论多值函数

多值函数w Lnz 的单值化方法与技巧1 引言在复变函数中，多值函数是较为复杂的函数，也是较难理解的函数，对于多值函数、多值函数单值化以及在支点、支割线判定上对于教学者和初学者来说都是一个难点，初学者更不易掌握．所以系统的对多值函数单值化方法与技巧做一下研究是很有必要的．我主要是针对多值函数w Lnz 的单值化方法与技巧来做一下详细研究与总结．多值函数对我们来说是棘手的，然而我们经常不可避免地会遇到它，例如在研究代数函数时就会遇到，但前人在这方面已做了详细的研究．对于多值函数w Lnz 的单值化方法与技巧．我们有一些传统的方法，比如割破z平面法．其主要是在z平面上从原点z 0起割破负实轴的区域D 内，可以得到w Lnz 的无穷多个不同的单值解析分支函数．下面就针对这个课题详细进行探讨一下．2 预备知识概念 1 支点——设w f z 是多值函数，a 是z 平面上一点，如果z 在a 点的充分小的邻域内绕a 的任一简单闭曲线一周后，w f z 从一支进入另一支，即，从它在曲线上一点的任一值连续变动到其他一值，则称a 是w f z 的一个支点．概念２支割线——用来割破z 平面，借以分出多值函数w f z 的单值解析分支函数的割线，叫做f z 的支割线．3 多值函数w Lnz 的单值化方法与技巧3.1 割破平面法这个方法是很传统的方法，它的步骤是：首先确定多值函数的支点，再在复平面上以连接支点的曲线作支割线得一区域，然后在这一区域内多值函数分成了单值解析分支函数．w Lnz ln z iargz 2k i ln z 2k i （k Z ）．（i ）其中，lnz ln z i arg z （ln z是Lnz的主值）（1）确定w Lnz 的支点在0或的充分“小”的邻域内，任作一简单连续曲线C围绕0或．根据Argz 的连续变化情况，当一点z 从C上一点z1出发沿C连续变动一周时，Lnz 从它在z1的任一值连续变动到其他一值．这可以由（i ）式看出，（任何不是零的复数有无穷多个对数，其中任意两个相差2 的整数倍）．所以由预备知识概念1，0 或称为对数函数w Lnz 的支点．（2）对w Lnz 做支割线，确定区域一般在复平面上，取连接0 及的任一条无界简单连续曲线K1作为割线隔开z平面．即由预备知识概念 2 可知K1为支割线．w Lnz 就是取这样的K1 作为支割线的，且通常是取负实轴．现在确定区域：设区域D1 C K1 ，并且z1 D1 ，则D1 即为所确定区域．（3）将w Lnz 单值化在D1内任意取定一点z0 ，并指定z0的一个辐角值，则在D1内的每一点z ，皆可由z0的辐角依连续变化而唯一确定z 的辐角．若支割线从原点割破负实轴，C 是D1内任一简单闭曲线，C 不会穿过负实轴，它的内部不包含原点z 0，当变点z从z0绕C一周后，这时arg z又回到起点的辐角argz0，而z的像点w k w k z ln z iargz 2k i ，（k Z ）则画出一条闭曲线而回到原来的位置w k z0 ，（如图１）．画出的闭曲线是包含在w 平面上的宽为2 的带形域B k 内B k ：2k 1 v 2k 1 , k Z 这些带形域互不相交而填满w 平面．因此，在D1 内可得到的无穷多个单值解析分支函数，记作w k ln z k ln z i argz 2k ，（k Z ）．同理，w Lnz 的支割线也可以取正实轴割破z 平面，方法同上.图1例１ 将函数 Lnz 沿正实轴（包括原点）割破 z 平面，试在所得区域 D 内取定函数 Lnz 在正实 轴上岸的点 z 1处取 ln1 2 i 的一个解析分支，并求这一分支在 z 1 处的值及正实轴下岸的点 z 1 处的值（区域的边界可以看作是有不同两岸，上、下或左、右，且同一单值解析分支在两岸所 取的值不同） ．