2020版导与练一轮复习理科数学习题：第十三篇 第11节 第三课时 利用导数求解不等式问题

考点13 变化率与导数、导数的运算1、已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( ) A.12 B ．1 C ．32D ．2【★答案★】D【解析】∵函数y ＝f (x )的图象在点(1, f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，∴f (1)＝1, f ′(1)＝12.∴f (1)＋2f ′(1)＝2.故选D.2、曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0 【★答案★】C【解析】y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.3、.已知奇函数y=f (x )在区间(-∞,0]上的解析式为f (x )=x 2+x ,则曲线y=f (x )在横坐标为1的点处的切线方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0【★答案★】B【解析】由函数y=f (x )为奇函数,可得f (x )在[0,+∞)内的解析式为f (x )=-x 2+x ,故切点为(1,0). 因为f'(x )=-2x+1, 所以f'(1)=-1,故切线方程为y=-(x-1), 即x+y-1=0.4、已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43C ．43D ．34【★答案★】D【解析】因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝－61－9＝34.故选D.5、过函数f (x )＝13x 3－x 2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4【★答案★】B【解析】设切线的倾斜角为α.由题意得k ＝f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，即k ＝tan α≥－1，解得0≤α<π2或3π4≤α<π，即切线倾斜角的范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 6、已知a 为实数,函数f (x )=x 3+ax 2+(a-3)x 的导函数为f'(x ),且f'(x )是偶函数,则曲线y=f (x )在原点处的切线方程为( ) A.y=3x+1 B.y=-3x C.y=-3x+1 D.y=3x-3【★答案★】B【解析】因为f (x )=x 3+ax 2+(a-3)x ,所以f'(x )=3x 2+2ax+(a-3). 又f'(x )为偶函数,所以a=0,所以f (x )=x 3-3x ,f'(x )=3x 2-3.所以f'(0)=-3. 故所求的切线方程为y=-3x.7、已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e【★答案★】B【解析】由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，所以选B.8、已知f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝⎛⎭⎫π4＝24，则实数a 的值为( ) A.23 B ．12C ．34D ．1 【★答案★】B【解析】由题意可得f ′(x )＝cos x －a sin x ，则由f ′⎝⎛⎭⎫π4＝24可得22－22a ＝24，解得a ＝12.故选B. 9、已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y=f (x )相切,则直线l 的方程为( ) A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D. x-y+1=0【★答案★】B【解析】设直线l 的方程为y=kx-1,直线l 与f (x )的图像相切于点(x 0,y 0), 则解得∴直线l 的方程为y=x-1,即x-y-1=0.10、已知曲线f (x )＝e 2x －2e x ＋ax －1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．⎝⎛⎭⎫3，72 C.⎝⎛⎭⎫－∞，72 D ．(0,3)【★答案★】B【解析】由题得f ′(x )＝2e 2x －2e x ＋a ，则方程2e 2x －2e x ＋a ＝3有两个不同的正解，令t ＝e x (t >0)，且g (t )＝2t 2－2t ＋a －3，则由图像可知，有g (0)>0且Δ>0，即a －3>0且4－8(a －3)>0，解得3<a <72.故选B.11、已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的对称中心为M (x 0，y 0)，记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)＝0.若函数f (x )＝x 3－3x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＝( )A ．－8 066B ．－4 033C ．8 066D ．4 033 【★答案★】A【解析】由f (x )＝x 3－3x 2得f ′(x )＝3x 2－6x ，f ″(x )＝6x －6，又f ″(x 0)＝0，所以x 0＝1且f (1)＝－2，即函数f (x )的对称中心为(1，－2)，即f (x )＋f (2－x )＝－4.令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017，则S ＝f ⎝⎛⎭⎫4 0332 017＋f ⎝⎛⎭⎫4 0322 017＋…＋f ⎝⎛⎭⎫32 017＋f ⎝⎛⎭⎫22 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 017，所以2S ＝4 033×(－4)＝－16 132，S ＝－8 066.12、已知函数f (x )＝ln x ＋tan α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫π2的导函数为f ′(x )，若使得f ′(x 0)＝f (x 0)成立的x 0满足x 0<1，则α的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π4 D ．⎝⎛⎭⎫0，π3 【★答案★】B【解析】∵f ′(x )＝1x ，∴f ′(x 0)＝1x 0，由f ′(x 0)＝f (x 0)，得1x 0＝ln x 0＋tan α，∴tan α＝1x 0－ln x 0.又0<x 0<1，∴1x 0－ln x 0>1，即tan α>1，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2.故选B. 13、已知函数f (x )=e x ln x ,f'(x )为f (x )的导函数,则f'(1)的值为 . 【★答案★】e【解析】∵f (x )=e x ln x ,∴f'(x )=e x ln x+.∴f'(1)=eln 1+=e .14、已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.