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讲义参考答案第1讲 集合与简易逻辑金题精讲题一：1．题二： ①16；②29． 题三：B ． 题四：B ． 题五：C ． 题六：A ． 题七：A ．第2讲 函数及其性质经典精讲题一：[3,1];[0,2];[3,1]--- 题二：（3） 题三：2 题四：（3）（4） 题五：（3）（4） 题六：（1）(5,1) （2）2，左，1 （3）x = -1第3讲 函数及其性质2018新题赏析金题精讲 题一：C 题二：B题三：[1,3] 题四：(0,1][3,)+∞U 题五:9(,]2-∞题六：8第4讲 平面向量金题精讲题一：题二： 4， 题三：A ． 题四：6． 题五：B ． 题六：3．题七：① 1Q ；② 2p ．第5讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲金题精讲题一：75 题二：5665-题四：A 题五：A题六：(1)6x 5π=；(2)0x =时，()f x 取得最大值为3，56x π=时，()f x 取得最小值为- 题七：2第6讲 三角函数与三角恒等变换2018新题赏析金题精讲题一：79-题二：D 题三：D 题四：A题五：(1)2；(2) 最小正周期为π，单调递增区间为[,]()63k k k π2ππ+π+∈Z第7讲 解三角形金题精讲题一：3π题二：B 题三：A 题四：75°题六：(1) 23；(2)3+ 第8讲 不等式经典精讲题一：(1)[24,)+∞ (2)(0,81]题二：(1)(,2-∞- (2)7[,)2+∞ (3)4 题三：不对，正确解法如下： 因为3ab a b =++，所以31a b a +=-， 所以2233(1)5(1)4111a a a a a ab a a a a ++-+-+===--- 495=(1)5=(1)5111a a a a a -++-++----因为9(1)1a a -+≥-，当且仅当4a =时，“=”成立， 又因为51y a =--在(4,)+∞上单调递增， 所以53y ≥-，所以5286533ab ≥+-=， 故ab 的取值范围是28[,)3+∞. 题四：(0,1)第9讲 线性规划经典精讲题一：4题二：(1，3] 题三：7题四：4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦第10讲 数列经典精讲金题精讲题一：－24． 题二：21nn +． 题三：(1)32n a n =-，2nn b =；(2)1328433n n +-⨯+．题四：(1)证明：因为{}n a 是等差数列，所以112n n n a a a -++=①；222n n n a a a -++=②；332n n n a a a -++=③，由①+②+③可得：3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=于是得到等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;(2)证明：因为数列{}n a 是“(2)P 数列”，所以21124n n n n n a a a a a --+++++=①； 又因为数列{}n a 是“(3)P 数列”，所以3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=②， 由②-①得332n n n a a a -++=，于是得到33,,n n n a a a -+是等差数列，故147,,a a a 、258,,a a a 、369,,a a a …成等差数列，设147,,a a a 的公差为13d ，258,,a a a 的公差为23d ，369,,a a a 的公差为33d ，…，当3n =时，124534a a a a a +++=④， 当4n =时，235644a a a a a +++=⑤，当5n =时，346754a a a a a +++=⑥ …将首项和公差代入上述式子可得：1212322334a a d d a +++=⑦ 2323112233412a a d d a d +++=+⑧ 1331222239412a a d d a d +++=+⑨由⑦+⑧+⑨可得：23d d =，将23d d =代入分别代入⑦、⑧、⑨整理可得13d d =， 于是有123d d d ==，将123d d d ==代入1331222239412a a d d a d +++=+ 可得到2132a a a =+，故数列123,,a a a 是等差数列，设其公差为d '，于是有2131,2a a d a a d =+=+''，将其代入⑦可得1d d ='，于是有123d d d d ==='，故数列{}n a 是等差数列.第11讲 数列2018新题赏析金题精讲 题一： 4． 题二： 3． 题三： A ． 题四： (1)221n a n =-；(2)数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为 221n n T n =+．题五： (1)12n n x -=；(2)(21)212n n n T -⨯+=．第12讲 导数及其应用经典精讲题一：4题二：题三：(1)极大值为(1)4f -=-，极小值为1112()327f -=- (2)a ≤5 题四：(1)2()ln 1f x x x x =-- (2)1-(3)证明：要证函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方 只需证 2()e 210x f x x x x -+++<， 即要证e 20ln x x x x x +<-，所以只要证e 2ln 0x x +-<， 令e 2()ln x h x x +=-，则1e ()x xh x '=-， 根据函数1xy =和e x y =的图象，可知 0(0,1)x ∃∈，使得0001e 0()x x x h ='=-所以0()()x x h h ≤， 又因为001e x x =，所以00e x x -=，故 00000002000200e 21212(21)(1)0()ln ln x x x x x x x x x x x x h +=+=-+--+=--=<=---也就是()0x h <恒成立，此题得证.第13讲 导数及其应用2018新题赏析金题精讲 题一：①④ 题二：1[1,]2-题三：(1)()f x 在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，+∞)单调递增；(2) (0，1)第14讲 巧用导数解决实际应用问题 题一：(1)3312m ；(2)23；题二：(1)222()S r x r x =+-(0,)r ；233. 第15讲 空间立体几何经典精讲323,24π+163 3 题三：（Ⅰ）证法一：因为E ，F 分别是P A ，PD的中点，所以EF∥AD.又因为AD∥BC，所以EF∥BC.因为E，H分别为P A，AB的中点，所以EH∥PB，又因为PB∩BC=B，EF∩EH=E，所以平面EFH∥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以PC∥平面EFH.证法二：连接AC，BD，设交点为O，连接HO，FO，因为O，H分别是BD，AB的中点，E，F分别是P A，PD的中点，所以EF∥AD，EF=12AD，OH∥AD，OH=12AD，所以OH∥EF，OH=EF，所以点O在平面EFH上，所以证PC∥平面EFH，即证PC∥平面EFOH.因为O，E分别是AC，AP的中点，所以EO∥PC，又因为直线PC⊄平面EFOH，所以PC∥平面EFOH.(Ⅱ)证明：因为AP=AD，点F是PD的中点，所以AF⊥PD. 因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥AB.因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面APD，所以AB⊥PD，即AH⊥PD，又AF⊥PD，AF∩AH=A，所以PD⊥平面AHF，又PD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面AHF.题四：（Ⅰ）证明：因为DE⊥面ACD，AF⊂面ACD，所以DE⊥AF，又因为AF⊥CD，所以AF⊥面BCDE，所以AF BE⊥.（Ⅱ）线段AB上存在点Q，使AC⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取AC AB，的中点G Q，，则GQ//BC，且GQ=12 BC，又因为DE//BC，12DE BC=，所以GQ//DE且GQ=DE，因为AD=CD，所以DG⊥AC，因为DE⊥面ACD，所以DE⊥AC，所以AC⊥面EDGQ，即AC⊥平面DEQ．第16讲空间向量法解立体几何题经典精讲题一：④题二：23题三：(1)当P为AC中点时，PF与BC所成的角是60︒ (2) 60︒题四：(1)证明：∵ABC-A1B1C1为直棱柱，∴C1C⊥面ABC，∴C1C⊥AC，C1C⊥CB，即︒=∠=∠90DCBDCA，∵底面为等腰直角三角形，且90ACB∠=︒，∴CA = CB，在△DCA和△DCB中⎪⎩⎪⎨⎧︒==∠=∠=CBCADCBDCADCDC90∴△DCA≌△DCB（SAS），∴DA=DB，又∵G为ABD∆的重心，∴DG⊥AB，∵E在面ABD上的射影为G，∴EG⊥面ABD，∴EG⊥AB，∵DG⊥AB，EG⊥AB，∴AB⊥面DEG.7第17讲空间立体几何2018新题赏析金题精讲题一：A题二：C10题四：②③题五：(1)证明：∵∠BAP =∠CDP =90°，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ， ∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PD ， 又∵PA ∩PD =P ，且PA ⊂平面PAD ， PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD ；(2) 第18讲 直线与圆经典精讲题一：(,[1,)-∞⋃+∞，π2π[,]43题三：(1)24 (2)24题四：(1)320x y ++= (2)22(2)8x y -+= (3)221(22x y x -=≤第19讲 椭圆经典精讲金题精讲题一：D题二：2题三：1题四：题六：(±.第20讲 双曲线与抛物线经典精讲金题精讲题一：B题二：221312x y -=；2y x =±题三：C 题四：C题六：证明：如图，设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，直线:AB l x my t =+， 由22x my t y px=+⎧⎨=⎩，得2220y pmy pt --=，∴2221212122,22y y y y pt x x t p p=-==g ，又∵121k k =-，∴12120x x y y +=， ∴220t pt -=，∴2t p =，（0t =舍）， ∴:2AB l x my p =+，∴AB l 恒过点(2,0)p . 题七：(1) 证明：设直线:AB l x my t =+， 由22x my ty px=+⎧⎨=⎩，得2220y pmy pt --=，∴122y y pt =-，又∵122y y p =-，∴1t =，∴:1AB l x my =+， ∴AB l 恒过点(1,0). (2)（0，4）.第21讲 解析几何2018新题赏析金题精讲题一：(0,1][9,)+∞U题二：22y x =±题三：233题四：(1) 抛物线C 的方程为y 2 = x ，焦点坐标为(14，0)，准线为x =－14； (2) 设过点(0，12)的直线方程为y = kx +12(k ≠ 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴直线OP 为y = x ，直线ON 为y =22y x x ，由题意知A (x 1，x 1)，B (x 1，122x y x )，由212y kx y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得k 2x 2+(k －1)x +14= 0，∴x 1+x 2 =21k k -，x 1x 2 =214k ， 要证A 为线段BM 的中点，只需证211122y x y x x =+，即证2111211222kx x kx x x +=++， 即证1212212111222x x kx x x kx x x =+++， 即证12121(22)()2k x x x x -=+，而12122221111222(1)(22)()(22)02244k k k k x xx x k k k k ------+=-⋅-⋅==∴ A 为线段BM 的中点．第22讲 排列、组合及二项式定理 经典精讲金题精讲题一：14 题二：C 题三：D 题四：-2 题五：10题六：710. 题七：证明：设a n =2n ，b n =n +2，∴数列{a n }是以2首项，公比为2的等比数列， ∴a 1=2．a 2=4．a 3=8，知a 1、a 2显然不是数列{b n }中的项． ∵a 3=8=3×2+2，∴a 3是数列{b n }中的第2项，设a k =2k 是数列{b n }中的第m 项，则2k =3m +2（k 、m ∈N *）， ∵a k+1=2k+1=2×2k =2（3m +2）=3（2m +1）+1， ∴a k+1不是数列{b n }中的项，∵a k +2=2k +2=4×2k =4（3m +2）=3（4m +2）+2， ∴a k +2是数列{b n }中的项，∴c 1=a 3，c 2=a 5，c 3=a 7，…，c n =a 2n +1， ∴数列{c n }的通项公式是c n =22n +1（n ∈N *）， ∴{c n }是等比数列. 题八：(1)72；432.