如图２解 因 ln1 2 i ，从而 arg1 2 ，所以取定的单值解析分支函数为图２ln z ln z i Argz L 2 i ，z D ．（ Argz L表示Argz 在曲线L 上的改变量，如下同义），在D 内逆时针作以正实轴上岸的点z 1为起点、分别以z 1和正实轴下岸的点z 1为终点的简单曲线L1和L2, 则Argz L1，Argz L22 ,ln 1 ln 1 i Argz L 2 i 3 i ，ln1下ln 1 i Argz L 2 i 4 i ．这里接下来简单介绍一下具有多个有限支点的对数函数，方法不是很难理解的，与w Lnz 的单值化方法基本相同．它也是先确定函数的支点，只不过是有多个支点，再适当连接支点作支割线来割破z 平面，最后在z 平面上以此支割线为边界的区域D内就能分出该函数的单值解析分支．因为，在D 内变点z 不能穿过支割线，也就不能单独绕任一个支点转一周，函数就不能在D 内同一点取不同的值．看如下例题例２试证Ln 1 z2在割去线段1,i , 1,i ，及射线x 0,y 1的区域内可取出单值分支？并求z 0 时等于零的那一支在z 2的值解（1）Ln 1 z2的支点为z 1 及因ln 1 z2 ln 1 z ln 1 z ，当变点z单绕1或+1一周时, ln 1 z2的值就改变2 i （沿正向）或2 i （沿负向），即ln 1 z2从一支变成另一支；当变点z同绕+1及1一周时, ln 1 z2共改变4 i（沿正向）或4 i（沿负向），即ln 1 z2 也从一支变成另一支．将z平面沿题中要求割破后（如图2），变点z既不能单绕1或+1 转一周，也不能同绕1 及+1 转一周．于是，在这样割破了的z平面上任一区域D 内，Ln 1 z2就能分出无穷多个单值解析分支．（2）当z从z 0沿D内一条简单曲线C 变动到z 2时，由图３w k lnz k ln z i argz 2k（ D 为割破 z 平面后的区域） ，一般是选取从 z 割破 z 平面的射线选取不同， z 的辐角范围也不相同． w w z 0 时，单值解析分支确定的具体方法：（1） 确定 z 的辐角范围．设割破 z 平面的射线与 角范围为 z: arg z 2（2） 确定 w Lnz 的带形区域为argw 2z D ，k Z ）0开始沿着 z 的射线来割破 z 平面，随着于是，有下面在给定某点 z z 0 函数值x 轴正向夹角为 （ 0 2 ）则 z 的辐，并由此得出 argw z 0 的值图３arg 1ln f z 2ln f z 2i arg f z C iarg f z 1可知该分支在z 2 的值为ln 1 z 2 z 2i ln3 i ．3.2 给定某点函数值法多值函数 w Lnz 有支点 z 0，z ，适当割破 z 平面后（如沿着负实轴割破 z 平面，相当已知此指定分支在 z 0 的值为 0，从而此初值的虚部为零，故由公式argz ），多值函数 w Lnz 可分出如下无穷多个单值解析分支arg 1arg 1 z1arg 1 于限制 z 的辐角范围为：(3) 确定各个单值解析分支w k 所在的带形：2k argw k 2 k 1 k Z并由2k argw z 2 k 1 k Z 来求出k 值，从而可得所求单值解析分支．例3 设w Lnz是在沿上半虚轴割破了的z平面上，并且w i左的值)，现试在所得区域内取定函数Lnz 在正实轴取正实值的一个解析分支，解所求的解析分支是3ln z i argz arg z．22这里3，于是233argz ，则argw ．2222又因为w i 左3i ，所以argw i左再由22332k2k1k Z ，222解得k0故所求得单值解析分支为w0Lnz lnr z i z2k k Z于是w i 右w0 i 右Ln i 右ln i 右i arg i 右例 4 设w Lnz 是在沿正实轴割破了的z 平面上，并且w 1 函数Lnz 在正实轴上沿取实值的一个解析分支，及求在正实轴下沿的值．