【★答案★】e 2【解析】设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.15、已知函数f (x )=x++b (x ≠0)在点(1,f (1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b= . 【★答案★】-8 【解析】∵f'(x )=1-=,∴f'(1)=1-a=2,∴a=-1,f (1)=1+a+b=b , ∴在点(1,f (1))处的切线方程为y-b=2(x-1), ∴b-2=5,b=7,∴a-b=-8.16、已知f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝________. 【★答案★】－3π【解析】f ′(x )＝－sin x ·x －cos x x 2，当x ＝π2时，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－2π，又f (π)＝－1π，所以f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－3π. 17、函数f (x )=x e x 的图像在点(1,f (1))处的切线方程是 . 【★答案★】y=2e x-e【解析】∵f (x )=x e x ,∴f (1)=e,f'(x )=e x +x e x ,∴f'(1)=2e,∴f (x )的图像在点(1,f (1))处的切线方程为y-e =2e(x-1),即y=2e x-e .18、已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．【★答案★】⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 【解析】由题意知曲线的切线斜率为1，所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.19、若函数f (x )= x 2-ax+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 .【★答案★】[2,+∞)【解析】∵f(x)= x2-ax+ln x,∴f'(x)=x-a+.∵f(x)的图像存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,∴x+-a=0有解,∴a=x+≥2(x>0).20、直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.【★答案★】-3【解析】设f(x)=(ax+1)e x,∵f'(x)=a·e x+(ax+1)e x=(ax+a+1)e x,∴f(x)=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.21、已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．【★答案★】(1) 2x－y－2＝0 (2) (－1,0)【解析】(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x30－x0)，则切线方程为y－(x30－x0)＝f′(x0)(x－x0)．又切线过点(1，b)，所以(3x20－1)(1－x0)＋x30－x0＝b，即2x30－3x20＋b＋1＝0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图像可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

第十一节 变化率与导数、导数的计算强化训练1.若42()f x ax bx c =++满足f ′(1)=2,则f ′(-1)等于( )A.-4B.-2C.2D.4答案:B解析:求导后导函数为奇函数,所以选择B.2.某市在一次降雨过程中,降雨量y (mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为()y f t ==则在时刻t=40 min 的降雨强度为( )A.20 mm/minB.400 mm/minC.12 mm/minD.14mm/min 答案:D解析:f ′()10t == ∴f ′1(40)4==,选D. 3.函数y =x cos x 在3x π=处的导数值是 .答案:12π解析:y ′=cos x -x sin x ,当3x π=时,y ′12=-π. 4.已知函数f (x )=ln 21()(2x g x x a a ,=+为常数),直线l 与函数f (x ),g(x )的图象都相切,且l 与函数f (x ),g(x )图象的切点的横坐标为1,求直线l 的方程及a 的值.解:由f ′(x )|11x ==,故直线l 的斜率为1,切点为(1,f (1)),即(1,0),∴l:y =x -1. ① 又∵g′(x )=x =1,切点为1(1)2a ,+. ∴l:1()12y a x -+=-, 即12y x a =-+. ② 比较①和②的系数得112a -+=-, ∴12a =-.课后作业题组一 导数的概念和计算1.设f (x )=x ln x ,若f ′0()2x =,则0x 等于( )A.e 2B.eC.ln22D.ln2 答案:B解析:f ′1()1x x x=⋅+⋅ln x =1+ln x , 由1+ln 02x =,知0x =e.2.设0()f x =cos 10()x f x f ,=′21()()x f x f ,=′(x ),…,1()n n f x f +=′()x n ,∈N ,则2010()f x 等于( )A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x答案:D解析:∵1()(f x =cos x )′=-sin 2()x f x ,=(-sin x )′=-cos 3()(x f x ,=-cos x )′=sin x , 4()(f x =sin x )′=cos x ,…,由此可知()n f x 的值周期性重复出现,周期为4,故20102()()f x f x ==-cos x .3.设函数32sin ()3f x x x θ=++tan θ,其中5[0]12πθ∈,,则导数f ′(1)的取值范围是( ) A.[-2,2]B.C.2]D.2] 答案:D解析:∵f ′(x)=sin 2x θ⋅cos x θ⋅,∴f′(1)=sin θ+2θ=sin ()3πθ+. ∵5[0]12πθ∈,,∴3[]334πππθ+∈,. ∴sin ()1]3πθ+∈. ∴f ′(1)2]∈.4.已知221()x f x x +=的导函数为f ′(x ),则f ′(i)等于(i 为虚数单位)( ) A.-1-2iB.-2-2iC.-2+2iD.2-2i答案:D 解析:因为f ′2422(21)()x x x x x -+=,所以f ′(i)242i 2i(2i 1)242i-+==-+-i=2-2i. 5.已知点P 在曲线4e 1x y =+上α,为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( ) A.[0)4π, B.[)42ππ, C.3(]24ππ, D.3[4π,π) 答案:D解析:∵y ′24e 41e 2e 1e 2ex x x x x =-=-,++++ ∵e 12e x x+≥,∴1y -≤′<0, 即1-≤tan 0α<.∴3[4πα∈,π). 题组二 导数的几何意义6.曲线y =x e 21xx ++在点(0,1)处的切线方程为 .答案:y =3x +1解析:y ′=e x x +⋅e 2xy +,′|03x ==, ∴切线方程为y -1=3(x -0).