(2) 有五位数，无六位数. (3)4012第23讲 统计与两个概型经典精讲金题精讲 题一：B 题二：（I ）1315；（II ）78题三：B题四：（1）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图如下：B 地区用户满意度评分的频率分布直方图通过直方图比较可以看出，B 地区满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值，B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散； （2）A 地区的满意度等级为不满意的概率大，理由略. 题五：23题六：(I) 1.2 3.6y t =+$；(II)10.8(千亿元).第24讲 离散型随机变量及 其分布列、期望经典精讲 金题精讲 题一：1.96． 题二：(1)0.3； (2)ξ的分布列如下：ξ 0 12P16 23 16E (ξ)=1；(3) 100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大． X 0 123P14 1124 14 124E (X )=12； (2)1148． 题四：(1)518；(2)X X1234EX =2． 题五：(1)23； (2)X数学期望EX =236． 第25讲 概率统计2018新题赏析金题精讲题一：25 题二：59题三：π8题四：A 题五：B题六：(1)0.4；(2)20；(3)3:2．题七：(1)0.6；(2) Y 的所有可能值为900,300,－100；Y 大于零的概率为0.8．第26讲 几何证明选讲(选修4-1) 题一：点P 的轨迹是223(0)x y y +=≠所表示的两个半圆. 题二：题三：43题四：11第27讲 矩阵与变换(选修4-2)题一：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15 －1 题二：（Ⅰ）1a =，1b =-；（Ⅱ）(1,0)题三：1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦题四：（1）312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）32223⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎣⎦题五：矩阵A ＝1120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其另一个特征值为1. 第28讲 坐标系与参数方程（选修4-4）金题精讲题二：1 题三：（1）1C ：cos 2ρθ=-， 2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12题四：78第29讲 不等式选讲(选修4-5)金题精讲题一：(,8]-∞ 题二：1a ≤时，x ∈∅；12a <≤时，533a a x +-<<； 2a >时，5533a a x -+<<题三：（Ⅰ）2|23x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）(2,)+∞.第30讲 复数题二：(31)-， 题三：i 题四：i 题五：−3题六：1第31讲 定积分都考啥题一：2题三：3ln 22-题四：13第32讲 算法金题精讲 题一：8. 题二：②.题三：(1) {1,3,5,7,9,11,13}，a n =2n -1 （n ∈N +且n ≤7）；(2) a =2；(3) a =a +3. 题四：12na a a n+++…；样本平均数.题五：2.第33讲 高考数学一轮复习综合 验收题精讲(一)金题精讲题一：1 题二：12题三：7或8 题四：（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值为2，最小值为－1. 题五：（Ⅰ）2y x =； （Ⅱ）令3()()2()3x g x f x x =-+，则4222()()2(1)1x g x f x x x ''=-+=-，因为()0g x '>(01)x <<，所以()g x 在区间(0,1)上单调递增， 所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈， 即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）2.第34讲 高考数学一轮复习综合 验收题精讲(二)金题精讲题一：3R π 题二：1a题三：2sin 4y x =+题四：7 题五：14 题六：（1）连接BD ，∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC ，∵BD ∩BB 1=B ，∴ AC ⊥面DBB 1，∴AC ⊥B 1D ； （2）60°.题七：（Ⅰ）37；（Ⅱ）1049；（Ⅲ）11a =或18a =. 第35讲 集合与常用逻辑用语经典回顾题一：(){2,4,8}U A B =U ð．第36讲 函数的概念及其性质经典回顾题一：-8．题二：（Ⅰ）(0)0f =，(1)0f =； （Ⅱ）()f x 是奇函数, 证明：因为2(1)[(1)](1)(1)0f f f f =-=----= 所以(1)0f -=()(1)()(1)()f x f x f x xf f x -=-⋅=-+-=- 因此()f x 是奇函数 题三：（Ⅰ）(0)1f =；（II ）证明：设1212,,x x x x <∈R ， 212111211121()()()()()()1()()1f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+--=--∵210x x ->∴2121()1,()10f x x f x x ->--> 所以21()()f x f x > 因此()f x 在R 上是增函数.第37讲 数列经典回顾开心自测题一：24. 题二：!2n 金题精讲 题一： 60. 题二：（Ⅰ）13n na ∴=； （Ⅱ）1(21)3344n n n S +-∴=+．题三：（Ⅰ）*65()n a n n N =-∈；（Ⅱ）10．第38讲 导数及其应用经典回顾金题精讲 题一：（Ⅰ）32()312f x x x x =-+； （Ⅱ）a 的取值范围是[]1,9．题二：(Ⅰ) ()f x 的减区间是(,ln 2)-∞， 增区间是(ln 2,)+∞，ln2()(ln 2)2ln 2222ln 22f x f e a a ==-+=-+极小(Ⅱ) 证明：设()221e R x g x x ax x =-+-∈，，∴()2e R 2x g x x a x '=-+∈，，由(Ⅰ)知当ln21a -＞时，()g x '最小值为 ()()ln221ln20g a '=-+＞，∴对任意R x ∈，都有()0g x '＞， 所以()g x 在R 内单调递增；∴当ln21a -＞时，对任意0()x ∈+∞，， 都有()()0g x g ＞，而()00g =， 从而对任意()00()x g x ∈+∞，，＞， 即221e 0x x ax -+-＞，故221e x x ax -+＞.第39讲 复数与算法初步经典回顾金题精讲题一：30． 题二：3．第40讲 推理与证明问题经典回顾开心自测 题一：81248,T T T T ． 题二：证明：假设T 为奇数,则1271,2,,7a a a ---L 均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数()()()()()1271271271027a a a a a a -+-++-+++-=+=+=+L L L ，但0≠奇数,这一矛盾说明T 为偶数.金题精讲题一：2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=△△△△．题二：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L ． 题三：1()(())n n f x f f x -==(21)2n nxx -+.题四：（1）13{,}a a 是E 的第5个子集． （2）E 的第211个子集是12578{,,,,}a a a a a ． 题五：证明：（用反证法）假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ， 则有0≤++c b a ， 而222222(2)(2)(2)236(1)(1)(1)()3236a b cx y y z z x x y z ππππππ++=-++-++-+=-+-+-+++- =3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0，03>-π，∴0>++c b a ，这与假设0≤++c b a 矛盾，故c b a ,,中至少有一个大于0.第41讲 选修4经典回顾开心自测题一：{11}x x -≤≤． 题二：98a ．金题精讲题一：CE题二：3)4π． 题三：（Ⅰ）2a =．（Ⅱ）m 的取值范围是(,5]-∞．。
课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。
第3节三角恒等变换【选题明细表】基础巩固(建议用时:25分钟)1.若cos=,则sin 2α等于( D )(A) (B)(C)- (D)-解析:cos=(cos α+sin α)=⇒cos α+sin α=⇒1+sin 2α=,所以sin 2α=-.故选D.2.若tan α=,则cos2α+2sin 2α等于( A )(A) (B) (C)1 (D)解析:当tan α=时,原式=cos2α+4sin αcos α====,故选A.3.已知在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则角C的大小为( A )(A)(B) (C)或 (D)或解析:已知式平方和得9+16+24sin(A+B)=37,因而sin(A+B)=.在△ABC中,sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=,因而C=或,又3cos A+4sin B=1化为4sin B=1-3cos A>0,所以cos A<<,则A>,故C=,故选A.4.(2018·安阳二模)已知α为第二象限角,且sin 2α=-,则cos α-sin α的值为( B )(A)(B)- (C)(D)-解析:因为sin 2α=2sin αcos α=-,即1-2sin αcos α=,所以(sin α-cos α)2=,又α为第二象限角,所以cos α<sin α,则cos α-sin α=-.故选B.5.(2018·湖北黄冈二模)若cos(α-)=-,则cos(α-)+cos α等于( C )(A)- (B)± (C)-1 (D)±1解析:由cos(α-)+cos α=cos α+sin α+cos α=cos(α-)= -1,故选C.6.已知向量m=(sin ,1),n=(cos ,cos2),f(x)=m·n,若f(x)=1,则cos(x+)的值为( A )(A) (B) (C)-(D)-解析:因为f(x)=m·n=sin cos +cos2=sin +cos +=sin(+)+,而f(x)=1,所以sin(+)=,所以cos(x+)=cos 2(+)=1-2sin2(+)=.故选A.7.已知α,β为锐角,且cos(α+β)=,sin α=,则cos β的值为( A )(A) (B) (C) (D)解析:根据题意,α,β为锐角,且sin α=,则cos α=,若cos(α+β)=,则α+β也为锐角,则sin(α+β)=,则cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=,故选A.8.(2018·昆明质检)已知0<θ<,-<φ<0,cos(θ+)=,cos(-)=,则cos(θ+)= .解析:因为0<θ<,-<φ<0,所以<θ+<,<-<,又cos(θ+)=, cos(-)=,所以sin(θ+)=,sin(-)=,则cos(θ+)=cos[(θ+ )-(-)]=.答案:9. 如图,☉O与x轴的正半轴的交点为A,点B,C在☉O上,且B(,-),点C在第一象限,∠AOC=α,BC=1,则cos(-α)= .解析:由B(,-),得OB=OC=1,又BC=1,所以∠BOC=,由三角函数的定义,得sin∠AOB=,cos∠AOB=,所以sin α=sin(-∠AOB)=sin ·cos∠AOB-cos sin∠AOB=×-×=,同理cos α=,所以cos(-α)=cos cos α+sin ·sin α=-×+×=-.答案:-能力提升(建议用时:25分钟)10.已知在△ABC中,sin Asin B=cos2,则下列结论一定成立的是( A )(A)A=B (B)A=C(C)B=C (D)A=B=C解析:因为sin Asin B=cos2==,所以2sin Asin B=1-cos Acos B+sin Asin B,所以cos(A-B)=1,又0<A<π,0<B<π,所以-π< A-B<π,所以A=B.故选A.11.若a=(sin 56°-cos 56°),b=cos 50°cos 128°+cos 40°cos 38°,c=,d=(cos 80°-2cos250°+1),则a,b,c,d大小关系为( B )(A)a>b>c>d (B)b>a>d>c(C)d>a>b>c (D)c>a>d>b解析:a=(sin 56°-cos 56°)=sin(56°-45°)=sin 11°,b=cos 50°cos 128°+cos 40°cos 38°=sin 50°cos 38°- cos 50°sin 38°=sin 12°,c==cos 81°=sin 9°,d=(cos 80°-2cos250°+1)=(cos 80°-cos 100°)=sin 10°.得b>a>d>c.故选B.12.(2018·岳阳质检)若tan cos=sin-msin,则实数m的值为( A )(A)2(B)(C)2 (D)3解析:由tan cos=sin-msin,可得sin cos=cos sin-msin cos⇔sin(-)=-msin cos⇔2sin=msin⇔m=2.故选A.13.(2018·洛阳二模)已知tan(α+)=,且α为第二象限角,若β=,则sin(α-2β)cos 2β-cos(α-2β)sin 2β等于( D )(A)- (B)(C)- (D)解析:tan(α+)==,所以tan α=-,又α为第二象限角,所以cos α=-,sin(α-2β)cos 2β-cos(α-2β)sin 2β=sin(α-4β)= sin(α-)=-cos α=,故选D.14.已知sin α=,cos(α+β)=-,若α,β是锐角,则β= .解析:sin α=,cos(α+β)=-,α,β是锐角,则cos α=,sin(α+β )=, 所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β) sin α=,所以β=.答案:15.(2018·长春二模)已知关于x 的方程2x 2-(+1)x+m=0的两个根为sin θ和cos θ,θ∈(0,2π),求: (1)+的值;(2)m 的值;(3)方程的两根及θ的值.解:(1)+=+==sin θ+cos θ=.(2)将①式两边平方得1+2sin θcos θ=. 所以sin θcos θ=.由②式得=,所以m=.(3)由(2)可知原方程变为2x2-(+1)x+=0,解得x1=,x2=.所以或又θ∈(0,2π),所以θ=或θ=.。
