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a ⎝x ＋a ⎭当 a <0 时，∵f ′(x )＝ (x >0)，∴函数 f (x )在⎝0，－a ⎭上单调递增，在⎝－a ，＋∞⎭上单调递减，∴函数 f (x )max ＝f ⎝－a ⎭＝ln ⎝－a ⎭＋a ⎝－a ⎭＝ln ⎝－a ⎭－1，必有 f (x )max ＝ln ⎝－a ⎭－1>0，得 a >－ ，∴实数 a 的取值范围是⎝－e ，0⎭.(2)设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，⎝1＋2⎭· ⎝1＋22⎭· …· ⎝1＋2n ⎭<m ，求 m 的最小值．①若 a ≤0，因为 f ⎝2⎭＝－ ＋a ln 2<0，所以不满足题意；2020 年高考数学一轮复习——函数与导数1．(2019 届高三· 吴越联盟高三联考)已知函数 f (x )＝ln x ＋ax ，(1)若函数 f (x )在 x ＝1 处的切线方程为 y ＝2x ＋m ，求实数 a 和 m 的值；(2)若函数 f (x )在定义域内有两个不同的零点 x 1，x 2，求实数 a 的取值范围．1解：(1)∵f (x )＝ln x ＋ax ，∴f ′(x )＝x ＋a .∵函数 f (x )在 x ＝1 处的切线方程为 y ＝2x ＋m ，∴f ′(1)＝1＋a ＝2，得 a ＝1.又∵f (1)＝ln 1＋a ＝1，∴函数 f (x )在 x ＝1 处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即 y ＝2x －1，∴m ＝－1.11＋ax (2)由(1)知 f ′(x )＝x ＋a ＝ x (x >0)．当 a ≥0 时，∵f ′(x )＝ 1＋axx >0，∴函数 f (x )＝ln x ＋ax 在(0，＋∞)上单调递增，从而函数 f (x )至多有一个零点，不符合题意；⎛ 1⎫x⎛ 1⎫ ⎛ 1 ⎫⎛ 1⎫ ⎛ 1⎫ ⎛ 1⎫ ⎛ 1⎫ ∴要满足函数 f (x )在定义域内有两个不同的零点 x 1，x 2，⎛ 1⎫ 1 e⎛ 1 ⎫2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数 f (x )＝x －1－a ln x . (1)若 f (x )≥0，求 a 的值；⎛ 1⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．⎛1⎫1 2a x －a②若 a >0，由 f ′(x )＝1－x ＝ x 知，当 x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当 x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以 f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．1＋ n < n.令 x ＝1＋ n ，得 ln ⎝ 2 ⎭1＋ ＋ln 1＋ 2 ＋…＋ln 1＋ n < ＋ 2＋…＋ n ＝1－ n <1.从而 ln ⎝ 2⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1＋ n <e.1＋ 1＋ 2 ·故 …·⎝ 2⎭⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭1＋1＋ 2 1＋ 3 >2，而⎝ 2⎭⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭ ∴F ′(x )＝ － 2＝ 0∴k ＝ 2 ≤ 在 x 0∈(0,3]上恒成立， － x 2∴a ≥⎝ 2 0＋x 0⎭max ，x 0∈(0,3]，x2xx∴k ＝F ′(x 0)＝x 0－a ，∴a ≥ ，即实数 a 的取值范围为⎣2，＋∞⎭.2则 g ′(x )＝ .y故 x ＝a 是 f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．由于 f (1)＝0，所以当且仅当 a ＝1 时，f (x )≥0.故 a ＝1.(2)由(1)知当 x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0.1 ⎛ 1 ⎫ 12 2⎛ 1⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 1 1 1 1 2 2 2 2⎛ 1⎫⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫⎛ 1⎫⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫所以 m 的最小值为 3.3．(2018·浙江新高考训练卷)设函数 f (x )＝ln x ＋x .a 1 (1)令 F (x )＝f (x )＋x －x (0<x ≤3)，若 F (x )的图象上任意一点 P (x 0， 0)处切线的斜率 k ≤2恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)若方程 2mf (x )＝x 2 有唯一实数解，求正数 m 的值．a解：(1)∵F (x )＝ln x ＋x ，x ∈(0,3]，1 a x －a，x 201∵F (x )的图象上任意一点 P (x 0，y 0)处切线的斜率 k ≤2恒成立，x －a 1 x 02⎛ 1 ⎫1 1 当 x 0＝1 时，－2x 20＋x 0 取得最大值2，1 ⎡1 ⎫(2)∵方程 2mf (x )＝x 2 有唯一实数解，∴x 2－2m ln x －2mx ＝0 有唯一实数解． 设 g (x )＝x 2－2m ln x －2mx ，2x 2－2mx －2mx令 g ′(x )＝0，则 x 2－mx －m ＝0.∵m >0，<0(舍去)，x 2＝22则⎨即 x 22－2m ln x 2－2mx 2＝x 22－mx 2－m ， ⎪ ，解得 m ＝ .1－e所以 f (－1)＝(－1＋b )⎝e －a ⎭＝0， 所以 a ＝ 或 b ＝1.所以 f ′(－1)＝ －a ＝－1＋ ，若 a ＝ ，则 b ＝2－e<0，与 b >0 矛盾，故 a ＝1，b ＝1.则 h (x )＝⎝e －1⎭(x ＋1)，∴Δ＝m 2＋4m >0，∵x >0，∴x 1＝m － m 2＋4m m ＋ m 2＋4m ，当 x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)上单调递减，当 x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)单调递增， 当 x ＝x 2 时，g ′(x 2)＝0，g (x )取最小值 g (x 2)． ∵g (x )＝0 有唯一解，∴g (x 2)＝0，⎧g ′(x 2)＝0， ⎪⎩g (x 2)＝0，∴2m ln x 2＋mx 2－m ＝0， ∵m >0，∴2ln x 2＋x 2－1＝0.(*) 设函数 h (x )＝2ln x ＋x －1，∵当 x >0 时，h (x )是增函数，∴h (x )＝0 至多有一解．∵h (1)＝0，∴方程(*)的解为 x 2＝1，即 1＝ m ＋ m 2＋4m 12 24．(2019 届高三· 浙江名校联考)已知函数 f (x )＝(x ＋b )(e x －a )(b >0)的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为(e －1)x ＋e y ＋e －1＝0.(1)求 a ，b ；(2)若方程 f (x )＝m 有两个实数根 x 1，x 2，且 x 1<x 2，证明：x 2－x 1≤1＋解：(1)由题意得 f (－1)＝0，⎛1 ⎫1e又 f ′(x )＝(x ＋b ＋1)e x －a ，b1e e1e(2)证明：由(1)可知 f (x )＝(x ＋1)(e x －1)，f (0)＝0，f (－1)＝0，设曲线 y ＝f (x )在点(－1,0)处的切线方程为 y ＝h (x )，⎛1 ⎫m (1－2e ).－1 (x ＋1)，F ′(x )＝(x ＋2)e x － ，令 F (x )＝f (x )－h (x )，则 F (x )＝(x ＋1)(e x －1)－⎝e ⎭当 x ≤－2 时，F ′(x )＝(x ＋2)e x － ≤－ <0，当 x >－2 时，设 G (x )＝F ′(x )＝(x ＋2)e x － ， 1－e所以 x 2－x 1≤x 2′－x 1′＝m － －1＋1－e ⎝ ⎭1－e设 h (x )＝m 的根为 x 1′，则 x 1′＝－1＋ m e⎛1 ⎫ 1e 1 1 e e1 e则 G ′(x )＝(x ＋3)e x >0，故函数 F ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又 F ′(－1)＝0，所以当 x ∈(－∞，－1)时，F ′(x )<0，当 x ∈(－1，＋∞)时，F ′(x )>0，所以函数 F (x )在区间(－∞，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增，故 F (x )≥F (－1)＝0，所以 f (x )≥h (x )，所以 f (x 1)≥h (x 1)．，又函数 h (x )单调递减，且 h (x 1′)＝f (x 1)≥h (x 1)， 所以 x 1′≤x 1，设曲线 y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为 y ＝t (x )，易得 t (x )＝x ，令 T (x )＝f (x )－t (x )＝(x ＋1)(e x －1)－x ， 则 T ′(x )＝(x ＋2)e x －2，当 x ≤－2 时，T ′(x )＝(x ＋2)e x －2≤－2<0， 当 x >－2 时，设 H (x )＝T ′(x )＝(x ＋2)e x －2， 则 H ′(x )＝(x ＋3)e x >0，故函数 T ′(x )在(－2，＋∞)上单调递增，又 T ′(0)＝0，所以当 x ∈(－∞，0)时，T ′(x )<0，当 x ∈(0，＋∞)时，T ′(x )>0，所以函数 T (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以 T (x )≥T (0)，所以 f (x )≥t (x )，所以 f (x 2)≥t (x 2)．设 t (x )＝m 的根为 x 2′，则 x 2′＝m ，又函数 t (x )单调递增，且 t (x 2′)＝f (x 2)≥t (x 2)， 所以 x 2′≥x 2.又 x 1′≤x 1，⎛ m e ⎫m (1－2e )＝1＋ .5．已知 a >0，b ∈R ，函数 f (x )＝4ax 3－2bx －a ＋b . (1)证明：当 0≤x ≤1 时，解：(1)证明：①f′(x)＝12ax2－2b＝12a⎝x2－6a⎭，b⎫⎛x－，此时f(x)在⎝0，⎛，＋∞⎭上单调递增，所以当0≤x≤1时，f(x)max＝max{f(0)，f(1)}＝max{－a＋b,3a－b}＝⎨＝|2a－b|＋a.⎩3⎫⎛3⎫3⎭⎝3⎭⎛0，3⎫，1⎭所以g(x)min＝g⎝3⎭＝1－43>0，|2a－b|＋a≤1，恒成立的充要条件是⎨⎪⎩⎪⎩①函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a；②f(x)＋|2a－b|＋a≥0.(2)若－1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立，求a＋b的取值范围．⎛b⎫当b≤0时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0，＋∞)上单调递增，当b>0时，f′(x)＝12a⎝x＋6a⎭⎝b⎫⎛6a⎭b⎤6a⎦上单调递减，在⎡⎣b⎫6a⎧⎪3a－b，b≤2a，⎪－a＋b，b>2a②由于0≤x≤1，故当b≤2a时，f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)＋3a－b＝4ax3－2bx＋2a≥4ax3－4ax＋2a＝2a(2x3－2x＋1)，当b>2a时，f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)－a＋b＝4ax3＋2b(1－x)－2a>4ax3＋4a(1－x)－2a＝2a(2x3－2x＋1)．设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝6⎝x－x＋，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如表所示：x0⎛⎝3⎭33⎛3⎝3⎫1g′(x)－0＋g(x)1极小值1⎛3⎫9所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1>0，故f(x)＋|2a－b|＋a≥2a(2x3－2x＋1)≥0.(2)由①知，当0≤x≤1时，f(x)max＝|2a－b|＋a，所以|2a－b|＋a≤1，若|2a－b|＋a≤1，则由②知f(x)≥－(|2a－b|＋a)≥－1，所以－1≤f(x)≤1对任意0≤x≤1⎧⎪a>0，⎧2a－b≥0，即⎨3a－b≤1，⎪a>0，⎧⎪2a－b<0，或⎨b－a≤1，⎪⎩a>0.在直角坐标系aOb中，所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC.作一组平行直线a＋b＝t(t∈R)，得－1<a＋b≤3，所以a＋b的取值范围是(－1,3]．。
课时作业60随机抽样1．以下抽样方法是简单随机抽样的是(D)A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验解析：选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．2．(2019·长春一模)完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是(B)A．①简单随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样解析：因为社会购买能力的某项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以①用分层抽样法；从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单随机抽样法．3．(2019·长沙一中测试)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(A)A．100B．150C．200D．250解析：法一：由题意可得70n －70＝3 5001 500，解得n ＝100. 法二：由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×150＝100.4．(2019·湖南怀化模拟)某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从4 300人中抽取一个样本，这4 300人中青年人1 600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为( B )A ．90B ．180C ．270D ．360解析：设老年人有x 人，从中抽取y 人，则1 600＋3x ＝4 300，得x ＝900，即老年人有900人，则9001 600＝y 320，得y ＝180.故选B.5．去年“3·15”，某报社做了一次关于“虚假广告”的调查，在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数依次成公差为正数的等差数列，共回收1 000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽取30份问卷，则在D 单位抽取的问卷份数是( C )A ．45B ．50C ．60D ．65解析：由于B 单位抽取的问卷是样本容量的15，所以B 单位回收问卷200份．由等差数列知识可得C 单位回收问卷300份，D 单位回收问卷400份，则D 单位抽取的问卷份数是B 单位的2倍，即为60份．6．(2019·泉州质检)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( A )A ．36人B ．30人C ．24人D ．18人解析：设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x ，x,3x ，由题意可得3x －x ＝12，x ＝6.∴持“喜欢”态度的有6x ＝36(人)．7．(2019·石家庄模拟)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( C )A ．16B ．17C ．18D ．19解析：因为从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，所以系统抽样的分段间隔为1 00040＝25，设第一组随机抽取的号码为x ，则抽取的第18组编号为x＋17×25＝443，所以x ＝18.8．采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为( A )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d ＝1 00050＝20的等差数列{a n }，∴通项公式a n ＝8＋20(n －1)＝20n －12，令751≤20n －12≤1 000，得76320≤n ≤2535，又∵n ∈N *，∴39≤n ≤50，∴做问卷C的共有12人．9．(2019·江苏南京联合体学校调研)为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为210的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.3，且男女生的比是4∶3，则该校高一年级女生的人数是 300 .解析：抽取的高一年级女生的人数为210×37＝90，则该校高一年级女生的人数为90÷0.3＝300，故答案为300.10．(2019·湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为 3 .