2007年高考“立体几何”题
1．(全国Ⅰ) 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，
则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
15
B ．
25
C ．
3
5
D ．
45
解：如图，连接BC 1，A 1C 1，∠A 1BC 1是异面直线1A B 与1AD
所成的角，设AB=a ，AA 1=2a ，∴ A 1B=C 1B=5a ， A 1C 1=2a ，∠A 1BC 1的余弦值为4
5
，选D 。
一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知 正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ． 解：一个等腰直角三角形DEF 的三个顶点分别在 正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知 正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形
的斜边EF 上的中线DG=3. ∴ 斜边EF 的长为23。
四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，
2AB =
，BC =
SA SB ==
（Ⅰ）证明SA BC ⊥；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． 解法一：
（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，
得SO ⊥底面ABCD ． 因为SA SB =，所以AO BO =，
又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，
1
A A
B
1B
1A
1D
1C C
D
C 1A C
F
A
D B
C
A S
故SA AD ⊥
，由AD BC ==
SA =
AO =
得1SO =
，SD =．
SAB △
的面积211
12
2S AB
SA ⎛=-= ⎝
连结DB ，得DAB △的面积21
sin135
22
S AB AD =
= 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=， 得1211
33
h S SO S =
，解得h = 设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α=
==
． 所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin
11
． 解法二：
（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，
得SO ⊥平面ABCD ． 因为SA SB =，所以AO BO =．
又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．
（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，，
连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，12G ⎫
⎪⎪⎝⎭，． 12OG ⎫=⎪⎪⎝⎭，，1SE ⎫
=⎪⎪⎝⎭
，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．
所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，
O
D
B
C
A
S
则α与β互余．
D
，(DS =．
22
cos 11
OG DS OG
DS
α=
=
，
sin 11β=，
所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin ．
2．(全国II) 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，
则1AB 与侧面
11ACC A 所成角的正弦值等于（ ）
A
．
4
B
．
4
C
．
2
D ．
2
解：已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，取A 1C 1的中点D 1，
连接BD 1，AD 1，∠B 1
AD 1是AB 1与侧面
ACC 1A 1所成的角，
11sin 4B AD ∠==，选A 。
一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱 的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2
．
解：一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。正四棱柱的对角线的
长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm ，设正四棱柱的高为h ，
∴ h=2，那么该棱柱的表面积为2+42cm 2.
如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；
（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小． 解法一：
（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．
连结12
AG FG CD
∥，，又CD AB ∥， 故FG AE AEFG
∥，为平行四边形． A
E
B
C
F
S
D