课时规范练28 数列的概念与表示基础巩固组1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( ) ,12,13,14,…,-2,-3,-4,… ,-12,-14,-18,… ,√2,√3,…,√n 2.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n =( )A.n2n+1B.n2n -1C.n2n -3D.n2n+33.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2a n -4(n ∈N *),则a n =( ) +1 D.2n -24.已知数列{a n }满足a 1+a 2+…+a n =2a 2(n=1,2,3,…),则( ) <0 >0 ≠a 2 =05.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,S n =n+12a n (n ∈N *),则S 10为( )6.已知数列{a n }的首项a 1=1,其前n 项和S n =n 2a n (n ∈N *),则a 9=( ) A.136B.145C.155D.1667.在数列{a n }中,a 1=1,S n =n+23a n ,则a n = .8.数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *,则S 5= . 9.在数列{a n }中,a 1=0,a n+1=√3+a n1-3a ,则S 2 019= .10.数列{a n }的通项公式是a n =n 2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值. (2)对于n ∈N *,都有a n+1>a n .求实数k 的取值范围.综合提升组11.在数列{a n }中,若a 1=2,且对任意正整数m ,k ,总有a m+k =a m +a k ,则{a n }的前n 项和为S n =( ) (3n-1)B.n (n+3)2 (n+1)D.n (3n+1)12.给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是( ) =2n 2+3n-1 =n 2+5n-5=2n 3-3n 2+3n-1=2n 3-n 2+n-213.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若3S n =2a n -3n ,则a 2 018= ( ) 018-1 018-612018-7213018-10314.在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18= . 15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -n ,则a n = .创新应用组16.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,则(a 1a 3-a 22)(a 2a 4-a 32)(a 3a 5-a 42)…(a 2 015a 2 017-a 2 0162)=( ) 017 01717.(2018河北衡水中学二调,10)数列{a n }满足a 1=43,a n+1-1=a n (a n -1)(n ∈N *),且S n =1a 1+1a 2+…+1a n,则S n 的整数部分的所有可能值构成的集合是( ) A.{0,1,2} B.{0,1,2,3} C.{1,2} D.{0,2}课时规范练28 数列的概念与表示A 项中,数列1,12,13,14,…是递减数列,不符合题意;B 项中,数列-1,-2,-3,-4,…是递减数列,不符合题意;C项中,数列-1,-12,-14,-18,…是递增数列又是无穷数列,符合题意;D 项中,数列1,√2,√3,…,√n 是有穷数列,不符合题意,故选C .由已知得,数列可写成11,23,35,…,故通项为n2n -1.当n ≥2时,由S n =2a n -4,得S n-1=2a n-1-4,两式相减得a n =2a n -2a n-1,a n =2a n-1.因此数列{a n }为公比为2的等比数列,又a 1=S 1=2a 1-4,则a 1=4,所以a n =4×2n-1=2n+1.根据条件S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =2a 2,S n-1=a 1+a 2+a 3+…+a n-1=2a 2,故两式做差得a n =0,故数列的每一项都为0,故选D .依题意S n =n+12(S n -S n-1),化简得Sn S n -1=n+1n -1,故S 10=S10S 9·S 9S 8·…·S 2S 1·S 1=119×108×97×…×42×31×2=110. 由S n =n 2a n ,得S n+1=(n+1)2a n+1,所以a n+1=(n+1)2a n+1-n 2a n ,化简得(n+2)a n+1=na n ,即a n+1a n=n n+2,所以a 9=a 9a 8·a 8a 7·…·a 2a 1·a 1=810×79×68×…×24×13×1=290=145. 7.n (n+1)2 由题设知,a 1=1.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n+23a n -n+13a n-1.∴a n a n -1=n+1n -1, ∴a n -1a n -2=n n -2,…,a 4a 3=53,a 3a 2=42,a 2a 1=3. 以上(n-1)个式子的等号两端分别相乘,得a n a 1=n (n+1)2.∵a 1=1,∴a n =n (n+1)2.由于{a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1,解得a 1=1.由a n+1=S n+1-S n =2S n +1,得S n+1=3S n +1,所以S n+1+12=3S n +12,所以{S n +12}是以32为首项,3为公比的等比数列, 所以S n +1=32×3n-1,即S n =3n -1,所以S 5=121.∵a 1=0,a n+1=√3+an 1-√3a ,∴a 2=√31=√3,a 3=√3+√31-√3×√3=2√3-2=-√3,a 4=√3-√31+√3×√3=0,即数列{a n }的取值具有周期性,周期为3,且a 1+a 2+a 3=0,则S 2 019=S 3×673=0.10.解 (1)由n 2-5n+4<0,解得1<n<4.∵n ∈N *,∴n=2,3,∴数列中有两项a 2,a 3是负数.∵a n =n 2-5n+4=n-522-94,当n=2或n=3时,a n 有最小值,a 2=a 3=-2.(2)由a n+1>a n 知该数列是一个递增数列,又a n =n 2+kn+4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以-k2<32,即得k>-3.递推关系a m+k =a m +a k 中,令k=1,得a m+1=a m +a 1=a m +2,即a m+1-a m =2恒成立,据此可知,该数列是一个首项a 1=2,公差d=2的等差数列,其前n 项和为S n =na 1+n (n -1)2d=2n+n (n -1)2×2=n (n+1). 当n=1时,a 1=1,代入四个选项,排除A 、D;当n=2时,a 2=9,代入B 、C 选项,B 、C 都正确;当n=3时,a 3=35,代入B 、C 选项,B 错误,C 正确,所以选C .由题意可得3S n =2a n -3n ,3S n+1=2a n+1-3(n+1),两式作差可得3a n+1=2a n+1-2a n -3,即a n+1=-2a n -3,则a n+1+1=-2(a n +1),结合3S 1=2a 1-3=3a 1可得a 1=-3,a 1+1=-2,则数列{a n +1}是首项为-2,公比为-2的等比数列,据此有a 2 018+1=(-2)×(-2)2 017=22 018,∴a 2 018=22 018-1.故选A . 由题意得a n +a n+1=5⇒a n+2+a n+1=5⇒a n =a n+2,所以a 18=a 2=5-a 1=3.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n -n-2a n-1+(n-1),即a n =2a n-1+1,∴a n +1=2(a n-1+1).又a 1=S 1=2a 1-1,∴a 1=1.∴数列{a n +1}是以首项为a 1+1=2,公比为2的等比数列, ∴a n +1=2·2n-1=2n ,∴a n =2n -1.∵a 1a 3-a 22=1×2-12=1,a 2a 4-a 32=1×3-22=-1,a 3a 5-a 42=2×5-32=1,…,a 2 015a 2 017-a 2 0162=1.∴(a 1a 3-a 22)(a 2a 4-a 32)(a 3a 5-a 42)·…·(a 2 015a 2 017-a 2 0162)=11 008×(-1)1 007=-1. 对a n+1-1=a n (a n -1)两边取倒数,得1a n-1−1a n+1-1=1a n,S n =1a 1+1a 2+…+1a n=1a 1-1−1a 2-1+1a 2-1−1a 3-1+…+1a n -1−1a n+1-1=3-1a n+1-1, 由a n+1-a n =(a n -1)2≥0,a n+1≥a n ,a n 为单调递增数列, a 1=43,a 2=139,a 3=13381,其中S 1=1a 1,整数部分为0,S 2=3-94=34,整数部分为0,S 3=7552,整数部分为1,由于S n <3,故选A .。
2020届高考理科数学一轮复习要点+题型解析导数及其应用一、导数的运算问题【要点解析】1.基本初等函数的导数公式表2.导数的四则运算法则设f(x)，g(x)是可导的，则(1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)'⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(xgxf＝g(x)f′(x)－f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0)．(g(x)≠0)．3.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y 对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【题型解析】【例1】．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.【例2】．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2D ．－2【解析】：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.【例3】．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 【解析】：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 【答案】：－2二、导数的几何意义【要点解析】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．（1）斜率：αtan )(0='=x f k（2）切点：())(00x f x '，在切线上，也在曲线上。
