第四编 立体几何初步
第九章
立体几何初步
第一节 简单几何体的表面积和体积
1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积的计算公式如下：
2. 球、柱、锥、台的表面积及体积计算公式： 名 称 表面积S
体积V
棱 柱 底侧S S 2+ h S 底
棱 锥 底侧S S + h S 底3
1
棱 台 下底上底侧S S S ++
h S S S S )(3
1
下底上底下底上底⋅++ 球 24R π
33
4
R π 圆 柱 )(2r l r +π
h r 2π
圆 锥 )(r l r +π
h r 23
1π 圆 台 )()(222121r r l r r +++ππ
)(3
1
222121r r r r h ++π
第二节 三视图
1. 柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体.
（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体.
（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分.
（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体. l r
r
π2r
l
r
π2l
'
r r
'
2r πr
π2rl
s π2=侧rl
S π=侧()l
r r S '+=π侧
（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体.
（6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分. （7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.
2. 空间几何体的三视图和直观图：
（1）三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下）
（2）画三视图的原则：长对正，高齐平，宽相等. （3）直观图：斜二侧画法.
①在已知图形中取相互垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的'x 轴和'y 轴，两轴相交于点'O ，且使)135(45︒︒='''∠或y O x ，它们确定的平面表示水平面.
②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；
③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半.
第三节 空间几何体的平行问题
1. 线线平行的判断：
①平行于同一条直线的两条直线互相平行。
②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
③如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线
和交线平行。
l
b a l
b l
a //
//⇒b a //
α
b
a
α
α
⊂b b a //⇒α
//a ⇒
b
a a =⊂βαβα //
b a //
④如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。
⑤
垂直于同一平面的两直线平行。
2. 线面平行的判断：
①线段与平面，不想交就平行。
②两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
3. 面面平行的判断：
①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
α
β
λa
b
⇒
b
a
=
=
β
λ
α
λ
β
α
//
b
a//α
l
α
α//l
l⇒
∅
=
⇒b
a//
α
α
⊥
⊥
b
a
α
b
a
α
β
l
α
β
A
b aβ
β
α
α
⊂
⊂
=
b
a
A
b
a
b
a
//
//
β
//
a
⇒
⇒
α
β
α
⊂
l
//
β
//l
②垂直于同一条直线的两个平面平行。
第四节 空间几何体的垂直问题
1. 线线垂直的判断：
①如果一直线垂直于一平面，那么这条直线垂直于平面内所有直线。
②如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么它也必垂直于平行线中的另一条。
2. 线面垂直的判断：
①如果一直线和平面内的两相交直线垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。
②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
③如果一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
l α
β
⇒β
α⊥⊥l l β
α//l b
a ⇒
b
l b a ⊥//a l ⊥αl
b a
A
α
b
a αα⊂⊂=⊥⊥
b a A b a b l a l ⇒
α⊥l l
α
β
⇒⇒
α⊥a b a //α⊥b β
αα
//⊥l β
⊥l