解所求的的解析分支是ln z iargz 0 argz 2这里0 ，于是0 argz 2 ，则0 argw 2 ．33 i (上半虚轴左岸i 点2及求w i右的值．0 i ．2i ，现试在所得区域内取定za取定 Ln a b 在z 0D 的值，即得 Lnzbb 的一个单值分支．又因为 w 1 i ，所以 argw 1 ．再由22k 2 k 1 k Z ，2解得 k 0，于是在正实轴下沿 z x 处的值是w x 下 w 0 x 下 Ln x 下 ln x 下i arg x 下 0 ln x 2 i3.3 取单值域法相关概念 为了确定多值函数的单值域和单值分支，所以要先引入一些概念．设多值函数 F z 在a 点的空心邻域上定义，环绕 a 作一简单闭曲线 C ，取定一点 z 0 C 和多 值函数 F z 在 z 0的值．让动点 z 从 z 0出发沿 C 绕行，同时使 F z 的值连续地变化．若动点 z 不管绕 C 多少周， F z 总不回到原来的值，则称 a 是 F z 的一个对数支点； 若动点 z 绕行 n 周后， F z 回到原来的值，则称 a 为一个代数支点．因此将复平面沿连接支点的曲线（可以是一条或几条）切开，得到区域 D （可以是单连通域或 多连通域），只要动点 z 沿 D 内任一简单闭曲线绕行一周时，函数 F z 总是回到出发点时的值，则D 即为多值函数 F z 的一个单值域．取定多值函数 F z 在一点 z 0 C 的值，即取定它在 D 内的一个单值分支函数．例 5 求多值函数 Ln z a a b 的支点与单值域．zb解 多值函数 Ln z a a b 在 a 点的空心邻域内定义， 动点沿环绕 z a 的充分小闭曲线一周 zb时，函数虚部增加 2 ，绕行 n 周时，虚部增加 2k ，所以 z a 是一个对数支点．同理 z b ，也考虑 z ，当沿包含 z的充分小简单闭曲线 C 绕行一周后，因为这时函数在 量为Ln z aLn z aLn z b00 0，z b CCC所以 z不是支点．用一曲线或直线段连接z a ， z b 这两支点，记此曲线为．则D C即为 Ln z aa b 的单值域．z b是 Lnz 的对数支点．C 上的该变zb94 总结多值函数单值化方法与技巧，前人已经做了大量的研究，但大多都是对根式函数的单值化方法 与技巧进行了详细的研究，而对数函数的单值化方法与技巧却研究者甚少，大多也只是在判定其支 点，支割线的方法上．因此，针对多值函数 w Lnz 的单值化方法与技巧可以仿照根式函数单值化方 法进行，比如 3.1 割破平面法；但其本身还是有一些巧妙的方法，比如 3.2 给定某点函数值法、 取单值域法，读者可以多加注意一下．由于这方面内容本身对初学者就是一个难以解决的问题，所以要能熟练掌握对数函数单值化方 法与技巧还需要大量的练习来巩固，所以希望我的课题能给好学的人带来一点帮助．我暂时只能对 多值函数w Lnz 的单值化方法与技巧做这几点研究，也希望好学的读者还能提供一些更好的方法 与技巧．参考文献[1] 方企勤．复变函数教程 [M] ．北京：北京大学出版社， 2003 [2] 余家荣．复变函数 [M] ．第三版．北京：高等教育出版社， 2004[3] 路可见，钟寿国，刘士强．复变函数 [M] ．第二版．武汉：武汉大学出版社， 2007 [4] 钟玉泉．复变函数论 [M] ．第三版．北京：高等教育出版社， 2005 [5] 钟玉泉．复变函数学习指导书 [M] ．北京：高等教育出版社， 2005[6] 于慎根，杨永发，张相梅．复变函数与积分变换 [M] ．天津：南开大学出版社， 2006 [7] Marsden JE ． 1973． Basic Complex Analysis ． San Francisco ： WH Freeman and Company3.3。