课时作业(二十八)A [第28讲 等比数列][时间：35分钟 分值：80分]基础热身 1．[2011·深圳一模] 设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝( )A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n －1＋12 C.(－1)n ＋12 D.(－1)n －12 2．[2011·泉州质检] 等比数列{a n }中，a 2＝3，a 7·a 10＝36，则a 15＝( ) A ．12 B ．－12 C ．6 D ．－63．[2011·沈阳二模] 设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为( )A.154B.152C.74D.72 4．[2011·广东卷] 已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.能力提升 5．[2011·厦门质检] 已知等比数列{a n }中，a 3＝2，其前n 项的积T n ＝a 1a 2…a n ，则T 5等于( )A ．8B ．10C ．16D ．32 6．[2011·开封二模] 设数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 5，a 13成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n4 D ．n 2＋n7．甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同．到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同．比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有( )A ．甲的产值小于乙的产值B ．甲的产值等于乙的产值C ．甲的产值大于乙的产值D ．不能确定 8．[2011·合肥三模] 已知各项均为实数的数列{a n }为等比数列，且满足a 1＋a 2＝12，a 2a 4＝1，则a 1＝( )A ．9或116 B.19或16 C.19或116D ．9或16 9．[2011·皖北协作区联考] 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝________.10．[2011·北京卷] 在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.11．[2011·莱芜模拟] 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝3116，a 3＝14，则1a 1＋1a2＋…＋1a 5＝________.12．(13分)[2011·济南二模] 设数列{a n }是一等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23(b n －1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .难点突破13．(12分)[2011·安徽卷] 在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .课时作业(二十八)A【基础热身】1．D [解析] 由已知，数列{(－1)n }是首项与公比均为－1的等比数列，其前n 项和为S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12，故选D . 2．A [解析] 由等比数列的性质，有a 2·a 15＝a 7·a 10＝36，则a 15＝36a 2＝12，故选A .3．A [解析] 在等比数列{a n }中，S 4＝a 1(1－24)1－2＝15a 1，a 3＝a 1·22＝4a 1，则S 4a 3＝154，故选A .4．2 [解析] 因为{a n }为等比数列，所以a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝4，即2q 2－2q ＝4， 所以q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或q ＝2， 又{a n }是递增等比数列，所以q ＝2. 【能力提升】5．D [解析] 由a 3＝2，得T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝25＝32，故选D . 6．A [解析] 设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 5＝a 1＋4d ，a 13＝a 1＋12d ， 由a 1，a 5，a 13成等比数列，得a 25＝a 1a 13， 即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋12d)， 化简，得4d 2－a 1d ＝0， ∵a 1＝2，d ≠0，∴d ＝12，S n ＝2n ＋n (n －1)2×12＝n 24＋7n 4，故选A . 7．C [解析] 设甲各个月份的产值为数列{a n }，乙各个月份的产值为数列{b n }，则数列{a n }为等差数列、数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，a 11＝b 11，故a 6＝a 1＋a 112≥a 1a 11＝b 1b 11＝b 26＝b 6.由于等差数列{a n }的公差不等于0，故a 1≠a 11，上面的等号不能成立，故a 6>b 6.8．D [解析] 由已知得a 23＝1，所以a 3＝1或a 3＝－1，设公比为q ，则有a 3q 2＋a 3q ＝12，当a 3＝1时，解得q ＝13或q ＝－14，此时a 1＝9或16； 当a 3＝－1时，－1q 2＋－1q ＝12无解，故选D .9．5 [解析] 由已知条件8a 2－a 5＝0，得8a 1q ＝a 1q 4，即q 3＝8，即q ＝2.又S 2＝a 1(1－q 2)1－q ，S 4＝a 1(1－q 4)1－q，则S 4S 2＝1＋q 2＝5.10．－2 2n －1－12 [解析] 由a 4＝a 1q 3＝12q 3＝－4，可得q ＝－2；因此，数列{|a n |}是首项为12，公比为2的等比数列，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12.11．31 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 2＋…＋a 5＝3116，得 a 1(1＋q ＋…＋q 4)＝3116，由a 3＝14，得a 1q 2＝14，则a 21q 4＝116， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 5＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q ＋…＋1q 4＝a 1(1＋q ＋…＋q 4)a 21q 4＝31. 12．[解答] (1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2. 又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2， ∴b 2＝4，∴a 2＝－2，a 5＝4.∵{a n }为一等差数列，∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2， 即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6.(2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1)①，S n ＝23(b n －1)②，①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n ，∴数列{b n }是一等比数列，公比q ＝－2，b 1＝－2， 即b n ＝(－2)n .∴S n ＝23[(－2)n －1]．【难点突破】13．[思路] 本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，综合运算求解能力和创新思维能力．[解答] (1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则 T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)．∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ∈N *.(2)由题意和(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1， 另一方面，利用tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan (k ＋1)－tan k1＋tan (k ＋1)·tan k ，得tan(k ＋1)·tan k ＝tan (k ＋1)－tan ktan1－1. 所以S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝3n ＋2tan(k ＋1)·tan k＝∑k ＝3n ＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤tan (k ＋1)－tan k tan1－1＝tan (n ＋3)－tan3tan1－n .。
第1节集合【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B等于( A )(A){0,2} (B){1,2}(C){0} (D){-2,-1,0,1,2}解析:A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A.2.已知集合A={x|lg x>0},B={x|x≤1},则( B )(A)A∩B≠∅(B)A∪B=R(C)B⊆A (D)A⊆B解析:由B={x|x≤1},且A={x|lg x>0}=(1,+∞),所以A∪B=R.3.(2018·西安一模改编)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是( B )(A)M=N (B)N M(C)M⊆N (D)M∩N=∅解析:因为M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},所以N={-1,0},于是N M.4.若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=｛-1,0,,2,3｝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( B )(A)1 (B)3 (C)7 (D)31解析:具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},｛,2｝,｛-1,,2｝.5.(2018·石家庄模拟)设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B= {3,5},则∁U(A∪B)等于( D )(A){1,4} (B){1,5}(C){2,5} (D){2,4}解析:由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},所以∁U(A∪B)={2,4}.6.试分别用描述法、列举法两种方法表示“所有不小于3,且不大于200的奇数”所构成的集合.(1)描述法 ;(2)列举法 . 答案:(1){x|x=2n+1,n∈N,1≤n<100}(2){3,5,7,9, (199)7.(2017·江苏卷)已知集合A={1,2},B={a,a2+3},若A∩B={1},则实数a的值为.解析:因为A∩B={1},A={1,2},所以1∈B且2∉B.若a=1,则a2+3=4,符合题意.又a2+3≥3≠1,故a=1.答案:18.(2018·成都检测)已知集合A={x|x2-2 018x-2 019≤0},B={x|x< m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是.解析:由x2-2 018x-2 019≤0,得A=[-1,2 019],又B={x|x<m+1},且A⊆B.所以m+1>2 019,则m>2 018.答案:(2 018,+∞)9.集合A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B= .解析:由x(x+1)>0,得x<-1或x>0.所以B=(-∞,-1)∪(0,+∞),所以A-B=[-1,0).答案:[-1,0)能力提升(时间:15分钟)10.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则(∁R S)∩T等于( C )(A)[2,3](B)(-∞,-2)∪[3,+∞)(C)(2,3)(D)(0,+∞)解析:易知S=(-∞,2]∪[3,+∞),所以∁R S=(2,3),因此(∁R S)∩T= (2,3).11.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由得所以A∩B={(2,-1)}.由M⊆(A∩B),知M= 或M={(2,-1)}.12.(2018·江西省红色七校联考)如图,设全集U=R,集合A,B分别用椭圆内图形表示,若集合A={x|x2<2x},B={x|y=ln(1-x)},则阴影部分图形表示的集合为( D )(A){x|x≤1} (B){x|x≥1}(C){x|0<x≤1} (D){x|1≤x<2}解析:因为A={x|x2<2x}={x|0<x<2},B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}={x|x<1},所以∁U B={x|x≥1},则阴影部分为A∩(∁U B)={x|0<x<2}∩{x|x≥1}={x|1≤x<2}.故选D.13.若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为( D )(A)1 (B)-1(C)1或-1 (D)1或-1或0解析:由A∪B=A,可知B A,故B={1}或{-1}或 ,此时m=1或-1或0.故选D.14.(2017·山东卷改编)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,全集U=R,则∁U(A∩B)= .解析:因为4-x2≥0,所以-2≤x≤2,所以A=[-2,2].因为1-x>0,所以x<1,所以B=(-∞,1),因此A∩B=[-2,1),于是∁U(A∩B)=(-∞,-2)∪[1,+∞).