解析：系统抽样的抽取间隔为305＝6.设抽到的最小编号为x ，则x ＋(6＋x )＋(12＋x )＋(18＋x )＋(24＋x )＝75，所以x ＝3.11．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝8，则在第8组中抽取的号码是 76 .解析：由题意知m ＝8，k ＝8，则m ＋k ＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.12．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为 50 ；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为 1 015 小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.13．(2019·安徽安庆一中模拟)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n 等于 ( D )A ．12B ．18C ．24D ．36解析：根据分层抽样方法知n 960＋480＝24960，解得n ＝36. 14．(2019·安徽淮北模拟)某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5∶4∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是145，则该单位员工总数为( B )A ．110B ．100C ．900D ．800解析：∵员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为5∶4∶1，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C 组人数为11＋4＋5×20＝110×20＝2，设C 组员工总数为m ，则甲、乙二人均被抽到的概率为C 22C 2m＝2m (m －1)＝145，即m (m －1)＝90，解得m ＝10.设员工总数为x ，则由10x ＝15＋4＋1＝110，可得x ＝100，故选B.15．为了调研雄安新区的空气质量状况，某课题组对雄县、容城、安新三县空气质量进行调查，按地域特点在三县内设置空气质量观测点．已知三县内观测点的个数分别为6，y ，z ，依次构成等差数列，且6，y ，z ＋6成等比数列，若采用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则应从容城抽取的观测点的数据个数为( C )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：∵6，y ，z 依次构成等差数列，且6，y ，z ＋6成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6＋z ＝2y ，y 2＝6(z ＋6)，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝18.若采用分层抽样的方法抽取12个观测点的数据，则应从容城抽取的观测点的数据个数为126＋12＋18×12＝4，故选C. 16．某高中在校学生有2 000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为 36 .解析：根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×35＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×32＋3＋5＝36.。
集合的概念与运算1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(A)A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．2．(2016·山东卷)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝(A)A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{2,6}．3．(2018·武汉调研测试)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N M，则实数a 的取值集合为(D)A．{1} B．{－1,1}C．{1,0} D．{1，－1,0}M＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，又N M，N＝{x|ax＝1}，则N＝{－1}，{1}，∅满足条件，所以a＝1，－1,0，即实数a的取值集合为{1，－1,0}．4．(2018·佛山一模)已知全集U＝R，集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x2－2x＞0}，则图中阴影部分表示的集合为(A)A．{0,1,2} B．{1,2}C．{3,4} D．{0,3,4}因为B＝{x|x2－2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，所以∁U B＝{x|0≤x≤2}，所以图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{0,1,2}．5．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则集合M 中的元素个数为(B)A ．3B ．4C ．5D ．6M ＝{5,6,7,8}，所以M 中的元素个数为4.6．(2017·江苏卷)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为 1 .因为A ∩B ＝{1}，A ＝{1,2}，所以1∈B 且2∉B .若a ＝1，则a 2＋3＝4，符合题意． 又a 2＋3≥3≠1，故a ＝1.7．已知集合A ＝{y |y ＝1x}，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝ (0，＋∞) .A ＝{y |y ＝1x}＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，B ＝{y |y ＝x 2}＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝(0，＋∞)．8．设集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，则A ∩Z ＝ {0,1,2,3} ，A ∩Z 的所有子集的个数为 16 .A ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，所以A ∩Z ＝{0,1,2,3}，A ∩Z 的子集个数有24＝16个．9．(2017·山东卷)设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则 M ∩N ＝(C) A ．(－1,1) B ．(－1,2) C ．(0,2) D ．(1,2)因为M ＝{x |0<x <2}，N ＝{x |x <2}，所以M ∩N ＝{x |0<x <2}∩{x |x <2}＝{x |0<x <2}．10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是(B)A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)由x －x 2>0，得0<x <1，所以A ＝(0,1)，由x 2－cx <0，得0<x <c ，所以B ＝(0，c )， 因为A ⊆B ，所以c ≥1.11．已知M ＝{x |－2≤x ≤5}，N ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}． (1)若a ＝3，则M ∪(∁R N )＝ R .(2)若N ⊆M ，则实数a 的取值范围为 (－∞，3] .(1)当a ＝3时，N ＝{x |4≤x ≤5}，所以∁R N ＝{x |x <4或x >5}． 所以M ∪(∁R N )＝R .(2)①当2a －1<a ＋1，即a <2时，N ＝∅， 此时满足N ⊆M .②当2a －1≥a ＋1，即a ≥2时，N ≠∅，由N ⊆M ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a －1≤5，所以2≤a ≤3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，3]．12．(2018·黄石月考)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 人．设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图．设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x )人，只喜爱乒乓球的有(10－x )人，由此可得(15－x )＋(10－x )＋x ＋8＝30，解得x ＝3.所以15－x ＝12，即所求人数为12人．命题及其关系、充分条件与必要条件1．(2018·深圳市第二次调研)设A ，B 是两个集合，则“x ∈A ”是“x ∈A ∩B ”的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件因为x ∈A ∩B ⇒x ∈A 且x ∈B ⇒x ∈A .但x ∈A ≠> x ∈A ∩B .所以“x ∈A ”是“x ∈A ∩B ”的必要不充分条件． 2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题为(C)A ．若α≠π4，则tan α≠1 B．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4将条件和结论分别否定后作为结论和条件即得到逆否命题．3．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的(A) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件由x 3>8⇒x >2⇒|x |>2，反之不成立，故“x 3>8”是“|x |>2”的充分而不必要条件．4．(2018·广东肇庆一模)原命题：设a ，b ，c ∈R ，若“a >b ”，则“ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有(C)A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个因为当c ＝0时，由a >b ≠> ac 2>bc 2，所以原命题为假，从而逆否命题为假．又ac 2>bc 2⇒a >b ，所以逆命题为真，从而否命题为真． 故真命题共有2个．5．(2018·湖北新联考四模)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是(D)A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，所以(－1,4) (2m 2－3，＋∞)，所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.6．命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为 若a ≤b ，则2a≤2b－1 .7．(2018·北京卷)能说明“若a ＞b ，则1a ＜1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为 1，－1(答案不唯一) .只要保证a 为正b 为负即可满足要求．当a ＞0＞b 时，1a ＞0＞1b.只要取满足上述条件的a ，b 值即可，如a ＝1，b ＝－1(答案不唯一)．8．f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围为 (3，＋∞) .依题意P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}， f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}， 要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件， 需2－t <－1，解得t >3，所以实数t 的取值范围是(3，＋∞)．9．(2016·天津卷)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的(C) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件(1)分别判断x >y ⇒x >|y |与x >|y |⇒x >y 是否成立，从而得到答案．当x ＝1，y ＝－2时，x >y ，但x >|y |不成立； 若x >|y |，因为|y |≥y ，所以x >y .所以“x >y ”是“x >|y |”的必要而不充分条件．10．(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋S 6＞2S 5”的(C)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(方法一)因为数列{a n }是公差为d 的等差数列， 所以S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ， 所以S 4＋S 6＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d . 若d >0，则21d >20d,10a 1＋21d >10a 1＋20d ， 即S 4＋S 6>2S 5.若S 4＋S 6>2S 5，则10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即21d >20d ， 所以d >0.所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件． (方法二)因为S 4＋S 6>2S 5S 4＋S 4＋a 5＋a 6>2(S 4＋a 5a 6>a 5a 5＋d >a 5d >0，所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．11．(2018·武汉调研测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：a ≤b ＋c 2，条件q ：A ≤B ＋C 2，那么条件p 是条件q 成立的(A)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件条件q ：A ≤B ＋C2A ≤π－A 2A ≤π3. 条件p ：a ≤b ＋c2⇒cos A ＝b 2＋c 2－a22bc≥b 2＋c 2－b ＋c222bc＝3b 2＋3c 2－2bc 8bc ≥12⇒0<A ≤π3.所以p ⇒q ，但q p .如∠A ＝60°，a ＝3，b ＝1，c ＝2，不能得到a ≤b ＋c2.所以p 是q 的充分而不必要条件．12．(2018·江西赣中南五校二模)“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的 充分不必要 条件．当a >0时，y ＝a (x ＋12a )2＋1－14a ，在(－12a，＋∞)上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．当a ＝0时，y ＝x ＋1，在R 上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．综上，“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．若p 是真命题，q 是假命题，则(D) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．﹁p 是真命题 D ．﹁q 是真命题由“且”命题一假则假，“或”命题一真则真，命题与命题的否定真假相反，得A 、B 、C 都是错误的，故选D.2．(2018·河北五校高三联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a>2b”的充要条件；q ：∃x ∈R ，|x ＋1|≤x ，则(D)A ．﹁p ∨q 为真命题B ．p ∧q 为真命题C ．p ∧﹁q 为假命题D ．p ∨q 为真命题对于p ：因为a >b ⇒2a>2b，反之，2a>2b⇒a >b ，所以“a >b ”是“2a >2b”的充要条件，即p 是真命题．对于q ：|x ＋1|≤x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋1≤x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，－x －1≤x .解得x ∈∅，即不等式无实数解，所以q 是假命题． 所以p ∨q 为真命题．3．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是(A) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1修改原命题中的两个地方即可得其否定，∃改为∀，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.4．(2018·三亚校级期中)命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是(C) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0 C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>05．