系对于收敛数列{an}，当其极限存在时，该极限即为该数列的上确界。

2. 极限与下确界的关系对于收敛数列{an}，当其极限存在时，该极限即为该数列的下确界。

单调有界准则证明极限存在在数学分析中，证明某个数列的极限存在是一个常见的问题。

一种常用的方法是使用单调有界准则，即如果一个数列单调递增（或递减）且有上（或下）界，则该数列的极限存在。

本文将详细介绍单调有界准则的证明过程。

1. 引言在分析数列极限时，我们关注的是当数列中的元素趋近于无穷时，该数列是否会趋近于某个特定的值。

使用单调有界准则可以帮助我们判断数列是否有极限。

单调有界准则是由实数完备性公理（柯西序列定理）推导而来的。

2. 单调递增数列的证明首先，我们证明一个单调递增数列的极限存在。

假设有一个单调递增数列 {an}，即对于任意的 n，都有an ≤ an+1。

我们需要证明该数列的极限存在。

根据单调有界准则，我们需要证明该数列存在上界。

由于数列是单调递增的，那么对于任意的 n，都有an ≤ an+1 ≤ … ≤ aN（当 N > n 时）。

因此，数列 {an} 是一个递增有上界的数列，我们可以将其上界记为 M。

接下来，我们将证明该数列存在下界。

由于数列是单调递增的，对于任意的n，都有 an-1 ≤ an ≤ … ≤ aN（当 N > n 时）。

因此，数列 {an} 是一个递增数列，且对于任意的 n，都有an ≥ a1。

因此，我们可以将 a1 作为数列的下界。

综上所述，数列 {an} 是一个单调递增且有界的数列。

根据单调有界准则，该数列的极限存在。

3. 单调递减数列的证明类似地，我们可以证明一个单调递减数列的极限存在。

假设有一个单调递减数列 {bn}，即对于任意的 n，都有bn ≥ bn+1。

我们需要证明该数列的极限存在。

根据单调有界准则，我们需要证明该数列存在上界。

由于数列是单调递减的，那么对于任意的 n，都有bn ≥ bn+1 ≥ … ≥ bN（当 N > n 时）。

因此，数列 {bn} 是一个递减有上界的数列，我们可以将其上界记为 M。

接下来，我们将证明该数列存在下界。

由于数列是单调递减的，对于任意的n，都有bn+1 ≥ bn ≥ … ≥ bN（当 N > n 时）。