答案:(-∞,-2)∪[1,+∞)第2节命题及其关系、充分条件与必要条件【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( D )(A)若方程x2+x-m=0有实根,则m>0(B)若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0(C)若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0(D)若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0解析:根据逆否命题的定义,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.2.(2018·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( A )(A)若a≤b,则a+c≤b+c(B)若a+c≤b+c,则a≤b(C)若a+c>b+c,则a>b(D)若a>b,则a+c≤b+c解析:将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.3.(2018·山东省日照市模拟)命题p:sin 2x=1,命题q:tan x=1,则p 是q的( C )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由sin 2x=1,得2x=+2kπ,k∈Z,则x=+kπ,k∈Z,由tan x=1,得x=+kπ,k∈Z,所以p是q的充要条件.故选C.4.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由题意知a⊂α,b⊂β,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.5.(2018·云南玉溪模拟)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若函数f(x)=a x在R上是减函数,则a∈(0,1),若函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数,则a∈(0,2).则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件.6.(2018·江西九江十校联考)已知函数f(x)=则“x=0”是“f(x)=1”的( B )(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:若x=0,则f(0)=e0=1;若f(x)=1,则e x=1或ln(-x)=1,解得x=0或x=-e.故“x=0”是“f(x)=1”的充分不必要条件.故选B.7.(2018·北京卷)能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为.解析:只要保证a为正b为负即可满足要求.当a>0>b时,>0>.答案:1,-1(答案不唯一)8.有下列几个命题:①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是.解析:①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,错误.②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,正确.③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,正确.答案:②③9.直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点的充要条件是.解析:直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点等价于<,解之得-1<k<3.答案:-1<k<3能力提升(时间:15分钟)10.(2018·天津卷)设x∈R,则“|x-|<”是“x3<1”的( A )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由“|x-|<”等价于0<x<1,而x3<1,即x<1,所以“|x-|<”是“x3<1”的充分而不必要条件.故选A.11.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p,则a的取值范围是( A )(A)[1,+∞) (B)(-∞,1](C)[-1,+∞) (D)(-∞,-3]解析:由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p,可知﹁p是﹁q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件,故a≥1.12.函数f(x)=log a x-x+2(a>0且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是 .解析:若函数f(x)=log a x-x+2(a>0,且a≠1)有两个零点,即函数y=log a x的图象与直线y=x-2有两个交点,结合图象易知,此时a>1.可以检验,当a>1时,函数f(x)=log a x-x+2(a>0,且a≠1)有两个零点, 所以函数f(x)=log a x-x+2(a>0,且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是a>1.答案:a>113.(2018·湖南十校联考)已知数列{a n}的前n项和S n=Aq n+B(q≠0),则“A=-B”是“数列{a n}为等比数列”的条件.解析:若A=B=0,则S n=0,数列{a n}不是等比数列.如果{a n}是等比数列,由a1=S1=Aq+B得a2=S2-a1=Aq2-Aq,a3=S3-S2=Aq3-Aq2,由a1a3=,从而可得A=-B,故“A=-B”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件.答案:必要不充分14.(2018·山西五校联考)已知p:(x-m)2>3(x-m)是q:x2+3x-4<0的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.解析:p对应的集合A={x|x<m或x>m+3},q对应的集合B={x|-4<x<1}.由p是q的必要不充分条件可知B A,所以m≥1或m+3≤-4,即m≥1或m≤-7.答案:(-∞,-7]∪[1,+∞)第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·咸阳模拟)命题p:∀x<0,x2≥2x,则命题﹁p为( C )(A)∃x0<0,≥(B)∃x0≥0,<(C)∃x0<0,< (D)∃x0≥0,≥解析:全称命题的否定,应先改写量词,再否定结论,所以﹁p:∃x0<0,<.2.(2018·郑州调研)命题p:函数y=log2(x-2)的单调增区间是[1,+∞),命题q:函数y=的值域为(0,1).下列命题是真命题的为( B )(A)p∧q (B)p∨q(C)p∧(﹁q) (D)﹁q解析:由于y=log2(x-2)在(2,+∞)上是增函数,所以命题p是假命题.由3x>0,得3x+1>1,所以0<<1,所以函数y=的值域为(0,1),故命题q为真命题.所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(﹁q)为假命题,﹁q为假命题.3.(2018·贵阳调研)下列命题中的假命题是( C )(A)∃x0∈R,lg x0=1 (B)∃x0∈R,sin x0=0(C)∀x∈R,x3>0 (D)∀x∈R,2x>0解析:当x=10时,lg 10=1,则A为真命题;当x=0时,sin 0=0,则B为真命题;当x<0时,x3<0,则C为假命题;由指数函数的性质知,∀x∈R,2x>0,则D为真命题.4.第十三届全运会于2017年8月27日在天津市隆重开幕,在体操预赛中,有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”,q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( A ) (A)(﹁p)∨(﹁q) (B)p∨(﹁q)(C)(﹁p)∧(﹁q) (D)p∨q解析:命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况:“甲、乙落地均没有站稳”“甲落地没站稳,乙落地站稳”“乙落地没有站稳,甲落地站稳”,故可表示为(﹁p)∨(﹁q).或者,命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定,即“p∧q”的否定.选A.5.(2018·河北省石家庄二中模拟)已知命题p:∃x0∈(0,+∞), ln x0=1-x0,则命题p的真假及﹁p依次为( B )(A)真;∃x0∈(0,+∞),ln x0≠1-x0(B)真;∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x(C)假;∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x(D)假;∃x0∈(0,+∞),ln x0≠1-x0解析:当x0=1时,ln x0=1-x0=0,故命题p为真命题;因为p:∃x0∈(0,+∞),ln x0=1-x0,所以﹁p:∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x.6.命题p“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( D )(A)∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2(B)∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2(C)∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2(D)∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<解析:改变量词,否定结论.所以﹁p应为∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<.7.(2018·河北“五个一”名校联考)命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定是.答案:∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>28.若命题“∃x0∈R,使得+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是.解析:因为“∃x0∈R,使得+(a-1)x0+1<0”是真命题,所以Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,所以a-1>2或a-1<-2,所以a>3或a<-1.答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)9.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:>1,若“(﹁q)∧p”为真,则x的取值范围是.解析:因为“(﹁q)∧p”为真,即q假p真,又q为真命题时,<0,即2<x<3,所以q为假命题时,有x≥3或x≤2.p为真命题时,由x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3.由得x≥3或1<x≤2或x<-3,所以x的取值范围是{x|x≥3或1<x≤2或x<-3}.答案:(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)能力提升(时间:15分钟)10.下列命题中,真命题是( D )(A)∃x0∈R,使得≤0(B)sin2x+≥3(x≠kπ,k∈Z)(C)∀x∈R,2x>x2(D)a>1,b>1是ab>1的充分不必要条件解析:对∀x∈R都有e x>0,所以A错误;当x=-时,sin2x+=-1<3,所以B错误;当x=2时,2x=x2,所以C错误;a>1,b>1⇒ab>1,而当a=b=-2时,ab>1成立,a>1,b>1不成立,所以D 正确.11.(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=a2x-2a+1.若命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是( D ) (A)(,1) (B)(1,+∞)(C)(,+∞) (D)(,1)∪(1,+∞)解析:因为函数f(x)=a2x-2a+1,命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,所以原命题的否定“∃x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,所以f(1)f(0)<0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<0,所以(a-1)2(2a-1)>0,解得a>,且a≠1.所以实数a的取值范围是(,1)∪(1,+∞).12.(2018·江西红色七校联考)已知函数f(x)=给出下列两个命题:命题p:∃m∈(-∞,0),方程f(x)=0有解,命题q:若m=,则f(f(-1))=0.那么,下列命题为真命题的是( B )(A)p∧q (B)(﹁p)∧q(C)p∧(﹁q) (D)(﹁p)∧(﹁q)解析:因为3x>0,当m<0时,m-x2<0,所以命题p为假命题;当m=时,因为f(-1)=3-1=,所以f(f(-1))=f()=-()2=0,所以命题q为真命题,逐项检验可知,只有(﹁p)∧q为真命题.13.(2018·广东汕头一模)已知命题p:关于x的方程x2+ax+1=0没有实根;命题q:∀x>0,2x-a>0.