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求极限的四则运算法则
1 极限的四则运算
极限的四则运算是数学中一个重要的概念，也是分析数学的核心
内容之一。
在极限的四则运算中，有很多的规则，它们是数学计算的
基础，能够帮助我们理解与解决有关数学问题的答案。
2 极限的四则运算法则
1.加法定义和原则：极限加法定义了两个极限相加，要求其结果
具有相同的极限值。
2.减法定义和原则：极限减法定义了两个极限相减，其结果等于
以极限值来减去另一个极限值。
3.乘法定义和原则：两个极限相乘，它们的结果是其乘积的极限值。
4.除法定义和原则：两个极限相除，它们的结果是其商的极限值。
3 极限的四则运算的应用
极限的四则运算能够用在更多的应用场合，比如说，它可以帮助
我们估算不可知的函数式极限值。
此外，极限的四则运算还可用于估
算有限函数极限值，以及定义数量级大小等等。
4 总结
综上所述，极限的四则运算是数学中一个重要的概念，它提供了加减乘除四种极限运算的规则，能够帮助我们估算不可知的函数式极限值及有限函数极限值，起到重要的作用。
极限四则运算的证明极限四则运算的证明是基于极限的定义和四则运算的性质来证明的。
对于任意给定的两个数列a_n和b_n，我们可以定义它们的和、差、积和商：1.和：(a_n + b_n) = lim(n→∞)(a_n + b_n)2.差：(a_n - b_n) = lim(n→∞)(a_n - b_n)3.积：(a_n * b_n) = lim(n→∞)(a_n * b_n)4.商：(a_n / b_n) = lim(n→∞)(a_n / b_n)这里用到的是极限的定义，即当n趋近于无穷大时，a_n和b_n 的极限存在且唯一。
同时，我们还需要用到四则运算的性质，即加、减、乘、除四种运算都是有交换律、结合律和分配律的。
对于任意的a、b、c、d四个数，我们可以将它们分别表示为两个数列a_n和b_n的极限：a = lim(n→∞)a_nb = lim(n→∞)b_nc = lim(n→∞)c_nd = lim(n→∞)d_n那么，根据四则运算的性质，我们有：1.a + b = lim(n→∞)(a_n + b_n) = lim(n→∞)a_n + lim(n →∞)b_n = a + b2.a - b = lim(n→∞)(a_n - b_n) = lim(n→∞)a_n - lim(n →∞)b_n = a - b3.ab = lim(n→∞)(a_n * b_n) = lim(n→∞)a_n * lim(n→∞)b_n = ab4.a/b = lim(n→∞)(a_n / b_n) = lim(n→∞)a_n / lim(n→∞)b_n = a/b (假设b不等于0)这个证明过程比较简单，但是它为后续的极限运算提供了重要的基础。
同时，这个证明也揭示了极限和四则运算之间密切的关系，为我们深入理解数学的基本原理提供了帮助。
等式两边求极限四则运算法则一、加法法则在等式两边求极限时，可以使用加法法则。
加法法则指出，如果等式两边的极限都存在，那么它们的和的极限等于各自极限的和。
具体而言，设函数f(x)和g(x)在某点a附近有定义，且极限lim(x->a)f(x)和lim(x->a)g(x)存在，则有lim(x->a)[f(x)+g(x)] = lim(x->a)f(x) + lim(x->a)g(x)。
例如，我们要求lim(x->0)(x+1)，可以先求出x->0时x的极限为0，再求出x->0时1的极限为1，因此根据加法法则，可以得到lim(x->0)(x+1) = lim(x->0)x + lim(x->0)1 = 0 + 1 = 1。
二、减法法则减法法则与加法法则类似，只是将加法运算改为减法运算。
减法法则指出，如果等式两边的极限都存在，那么它们的差的极限等于各自极限的差。
具体而言，设函数f(x)和g(x)在某点a附近有定义，且极限lim(x->a)f(x)和lim(x->a)g(x)存在，则有lim(x->a)[f(x)-g(x)] = lim(x->a)f(x) - lim(x->a)g(x)。
例如，我们要求lim(x->0)(x-1)，可以先求出x->0时x的极限为0，再求出x->0时1的极限为1，因此根据减法法则，可以得到lim(x->0)(x-1) = lim(x->0)x - lim(x->0)1 = 0 - 1 = -1。
三、乘法法则乘法法则是等式两边求极限中常用的法则之一。
乘法法则指出，如果等式两边的极限都存在，那么它们的乘积的极限等于各自极限的乘积。
具体而言，设函数f(x)和g(x)在某点a附近有定义，且极限lim(x->a)f(x)和lim(x->a)g(x)存在，则有lim(x->a)[f(x)*g(x)] = lim(x->a)f(x) * lim(x->a)g(x)。
极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
极限的四则运算（1）【目的要求】1. 掌握涵数极限四则运算法则的前提条件及涵数极限四则运算法则。
2. 会用极限四则运算法则求较复杂涵数的极限。
【教学过程】1. 提问入手，导入新课对简单涵数，我们可以根据它的图象或通过分析涵数值的变化趋势直接写出它们的极限。