(2018·湖南省六校联考) 下列各组命题中，满足“p ∨q ”为真、“p ∧q ”为假、“﹁q ”为真的是(B)A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：x >2是x >1成立的充分不必要条件；q ：∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0C ．p ：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)；q ：不等式|x |>x 的解集是(－∞，0)D ．p ：y ＝1x在定义域内是增函数；q ：f (x )＝e x ＋e －x是偶函数由题意可知，满足“p ∨q ”为真、“p ∧q ”为假、“﹁q ”为真，可知p 为真、q为假．A 中，p 、q 都为假；B 中，p 为真，q 为假；C 中，p 、q 都为真；D 中，p 为假、q 为真．故选B.6．(2017·湖北武汉2月调研)命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是(D) A ．∃x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) B ．∀x ∈M ，f (－x )≠－f (x ) C ．∀x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) D ．∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x )命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x )． 7．已知命题p ：“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”，则﹁p 为 ∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0 _. 8．若x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 1 .由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间[0，π4]上恒成立，即y ＝tan x 在[0，π4]上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在[0，π4]上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.9．(2018·湖南长郡中学联考)已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0，命题q ：∀x ∈(0，π2)，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的个数是(B)①p ∨q ；②p ∨(﹁q )；③(﹁p )∧q ；④p ∧(﹁q )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个因为幂函数y ＝x α，当α<0时在(0，＋∞)上递减， 由x 0<0,2<3，得2x 0>3x 0，所以p 为假命题．因为对于x ∈(0，π2)，sin x <x <tan x ，所以q 为真命题．所以①为真，②为假，③为真，④为假． 即真命题的个数是2.10．(2018·兰州模拟)已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； p 2：若f (x )＝2x －2－x ，则x ∈R ，f (－x )＝－f (x )； p 3：若f (x )＝x ＋1x ＋1，则∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)＝1；p 4：在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B .其中真命题的个数是(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4平面的斜线l 可以和平面内无数条平行直线垂直，p 1为假命题．因为f (－x )＝2－x－2x＝－f (x )，所以p 2为真命题． 因为f (x )＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1 ≥2x ＋1x ＋1－1＝1， 取等号的条件为x ＋1＝1x ＋1，得到x ＝－，＋∞)，所以当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>1，不存在x 0∈(0，＋∞)，满足f (x 0)＝1，所以p 3为假命题．在△ABC 中，A >B ⇒a >b ⇒sin A >sin B ，所以p 4为真命题． 故p 2和p 4为真命题，真命题的个数为2.11．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为 [－2,2] .(方法一)由题意，命题“对任意实数x ，都有x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝a 2－4×1×1≤0，解得－2≤a ≤2.(方法二)若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”是真命题， 则Δ＝a 2－4×1×1>0，解得a >2或a <－2.故所求的实数a 的取值范围是取其补集，即[－2,2]． 12．(2018·华南师大附中模拟)设有两个命题：p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是 (0，12]∪(1，＋∞) .p ：“关于x 的不等式a x>1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}”为真⇒0<a <1.q ：“函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ”为真⇒ax 2－x ＋a >0恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0⇒a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 一真一假．⎩⎪⎨⎪⎧ p 真，q 假⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a ≤12⇒0<a ≤12.⎩⎪⎨⎪⎧p 假，q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12⇒a >1.所以实数a 的取值范围是(0，12]∪(1，＋∞)．函数及其表示1．函数y ＝x ·ln(1－x )的定义域为(B) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ， x ≤1，11－x， x >1， 则f [f (－2)]的值为(C)A.12B.15 C ．－15 D ．－12因为f (－2)＝(－2)2－(－2)＝6，所以f [f (－2)]＝f (6)＝11－6＝－15. 3．若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是(B)A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)因为f (x )的定义域为[0,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.4．(2018·黑龙江模拟) 设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式为(C) A ．3x －1 B ．3x ＋1 C ．2x －1 D ．2x ＋1g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，即g (x ＋2)＝2x ＋3，令x ＋2＝t ，所以x ＝t －2， 所以2x ＋3＝2(t －2)＋3＝2t －1， 所以g (x )＝2x －1.5．已知函数f (x )在[－1,2]上的图象如下图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x ≤0，－12x ， 0＜x ≤2 .由图可知，图象是由两条直线的一段构成，故可采用待定系数法求出其表示式．当－1≤x ≤0时，设y ＝k 1x ＋b 1，将(－1,0)，(0,1)代入得k 1＝1，b 1＝1，所以y ＝x ＋1， 当0<x ≤2时，设y ＝k 2x ＋b 2，将(0,0)，(2，－1)代入得k 2＝－12，b 2＝0，所以y ＝－12x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x ≤0，－12x ， 0＜x ≤2.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ， x >1，若f [f (56)]＝4，则b 等于 12.因为56<1，所以f (56)＝3×56－b ＝52－b .若52－b <1，即b >32时， f (52－b )＝3(52－b )－b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不满足b >32，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32时， f (52－b )＝2(52－b )＝5－2b ＝4，解得b ＝12，满足b ≤32.故b ＝12.7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤－1，x 2， －1<x <2，－2x ＋8， x ≥2.(1)求f (3)，f [f (－2)]，f (a )(a >0)的值；(2)画出f (x )的图象，并求出满足条件f (x )>3的x 的值．(1)因为3>2，所以f (3)＝－2×3＋8＝2.因为－2<－1，所以f (－2)＝2－ 2. 又－1<2－2<2，所以f [f (－2)]＝f (2－2)＝(2－2)2＝6－4 2. 又a >0，当0<a <2时，f (a )＝a 2； 当a ≥2时，f (a )＝－2a ＋8.综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2， 0<a <2，－2a ＋8， a ≥2.(2)f (x )的图象如图所示．当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2≤1，此时无解；当－1<x <2时，由x 2＝3，解得x ＝±3， 因为x ＝－3<－1，故舍去；当x ≥2时，由－2x ＋8＝3，解得x ＝52.由图知，不等式f (x )>3的解为(3，52)．8．(2018·湖北武汉调研)已知函数f (x )满足f (1x )＋1xf (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝(C)A ．－72 B.92C.72 D ．－92令x ＝2，可得f (12)＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f (12)＝－1，②联立①②解得f (－2)＝72.9．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ≤0，2x， x >0，则满足f (x )＋f (x －12)>1的x的取值范围是 (－14，＋∞) .由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，所以－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是(－14，＋∞)．10．函数f (x )＝－a2x 2＋－a x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值．(1)因为对于x ∈R ，(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0恒成立，所以①当a ＝1时，原不等式变为6≥0，此时x ∈R . ②当a ＝－1时，原不等式变为6x ＋6≥0，此时x R .③若a ≠±1时，则⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，－a 2－－a2，解得－511≤a <1，所以实数a 的取值范围为[－511，1]． (2)因为f (x )的定义域为[－2,1]，所以不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]， 所以x ＝－2，x ＝1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2<0，－2＋1＝－－a 1－a 2，－2×1＝61－a2，解得a ＝2.函数的值域与最值1．已知函数f (x )的值域为[－2,3]，则函数f (x －2)的值域为(D) A ．[－4,1] B ．[0,5]C ．[－4,1]∪[0,5]D ．[－2,3]函数y ＝f (x －2)的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移2个单位而得到的，其值域不变．2．函数y ＝16－4x的值域是(C) A ．[0，＋∞) B．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)因为16－4x≥0，且4x>0，所以0≤16－4x<16，所以0≤16－4x<4.3．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为(B)A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)f (a )的值域为(－1，＋∞)，由－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.4．(2018·重庆期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x <1，1－ln x ， x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是(C)A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，54]D ．[54，＋∞)当x ≥1时，f (x )＝1－ln x ≤1.由于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x <1，1－ln x ， x ≥1的值域为R ，且当x <1时，f (x )＝x 2＋x ＋a ≥a －12＋14＝a －14，所以a －14≤1，解得a ≤54.5．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域为 [0,1) .y ＝x 2x 2＋1＝x 2＋1－1x 2＋1＝1－1x 2＋1.因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，所以0≤y <1. 6．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的取值范围为 (－∞，－3] .只需要在x ∈(0,1]时，(x 2－4x )min ≥m 即可．而当x ＝1时，(x 2－4x )min ＝－3，所以m ≤－3. 7．求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1x －3； (2)y ＝2x ＋4x －1； (3)y ＝|x ＋1|＋x －2.(1)y ＝x －3＋4x －3＝1＋4x －3，因为4x －3≠0，所以y ≠1， 即所求函数的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． (2)因为函数的定义域为{x |x ≥1}，又函数是增函数，所以函数的值域为[2，＋∞)． (3)y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≥2，3， －1≤x ＜2，1－2x ， x ＜－1.画出函数的图象，由图象观察可知，所求函数的值域为[3，＋∞)．8．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为(A) A.22B. 2 C ．2 2 D ．2由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，得定义域为[－3,1]，y ≥0，所以y 2＝4＋2x ＋－x ＝4＋2－x ＋2＋4，当x ＝－3或x ＝1，(y 2)min ＝4，所以y min ＝2； 当x ＝－1时，(y 2)max ＝8，所以y max ＝2 2. 即m ＝2，M ＝22，所以mM ＝22. 9．已知函数f (x )满足2f (x )－f (1x )＝3x2，则f (x )的最小值为 2 2 .由2f (x )－f (1x )＝3x2， ①令①式中的x 变为1x，可得2f (1x)－f (x )＝3x 2， ②由①②可解得f (x )＝2x2＋x 2，由于x 2>0，由基本不等式可得f (x )＝2x 2＋x 2≥22x2·x 2＝2 2.当x 2＝2时取等号，因此，其最小值为2 2. 10．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)．(1)若f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ]，求a 的取值范围，并求相应的m ，n 的值； (2)若f (x )≤2x 在(0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．(1)因为f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．那么当x ∈[m ，n ]时，y ∈[m ，n ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝m ，fn ＝n .即m ，n 是方程1a －1x＝x 相异的两实根，由1a －1x ＝x ，得x 2－1ax ＋1＝0，由题设知：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1a>0，m ·n ＝1＞0，Δ＝1a 2－4＞0.所以0＜a ＜12.此时，m ＝1－1－4a 22a ，n ＝1＋1－4a22a .(2)若1a －1x≤2x 在(0，＋∞)上恒成立．那么a ≥12x ＋1x恒成立．令g (x )＝12x ＋1x(x ＞0)．所以g (x )≤122x ·1x＝24. 故a ≥24.函数的单调性1．(2018·西城区期末)下列四个函数中，定义域为R 的单调递减函数是(D) A ．y ＝－x 2B ．y ＝log 0.5xC ．y ＝1xD ．y ＝(12)xy ＝－x 2在R 上没有单调性，排除A ；y ＝log 0.5x 的定义域不是R ，排除B ；y ＝1x的定义域不是R ，排除C ；y ＝(12)x的定义域为R ，且在R 上单调递减，故选D.2．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是(A) A ．(－∞，1] B ．(－∞，－1] C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.3．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (|1x|)<f (1)的实数x 的取值范围是(C)A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)因为f (x )是R 上的减函数，所以f (|1x |)<f1x|>1，所以0<|x |<1，所以x∈(－1,0)∪(0,1)．4．(2018·城关区期中)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ， x ＜1，log a x ， x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是(C)A ．(0,1)B ．(0，13)C ．[17，13)D ．[17，1)因为f (x )＝log a x (x ≥1)是减函数，所以0＜a <1，且f (1)＝0.因为f (x )＝(3a －1)x ＋4a (x <1)为减函数， 所以3a －1<0，所以a <13，又因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ＜1，log a x ， x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，所以f (x )在(－∞，1]上的最小值大于或等于f (x )在[1，＋∞)上的最大值．所以(3a －1)×1＋4a ≥0，所以a ≥17，故a ∈[17，13)．5．函数f (x )＝log 2(4x －x 2)的单调递减区间是 [2,4) .因为4x －x 2>0，所以0<x <4，又y ＝log 2t 为增函数，所求函数f (x )的递减区间为t ＝4x －x 2(0<x <4)的递减区间是[2,4)．6．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为 (－3，－1)∪(3，＋∞) .由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3>0，a >1或a <0，a >－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a >3或a <－1，a >1或a <0，a >－3，所以a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 7．已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断f (x )在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．(1)函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋x 2＋，因为x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知， 函数f (x )在[1,4]上是增函数， 故f (x )max ＝f (4)＝95，f (x )min ＝f (1)＝32.8．(2017·山东卷)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是(A)A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x(方法一)若f (x )具有性质M ，则[e x f (x )]′＝e x[f (x )＋f ′(x )]>0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )>0在f (x )的定义域上恒成立．对于选项A ，f (x )＋f ′(x )＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意． 经验证，选项B ，C ，D 均不符合题意．故选A.(方法二)对于A ，e x f (x )＝(e 2)x ，因为e 2>1，所以e xf (x )为增函数．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >0，0， x ＝0，－1， x <0，g (x )＝x 2·f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是(B)A ．[0，＋∞)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)由条件知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x >1，0， x ＝1，－x 2， x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．10．(2018·安徽皖江名校联考题改编)已知定义在(－2,2)上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)．(1)求实数a 的取值范围；(2)求函数g (x )＝log a (x 2－x －6)的单调区间．(1)因为定义在(－2,2)上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以f (x )在(－2,2)上单调递增， 又f (a 2－a )>f (2a －2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a 2－a <2，－2<2a －2<2，2a －2<a 2－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <2，0<a <2，a <1或a >2.所以0<a <1.即a 的取值范围为(0,1)．(2)g (x )＝log a (x 2－x －6)可以看作由y ＝log a u 与u ＝x 2－x －6的复合函数． 由u ＝x 2－x －6>0，得x <－2或x >3.因为u ＝x 2－x －6在(－∞，－2)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数， 因为0<a <1，所以y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，所以y ＝log a (x 2－x －6)的单调递增区间为(－∞，－2)，单调递减区间为(3，＋∞)．函数的奇偶性与周期性1．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－(13)x ，则f (x )(B)A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －(13)－x ＝(13)x －3x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．因为函数y ＝(13)x在R 上是减函数，所以函数y ＝－(13)x在R 上是增函数．又因为y ＝3x在R 上是增函数，所以函数f (x )＝3x－(13)x 在R 上是增函数．2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论正确的是(C)A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 所以f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )， 所以f (x )g (x )为奇函数．|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )， 所以|f (x )|g (x )为偶函数．f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|为奇函数． |f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|， 所以|f (x )g (x )|为偶函数．3．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－92)＝(A)A ．－34B ．－14C.14D.34f (－92)＝f (－92＋4)＝f (－12)＝－f (12)＝－12(1＋12)＝－34.4．(2018·天津一模)已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,2]上是递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系为(A)A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1)B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1)C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0)D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5)由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 故函数f (x )是周期为2的函数． 又f (x )为偶函数，所以f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)， 因为f (x )在区间[0,2]上是递增的， 所以f (0)<f (0.5)<f (1)， 即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．5．(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝ 6 .因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是周期为6的周期函数， 所以f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.6．已知奇函数f (x )在定义域[－10,10]上是减函数，且f (m －1)＋f (2m －1)>0，则实数m 的取值范围为 [－92，23) .由f (m －1)＋f (2m －1)>0f (m －1)>－f (2m －1)，因为f (x )为奇函数，所以－f (x )＝f (－x )， 所以f (m －1)>f (1－2m )， 又f (x )在[－10,10]上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－10≤m －1≤10，－10≤2m －1≤10，m －1<1－2m ，解得－92≤m <23.7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)…＋f (2019)的值．(1)证明：因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． 所以f (x )是周期为4的周期函数．(2)因为x ∈[2,4]，所以－x ∈[－4，－2]，所以4－x ∈[0,2]， 所以f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8， 又f (x )是周期为4的奇函数， 所以f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (4－x )，所以f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1， 又f (x )是周期为4的周期函数，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2016)＋f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＝0，所以f (0)＋f (1)＋f (2)…＋f (2019)＝0.8．(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，则f (6)＝(D)A ．－2B ．－1C ．0D ．2由题意知，当x ＞12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，则当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )． 又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， 所以f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1，所以f (－1)＝－2，所以f (6)＝2.故选D.9．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝ －2 .(方法一)令g (x )＝ln(1＋x 2－x )，则f (x )＝g (x )＋1，因为1＋x 2－x >|x |－x ≥0，所以g (x )的定义域为R ， 因为g (－x )＝ln(1＋x 2＋x )＝ln 11＋x 2－x＝－g (x )， 所以g (x )为奇函数，所以f (a )＝g (a )＋1＝4，所以g (a )＝3，所以f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝－3＋1＝－2.(方法二)因为f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，所以f (a )＋f (－a )＝2，所以f (－a )＝－2.10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋ax . (1)若a ＝－2，求函数f (x )的解析式； (2)若函数f (x )为R 上的单调减函数，①求a 的取值范围；②若对任意实数m ，f (m －1)＋f (m 2＋t )<0恒成立，求实数t 的取值范围．(1)当x <0时，－x >0，又因为f (x )为奇函数，且a ＝－2， 所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x <0，－x 2－2x ， x ≥0.(2)①当a ≤0时，对称轴x ＝a2≤0，所以f (x )＝－x 2＋ax 在[0，＋∞)上单调递减， 由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同， 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，又在(－∞，0)上f (x )>0，在(0，＋∞)上f (x )<0， 所以当a ≤0时，f (x )为R 上的单调减函数．当a >0时，f (x )在(0，a 2)上单调递增，在(a2，＋∞)上单调递减，不合题意．所以函数f (x )为单调减函数时，a 的取值范围为(－∞，0]． ②因为f (m －1)＋f (m 2＋t )<0， 所以f (m －1)<－f (m 2＋t )，又因为f (x )是奇函数，所以f (m －1)<f (－t －m 2)， 因为f (x )为R 上的减函数， 所以m －1>－t －m 2恒成立，所以t >－m 2－m ＋1＝－(m ＋12)2＋54对任意实数m 恒成立，所以t >54.即t 的取值范围为(54，＋∞)．二次函数1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)函数f (x )的最小值是f (－b2a)＝f (x 0)，等价于x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，所以C 错误．2．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是(D)A ．[0,4]B ．[32，4]C ．[32，＋∞) D．[32，3]二次函数的对称轴为x ＝32，且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合图象可知m ∈[32，3]．3．(2018·双桥区校级月考)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是(D)(方法一)对于A 选项，因为a <0，－b2a<0，所以b <0，又因为abc >0，所以c >0，由图知f (0)＝c <0，矛盾，故A 错．对于B 选项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0，又因为abc >0，所以c <0，由图知f (0)＝c >0，矛盾，故B 错．对于C 选项，因为a >0，－b2a<0，所以b >0，又因为abc >0，所以c >0，由图知f (0)＝c <0，矛盾，故C 错．故排除A ，B ，C ，选D.(方法二)当a >0时，b ，c 同号，C ，D 两图中c <0，故b <0， 所以－b2a>0，选D.4．