若“﹁p”和“p∧q”都是假命题,则实数a的取值范围是( C )(A)(-∞,-2)∪(1,+∞) (B)(-2,1](C)(1,2) (D)(1,+∞)解析:因为“﹁p”和“p∧q”都是假命题,所以p真,q假.由p真,得Δ=a2-4<0,解之得-2<a<2.∀x>0,2x-a>0等价于a<2x恒成立,则a≤1.所以q假时,a>1.由得1<a<2,则a的取值范围是(1,2).14.(2018·郑州质量预测)已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1∈[,1],∃x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是.解析:依题意知f(x)max≤g(x)max.因为f(x)=x+在[,1]上是减函数,所以f(x)max=f()=.又g(x)=2x+a在[2,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)=8+a,因此≤8+a,则a≥.答案:[,+∞)第1节函数及其表示【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.函数g(x)=+log2(6-x)的定义域是( D )(A){x|x>6} (B){x|-3<x<6}(C){x|x>-3} (D){x|-3≤x<6}解析:由解得-3≤x<6,故函数的定义域为{x|-3≤x<6}.故选D.2.设f(x)=则f(f(-2))等于( C )(A)-1 (B) (C) (D)解析:因为-2<0,所以f(-2)=2-2=>0,所以f(f(-2))=f()=1-=1-=.故选C.3.如果f()=,则当x≠0且x≠1时,f(x)等于( B )(A)(x≠0且x≠1) (B)(x≠0且x≠1)(C)(x≠0且x≠1) (D)-1(x≠0且x≠1)解析:令t=,t≠0,则x=,则f()=可化为f(t)==(t≠1),所以f(x)=(x≠0,x≠1).故选B.4.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( D )(A)y=x (B)y=lg x(C)y=2x(D)y=解析:由y=10lg x定义域值域均为(0,+∞),与D符合.故选D.5.下列函数中,与y=x相同的函数是( B )(A)y=(B)y=lg 10x(C)y=(D)y=()2+1解析:对于A,与函数y=x的对应关系不同;对于B,与函数y=x的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数;对于C,与函数y=x的定义域不同;对于D,与函数y=x的定义域不同.故选B.6.(2018·西安联考)已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,2](C)[-1,2] (D)[2,5]解析:因为f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,所以当x=2时,f(2)=4,由f(x)=-x2+4x=-5,解得x=5或x=-1,所以要使函数在[m,5]的值域是[-5,4],则-1≤m≤2,故选C.7.(2018·石家庄质检)设函数f(x)=若f(f())=2,则实数a为( D )(A)- (B)- (C)(D)解析:易得f（）=2×+a=+a.当+a<1时,f（f()）=f(+a)=3+3a,所以3+3a=2,a=-,不满足+a<1,舍去.当+a≥1,即a≥-时,f（f()）=log2(+a)=2,解得a=.故选D.8.(2018·西安铁中检测)已知函数f(2x)的定义域为[-1,1],则函数y=f(log2x)的定义域为.解析:由-1≤x≤1,知≤2x≤2,所以在函数y=f(log2x)中,有≤log2x≤2,因此≤x≤4,即y=f(log2x)的定义域为[,4].答案:[,4]能力提升(时间:15分钟)9.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)等于( A )(A)- (B)- (C)- (D)-解析:当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,不成立,舍去;当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即log2(a+1)=3,解得a=7,此时f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-.故选A.10.已知函数f(x)=则f(x)的值域是( B )(A)[1,+∞) (B)[0,+∞)(C)(1,+∞) (D)[0,1)∪(1,+∞)解析:由f(x)=知当x≤1时,x2≥0;当x>1时,x+-3≥2-3=4-3=1,当且仅当x=,即x=2时取“=”,取并集得f(x)的值域是[0,+∞).故选B.11.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=x+2,则 f(x)等于( A )(A)x+1 (B)2x-1(C)-x+1 (D)x+1或-x-1解析:设f(x)=kx+b(k≠0),又f[f(x)]=x+2,得k(kx+b)+b=x+2,即k2x+kb+b=x+2.所以k2=1,且kb+b=2,解得k=b=1,则f(x)=x+1.故选A.12.(2018·河南八市联合检测)设函数f(x)=若对任意的a∈R都有f(f(a))=2f(a)成立,则λ的取值范围是( C )(A)(0,2] (B)[0,2](C)[2,+∞) (D)(-∞,2)解析:当a≥1时,2a≥2,所以f(f(a))=f(2a)==2f(a)恒成立,当a<1时,f(f(a))=f(-a+λ)=2f(a)=2λ-a,所以λ-a≥1,即λ≥a+1恒成立,由题意,λ≥(a+1)max,λ≥2,综上,λ的取值范围是[2,+∞).故选C.13.(2018·江西上饶质检)已知函数f(x)=若a[f(a)- f(-a)]>0,则实数a的取值范围为( D )(A)(1,+∞)(B)(2,+∞)(C)(-∞,-1)∪(1,+∞)(D)(-∞,-2)∪(2,+∞)解析:当a>0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+a-3a>0,解得a>2,当a<0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为-a2-2a<0,解得a<-2,综上所述,a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).故选D.14.设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是.解析:当x<1时,e x-1≤2,解得x≤1+ln 2,所以x<1.当x≥1时,≤2,解得x≤8,所以1≤x≤8.综上可知x的取值范围是(-∞,8].答案:(-∞,8]第2节函数的单调性与最值【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·湖北省高三调研)函数f(x)=log a(x2-4x-5)(a>1)的单调递增区间是( D )(A)(-∞,-2) (B)(-∞,-1)(C)(2,+∞) (D)(5,+∞)解析:由t=x2-4x-5>0,得x<-1或x>5,且函数t=x2-4x-5(x<-1或x>5)在区间(5,+∞)上单调递增,又函数y=log a t(a>1)为单调递增函数,故函数f(x)的单调递增区间是(5,+∞).故选D.2.(2018·郑州质检)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( D )(A)y= (B)y=cos x(C)y=ln(x+1) (D)y=2-x解析:因为y=与y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,且y=cos x在(-1,1)上不具备单调性,所以A,B,C不满足题意;只有y=2-x=（）x在(-1,1)上是减函数.故选D.3.(2018·湖师附中)如果f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间（-∞,]上为减函数,则a的取值范围是( C )(A)(0,1] (B)[0,1) (C)[0,1] (D)(0,1)解析:a=0时,f(x)=-2x+1在区间(-∞,]上为减函数,符合题意;当a≠0时,如果f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间(-∞,]上为减函数,必有解得0<a≤1.综上所述,a的取值范围是[0,1],故选C.4.(2018·唐山二模)函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( D )(A)(1,2) (B)(-1,2) (C)[1,2) (D)[-1,2)解析:函数y===-1在区间(-1,+∞)上是减函数,且f(2)=0,所以n=2,根据题意,x ∈(m,n]时,y min =0, 所以m 的取值范围是[-1,2).故选D. 5.设函数f(x)=若f(a+1)≥f(2a-1),则实数a 的取值范围是( B )(A)(-∞,1] (B)(-∞,2] (C)[2,6] (D)[2,+∞)解析:易知函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上是增函数, 因为f(a+1)≥f(2a-1), 所以a+1≥2a-1,解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(-∞,2].故选B. 6.已知f(x)=2x ,a=(),b=(),c=log 2,则 f(a),f(b),f(c)的大小顺序为( B )(A)f(b)<f(a)<f(c) (B)f(c)<f(b)<f(a) (C)f(c)<f(a)<f(b) (D)f(b)<f(c)<f(a) 解析:易知f(x)=2x 在(-∞,+∞)上是增函数, 又a=()=()>()=b>0,c=log 2<0,所以f(a)>f(b)>f(c).故选B.7.(2018·石家庄调研)函数f(x)=()x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为.解析:由于y=()x在R上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.答案:38.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是.解析:由题意知g(x)=函数的图象为如图所示的实线部分,根据图象,g(x)的减区间是[0,1).答案:[0,1)9.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是.解析:法一在同一坐标系中,作函数f(x),g(x)图象,依题意,h(x)的图象如图所示.易知点A(2,1)为图象的最高点,因此h(x)的最大值为h(2)=1.法二依题意,h(x)=当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数,当x>2时,h(x)=3-x是减函数.所以当x=2时,h(x)取最大值h(2)=1.答案:1能力提升(时间:15分钟)10.(2017·全国Ⅰ卷)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( D ) (A)[-2,2] (B)[-1,1] (C)[0,4] (D)[1,3]解析:因为f(x)是奇函数,且f(1)=-1,所以f(-1)=-f(1)=1.所以f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以-1≤x-2≤1.所以1≤x≤3.故选D.11.(2018·北京海淀期中)若函数f(x)=的值域为[-1,1],则实数a的取值范围是( A )(A)[1,+∞) (B)(-∞,-1](C)(0,1] (D)(-1,0)解析:当x≤a时,f(x)=cos x∈[-1,1],则当x>a时,-1≤≤1,即x≤-1或x≥1,所以a≥1.故选A.12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.解析:因为f(x)在R上是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数.则f(2|a-1|)>f(-)=f(),因此2|a-1|<=,又y=2x是增函数,所以|a-1|<,解得<a<.答案:(,)13.(2018·大理月考)已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数且f(1)=1,当x1,x2∈[-1,1],且x1+x2≠0时,有>0,若f(x)≤m2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,则实数m的取值范围是.解析:用-x2替换x2,得>0,由于f(x)是奇函数,所以>0,等价于函数f(x)是定义域上的增函数,所以f(x)max=f(1)=1.不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈[-1,1]恒成立,即m2-2am+1≥1对任意a∈[-1,1]恒成立,即2ma-m2≤0对任意a∈[-1,1]恒成立,令g(a)=2ma-m2,则只要即可,解得m≤-2或者m≥2或者m=0.故所求的m的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).答案:(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)14.(2018·成都七中调研)已知函数f(x)=a-.