如 1lim→x x21=21, limx=1.对于复杂一点的涵数, 如何求极限呢? 例如计算 1lim →x (x+x 21)1lim →x (x+x 21)即1lim→x x x 2122+，显然通过画图或分析涵数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的。
因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂涵数的极限问题转化为求简单涵数的极限。
板书课题：极限的四则运算。
2．特殊探路，发现规律 考察1lim→x x x 2122+，完成下表：根据计算（用计算器）和极限概念，得出1lim →x x x 2122+=23，与1lim →x x21=21、11lim →=x x 对此发现： 1lim→x x x 2122+=1lim →x （X+X 21）=1lim →x x +1lim→x x21=1+21=23.由此得出一般结论：涵数极限的四则运算法则： 如果0lim x x →f(x)=a, 0lim xx →g(x)=b, 那麽lim xx →[ f(x)+g(x)]=a +b 0lim xx →[f(X)•g(X)]=a b •][)()(0lim X g x f xx →=ba (b )0≠ 特别的 （1）0lim x x →[C )(X f •]=C •0lim xx →f(X) (C 为常数)（2）0lim x x →[f(X)]n =[0lim x x →f(X)]n (n ∈N *)（3）这些法则对X ∞→的情况仍然成立（4）两个常用极限0lim x x n x →=X n0, ∞→x limnx1=0 (n ∈N *)3．应用举例， 熟悉法则 例1 求1lim→x 12122232-+++x x x x问：已知涵数中含有哪些简单涵数？它是经过怎样的运算结合而成的？是否适用法则？适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写出解答过程。
解：1lim→x 1212232-+++x x x x =12312)12lim()12lim(→→-+++x x x x x x =1121311211lim 2lim 1lim lim 2lim →→→→→→-+++x x x x x x ximx l x x =11211112232-⨯+++⨯=2 （1）讲解时注意提问每一步的依据，做到“言必有据”，培养严谨的思维。
（2）书写时，由于极限符号“lim”有运算意义，因此在未求出极限值时，丢掉符号是错误的。
点评：例1说明，求某些涵数（到底是哪些涵数，学了2。
6节就知道了。
激发学生学习积极性，为讲连续涵数埋下伏笔）在某一点x=x 0处的极限值时，只要把x=x 0代入涵数解析式中就可得到极限值，此种求极限值的方法不妨叫代入法。
巩固练习：求1lim→x 12122---x x x问：本题还能用代入法求其极限值吗？为什么？引导分析：如果把x=1直接代入12122---x x x 中，那磨分子、分母都为零。
虽然分子分母的极限都存在，但不适合用商的法则（为什么？），不能简单用代入法求这个极限。
根据极限概念和思想，所求极限只取决于点x=1处附近的点（即可认为x ≠1），故可把分子、分母分解因式后约去公因式x-1，从而转化为可用代入法求极限的情形。
通过本例，不仅对法则的适用条件加深了理解，而且进一步深化了对极限概念和思想本质的认识。
解：原式=1lim→x )12)(1()1)(1(+-+-x x x x =1lim→x 121++x x =11)12()1lim(→→++x x x im l x =11111lim 2lim 1lim lim →→→→++x x x x x x =11211+⨯+=32点评：函数在某一点的极限，考察的是函数值的变化趋势，与函数在这一点是否有定义、是否等于在这一点的函数值无关，故本例可约去公因式x-1。
巩固练习：教科书第88页练习第2题。
4．回顾总结（1）函数极限四则运算法则。
（2）一般的，中学阶段接触的函数，若要求其在某一点处的极限值，通常可直接用代入法，或者是先变形（主要是约去公因式），转化为可用代入法求极限的情形。
5．达标检测思考题：已只3lim→x 3222--++/x x b ax x =5，求常数a 、b 的值。
答案：a=14， b=-51极限的四则运算（2）【目的要求】1. 了解由一般到特殊这种演绎思想2. 会分析已知数列是由哪些简单数列经过怎样的运算结合而成的。
3.掌握数列极限的运算法则，会求数列极限。
【教学过程】1. 复习引入，演绎结论提问：（1）函数极限的四则运算法则（2）数列是一种特殊的函数（自变量为n ，函数值为n a ）,引入数列的极限是函数极限的特例。
数列极限的运算法则也是函数极限四则运算法则的特例。
