课时备课4 第二章复习因式分解的常用方法;

因式分解的常用方法
因式分解是将一个多项式表示为两个或多个因子的乘积的过程。

以下是常见的因式分解方法：
1. 公因式法：找出多项式中的公因式，并将其提取出来。

例如，对于多项式6x + 9y，可以提取公因式3，得到3（2x + 3y）。

2. 二次方程法：对于二次多项式，可以使用二次方程法进行因式分解。

例如，对于多项式x^2 - 4x + 4，可以通过找到它的
平方根来进行因式分解，即(x - 2)^2。

3. 差平方法：对于一些特殊形式的多项式，可以使用差平方法进行因式分解。

例如，对于多项式x^2 - y^2，可以通过差平
公式(x-y)(x+y)进行因式分解。

4. 分组法：对于四项或更多项的多项式，可以使用分组法进行因式分解。

该方法将多项式分为两组，将每一组的相同项提取出来，并进行因式分解。

例如，对于多项式2xy + 3x + 2y + 3，可以将其分为两组并进行因式分解为(2xy + 3x) + (2y + 3) =
x(2y + 3) + (2y + 3) = (x + 1)(2y + 3)。

5. 换元法：对于一些特殊形式的多项式，可以使用换元法进行因式分解。

该方法通过引入新的变量，将多项式转化为较简单的形式，并进行因式分解。

例如，对于多项式a^3 + b^3 + c^3 - 3abc，可以进行换元a + b + c = p，然后进行较简单的因式分解。

注意，这里的方法只是介绍了因式分解的常见方法，并不涵盖所有情况。

在实际问题中，有时需要根据具体情况使用不同的方法进行因式分解。

因式分解复习步骤详解因式分解是数学中常见的一种运算方式，用于将一个多项式拆分成更简单的因子。

以下是因式分解的详细步骤：1. 提取公因数：首先检查多项式中是否存在公共因子，如果有，可将其提取出来。

这样做可以简化表达式，减少计算量。

提取公因数：首先检查多项式中是否存在公共因子，如果有，可将其提取出来。

这样做可以简化表达式，减少计算量。

2. 判定多项式类型：进行因式分解前，需要确定多项式的类型。

常见的类型包括二次多项式、立方多项式等。

不同类型的多项式会使用不同的因式分解方法。

判定多项式类型：进行因式分解前，需要确定多项式的类型。

常见的类型包括二次多项式、立方多项式等。

不同类型的多项式会使用不同的因式分解方法。

3. 观察多项式结构：观察多项式的结构，寻找一些规律或特殊模式。

例如，是否存在平方差、立方差等特点。

这些特点可以帮助我们确定因式分解的起点。

观察多项式结构：观察多项式的结构，寻找一些规律或特殊模式。

例如，是否存在平方差、立方差等特点。

这些特点可以帮助我们确定因式分解的起点。

4. 使用因式分解公式：根据多项式的类型，选择适当的因式分解公式进行分解。

常见的因式分解公式有二次差方公式、立方差方公式等。

使用因式分解公式：根据多项式的类型，选择适当的因式分解公式进行分解。

常见的因式分解公式有二次差方公式、立方差方公式等。

5. 检验分解结果：进行因式分解后，需要检验分解结果是否正确。

可以通过将因子相乘得到原多项式，或借助计算机软件进行验证。

检验分解结果：进行因式分解后，需要检验分解结果是否正确。

可以通过将因子相乘得到原多项式，或借助计算机软件进行验证。

6. 合并同类项：在因式分解完成后，需要合并分解得到的各个因子中的同类项，得到最简形式的多项式。

合并同类项：在因式分解完成后，需要合并分解得到的各个因子中的同类项，得到最简形式的多项式。

通过以上步骤，我们可以在解决数学问题时运用因式分解的方法。

因式分解是数学中的一项基础技能，熟练掌握这一技能可以提高解题的效率。

因式分解的14种方法讲解因式分解是数学中常用的重要方法，它可以将一个多项式表达式分解为一个或多个乘积的形式。

在因式分解过程中，有多种方法可以使用。

下面我将为您介绍14种常见的因式分解方法。

方法一：公因式提取法1.公因式提取法是最基本的一种因式分解方法，适用于多项式中存在公共的因式。

例如，对于多项式2x+6，可以提取出公因式2，得到2(x+3)。

方法二：配方法2. 配方法适用于二次型多项式的因式分解。

对于ax² + bx + c形式的多项式，可以通过配方法将其分解为两个一次因式相乘的形式。

例如，对于多项式x² + 3x + 2，可以找到两个因数(x + 1)(x + 2)。

方法三：x平方差3.x平方差适用于形如x²-a²的多项式，其中a是一个常数。

这种情况下，可以将其分解为两个因子(x+a)(x-a)。

方法四：因式分解公式4.因式分解公式适用于一些特殊的多项式形式。

例如，x²-y²可以通过公式(x-y)(x+y)分解。

方法五：完全平方公式5. 完全平方公式适用于形如a² ± 2ab + b²的多项式。

这种情况下，可以将其分解为平方项的和或差。

(a ± b)²。

方法六：两个平方差的乘积6.两个平方差的乘积适用于形如(a+b)(a-b)(c+d)(c-d)的多项式。

这种情况下，可以分解为两个平方差相乘。

方法七：立方公式7. 立方公式适用于形如a³ ± b³的多项式。

这种情况下，可以将其分解为立方项的和或差。

(a ± b)(a² ∓ ab + b²)。

方法八：差的立方8. 差的立方适用于形如a³ - b³的多项式。

这种情况下，可以分解为差的立方公式(a - b)(a² + ab + b²)。

方法九：高次幂差的因式分解9.高次幂差的因式分解适用于形如aⁿ-bⁿ的多项式，其中n为正整数。

因式分解常用方法总结【知识回顾】一、分解因式与整式乘法的关系.因式分解的特点: 它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.例: 由（a+b ）（a －b ）=a2－b2可知, 左边是整式乘法, 右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b ）（a －b ）来看, 左边是一个多项式, 右边是整式的乘积形式, 所以这两个过 程正好相反.因式分解最终结果只有小括号。