多值函数的概念多值函数是在数学中定义为每个输入值对应多个输出值的函数。

传统的函数只能使输入值对应唯一的输出值，而多值函数则违反了这个传统定义。

在多值函数中，一个输入值可以对应多个不同的输出值，这意味着在多值函数中，一个输出值可以对应多个输入值。

多值函数的概念最早由德国数学家亚瑟·弗莱彻（Arthur Moritz Schönflies）于1883年引入。

他认为，单值函数不能满足所有实际问题的需求，因为在某些情况下，一个输入值可能有多个合理的输出值。

通过引入多值函数的概念，数学家们能够更好地处理这种情况。

在多值函数中，我们通常使用集合来表示不同的输出值。

例如，对于一个多值函数f(x)，输入值x可以对应多个输出值y1、y2、y3...，那么我们可以表示为f(x)={y1,y2,y3...}，其中花括号{}表示一个集合。

这种表示方法在集合论中很常见，它允许我们将多个值组合在一起，形成一个集合。

多值函数在数学上也有严格的定义。

在数学中，我们使用关系来表示函数的定义。

对于一个多值函数f(x)，我们可以表示为y∈f(x)，其中符号“∈”表示“属于”，即y属于f(x)，表示y是f(x)的一个输出值。

这种定义方式可以表达一个输入值对应多个输出值的情况。

在实际应用中，多值函数也有很多重要的应用。

例如，在复变函数中，多值函数被广泛应用于复数域中。

在复数域中，一个复数可以有多个平方根、多个立方根等。

通过引入多值函数的概念，我们可以更好地描述复变函数的性质和特征。

此外，在物理学、工程学等领域中，多值函数也有重要的应用。

例如，在量子力学中，波函数可以通过多值函数来描述。

在电路分析中，电流和电压也可以通过多值函数来表示。

需要注意的是，多值函数并不是所有输入值都会对应多个输出值。

在某些情况下，一个输入值仍然只能对应一个输出值，这时候多值函数退化为单值函数。

因此，多值函数可以看作是单值函数和多值函数之间的一种过渡形式。

§3初等多值函数解读§3 初等多值函数⼀、教学⽬标或要求：掌握基本的初等多值函数的定义、性质；⼆、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：基本的初等多值函数的定义、性质；重点：基本的初等多值函数的定义、性质；难点：⽀点的概念三、教学⼿段与⽅法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 21-26（习题课检查）§3 初等多值函数1.根式函数定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，规定根式函数为幂函数的反函数。

(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每⼀个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有 n nr w θi0e = nn r w π2i1e +=θnn nn r w π)1(2i1e-+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．(2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平⾯上可分出n 个单值函数．设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕⼀条包围点a 的简单闭曲线连续变动⼀周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从⼀个⽀变到另⼀个⽀，则称点a为函数)F的⽀点．(z(3)根式函数n zw 的每个单值⽀在从原点起始沿正实轴剪开的复平⾯上为解析函数．根式函数它是⼀个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅⾓并不唯⼀确定（可以相差的整数倍）。

为分出单值解析分⽀，在平⾯上从原点到引⼀条射线，将平⾯割破，割破了的平⾯构成⼀个以此割线为边界的区域。

在内随意指定⼀点，并指定的⼀个幅⾓值，则在内任意的点，皆可根据的幅⾓依连续变化⽽唯⼀确定的幅⾓。

假定从原点其割破负实轴，是内过的⼀条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕⼀周时，的象点各画出⼀条闭曲线⽽各回到它原来的位置。

因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分⽀函数，，利⽤极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分⽀函数在区域内是解析的，且有，，在上⾯分出的单值解析分⽀过程中，有⼀个重要的基本概念：⽀点。