得出数列极限的四则运算法则： 如果∞→n lim n a =a,∞→n lim n b =b.,那麽∞→n lim （na +_n b ）=a +_b∞→n lim (n a •n b )=a •b ,特别地 ，∞→n lim （C •n a ）=C •∞→n lim (C 为常数)∞→n limn n b a =ba（b ≠0） 说明（1）法则的前提条件是∞→n lim n a 、∞→n lim n b 都存在（如果是商的运算，∞→n lim n b =b ≠0）（2）法则可推广到有限多个情形 （3）几个常用极限：∞→n lim C=C ,∞→n limn1=0 ,∞→n lim n q =0 (q <1)2. 法则应用 ，掌握规律 例3 求下列极限 （1） ∞→n lim （21n +n2）； （2）∞→n limn n 23- ； （3）∞→n lim 23222++n nn ； （4） ∞→n lim 24323nn n n -+分析：（1）数列由哪几个数列组成？经过怎样的运算而成？能否直接用法则？为什麽可直接用？用哪个法则？（2）本题不能直接用法则，应该如何变形？变形的目的是什么？ （3）本题不能直接套用法则，如何转化才能出现极限？与（2）的式子变形有何不同？用了哪几个法则？可得出什么结论？ （4）本题与（1）（2）（3）有何不同？分子分母同除3n 行吗？可得到一个什么结论？ 解：（见教科书）总结：（1）当分子分母是关于n 的次数相同的多项式时，这个分式在∞→n 时的极限值是分子、分母中最高次项 的系数之比。
（2）当分子、分母都是关于n 的多项式，.这个分式在∞→n 时的极限是0。
想一想：将例3中每题里的n 换成x.,问题就成为求∞→x （包含∞+-）时，函数的极限 。
这样改换后，解法与答案有变化吗？3.变式训练，培养能力变式训练1：求下列极限：（1）∞→x lim12)2)(1(2++--x x x x 。
（答案：21） （2）∞→x lim 17612332++--x x x x （答案：0）课堂练习：教科书第90页第1题、第2（1）、（3）、（5）、（7）题。
要求：详细写出解答过程，对（5）、（7）题可提问：是否一定要把多项式展开？对比展开与不展开的结果。
口答第2（2）、（4）、（6）、（8）题。
变式训练2：已知∞→n lim 22531n n an -++=25，求常数a 的值 分析：题中a 在一个式子中,如何求出他的值？(只要得到一个含a 的方程就可以求出)如何得到这个方程呢？（先求极限）如何求极限呢？分子分母同除2n ，即可用法则求出来）解：∞→n lim 22531nn an -++=∞→n lim 531122-++n n n a =)53(lim )11(lim 22-++∞→∞→nn n a n n =5lim 3lim 1lim 1lim lim 22∞→∞→∞→∞→∞→+++n n n n n n n n a =5000-++a =-5a由-5a =25， 得a=-225 点评：本题既培养了学生方程的思想、转化的思想，有培养了逆向思维能力，培养了变形能力，巩固了法则的应用。
4.回顾总结（1）数列极限四则运算法则，法则成立的条件，运算过程（防止结果对，推理过程错）要掌握好，确保运算结果正确。
（2）当分子分母都是关于n 的多项式时，分子、分母同除分子、分母中关于n 的最高次幂，再用法则求极限。
5.达标检测（1）已知)23(lim 2bn n an n -++∞→=1，求常数a 、b 的值 （2）求nn n n n 3232lim 11-+++∞→ （3）求nn n n n a a 55lim +-∞→（a>0）。
（4）若)6(lim n n n b a -∞→=7，)43(lim n n n b a -∞→ =-1，求)3(lim n n n b a +∞→的值。
答案：（1）a=b=21. (2) -3(3)0<a<5时，-1；a=5时, 0; a.>5时,1. (4) 2极限的四则运算（3）【目的要求】进一步熟练掌握极限的四则运算法则，理解法则的简单应用，通过有限项的和与无限项的和之间的辩证关系，加深对极限概念的理解。
【教学回顾】 1.复习回顾（1）极限概念是通过什麽引入例字的？ （2）极限概念及思想的要点是什么？ 2.问题解决例 在半经为R 的圆内接正n 边形中，n r 是边心距，n p 是周长，n S 是面积（n =3，4，5，…）（1）n S 与n r 、n p 有什麽关系？ （2）求∞→n lim n r 与∞→n lim n p 。
（3）利用（1）、（2）的结果，说明圆面积公式S=πR 2。
解：（1）n S =21n r •n p（2）分析：随着n 的增加，n p 在变化，但n p 始终表示正n 边形的周长，无论n 取多大的整数，n p 都是圆周长的近似值。
从这些近似值的精确度的无限增加中，探索无穷数列{}n p 的变化趋势（∞→n lim n p ），从而得出圆周长的精确值2πR 。
一旦得出2πR ，量变就引起了质变。
2πR 不再是正多边形的周长了，而是圆周长的精确值了。
通过分析，深化对极限概念的认识。
∞→n lim n r =R ，∞→n lim n p =2πR 。
(3)S=∞→n lim n S =)21(lim n n n p r ∞→=n n r ∞→lim 21·n n p ∞→lim =21R ·2πR=πR 2点拨： 点拨：n r 、n p 、n S 也可用n 、R 表示：nR r n πcos =，,sin2nR p n ππ=,2sin 212nnR S n π=提问：R R p n n n n πππ2)sin 2(lim lim ==∞→∞→，•∞→n n lim 002sinlim =⋅∞⋅=∞→R nn π错在何处？为什麽错了？虽然n n p ∞→lim 是存在的，如何计算，以后学了某一重要极限后就会做了。