二、分解因式常用的方法.1.找公因式的一般步骤.（1）若各项系数是整系数, 取系数的最大公约数；（2）取相同的字母, 字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式, 多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.例2: 993－99能被100整除吗？ 还能被那些数整除?2.公式法:(1）平方差: a2—b2=（a+b ）（a —b ）（2）完全平方和: （a+b ）2=a2+2ab+b2（3）完全平方差: （a —b ）2=a2—2ab+b2例3：1）25－16x2. 2）9a2－ b2. 3）9（m+n ）2－（m －n ）. 4）2x3－8x.三、十字相乘法分解因式: 利用十字交叉来分解系数, 把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

例4、在多项式 分解时, 也可以借助画十字交叉线来分解。

分解为 , 常数项2分解 , 把它们用交叉线来表示： 所以)2)(1(232++=++x x x x同样: = 可以用交叉线来表示:其中 ,例5: 用十字相乘法分解因式: （1）1272+-x x （2）1242--x x（3）1282++x x （4）12112--x x四、用分组分解法分解因式定义: 分组分解法, 适用于四项以上的多项式, 例如 没有公因式, 又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合, 把原多项式分成两组。

再提公因式, 即可达到分解因式的目的。

例如：22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

因式分解的十二种方法因式分解的方法顺口溜因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x³-2x²-x (2003淮安市中考题)x³-2x²-x=x(x²-2x -1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a²+ 4ab + 4b²(2003南通市中考题)解：a²+ 4ab +4b²=（a+2b）²3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m²+ 5n - mn - 5m 解：m²+ 5n - mn - 5m= m²- 5m - mn + 5n= (m²-5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx²+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x²-19x-6分析：1 - 37 22 - 21=-19解：7x²-19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x²+3x-4033解x²+3x - 40=x²+ 3x + ( 2)²- ( 2 )²-40313=(x + 2 )²- ( 2 )²313313=(x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 )=(x+8)(x-5)[1**********]注：( )²+ ==( )²=( )²2444226、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

因式分解复习教案因式分解复习教案教师在写教案时，一定从实际出发，要充分考虑从实际需要出发，要考虑教案的可行性和可操作性。

下面是小编收集整理的因式分解复习教案，希望对您有所帮助！教学目标：1、进一步巩固因式分解的概念;2、巩固因式分解常用的三种方法3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题5、体验应用知识解决问题的乐趣教学重点：灵活运用因式分解解决问题教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3教学过程：一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。

二、知识回顾1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.判断下列各式哪些是因式分解?(让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系)(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)因式分解(2).2x(x-3y)=2x2-6xy整式乘法(3).(5a-1)2=25a2-10a+1整式乘法(4).x2+4x+4=(x+2)2因式分解(5).(a-3)(a+3)=a2-9整式乘法(6).m2-4=(m+4)(m-4)因式分解(7).2πR+2πr=2π(R+r)因式分解2、.规律总结(教师讲解):分解因式与整式乘法是互逆过程.分解因式要注意以下几点:(1).分解的对象必须是多项式.(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.(3).要分解到不能分解为止.3、因式分解的方法提取公因式法：-6x2+6xy+3x=-3x(2x-2y-1)公因式的概念;公因式的求法公式法:平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)24、强化训练教学引入师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。