(2018·皖北联考)已知二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，则a 的值为(D)A ．2B ．－1或－3C ．2或－3D ．－1或2因为f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，所以f (x )的图象是开口向下，对称轴是x ＝a 的抛物线，(1)当a <0时，对称轴x ＝a 在区间[0,1]的左边，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (0)＝1－a ＝2，解得a ＝－1. (2)当0≤a ≤1时，对称轴x ＝a ∈[0,1]，f (x )在[0，a ]上单调递增，在[a,1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1＝2，无解．(3)当a >1时，对称轴x ＝a 在区间[0,1]的右边，f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (1)＝a ＝2，有a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.5．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为 34 .由x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，得x ＝1－2y ≥0，所以0≤y ≤12，设t ＝2x ＋3y 2，把x ＝1－2y 代入，得t ＝2－4y ＋3y 2＝3(y －23)2＋23.因为t ＝f (y )在[0，12]上单调递减，所以当y ＝12时，t 取最小值，t min ＝34.6．设f (x )＝x 2－2ax ＋1.(1)若x ∈R 时恒有f (x )≥0，则a 的取值范围是 [－1,1] ；(2)若f (x )在[－1，＋∞)上递增，则a 的取值范围是 (－∞，－1] ； (3)若f (x )的递增区间是[1，＋∞)，则a 的值是 1 .(1)由Δ≤0，得4a 2－4≤0，所以a ∈[－1,1]．(2)a ≤－1.(3)由对称轴x ＝1知a ＝1.7．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．(1)因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)， 所以f (x )在[1，a ]上是减函数， 又定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f＝a ，fa ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)因为f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， 所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2， 因为对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， 因为f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3.又a ≥2，所以2≤a ≤3. 故实数a 的取值范围为[2,3]．8．(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m (B)A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(方法一)设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .所以M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．(方法二)由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．9．(2018·重庆模拟)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 (－22，0) .作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧fm ，fm ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，m ＋2＋m m ＋－1<0，解得－22<m <0.10．已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ，图象开口向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，所以f (x )在[0，1a ]上递减，在[1a，1]上递增，所以f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，所以f (x )在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2， a <1，－1a， a ≥1.指数与指数函数1. 若函数f (x )＝12x ＋1， 则该函数在(－∞，＋∞)上是(A)A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值f (x )在R 上单调递减，又2x＋1>1，所以0<f (x )<1，无最大值也无最小值．2．若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为(C)A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a ，化简可得a ＝1， 则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.3．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是(C) A ．(－1，＋∞) B．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2)由于函数y ＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.4．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是(D)A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a<2c D ．2a ＋2c<2作出函数y ＝|2x－1|的图象，如下图．因为a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知， 0<f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a<1. 所以f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1，。
2020届高考理科数学一轮复习要点+题型解析导数及其应用一、导数的运算问题【要点解析】1.基本初等函数的导数公式表2.导数的四则运算法则设f(x)，g(x)是可导的，则(1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)'⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(xgxf＝g(x)f′(x)－f(x)g′(x)g2(x)(g(x)≠0)．(g(x)≠0)．3.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y 对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【题型解析】【例1】．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.【例2】．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2D ．－2【解析】：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.【例3】．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 【解析】：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 【答案】：－2二、导数的几何意义【要点解析】函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．（1）斜率：αtan )(0='=x f k（2）切点：())(00x f x '，在切线上，也在曲线上。
第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直【选题明细表】基础巩固(建议用时:25分钟)1.设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为b,若a·b=0,则( D )(A)l∥α (B)l⊂α(C)l⊥α (D)l⊂α或l∥α解析:当a·b=0时,l⊂α或l∥α.故选D.2.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于( D )(A)-2 (B)2 (C)6 (D)10解析:因为a⊥b,故a·b=0,即-2×3+2×(-2)+m=0,解得m=10.故选D.3.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为μ=(-2,0,-4),则( B )(A)l∥α (B)l⊥α(C)l⊂α (D)l与α斜交解析:因为a∥μ,所以l⊥α.故选B.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO,AM的位置关系是( C )(A)平行 (B)相交(C)异面垂直 (D)异面不垂直解析:建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),=(-1,0,-2), =(-2,0,1),·=0,则直线NO,AM的位置关系是异面垂直.5.直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的一个法向量为n=(2,x2+x, -x),若直线l∥α,则x的值为( D )(A)-2 (B)-(C) (D)±解析:易知s⊥n,即-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±.故选D.6.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,则x= .解析:由α⊥β知a·b=0,即x+1×(-2)+2×3=0,解得x=-4.答案:-47.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是.解析:由于·=-1×2+2×(-1)+(-1)×(-4)=0,·=4×(-1)+2×2+0×(-1)=0,所以①②③正确.④不正确.答案:①②③能力提升(建议用时:25分钟)8.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为( C )(A)(1,0,-2) (B)(1,0,2)(C)(-1,0,2) (D)(2,0,-1)解析:由题意知=(-1,-1,-1),=(2,0,1),=(x,-1,z),又PA⊥平面ABC,所以有·=(-1,-1,-1)·(x,-1,z)=0,得-x+1-z=0, ①·=(2,0,1)·(x,-1,z)=0,得2x+z=0,②联立①②得x=-1,z=2,故点P的坐标为(-1,0,2).故选C.9.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M 在EF上且AM∥平面BDE,则M点的坐标为( C )(A)(1,1,1) (B)(,,1)(C)(,,1) (D)(,,1)解析:由选项特点,设M(λ,λ,1),又A(,,0),D(,0,0),B(0,,0),E(0,0,1),则=(-,0,1),=(0,-,1), =(λ-,λ-,1).设平面BDE的法向量n=(x,y,z),则即不妨取z=,则n=(1,1,),由于AM∥平面BDE,所以⊥n,即·n=0,所以λ-+λ-+=0,解得λ=,即M点坐标为(,,1).故选C.10.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是.解析:因为正方体棱长为a,A1M=AN=,所以=,=,所以=++=++=(+)++(+)=+.又因为是平面B1BCC1的法向量,所以·=(+)·=0,所以⊥.又因为MN⊄平面B1BCC1,所以MN∥平面B1BCC1.答案:平行11.如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.求证:(1)PB∥平面EFH;(2)PD⊥平面AHF.证明:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1), F(0,1,1),H(1,0,0).(1)因为=(2,0,-2),=(1,0,-1),所以=2,所以PB∥EH.因为PB⊄平面EFH,且EH⊂平面EFH,所以PB∥平面EFH.(2)=(0,2,-2),=(1,0,0),=(0,1,1),所以·=0×0+2×1+(-2)×1=0,·=0×1+2×0+(-2)×0=0,所以PD⊥AF,PD⊥AH.又因为AF∩AH=A,所以PD⊥平面AHF.12.如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,求出E点的位置;若不存在,请说明理由.解:分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,所以P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),设E(0,y,z),则=(0,y,z-1),=(0,2,-1),因为∥,所以y(-1)-2(z-1)=0,①因为=(0,2,0)是平面PAB的法向量,又=(-1,y-1,z),CE∥平面PAB,所以⊥,所以(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0.所以y=1,代入①得z=,所以E是PD的中点,所以存在E点,当点E为PD中点时,CE∥平面PAB.13.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC, E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB?若存在,求出点G 的坐标;若不存在,请说明理由.(1)证明:如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,,0),P(0,0,a),F(,,),=(-,0,),=(0,a,0).因为·=0,所以⊥,即EF⊥CD.(2)解:假设存在满足条件的点G,设G(x,0,z),则=(x-,-,z-),若使GF⊥平面PCB,则由·=(x-,-,z-)·(a,0,0)=a(x-)=0, 得x=;由·=(x-,-,z-)·(0,-a,a)=+a(z-)=0,得z=0.所以点G的坐标为(,0,0),即存在满足条件的点G,且点G为AD的中点.。
姓名，年级：时间：第二章函数、导数及其应用错误!错误!知识点一函数与映射的概念1．函数的定义一般地，设A，B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x）和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A。
2．映射的定义设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．1．（必修1P18例2改编)下列函数中,与函数y＝x＋1是相等函数的是（ B ）A．y＝（错误!)2B．y＝错误!＋1C．y＝错误!＋1 D．y＝错误!＋1解析：对于A,函数y＝(错误!）2的定义域为{x|x≥－1｝，与函数y＝x＋1的定义域不同,不是相等函数；对于B，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C，函数y＝错误!＋1的定义域为｛x|x≠0｝，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D,定义域相同，但对应法则不同,不是相等函数．2．(必修1P25B2改编）若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2｝，值域为N＝｛y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x）的图象可能是（ B ）解析：A中函数定义域不是[－2,2］;C中图象不表示函数；D 中函数值域不是［0，2］．知识点二函数的三要素及表示方法1．函数的定义域、值域：在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A｝叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．3．表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．函数f(x)＝错误!＋错误!的定义域为（ C )A．[0,2）B．（2，＋∞）C．［0，2）∪（2,＋∞） D．（－∞，2）∪（2，＋∞)解析：由题意得错误!解得x≥0且x≠2.4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈（－∞，0)时，f(x）＝2x3＋x2，则f（2)＝12.解析：f（2）＝－f(－2）＝－［2×（－8)＋4]＝12.知识点三分段函数若函数在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．5．（2019·陕西质量检测）设x∈R,定义符号函数sgn x＝错误!则函数f(x）＝｜x|sgn x的图象大致是( C )解析:由符号函数解析式和绝对值运算，可得f(x）＝x，故选C。