(1)求f(0);(2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论;(3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax)<f(2)的x的范围.解:(1)f(0)=a-=a-1.(2)f(x)在R上单调递增.理由如下:因为f(x)的定义域为R,所以任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a--a+=, 因为y=2x在R上单调递增且x1<x2,所以0<<,所以-<0,+1>0,+1>0.所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)在R上单调递增.(3)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),则a-=-a+,解得a=1(或用f(0)=0去解).所以f(ax)<f(2)即 f(x)<f(2),又因为f(x)在R上单调递增,所以x<2.所以不等式的解集为(-∞,2).第3节函数的奇偶性与周期性【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·云南玉溪模拟)下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( C )(A)y=|log3x| (B)y=x3(C)y=e|x| (D)y=cos |x|解析:对于A选项,函数定义域是(0,+∞),故是非奇非偶函数;对于B 选项,函数y=x3是一个奇函数,不正确;对于C选项,函数的定义域是R,是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数是增函数,故在(0,1)上单调递增,选项C正确;对于D选项,函数y=cos |x|是偶函数,在(0,1)上单调递减,不正确.故选C.2.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x2,则f(2 019)等于( B )(A)-2 (B)2 (C)-98 (D)98解析:由f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1).由-1∈(-2,0)得f(-1)=2,所以f(2 019)=2.故选B.3.(2018·石家庄一模)已知f(x)为偶函数,且当x∈[0,2)时,f(x)=2sin x,当x∈[2,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-)+f(4)等于( D )(A)-+2 (B)1(C)3 (D)+2解析:因为f(-)=f()=2sin =,f(4)=log24=2,所以f(-)+f(4)=+2.4.设函数f(x)=,则下列结论错误的是( D )(A)|f(x)|是偶函数(B)-f(x)是奇函数(C)f(x)·|f(x)|是奇函数(D)f(|x|)·f(x)是偶函数解析:f(-x)==-f(x),所以函数f(x)是奇函数,|f(-x)|=|f(x)|,函数|f(x)|是偶函数,-f(x)是奇函数,f(x)·|f(x)|为奇函数,f(|x|)是偶函数,所以f(|x|)·f(x)是奇函数,所以错的是D.故选D.5.(2018·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则g(-8)等于( A )(A)-2 (B)-3 (C)2 (D)3解析:法一当x<0时,-x>0,且f(x)为奇函数,则f(-x)=log3(1-x),所以f(x)=-log3(1-x).因此g(x)=-log3(1-x),x<0,故g(-8)=-log39=-2.法二由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.故选A.6.(2018·南昌模拟)若定义域为R的函数f(x)在(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+4)为偶函数,则( D )(A)f(2)>f(3) (B)f(2)>f(5)(C)f(3)>f(5) (D)f(3)>f(6)解析:因为y=f(x+4)为偶函数,所以f(-x+4)=f(x+4),因此y=f(x)的图象关于直线x=4对称,所以f(2)=f(6),f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数,所以f(5)>f(6),所以f(3)>f(6).故选D.7.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .解析:由于f(-x)=f(x),所以ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,化简得2ax+3x=0(x∈R),则2a+3=0.所以a=-.答案:-8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)= .解析:f(x+4)=f[(x+2)+2]=-=f(x).故函数的周期为4,所以f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5),因为2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5,所以f(105.5)=2.5.答案:2.59.设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是.解析:由f(x)=ln(1+|x|)-,知f(x)为R上的偶函数,于是f(x)> f(2x-1),即为f(|x|)>f(|2x-1|).当x≥0时,f(x)=ln(1+x)-,所以f(x)为[0,+∞)上的增函数,则由f(|x|)>f(|2x-1|)得|x|>|2x-1|,两边平方,整理得3x2-4x+1<0,解得<x<1.答案:(,1)能力提升(时间:15分钟)10.(2018·吉林省实验中学模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x),当x∈[-2,0]时,f(x)=-2x,则f(1)+f(4)等于( D ) (A)(B)1 (C)-1 (D)-解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,又因为x∈[-2,0]时,f(x)=-2x,所以f(1)+f(4)=f(-1)+f(0)=-2-1-20=--1=-.故选D.11.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是( A )(A)[-3,1](B)[-4,2](C)(-∞,-3]∪[1,+∞)(D)(-∞,-4]∪[2,+∞)解析:f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称,由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.故选A.12.(2017·安徽马鞍山三模)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则f(5)等于( B )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)5解析:因为函数f(x+1),f(x-1)都是奇函数,所以f(1)=f(-1)=0,函数f(x)既关于(1,0)对称,又关于(-1,0)对称, 即f(2-x)=-f(x),f(-2-x)=-f(x),那么f(2-x)=f(-2-x),即f(2+x)=f(-2+x),所以f(x)=f(x+4),因此函数的周期是4,f(5)=f(1)=0.故选B.13.已知奇函数f(x)=则f(-2)的值等于.解析:因为函数f(x)为奇函数,所以f(0)=0,则30-a=0,所以a=1,所以当x≥0时,f(x)=3x-1,则f(2)=32-1=8,因此f(-2)=-f(2)=-8.答案:-814.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为.解析:因为当0≤x<2时,f(x)=x3-x,又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,则f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又f(1)=0,所以f(3)=f(5)=f(1)=0,故函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.答案:715.(2018·湖北荆州中学质检)若函数f(x)=为奇函数,g(x)=则不等式g(x)>1的解集为.解析:因为f(x)=为奇函数且定义域为R,所以f(0)=0,即=0,解得a=-1,所以g(x)=所以当x>0时,由-ln x>1,解得x∈(0,);当x≤0时,由e-x>1,解得x∈(-∞,0),所以不等式g(x)>1的解集为(-∞,0)∪(0,).答案:(-∞,0)∪(0,)第4节幂函数与二次函数【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.幂函数f(x)=(m2-4m+4)·在(0,+∞)上为增函数,则m的值为( B )(A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2解析:由题意知解得m=1.2.(2018·山东济宁一中检测)下列命题正确的是( D )(A)y=x0的图象是一条直线(B)幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)(C)若幂函数y=x n是奇函数,则y=x n是增函数(D)幂函数的图象不可能出现在第四象限解析:A中,当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图象为一条直线上挖去一点,A错;B中,y=x n,当n<0时,图象不过原点,B不正确.C中,当n<0,y=x n在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数,C错误.幂函数图象一定过第一象限,一定不过第四象限,D正确.3.(2018·郑州检测)若函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f(x)( A )(A)在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增(B)在(-∞,3)上递增(C)在[1,3]上递增(D)单调性不能确定解析:由已知可得该函数图象的对称轴为x=2,又二次项系数为1>0,所以f(x)在(-∞,2]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的.4.设a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系是( B )(A)a<c<b (B)b<c<a(C)b<a<c (D)c<b<a解析:令函数f(x)=,易知函数f(x)=在(0,+∞)上为增函数,又>,所以a=()>()=c,令函数g(x)=()x,易知函数g(x)=()x在(0,+∞)上为减函数,又>,所以b=()<()=c.综上可知,b<c<a,故选B.5.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是( B )(A)②④(B)①④(C)②③(D)①③解析:因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确;对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误;结合图象,当x=-1时,y=a-b+c>0,③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.故选B.6.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,-2) (B)(-2,+∞)(C)(-6,+∞) (D)(-∞,-6)解析:不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max, 令f(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),f(x)<f(4)=-2,所以a<-2.7.二次函数f(x)=2x2+bx+c满足{x|f(x)=x}={1},则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为( C )(A)4 (B)8 (C)16 (D)20解析:由题方程2x2+bx+c=x仅有一个根1,即2x2+(b-1)x+c=0仅有一个根.得b=-3,c=2.f(x)=2x2-3x+2,对称轴为x=,f(x)max=f(-2)=16.故选C.8.(2018·武汉模拟)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .解析:由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称,所以b=-2,所以f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],所以2a2=4,故f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+49.(2018·泉州质检)若二次函数f(x)=ax2-x+b(a≠0)的最小值为0,则a+4b的取值范围是.解析:依题意,知a>0,且Δ=1-4ab=0,所以4ab=1,且b>0.故a+4b≥2=2.当且仅当a=4b,即a=1,b=时等号成立.所以a+4b的取值范围是[2,+∞).