∴y =3x +1.7.若曲线2()f x ax =+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 答案:(0)-∞, 解析:f ′1()2(0)x ax x x=+>. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线,∴f ′(x )=0有正解,即120ax x+=有正解. ∴212a x=-.∴(0)a ∈-∞,. 8.已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与x =1时都取得极值. (1)求a,b 的值与函数f (x )的单调区间;(2)若对[12]x ∈-,,不等式2()f x c <恒成立,求c 的取值范围.解:32(1)()f x x ax bx c f =+++,′2()3x x =+2a x +b.由f ′2124()0393a b f -=-+=,′(1)=3+2a+b=0,得122a b =-,=-. 所以f ′2()32(3x x x x =--=+2)(x -1). 当x 变化时,f ′(x )、f (x )的变化情况如下表:所以函数f (x )的递增区间是2()3-∞,-与(1),+∞,递减区间是2(1)3-,; (2)由(1)可知321()2[12]2f x x x x c x =--+,∈-,,当23x =-时222()327f c ,-=+为极大值,而f (2)=2+c,则f (2)=2+c 为最大值, 要使2()[12]f x c x <,∈-,恒成立,则只需要2(2)2c f >=+c.解之,得c<-1或c>2.题组三 导数的灵活运用9.曲线2x y x =+在点(-1,-1)处的切线方程为( ) A.y =2x +1B.y =2x -1C.y =-2x -3D.y =-2x -2答案:A解析:y ′|122(2)x x =-=+|12x =-=, 所以切线方程为y +1=2(x +1),即为y =2x +1.10.已知直线x +2y -4=0与抛物线24y x =相交于A 、B 两点,O 是坐标原点,在抛物线的弧¼AOB 上,当△P AB 面积最大时,P 点坐标为 .答案:(4,-4)解析:|AB|为定值,△P AB 面积最大,只要P 到AB 的距离最大,只要点P 是抛物线上平行于AB 的切线的切点,设P (x ,y ).由图可知,点P 在x 轴下方的图象上,∴2y x =-.∴y ′1x=-. ∵12AB k =-,∴112x -=-.∴x =4,代入24(0)y x y =<得y =-4.∴P (4,-4). 11.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,定义:设f ″(x )是函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的导数,若f ″(x )=0有实数解0x ,则称点0(x ,0())f x 为函数y =f (x )的”拐点”.现已知32()322f x x x x =-+-,请解答下列问题:(1)求函数f (x )的”拐点”A的坐标;(2)求证f (x )的图象关于”拐点”A对称.解:(1)f ′2()362x x x f =-+,″(x )=6x -6.令f ″(x )=6x -6=0,得x =1, 3(1)1322f =-+-=-2.∴拐点A 坐标为(1,-2).(2)证明:设00()P x y ,是y =f (x )图象上任意一点,则320000322y x x x =-+-,因为00()P x y ,关于A(1,-2)的对称点为P ′0(2x -04)y ,--,把P ′代入y =f (x )得左边3200004322y x x x =--=-+--,右边=0(2)x -33-0(2)x -202(2)x +--2=32000322x x x -+--.∴左边=右边.∴P ′00(24)x y -,--在y =f (x )图象上.∴y =f (x )的图象关于点A 对称.。

2020届高考理科数学一轮复习要点+题型解析导数及其应用一、导数的运算问题【要点解析】1.基本初等函数的导数公式表2.导数的四则运算法则设f(x)，g(x)是可导的，则(1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)'⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(xgxf＝g(x)f′(x)－f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0)．(g(x)≠0)．3.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y 对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【题型解析】【例1】．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.【例2】．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2D ．－2【解析】：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.【例3】．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 【解析】：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 【答案】：－2二、导数的几何意义【要点解析】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．（1）斜率：αtan )(0='=x f k（2）切点：())(00x f x '，在切线上，也在曲线上。

第10节　导数的概念及运算考点专项突破知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x 0处的导数()()00f x x f x x+∆-∆(2)函数f(x)的导函数函数f′(x)= 为f(x)的导函数.()()0lim x f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的 ,过点P的切线方程为 .斜率y-y 0=f′(x 0)(x-x 0) 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=C(C为常数)f′(x)= .f(x)=x α(α∈Q *)f′(x)=.0αx α-1f(x)=sin x f′(x)= .f(x)=cos x f′(x)= .f(x)=e x f′(x)= .f(x)=a x(a>0,且a≠1)f′(x)= .f(x)=ln x f′(x)=f(x)=loga x(a>0,且a≠1)f′(x)=cos x-sin xe xa x ln a1lnx a1x4.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有(1)[f(x)±g(x)]′= ;(2)[f(x)·g(x)]′= ;f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ()()()()()2f xg x f x g x g x ''-⎡⎤⎣⎦【重要结论】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.