第1节集合【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B等于( A )(A){0,2} (B){1,2}(C){0} (D){-2,-1,0,1,2}解析:A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A.2.已知集合A={x|lg x>0},B={x|x≤1},则( B )(A)A∩B≠∅(B)A∪B=R(C)B⊆A (D)A⊆B解析:由B={x|x≤1},且A={x|lg x>0}=(1,+∞),所以A∪B=R.3.(2018·西安一模改编)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是( B )(A)M=N (B)N M(C)M⊆N (D)M∩N=∅解析:因为M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},所以N={-1,0},于是N M.4.若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=｛-1,0,,2,3｝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( B )(A)1 (B)3 (C)7 (D)31解析:具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},｛,2｝,｛-1,,2｝.5.(2018·石家庄模拟)设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B= {3,5},则∁U(A∪B)等于( D )(A){1,4} (B){1,5}(C){2,5} (D){2,4}解析:由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},所以∁U(A∪B)={2,4}.6.试分别用描述法、列举法两种方法表示“所有不小于3,且不大于200的奇数”所构成的集合.(1)描述法 ;(2)列举法 . 答案:(1){x|x=2n+1,n∈N,1≤n<100}(2){3,5,7,9, (199)7.(2017·江苏卷)已知集合A={1,2},B={a,a2+3},若A∩B={1},则实数a的值为.解析:因为A∩B={1},A={1,2},所以1∈B且2∉B.若a=1,则a2+3=4,符合题意.又a2+3≥3≠1,故a=1.答案:18.(2018·成都检测)已知集合A={x|x2-2 018x-2 019≤0},B={x|x< m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是.解析:由x2-2 018x-2 019≤0,得A=[-1,2 019],又B={x|x<m+1},且A⊆B.所以m+1>2 019,则m>2 018.答案:(2 018,+∞)9.集合A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B= .解析:由x(x+1)>0,得x<-1或x>0.所以B=(-∞,-1)∪(0,+∞),所以A-B=[-1,0).答案:[-1,0)能力提升(时间:15分钟)10.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则(∁R S)∩T等于( C )(A)[2,3](B)(-∞,-2)∪[3,+∞)(C)(2,3)(D)(0,+∞)解析:易知S=(-∞,2]∪[3,+∞),所以∁R S=(2,3),因此(∁R S)∩T= (2,3).11.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由得所以A∩B={(2,-1)}.由M⊆(A∩B),知M= 或M={(2,-1)}.12.(2018·江西省红色七校联考)如图,设全集U=R,集合A,B分别用椭圆内图形表示,若集合A={x|x2<2x},B={x|y=ln(1-x)},则阴影部分图形表示的集合为( D )(A){x|x≤1} (B){x|x≥1}(C){x|0<x≤1} (D){x|1≤x<2}解析:因为A={x|x2<2x}={x|0<x<2},B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}={x|x<1},所以∁U B={x|x≥1},则阴影部分为A∩(∁U B)={x|0<x<2}∩{x|x≥1}={x|1≤x<2}.故选D.13.若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为( D )(A)1 (B)-1(C)1或-1 (D)1或-1或0解析:由A∪B=A,可知B A,故B={1}或{-1}或 ,此时m=1或-1或0.故选D.14.(2017·山东卷改编)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,全集U=R,则∁U(A∩B)= .解析:因为4-x2≥0,所以-2≤x≤2,所以A=[-2,2].因为1-x>0,所以x<1,所以B=(-∞,1),因此A∩B=[-2,1),于是∁U(A∩B)=(-∞,-2)∪[1,+∞).答案:(-∞,-2)∪[1,+∞)第2节命题及其关系、充分条件与必要条件【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( D )(A)若方程x2+x-m=0有实根,则m>0(B)若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0(C)若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0(D)若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0解析:根据逆否命题的定义,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.2.(2018·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( A )(A)若a≤b,则a+c≤b+c(B)若a+c≤b+c,则a≤b(C)若a+c>b+c,则a>b(D)若a>b,则a+c≤b+c解析:将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.3.(2018·山东省日照市模拟)命题p:sin 2x=1,命题q:tan x=1,则p 是q的( C )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由sin 2x=1,得2x=+2kπ,k∈Z,则x=+kπ,k∈Z,由tan x=1,得x=+kπ,k∈Z,所以p是q的充要条件.故选C.4.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由题意知a⊂α,b⊂β,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.5.(2018·云南玉溪模拟)设a>0且a≠1,则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( A )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若函数f(x)=a x在R上是减函数,则a∈(0,1),若函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数,则a∈(0,2).则“函数f(x)=a x在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件.6.(2018·江西九江十校联考)已知函数f(x)=则“x=0”是“f(x)=1”的( B )(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件解析:若x=0,则f(0)=e0=1;若f(x)=1,则e x=1或ln(-x)=1,解得x=0或x=-e.故“x=0”是“f(x)=1”的充分不必要条件.故选B.7.(2018·北京卷)能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为.解析:只要保证a为正b为负即可满足要求.当a>0>b时,>0>.答案:1,-1(答案不唯一)8.有下列几个命题:①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是.解析:①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,错误.②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,正确.③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,正确.答案:②③9.直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点的充要条件是.解析:直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点等价于<,解之得-1<k<3.答案:-1<k<3能力提升(时间:15分钟)10.(2018·天津卷)设x∈R,则“|x-|<”是“x3<1”的( A )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由“|x-|<”等价于0<x<1,而x3<1,即x<1,所以“|x-|<”是“x3<1”的充分而不必要条件.故选A.11.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p,则a的取值范围是( A )(A)[1,+∞) (B)(-∞,1](C)[-1,+∞) (D)(-∞,-3]解析:由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p,可知﹁p是﹁q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件,故a≥1.12.函数f(x)=log a x-x+2(a>0且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是 .解析:若函数f(x)=log a x-x+2(a>0,且a≠1)有两个零点,即函数y=log a x的图象与直线y=x-2有两个交点,结合图象易知,此时a>1.可以检验,当a>1时,函数f(x)=log a x-x+2(a>0,且a≠1)有两个零点, 所以函数f(x)=log a x-x+2(a>0,且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是a>1.答案:a>113.(2018·湖南十校联考)已知数列{a n}的前n项和S n=Aq n+B(q≠0),则“A=-B”是“数列{a n}为等比数列”的条件.解析:若A=B=0,则S n=0,数列{a n}不是等比数列.如果{a n}是等比数列,由a1=S1=Aq+B得a2=S2-a1=Aq2-Aq,a3=S3-S2=Aq3-Aq2,由a1a3=,从而可得A=-B,故“A=-B”是“数列{a n}为等比数列”的必要不充分条件.答案:必要不充分14.(2018·山西五校联考)已知p:(x-m)2>3(x-m)是q:x2+3x-4<0的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.解析:p对应的集合A={x|x<m或x>m+3},q对应的集合B={x|-4<x<1}.由p是q的必要不充分条件可知B A,所以m≥1或m+3≤-4,即m≥1或m≤-7.答案:(-∞,-7]∪[1,+∞)第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·咸阳模拟)命题p:∀x<0,x2≥2x,则命题﹁p为( C )(A)∃x0<0,≥(B)∃x0≥0,<(C)∃x0<0,< (D)∃x0≥0,≥解析:全称命题的否定,应先改写量词,再否定结论,所以﹁p:∃x0<0,<.2.(2018·郑州调研)命题p:函数y=log2(x-2)的单调增区间是[1,+∞),命题q:函数y=的值域为(0,1).下列命题是真命题的为( B )(A)p∧q (B)p∨q(C)p∧(﹁q) (D)﹁q解析:由于y=log2(x-2)在(2,+∞)上是增函数,所以命题p是假命题.由3x>0,得3x+1>1,所以0<<1,所以函数y=的值域为(0,1),故命题q为真命题.所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧(﹁q)为假命题,﹁q为假命题.3.(2018·贵阳调研)下列命题中的假命题是( C )(A)∃x0∈R,lg x0=1 (B)∃x0∈R,sin x0=0(C)∀x∈R,x3>0 (D)∀x∈R,2x>0解析:当x=10时,lg 10=1,则A为真命题;当x=0时,sin 0=0,则B为真命题;当x<0时,x3<0,则C为假命题;由指数函数的性质知,∀x∈R,2x>0,则D为真命题.4.第十三届全运会于2017年8月27日在天津市隆重开幕,在体操预赛中,有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”,q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( A ) (A)(﹁p)∨(﹁q) (B)p∨(﹁q)(C)(﹁p)∧(﹁q) (D)p∨q解析:命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况:“甲、乙落地均没有站稳”“甲落地没站稳,乙落地站稳”“乙落地没有站稳,甲落地站稳”,故可表示为(﹁p)∨(﹁q).或者,命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定,即“p∧q”的否定.选A.5.(2018·河北省石家庄二中模拟)已知命题p:∃x0∈(0,+∞), ln x0=1-x0,则命题p的真假及﹁p依次为( B )(A)真;∃x0∈(0,+∞),ln x0≠1-x0(B)真;∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x(C)假;∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x(D)假;∃x0∈(0,+∞),ln x0≠1-x0解析:当x0=1时,ln x0=1-x0=0,故命题p为真命题;因为p:∃x0∈(0,+∞),ln x0=1-x0,所以﹁p:∀x∈(0,+∞),ln x≠1-x.6.命题p“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( D )(A)∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2(B)∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2(C)∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2(D)∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<解析:改变量词,否定结论.所以﹁p应为∃x0∈R,∀n∈N*,使得n<.7.(2018·河北“五个一”名校联考)命题“∃x0∈R,1<f(x0)≤2”的否定是.答案:∀x∈R,f(x)≤1或f(x)>28.若命题“∃x0∈R,使得+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是.解析:因为“∃x0∈R,使得+(a-1)x0+1<0”是真命题,所以Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,所以a-1>2或a-1<-2,所以a>3或a<-1.答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)9.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:>1,若“(﹁q)∧p”为真,则x的取值范围是.解析:因为“(﹁q)∧p”为真,即q假p真,又q为真命题时,<0,即2<x<3,所以q为假命题时,有x≥3或x≤2.p为真命题时,由x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3.由得x≥3或1<x≤2或x<-3,所以x的取值范围是{x|x≥3或1<x≤2或x<-3}.答案:(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)能力提升(时间:15分钟)10.下列命题中,真命题是( D )(A)∃x0∈R,使得≤0(B)sin2x+≥3(x≠kπ,k∈Z)(C)∀x∈R,2x>x2(D)a>1,b>1是ab>1的充分不必要条件解析:对∀x∈R都有e x>0,所以A错误;当x=-时,sin2x+=-1<3,所以B错误;当x=2时,2x=x2,所以C错误;a>1,b>1⇒ab>1,而当a=b=-2时,ab>1成立,a>1,b>1不成立,所以D 正确.11.(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=a2x-2a+1.若命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,则实数a的取值范围是( D ) (A)(,1) (B)(1,+∞)(C)(,+∞) (D)(,1)∪(1,+∞)解析:因为函数f(x)=a2x-2a+1,命题“∀x∈(0,1),f(x)≠0”是假命题,所以原命题的否定“∃x0∈(0,1),使f(x0)=0”是真命题,所以f(1)f(0)<0,即(a2-2a+1)(-2a+1)<0,所以(a-1)2(2a-1)>0,解得a>,且a≠1.