答案:[2,+∞)能力提升(时间:15分钟)10.在同一坐标系内,函数y=x a(a≠0)和y=ax+的图象可能是( B )解析:若a<0,由y=x a的图象知排除C,D选项,由y=ax+的图象知选项B有可能;若a>0,由y=x a的图象知排除A,B选项,但y=ax+的图象均不适合.综上选B.11.(2018·秦皇岛模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且2是f(x)的一个零点,-1是f(x)的一个极小值点,那么不等式f(x)>0的解集是( C )(A)(-4,2)(B)(-2,4)(C)(-∞,-4)∪(2,+∞)(D)(-∞,-2)∪(4,+∞)解析:依题意,f(x)是二次函数,其图象是抛物线,开口向上,对称轴为x=-1,方程ax2+bx+c=0的一个根是2,另一个根是-4.因此f(x)= a(x+4)(x-2)(a>0),于是f(x)>0,解得x>2或x<-4.12.(2018·浙江“超级全能生”模拟)已知在(-∞,1]上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是( B )(A)[-,] (B)[1,](C)[2,3] (D)[1,2]解析:由于f(x)=x2-2tx+1的图象的对称轴为x=t.又y=f(x)在(-∞,1]上是减函数,所以t≥1.则在区间[0,t+1]上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1,要使对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,只需1-(-t2+1)≤2,解得-≤t≤.又t≥1,所以1≤t≤.13.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是.解析:由题意可知函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=2(如图),若f(a)≥f(0),从图象观察可知0≤a≤4.答案:[0,4]14.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是.解析:当a=0时,f(x)=2x-3在(-∞,4)上单调递增.当a≠0时,若f(x)在(-∞,4)上单调递增.则解之得-≤a<0.综上可知,实数a的取值范围是[-,0].答案:[-,0]15.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.所以F(x)=所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)由a=1,c=0,得f(x)=x2+bx,从而|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于-1≤x2+bx≤1在区间(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又-x的最小值为0,--x的最大值为-2.所以-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].第5节指数与指数函数【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.函数y=a x-(a>0,且a≠1)的图象可能是( D )解析:若a>1时,y=a x-是增函数;当x=0时,y=1-∈(0,1),A,B不满足;若0<a<1时,y=a x-在R上是减函数;当x=0时,y=1-<0,C错,D项满足.故选D.2.(2018·湖南永州第三次模拟)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( B )(A)y=sin x (B)y=x3(C)y=()x (D)y=log2x解析:y=2x-2-x在(-∞,+∞)上是增函数且是奇函数,y=sin x不单调,y=log2x定义域为(0,+∞),y=()x是减函数,三者不满足,只有y=x3的定义域、单调性、奇偶性与之一致.3.函数f(x)=a x-1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是( A )(A)y= (B)y=|x-2|(C)y=2x-1 (D)y=log2(2x)解析:由题意,得点A(1,1),将点A(1,1)代入四个选项,y=的图象不过点A(1,1).4.设x>0,且1<b x<a x,则( C )(A)0<b<a<1 (B)0<a<b<1(C)1<b<a (D)1<a<b解析:因为x>0时,1<b x,所以b>1.因为x>0时,b x<a x,所以x>0时,()x>1.所以>1,所以a>b.所以1<b<a.5.函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( D )(A)a>1,b<0(B)a>1,b>0(C)0<a<1,b>0(D)0<a<1,b<0解析:由f(x)=a x-b的图象可以观察出,函数f(x)=a x-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=a x-b的图象是在f(x)=a x的基础上向左平移得到的,所以b<0.6.已知f(x)=2x+2-x,f(m)=3,且m>0,若a=f(2m),b=2f(m),c=f(m+2),则a,b,c的大小关系为( D )(A)c<b<a (B)a<c<b(C)a<b<c (D)b<a<c解析:因为f(m)=2m+2-m=3,m>0,所以2m=3-2-m>2,b=2f(m)=2×3=6,a=f(2m)=22m+2-2m=(2m+2-m)2-2=7,c=f(m+2)=2m+2+2-m-2=4·2m+·2-m>8,所以b<a<c.故选D.7.下列说法正确的序号是.①函数y=的值域是[0,4);②(a>0,b>0)化简结果是-24;③+的值是2π-9;④若x<0,则=-x.解析:由于y=≥0(当x=2时取等号),又因为4x>0,所以16-4x<16得y<,即y<4,所以①正确;②中原式====-24,正确;由于+=|π-4|+π-5=4-π+π-5=-1,所以③不正确.由于x<0,所以④正确.答案:①②④8.不等式<4的解集为.解析:因为<4,所以<22,所以x2-x<2,即x2-x-2<0,解得-1<x<2.答案:{x|-1<x<2}9.(2018·鸡西模拟)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .解析:若a>1,则f(x)=a x+b在[-1,0]上是增函数,所以则a-1=0,无解.当0<a<1时,则f(x)=a x+b在[-1,0]上是减函数,所以解得因此a+b=-.答案:-能力提升(时间:15分钟)10.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( B )(A)(-∞,2] (B)[2,+∞)(C)[-2,+∞) (D)(-∞,-2]解析:由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=()|2x-4|.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.11.(2018·湖南郴州第二次教学质量检测)已知函数f(x)=e x-,其中e是自然对数的底数,则关于x的不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集为( B )(A)(-∞,-)∪(2,+∞) (B)(2,+∞)(C)(-∞,)∪(2,+∞) (D)(-∞,2)解析:易知f(x)=e x-在R上是增函数,且f(-x)=e-x-=-(e x-)=-f(x),所以f(x)是奇函数.由f(2x-1)+f(-x-1)>0,得f(2x-1)>f(x+1),因此2x-1>x+1,所以x>2.12.(2018·衡阳三中模拟)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是( D )。
2020版高考数学（理）大一轮复习：全册精品学案（含答案）第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素x∈A?x∈BA?B或集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于AA?B,?x0∈B,x0?AAB或B?A 相等集合A,B的元素完全A?B,B?A空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集x,x?,A3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于 A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}并集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}补集全集U中属于A的元素组成的集合{x|x∈U,xA}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ?B?A.(2)交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A B.(3)补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)= ;U(?U A)= ;?U(A∪B)=(?U A)(?U B);?U(A∩B)= ∪.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A,B,C,若A?B,B?C,则A?C(真子集也满足);④若A?B,则有A=?和A≠?两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).题组一常识题1.[教材改编]已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(?UA)∪B= .4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a 的值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B?A,则m= .6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是.7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.< p="">探究点一集合的含义与表示例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1?AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34?A(2)[2018·上海黄浦区二模]已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.探究点二集合间的基本关系例2 (1)[2018·武汉4月调研]已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N?M,则实数a的取值集合为()A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是()A.M=NB.M?NC.N?MD.M∈N[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.变式题(1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为() A.A?B B.B?AC.A=BD.A∩B=?(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=?,则a的取值范围是.探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3 (1)[2018·长沙周南中学月考]已知集合A={x|x<1},B={x|e x<1},则()A.A∩B={x|x<1}B.A∪B={x|x<e}< p="">C.A∪(?R B)=RD.(?R A)∩B={x|0<x<1}< p="">(2)[2018·山西大学附中5月调研]已知集合A={x|2x≤1},B={x|ln x<1},则A∪B=()A.{x|x<e}< p="">B.{x|0≤x≤e}C.{x|x≤e}D.{x|x>e}[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度2利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(?U A)∩B=?,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.角度3集合语言的运用例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1?A且x+1?A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ()A.16B.17C.18D.20(2)对于a,b∈N,规定a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为.[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.第1讲集合考试说明 1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.</e}<></x<1}<></e}<></x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.<>。