(教材改编题)曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15解析:因为y=x 3+11,所以y′=3x 2,所以y′|x=1=3,所以曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9.对点自测C2.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x等于( )解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,由f′(x0)=2,即ln x+1=2,解得x0=e.B3.(2018·天津卷)已知函数f(x)=e x ln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为 .答案:e答案:x-y+1=05.下面四个结论中正确的是 .(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x附近的平均变化率.(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f′(x)=cos x.(3)求f′(x0)时,可先求f(x),再求f′(x).(4) 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.解析:(1)f′(x0)表示y=f(x)在x=x0处的切线斜率,(1)错误.(2)f(x)=sin(-x)=-sin x,则f′(x)=-cos x,(2)错误.(3)求f′(x)时,应先求f′(x),再代入求值,(3)错误,只有(4)正确.答案:(4)考点专项突破 在讲练中理解知识考点一　导数的运算(多维探究)考查角度1:利用求导法则运算【例1】 求下列函数的导数:(1)y=e x ln x;反思归纳(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.【跟踪训练1】 求下列函数的导数:考查角度2:抽象函数的导数运算【例2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2) +ln x,则f′(2)= .反思归纳(1)准确活用求导法则是解题的关键,另外一定注意f′(x0)(x是变量x某一取值)是一个常数,不是变量.(2)求解该类问题时要善于观察题目特征,恰当赋值,重视方程思想的运用.【跟踪训练2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)等于( )(A)-e (B)-1 (C)1 (D)e考点二　导数的几何意义(多维探究)考查角度1:求切线方程或切点坐标【例3】 (1)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为 ;答案:(1)x-y-1=0(2)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 ;解析:(2)令x≥0,则-x≤0,f(-x)=e x-1+x,又f(x)为偶函数,所以x≥0时,f(x)=e x-1+x,所以f(1)=2,f′(x)=e x-1+1,f′(1)=2,所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.答案:(2)y=2x(3)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .答案:(3)(e,e)反思归纳(1)求曲线在点P(x0,y)处的切线,则表明P点是切点,只需求出函数在P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程,若切线垂直于x轴,则切线方程为x=x.(2)求曲线过点P的切线,则P点不一定是切点,应先设出切点坐标,然后列出切点坐标的方程解出切点坐标,进而写出切线方程.求出切点坐标是解题的关键.【跟踪训练3】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )(A)y=-2x(B)y=-x(C)y=2x(D)y=x解析:(1)法一　因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二　因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f′(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,所以a=1,即f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.答案:(1)D答案:(2)(1,1)考查角度2:求参数的值或取值范围【例4】 (1)(2018·开封模拟)函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)(C)(2,+∞) (D)(0,+∞)答案:(1)B答案:(2)-8反思归纳(1)求解与曲线切线有关的参数问题,其实质是利用导数的几何意义求曲线切线方程的逆用.(2)解题的关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.答案:(1)1(2)已知曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b的值为 .解析:(2)因为两曲线的交点为(0,m),所以m=acos 0,m=02+b×0+1.所以m=1,a=1.因为曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线,所以f′(0)=g′(0),所以-sin 0=2×0+b,所以b=0.所以a+b=1.答案:(2)1备选例题【例2】 (2018·西安质检)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为 .答案:3【例3】 已知函数f(x)=-f′(0)e x+2x,点P为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线l上的一点,点Q在曲线y=e x上,则|PQ|的最小值为 .点击进入应用能力提升。