所以实数a的取值范围是(,1)∪(1,+∞).12.(2018·江西红色七校联考)已知函数f(x)=给出下列两个命题:命题p:∃m∈(-∞,0),方程f(x)=0有解,命题q:若m=,则f(f(-1))=0.那么,下列命题为真命题的是( B )(A)p∧q (B)(﹁p)∧q(C)p∧(﹁q) (D)(﹁p)∧(﹁q)解析:因为3x>0,当m<0时,m-x2<0,所以命题p为假命题;当m=时,因为f(-1)=3-1=,所以f(f(-1))=f()=-()2=0,所以命题q为真命题,逐项检验可知,只有(﹁p)∧q为真命题.13.(2018·广东汕头一模)已知命题p:关于x的方程x2+ax+1=0没有实根;命题q:∀x>0,2x-a>0.若“﹁p”和“p∧q”都是假命题,则实数a的取值范围是( C )(A)(-∞,-2)∪(1,+∞) (B)(-2,1](C)(1,2) (D)(1,+∞)解析:因为“﹁p”和“p∧q”都是假命题,所以p真,q假.由p真,得Δ=a2-4<0,解之得-2<a<2.∀x>0,2x-a>0等价于a<2x恒成立,则a≤1.所以q假时,a>1.由得1<a<2,则a的取值范围是(1,2).14.(2018·郑州质量预测)已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1∈[,1],∃x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),则实数a的取值范围是.解析:依题意知f(x)max≤g(x)max.因为f(x)=x+在[,1]上是减函数,所以f(x)max=f()=.又g(x)=2x+a在[2,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)=8+a,因此≤8+a,则a≥.答案:[,+∞)第1节函数及其表示【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.函数g(x)=+log2(6-x)的定义域是( D )(A){x|x>6} (B){x|-3<x<6}(C){x|x>-3} (D){x|-3≤x<6}解析:由解得-3≤x<6,故函数的定义域为{x|-3≤x<6}.故选D.2.设f(x)=则f(f(-2))等于( C )(A)-1 (B) (C) (D)解析:因为-2<0,所以f(-2)=2-2=>0,所以f(f(-2))=f()=1-=1-=.故选C.3.如果f()=,则当x≠0且x≠1时,f(x)等于( B )(A)(x≠0且x≠1) (B)(x≠0且x≠1)(C)(x≠0且x≠1) (D)-1(x≠0且x≠1)解析:令t=,t≠0,则x=,则f()=可化为f(t)==(t≠1),所以f(x)=(x≠0,x≠1).故选B.4.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是( D )(A)y=x (B)y=lg x(C)y=2x(D)y=解析:由y=10lg x定义域值域均为(0,+∞),与D符合.故选D.5.下列函数中,与y=x相同的函数是( B )(A)y=(B)y=lg 10x(C)y=(D)y=()2+1解析:对于A,与函数y=x的对应关系不同;对于B,与函数y=x的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数;对于C,与函数y=x的定义域不同;对于D,与函数y=x的定义域不同.故选B.6.(2018·西安联考)已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是( C )(A)(-∞,-1) (B)(-1,2](C)[-1,2] (D)[2,5]解析:因为f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,所以当x=2时,f(2)=4,由f(x)=-x2+4x=-5,解得x=5或x=-1,所以要使函数在[m,5]的值域是[-5,4],则-1≤m≤2,故选C.7.(2018·石家庄质检)设函数f(x)=若f(f())=2,则实数a为( D )(A)- (B)- (C)(D)解析:易得f（）=2×+a=+a.当+a<1时,f（f()）=f(+a)=3+3a,所以3+3a=2,a=-,不满足+a<1,舍去.当+a≥1,即a≥-时,f（f()）=log2(+a)=2,解得a=.故选D.8.(2018·西安铁中检测)已知函数f(2x)的定义域为[-1,1],则函数y=f(log2x)的定义域为.解析:由-1≤x≤1,知≤2x≤2,所以在函数y=f(log2x)中,有≤log2x≤2,因此≤x≤4,即y=f(log2x)的定义域为[,4].答案:[,4]能力提升(时间:15分钟)9.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)等于( A )(A)- (B)- (C)- (D)-解析:当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,不成立,舍去;当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即log2(a+1)=3,解得a=7,此时f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-.故选A.10.已知函数f(x)=则f(x)的值域是( B )(A)[1,+∞) (B)[0,+∞)(C)(1,+∞) (D)[0,1)∪(1,+∞)解析:由f(x)=知当x≤1时,x2≥0;当x>1时,x+-3≥2-3=4-3=1,当且仅当x=,即x=2时取“=”,取并集得f(x)的值域是[0,+∞).故选B.11.已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=x+2,则 f(x)等于( A )(A)x+1 (B)2x-1(C)-x+1 (D)x+1或-x-1解析:设f(x)=kx+b(k≠0),又f[f(x)]=x+2,得k(kx+b)+b=x+2,即k2x+kb+b=x+2.所以k2=1,且kb+b=2,解得k=b=1,则f(x)=x+1.故选A.12.(2018·河南八市联合检测)设函数f(x)=若对任意的a∈R都有f(f(a))=2f(a)成立,则λ的取值范围是( C )(A)(0,2] (B)[0,2](C)[2,+∞) (D)(-∞,2)解析:当a≥1时,2a≥2,所以f(f(a))=f(2a)==2f(a)恒成立,当a<1时,f(f(a))=f(-a+λ)=2f(a)=2λ-a,所以λ-a≥1,即λ≥a+1恒成立,由题意,λ≥(a+1)max,λ≥2,综上,λ的取值范围是[2,+∞).故选C.13.(2018·江西上饶质检)已知函数f(x)=若a[f(a)- f(-a)]>0,则实数a的取值范围为( D )(A)(1,+∞)(B)(2,+∞)(C)(-∞,-1)∪(1,+∞)(D)(-∞,-2)∪(2,+∞)解析:当a>0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为a2+a-3a>0,解得a>2,当a<0时,不等式a[f(a)-f(-a)]>0可化为-a2-2a<0,解得a<-2,综上所述,a的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).故选D.14.设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是.解析:当x<1时,e x-1≤2,解得x≤1+ln 2,所以x<1.当x≥1时,≤2,解得x≤8,所以1≤x≤8.综上可知x的取值范围是(-∞,8].答案:(-∞,8]第2节函数的单调性与最值【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·湖北省高三调研)函数f(x)=log a(x2-4x-5)(a>1)的单调递增区间是( D )(A)(-∞,-2) (B)(-∞,-1)(C)(2,+∞) (D)(5,+∞)解析:由t=x2-4x-5>0,得x<-1或x>5,且函数t=x2-4x-5(x<-1或x>5)在区间(5,+∞)上单调递增,又函数y=log a t(a>1)为单调递增函数,故函数f(x)的单调递增区间是(5,+∞).故选D.2.(2018·郑州质检)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( D )(A)y= (B)y=cos x(C)y=ln(x+1) (D)y=2-x解析:因为y=与y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,且y=cos x在(-1,1)上不具备单调性,所以A,B,C不满足题意;只有y=2-x=（）x在(-1,1)上是减函数.故选D.3.(2018·湖师附中)如果f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间（-∞,]上为减函数,则a的取值范围是( C )(A)(0,1] (B)[0,1) (C)[0,1] (D)(0,1)解析:a=0时,f(x)=-2x+1在区间(-∞,]上为减函数,符合题意;当a≠0时,如果f(x)=ax2-(2-a)x+1在区间(-∞,]上为减函数,必有解得0<a≤1.综上所述,a的取值范围是[0,1],故选C.4.(2018·唐山二模)函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( D )(A)(1,2) (B)(-1,2) (C)[1,2) (D)[-1,2)解析:函数y===-1在区间(-1,+∞)上是减函数,且f(2)=0,所以n=2,根据题意,x ∈(m,n]时,y min =0, 所以m 的取值范围是[-1,2).故选D. 5.设函数f(x)=若f(a+1)≥f(2a-1),则实数a 的取值范围是( B )(A)(-∞,1] (B)(-∞,2] (C)[2,6] (D)[2,+∞)解析:易知函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上是增函数, 因为f(a+1)≥f(2a-1), 所以a+1≥2a-1,解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(-∞,2].故选B. 6.已知f(x)=2x ,a=(),b=(),c=log 2,则 f(a),f(b),f(c)的大小顺序为( B )(A)f(b)<f(a)<f(c) (B)f(c)<f(b)<f(a) (C)f(c)<f(a)<f(b) (D)f(b)<f(c)<f(a) 解析:易知f(x)=2x 在(-∞,+∞)上是增函数, 又a=()=()>()=b>0,c=log 2<0,所以f(a)>f(b)>f(c).故选B.7.(2018·石家庄调研)函数f(x)=()x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为.解析:由于y=()x在R上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.答案:38.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是.解析:由题意知g(x)=函数的图象为如图所示的实线部分,根据图象,g(x)的减区间是[0,1).答案:[0,1)9.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是.解析:法一在同一坐标系中,作函数f(x),g(x)图象,依题意,h(x)的图象如图所示.易知点A(2,1)为图象的最高点,因此h(x)的最大值为h(2)=1.法二依题意,h(x)=当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数,当x>2时,h(x)=3-x是减函数.所以当x=2时,h(x)取最大值h(2)=1.答案:1能力提升(时间:15分钟)10.(2017·全国Ⅰ卷)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( D ) (A)[-2,2] (B)[-1,1] (C)[0,4] (D)[1,3]解析:因为f(x)是奇函数,且f(1)=-1,所以f(-1)=-f(1)=1.所以f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,所以-1≤x-2≤1.所以1≤x≤3.故选D.11.(2018·北京海淀期中)若函数f(x)=的值域为[-1,1],则实数a的取值范围是( A )(A)[1,+∞) (B)(-∞,-1](C)(0,1] (D)(-1,0)解析:当x≤a时,f(x)=cos x∈[-1,1],则当x>a时,-1≤≤1,即x≤-1或x≥1,所以a≥1.故选A.12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是.解析:因为f(x)在R上是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数.则f(2|a-1|)>f(-)=f(),因此2|a-1|<=,又y=2x是增函数,所以|a-1|<,解得<a<.答案:(,)13.(2018·大理月考)已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数且f(1)=1,当x1,x2∈[-1,1],且x1+x2≠0时,有>0,若f(x)≤m2-2am+1对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,则实数m的取值范围是.解析:用-x2替换x2,得>0,由于f(x)是奇函数,所以>0,等价于函数f(x)是定义域上的增函数,所以f(x)max=f(1)=1.不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈[-1,1]恒成立,即m2-2am+1≥1对任意a∈[-1,1]恒成立,即2ma-m2≤0对任意a∈[-1,1]恒成立,令g(a)=2ma-m2,则只要即可,解得m≤-2或者m≥2或者m=0.故所求的m的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).答案:(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)14.(2018·成都七中调研)已知函数f(x)=a-.(1)求f(0);(2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论;(3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax)<f(2)的x的范围.解:(1)f(0)=a-=a-1.(2)f(x)在R上单调递增.理由如下:因为f(x)的定义域为R,所以任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a--a+=, 因为y=2x在R上单调递增且x1<x2,所以0<<,所以-<0,+1>0,+1>0.所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)在R上单调递增.(3)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),则a-=-a+,解得a=1(或用f(0)=0去解).所以f(ax)<f(2)即 f(x)<f(2),又因为f(x)在R上单调递增,所以x<2.所以不等式的解集为(-∞,2).第3节函数的奇偶性与周期性【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·云南玉溪模拟)下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( C )(A)y=|log3x| (B)y=x3(C)y=e|x| (D)y=cos |x|解析:对于A选项,函数定义域是(0,+∞),故是非奇非偶函数;对于B 选项,函数y=x3是一个奇函数,不正确;对于C选项,函数的定义域是R,是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数是增函数,故在(0,1)上单调递增,选项C正确;对于D选项,函数y=cos |x|是偶函数,在(0,1)上单调递减,不正确.故选C.2.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x2,则f(2 019)等于( B )(A)-2 (B)2 (C)-98 (D)98解析:由f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1).由-1∈(-2,0)得f(-1)=2,所以f(2 019)=2.故选B.3.(2018·石家庄一模)已知f(x)为偶函数,且当x∈[0,2)时,f(x)=2sin x,当x∈[2,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-)+f(4)等于( D )(A)-+2 (B)1(C)3 (D)+2解析:因为f(-)=f()=2sin =,f(4)=log24=2,所以f(-)+f(4)=+2.4.设函数f(x)=,则下列结论错误的是( D )(A)|f(x)|是偶函数(B)-f(x)是奇函数(C)f(x)·|f(x)|是奇函数(D)f(|x|)·f(x)是偶函数解析:f(-x)==-f(x),所以函数f(x)是奇函数,|f(-x)|=|f(x)|,函数|f(x)|是偶函数,-f(x)是奇函数,f(x)·|f(x)|为奇函数,f(|x|)是偶函数,所以f(|x|)·f(x)是奇函数,所以错的是D.故选D.5.(2018·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则g(-8)等于( A )(A)-2 (B)-3 (C)2 (D)3解析:法一当x<0时,-x>0,且f(x)为奇函数,则f(-x)=log3(1-x),所以f(x)=-log3(1-x).因此g(x)=-log3(1-x),x<0,故g(-8)=-log39=-2.