第二章：分解因式 复习教案知识要点：1. 思想方法提炼（1）直接用公式。

如：x 2－4＝（x ＋2）（x －2）a ab b a b 222442++=+()（2）提公因式后用公式。

如：ab 2－a ＝a （b 2－1）＝a （b+1）（b －1）（3）整体用公式。

如：()()[()()][()()]()()2222223322a b a b a b a b a b a b a b a b +--=++-⋅+--=-+ （4）连续用公式。

如：()a b c a b 2222224+--=+-++--()()a b c ab a b c ab 22222222 =+---[()][()]a b c a b c 2222 =+++--+--()()()()a b c a b c a b c a b c（5）化简后用公式。

如：（a ＋b ）2－4ab＝a 2＋b 2＋2ab －4ab＝（a －b ）2（6）变换成公式的模型用公式。

如：x xy y x y x y x y x y 22222221211++--+=+-++=+-()()()2. 注意事项小结（1）分解因式应首先考虑能否提取公因式，若能则要一次提尽。

然后再考虑运用公式法（2）要熟悉三个公式的形式特点。

灵活运用对多项式正确的因式分解。

（3）对结果要检验（1）看是否丢项（2）看能否再次提公因式或用公式法进行分解，分解到不能分解为止。

3. 考点拓展研究a. 分组分解法在分解因式时，有时为了创造应用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，进行因式分解。

【典型例题】例1. 分解因式：x x y x y x x y ()()()+--+2 解：=+--+x x y x y x y ()[()()]=+---x x y x y x y ()()=+-x x y y ()()2=-+2xy x y ()例2. x y 4416-解：=-()()x y 22224=+-()()x y x y 222244=++-()()()x y x y x y 22422 例3. x y xy 33-解：=-=+-xy x y xy x y x y ()()()22 例4. ()x y x --3422解：=-+--()()x y x x y x 3232=---=-⋅-+=--+()()()[()]()()3333333x y y x x y x y x y x y例5. 13231322x xy y ++ 解：=++=+13213222()()x xy y x y例6. 252034322m m m n m n --+-()()解：=-⨯⨯-+-()()[()]525232322m m m n m n=--[5()]m m n 232=-+[5]m m n 262=+()362m n=+[()]322m n=+922()m n例7.()()x x 2221619---+ 解：=--()x 2213 =-()x 224=+-()()x x 2222例8. 分解因式164129222a b bc c -+-精析：后三项提负号后是完全平方式。

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

因式分解的四种方法
1. 因式分解法一：提取公因式法
这种方法适用于多项式中存在公共因式的情况。

首先，找出多项式中的公共因式，然后将其提取出来，在剩下的部分进行进一步的因式分解。

例如，对于多项式2x² + 4x，可以提取公因式2x，得到2x(x + 2)。

2. 因式分解法二：二次因式法
这种方法适用于多项式中存在二次因式的情况。

具体步骤是将多项式进行因式分解，将其表示为一个二次因式乘以一个一次因式的形式。

例如，对于多项式x² - 4，可以通过差平方公式进行因式分解，得到(x - 2)(x + 2)。

3. 因式分解法三：分组法
这种方法适用于多项式中存在四项以上的情况。

具体步骤是将多项式中的项进行分组，然后在每个组内因式分解，最后再进行合并。

例如，对于多项式x³ + 8y³ + 2xy² + 16y²，可以将其分为(x³ + 2xy²) + (8y³ + 16y²)，然后在每个组内因式分解，得到x(x² + 2y²) + 8y²(y + 2)，最后合并得到(x + 2y)(x² + 8y²)。

4. 因式分解法四：完全平方式
这种方法适用于多项式是平方差的形式。

具体步骤是将多项式表示为两个完全平方数的差，然后应用差平方公式进行因式分解。

例如，对于多项式x⁴ - 16，可以将其表示为(x²)² - 4²，然后应用差平方公式得到(x² - 4)(x² + 4)。

因式分解一、因式分解的技巧：1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提取公因式，再考虑其他方法。

2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。

（1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式［a2－b2＝（a ＋b）（a－b）］。

（2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。

（3）当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。

a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。

b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。

3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后再分解。

二. 因式分解的方法：（一）提公因式法方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1.分析：此多项式各项都有公因式x，因此可提取公因式x。

（二）应用公式法方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。

例2.分析：此多项式看作两项，正好符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。

解：例3.分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。

解：（三）分组分解法方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的。

下面介绍八种常见的思路：1. 按公因式分组：例4.分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2项有公因式m，第3、4项有公因式p，可将它们分别分为一组。

解：2. 按系数特点分组：例5.分析：观察系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1：2，所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。

解：3. 按字母次数特点分组：例6.分析：此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。