第1节 变化率与导数、导数的计算最新考纲 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数.知 识 梳 理1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝0lim x ∆→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).2.函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝0lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0) f ′(x )＝a x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. [微点提醒]1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.()(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).()(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()2.(选修2－2P19B2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.－9B.－3C.9D.153.(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________ m/s，加速度a＝______ m/s2.4.(2019·保定质检)已知函数f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于()A.e2B.1C.ln 2D.e5.(2018·天津卷)已知函数f(x)＝e x ln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________.6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y＝x2＋1x在点(1，2)处的切线方程为________.考点一导数的运算多维探究角度1根据求导法则求函数的导数【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln 1＋2x .角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·福州联考)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( ) A.－e B.2C.－2D.e规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________. (2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.考点二 导数的几何意义 多维探究角度1 求切线方程【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－2x B.y ＝－x C.y ＝2xD.y ＝x角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·郑州月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A.3B.2C.1D.1 2(2)设曲线y＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.角度3求参数的值或取值范围【例2－3】(1)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(－∞，2]B.(－∞，2)C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·东北三省四校联考)已知曲线f(x)＝x＋ax＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝________.规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】(1)(2018·东莞二调)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为()A.(0，0)B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________.[思维升华]1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解. [易错防范]1.求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x ；③复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是( ) A.(3x )′＝3x ln 3B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋xC.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x2.(2018·日照质检)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A.e 2B.eC.ln 22D.ln 23.函数y ＝x 3的图象在原点处的切线方程为( ) A.y ＝xB.x ＝0C.y ＝0D.不存在4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( ) A.1秒末B.1秒末和2秒末C.4秒末D.2秒末和4秒末5.(2019·合肥一模)函数f (x )＝x －g (x )的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝－x －1，则g (2)＋g ′(2)＝( ) A.7B.4C.0D.－46.已知e 为自然对数的底数，曲线y ＝a e x ＋x 在点(1，a e ＋1)处的切线与直线2e x －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.e －1eB.2e －1eC.e －12eD.2e －12e7.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )8.(2019·广州调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A.ln 2 B.1 C.1－ln 2D.1＋ln 2二、填空题 9.已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________.10.已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________.11.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________.12.已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________________.能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·深圳二模)设函数f(x)＝x＋1x＋b，若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab＝()A.1B.0C.－1D.－214.(2019·西安一模)定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f″(x)＝[f′(x)]′.定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f″(x)>0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数.已知函数f(x)＝x3－32x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是________.15.函数g(x)＝ln x图象上一点P到直线y＝x的最短距离为________.16.若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.。