法二由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.故选A.6.(2018·南昌模拟)若定义域为R的函数f(x)在(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+4)为偶函数,则( D )(A)f(2)>f(3) (B)f(2)>f(5)(C)f(3)>f(5) (D)f(3)>f(6)解析:因为y=f(x+4)为偶函数,所以f(-x+4)=f(x+4),因此y=f(x)的图象关于直线x=4对称,所以f(2)=f(6),f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数,所以f(5)>f(6),所以f(3)>f(6).故选D.7.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .解析:由于f(-x)=f(x),所以ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,化简得2ax+3x=0(x∈R),则2a+3=0.所以a=-.答案:-8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)= .解析:f(x+4)=f[(x+2)+2]=-=f(x).故函数的周期为4,所以f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5),因为2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5,所以f(105.5)=2.5.答案:2.59.设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是.解析:由f(x)=ln(1+|x|)-,知f(x)为R上的偶函数,于是f(x)> f(2x-1),即为f(|x|)>f(|2x-1|).当x≥0时,f(x)=ln(1+x)-,所以f(x)为[0,+∞)上的增函数,则由f(|x|)>f(|2x-1|)得|x|>|2x-1|,两边平方,整理得3x2-4x+1<0,解得<x<1.答案:(,1)能力提升(时间:15分钟)10.(2018·吉林省实验中学模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x),当x∈[-2,0]时,f(x)=-2x,则f(1)+f(4)等于( D ) (A)(B)1 (C)-1 (D)-解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,又因为x∈[-2,0]时,f(x)=-2x,所以f(1)+f(4)=f(-1)+f(0)=-2-1-20=--1=-.故选D.11.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是( A )(A)[-3,1](B)[-4,2](C)(-∞,-3]∪[1,+∞)(D)(-∞,-4]∪[2,+∞)解析:f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称,由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.故选A.12.(2017·安徽马鞍山三模)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则f(5)等于( B )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)5解析:因为函数f(x+1),f(x-1)都是奇函数,所以f(1)=f(-1)=0,函数f(x)既关于(1,0)对称,又关于(-1,0)对称, 即f(2-x)=-f(x),f(-2-x)=-f(x),那么f(2-x)=f(-2-x),即f(2+x)=f(-2+x),所以f(x)=f(x+4),因此函数的周期是4,f(5)=f(1)=0.故选B.13.已知奇函数f(x)=则f(-2)的值等于.解析:因为函数f(x)为奇函数,所以f(0)=0,则30-a=0,所以a=1,所以当x≥0时,f(x)=3x-1,则f(2)=32-1=8,因此f(-2)=-f(2)=-8.答案:-814.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为.解析:因为当0≤x<2时,f(x)=x3-x,又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,则f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又f(1)=0,所以f(3)=f(5)=f(1)=0,故函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.答案:715.(2018·湖北荆州中学质检)若函数f(x)=为奇函数,g(x)=则不等式g(x)>1的解集为.解析:因为f(x)=为奇函数且定义域为R,所以f(0)=0,即=0,解得a=-1,所以g(x)=所以当x>0时,由-ln x>1,解得x∈(0,);当x≤0时,由e-x>1,解得x∈(-∞,0),所以不等式g(x)>1的解集为(-∞,0)∪(0,).答案:(-∞,0)∪(0,)第4节幂函数与二次函数【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.幂函数f(x)=(m2-4m+4)·在(0,+∞)上为增函数,则m的值为( B )(A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2解析:由题意知解得m=1.2.(2018·山东济宁一中检测)下列命题正确的是( D )(A)y=x0的图象是一条直线(B)幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1)(C)若幂函数y=x n是奇函数,则y=x n是增函数(D)幂函数的图象不可能出现在第四象限解析:A中,当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},其图象为一条直线上挖去一点,A错;B中,y=x n,当n<0时,图象不过原点,B不正确.C中,当n<0,y=x n在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数,C错误.幂函数图象一定过第一象限,一定不过第四象限,D正确.3.(2018·郑州检测)若函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f(x)( A )(A)在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增(B)在(-∞,3)上递增(C)在[1,3]上递增(D)单调性不能确定解析:由已知可得该函数图象的对称轴为x=2,又二次项系数为1>0,所以f(x)在(-∞,2]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的.4.设a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系是( B )(A)a<c<b (B)b<c<a(C)b<a<c (D)c<b<a解析:令函数f(x)=,易知函数f(x)=在(0,+∞)上为增函数,又>,所以a=()>()=c,令函数g(x)=()x,易知函数g(x)=()x在(0,+∞)上为减函数,又>,所以b=()<()=c.综上可知,b<c<a,故选B.5.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是( B )(A)②④(B)①④(C)②③(D)①③解析:因为图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确;对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误;结合图象,当x=-1时,y=a-b+c>0,③错误;由对称轴为x=-1知,b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.故选B.6.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,-2) (B)(-2,+∞)(C)(-6,+∞) (D)(-∞,-6)解析:不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max, 令f(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),f(x)<f(4)=-2,所以a<-2.7.二次函数f(x)=2x2+bx+c满足{x|f(x)=x}={1},则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为( C )(A)4 (B)8 (C)16 (D)20解析:由题方程2x2+bx+c=x仅有一个根1,即2x2+(b-1)x+c=0仅有一个根.得b=-3,c=2.f(x)=2x2-3x+2,对称轴为x=,f(x)max=f(-2)=16.故选C.8.(2018·武汉模拟)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .解析:由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y轴对称,所以b=-2,所以f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],所以2a2=4,故f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+49.(2018·泉州质检)若二次函数f(x)=ax2-x+b(a≠0)的最小值为0,则a+4b的取值范围是.解析:依题意,知a>0,且Δ=1-4ab=0,所以4ab=1,且b>0.故a+4b≥2=2.当且仅当a=4b,即a=1,b=时等号成立.所以a+4b的取值范围是[2,+∞).答案:[2,+∞)能力提升(时间:15分钟)10.在同一坐标系内,函数y=x a(a≠0)和y=ax+的图象可能是( B )解析:若a<0,由y=x a的图象知排除C,D选项,由y=ax+的图象知选项B有可能;若a>0,由y=x a的图象知排除A,B选项,但y=ax+的图象均不适合.综上选B.11.(2018·秦皇岛模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且2是f(x)的一个零点,-1是f(x)的一个极小值点,那么不等式f(x)>0的解集是( C )(A)(-4,2)(B)(-2,4)(C)(-∞,-4)∪(2,+∞)(D)(-∞,-2)∪(4,+∞)解析:依题意,f(x)是二次函数,其图象是抛物线,开口向上,对称轴为x=-1,方程ax2+bx+c=0的一个根是2,另一个根是-4.因此f(x)= a(x+4)(x-2)(a>0),于是f(x)>0,解得x>2或x<-4.12.(2018·浙江“超级全能生”模拟)已知在(-∞,1]上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是( B )(A)[-,] (B)[1,](C)[2,3] (D)[1,2]解析:由于f(x)=x2-2tx+1的图象的对称轴为x=t.又y=f(x)在(-∞,1]上是减函数,所以t≥1.则在区间[0,t+1]上,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1,要使对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,只需1-(-t2+1)≤2,解得-≤t≤.又t≥1,所以1≤t≤.13.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是.解析:由题意可知函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=2(如图),若f(a)≥f(0),从图象观察可知0≤a≤4.答案:[0,4]14.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是.解析:当a=0时,f(x)=2x-3在(-∞,4)上单调递增.当a≠0时,若f(x)在(-∞,4)上单调递增.则解之得-≤a<0.综上可知,实数a的取值范围是[-,0].答案:[-,0]15.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.所以F(x)=所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)由a=1,c=0,得f(x)=x2+bx,从而|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于-1≤x2+bx≤1在区间(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又-x的最小值为0,--x的最大值为-2.所以-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].第5节指数与指数函数【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.函数y=a x-(a>0,且a≠1)的图象可能是( D )解析:若a>1时,y=a x-是增函数;当x=0时,y=1-∈(0,1),A,B不满足;若0<a<1时,y=a x-在R上是减函数;当x=0时,y=1-<0,C错,D项满足.故选D.2.(2018·湖南永州第三次模拟)下列函数中,与函数y=2x-2-x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( B )(A)y=sin x (B)y=x3(C)y=()x (D)y=log2x解析:y=2x-2-x在(-∞,+∞)上是增函数且是奇函数,y=sin x不单调,y=log2x定义域为(0,+∞),y=()x是减函数,三者不满足,只有y=x3的定义域、单调性、奇偶性与之一致.3.函数f(x)=a x-1(a>0,a≠1)的图象恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是( A )(A)y= (B)y=|x-2|(C)y=2x-1 (D)y=log2(2x)解析:由题意,得点A(1,1),将点A(1,1)代入四个选项,y=的图象不过点A(1,1).4.设x>0,且1<b x<a x,则( C )(A)0<b<a<1 (B)0<a<b<1(C)1<b<a (D)1<a<b解析:因为x>0时,1<b x,所以b>1.因为x>0时,b x<a x,所以x>0时,()x>1.所以>1,所以a>b.所以1<b<a.5.函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( D )(A)a>1,b<0(B)a>1,b>0(C)0<a<1,b>0(D)0<a<1,b<0解析:由f(x)=a x-b的图象可以观察出,函数f(x)=a x-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=a x-b的图象是在f(x)=a x的基础上向左平移得到的,所以b<0.6.已知f(x)=2x+2-x,f(m)=3,且m>0,若a=f(2m),b=2f(m),c=f(m+2),则a,b,c的大小关系为( D )(A)c<b<a (B)a<c<b(C)a<b<c (D)b<a<c解析:因为f(m)=2m+2-m=3,m>0,所以2m=3-2-m>2,b=2f(m)=2×3=6,a=f(2m)=22m+2-2m=(2m+2-m)2-2=7,c=f(m+2)=2m+2+2-m-2=4·2m+·2-m>8,所以b<a<c.故选D.7.下列说法正确的序号是.①函数y=的值域是[0,4);②(a>0,b>0)化简结果是-24;③+的值是2π-9;④若x<0,则=-x.解析:由于y=≥0(当x=2时取等号),又因为4x>0,所以16-4x<16得y<,即y<4,所以①正确;②中原式====-24,正确;由于+=|π-4|+π-5=4-π+π-5=-1,所以③不正确.由于x<0,所以④正确.答案:①②④8.不等式<4的解集为.解析:因为<4,所以<22,所以x2-x<2,即x2-x-2<0,解得-1<x<2.答案:{x|-1<x<2}9.(2018·鸡西模拟)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b= .解析:若a>1,则f(x)=a x+b在[-1,0]上是增函数,所以则a-1=0,无解.当0<a<1时,则f(x)=a x+b在[-1,0]上是减函数,所以解得因此a+b=-.答案:-能力提升(时间:15分钟)10.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( B )(A)(-∞,2] (B)[2,+∞)(C)[-2,+∞) (D)(-∞,-2]解析:由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=()|2x-4|.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.11.(2018·湖南郴州第二次教学质量检测)已知函数f(x)=e x-,其中e是自然对数的底数,则关于x的不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集为( B )(A)(-∞,-)∪(2,+∞) (B)(2,+∞)(C)(-∞,)∪(2,+∞) (D)(-∞,2)解析:易知f(x)=e x-在R上是增函数,且f(-x)=e-x-=-(e x-)=-f(x),所以f(x)是奇函数.由f(2x-1)+f(-x-1)>0,得f(2x-1)>f(x+1),因此2x-1>x+1,所以x>2.12.(2018·衡阳三中模拟)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是( D )。
