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极限的四则运算

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极限的四则运算(数列极限、函数极限)

极限的四则运算(数列极限、函数极限)


a
k
，lim（C n

an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1

x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）

3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2

3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn

3 5
[ 1
1
2

5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an

bn
)

185（3an

2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)

求极限的四则运算法则

求极限的四则运算法则

求极限的四则运算法则
1 极限的四则运算
极限的四则运算是数学中一个重要的概念，也是分析数学的核心
内容之一。

在极限的四则运算中，有很多的规则，它们是数学计算的
基础，能够帮助我们理解与解决有关数学问题的答案。

2 极限的四则运算法则
1.加法定义和原则：极限加法定义了两个极限相加，要求其结果
具有相同的极限值。

2.减法定义和原则：极限减法定义了两个极限相减，其结果等于
以极限值来减去另一个极限值。

3.乘法定义和原则：两个极限相乘，它们的结果是其乘积的极限值。

4.除法定义和原则：两个极限相除，它们的结果是其商的极限值。

3 极限的四则运算的应用
极限的四则运算能够用在更多的应用场合，比如说，它可以帮助
我们估算不可知的函数式极限值。

此外，极限的四则运算还可用于估
算有限函数极限值，以及定义数量级大小等等。

4 总结
综上所述，极限的四则运算是数学中一个重要的概念，它提供了加减乘除四种极限运算的规则，能够帮助我们估算不可知的函数式极限值及有限函数极限值，起到重要的作用。

极限四则运算

极限四则运算

函数极限的四则运算： 如果
lim
x x0
f ( x) a
lim g ( x ) b 那么
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim
x x0
x x0
f ( x) a ( b 0) g ( x) b
0 lk l l 1 a0n a1n al a0 l k lim k 1 b0 b n b n b n 0 k 1 k 不存在 l k

练习：P88 1，2
例3:求下列极限
P90
1， 2
1 2 3 n 1/2 lim n 4 7 3n 1 ] lim [ n ( n 1) n ( n 1) n ( n 1)
n 2
n
3/2
1/3
1 1 1 ] lim [ 1 4 4 7 ( 3n 2)( 3n 1)
n
x ax 3 例4： 已知 lim b， 求常数a , b的值 x 1
2 x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距，
2 2 3 3 4
下去， 试求点P的极限位置。
作业：练习：P91
P4 P5
O
4a 2a , 5 5
P1 x
；/ 清货公司 ；
去?怎么才能去雨帝部落?" 夜妖娆虽然依旧静静の坐着,但是内心却是早已飞到数万里外の雨帝部落.这地方她是一刻也不想待下去了. "吱呀！" 石门打开了,走进来一些妖yaw女子,蛇一样の娇躯随着行走不断の扭

2.4 极限的运算法则

2.4 极限的运算法则
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10
极限的运算法则
练习
x5 1 lim 7 x2 x 1 x3 x3 2 lim lim x3 x 2 9 x 3 x 3 x 3
高 等 数 直接代入法 学 经 1 济 6 消零因子法 类
8 x 3 8 x 3
x x
(2) lim[ f ( x ) g( x )] A B ;
f ( x) A (3) lim , 其中B 0. x g( x ) B
高 等 数 学 经 济 类
上一页 下一页 主页
2
极限的运算法则
推论1
如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则 lim[cf ( x )] c lim f ( x ).
3 xlim 1
8 x 3 lim x 1 x 1

8 x 3
x 1
x 1


11

lim
x 1 8 x 3
x 1

1 6
上一页 下一页 主页
极限的运算法则
高 3x x 1 等 例6 求 lim 2 . ( 型) x 2 x 4 x 3 数 学 解 x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .经 济 2 先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.类
则 lim( x 2 ax b ) 1 a b 0.
x 1
x ＋ax b ( x 1 a )( x 1) 于是 lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
2
Байду номын сангаас经 济 类
x 1 a 2 a lim 2. x 1 x3 4 故a 6, b 7.

极限四则运算法则

极限四则运算法则
CREATE TOGETHER
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用


无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值

极限四则运算的证明

极限四则运算的证明

极限四则运算的证明极限四则运算的证明是基于极限的定义和四则运算的性质来证明的。

对于任意给定的两个数列a_n和b_n，我们可以定义它们的和、差、积和商：1.和：(a_n + b_n) = lim(n→∞)(a_n + b_n)2.差：(a_n - b_n) = lim(n→∞)(a_n - b_n)3.积：(a_n * b_n) = lim(n→∞)(a_n * b_n)4.商：(a_n / b_n) = lim(n→∞)(a_n / b_n)这里用到的是极限的定义，即当n趋近于无穷大时，a_n和b_n 的极限存在且唯一。

同时，我们还需要用到四则运算的性质，即加、减、乘、除四种运算都是有交换律、结合律和分配律的。

对于任意的a、b、c、d四个数，我们可以将它们分别表示为两个数列a_n和b_n的极限：a = lim(n→∞)a_nb = lim(n→∞)b_nc = lim(n→∞)c_nd = lim(n→∞)d_n那么，根据四则运算的性质，我们有：1.a + b = lim(n→∞)(a_n + b_n) = lim(n→∞)a_n + lim(n →∞)b_n = a + b2.a - b = lim(n→∞)(a_n - b_n) = lim(n→∞)a_n - lim(n →∞)b_n = a - b3.ab = lim(n→∞)(a_n * b_n) = lim(n→∞)a_n * lim(n→∞)b_n = ab4.a/b = lim(n→∞)(a_n / b_n) = lim(n→∞)a_n / lim(n→∞)b_n = a/b (假设b不等于0)这个证明过程比较简单，但是它为后续的极限运算提供了重要的基础。

同时，这个证明也揭示了极限和四则运算之间密切的关系，为我们深入理解数学的基本原理提供了帮助。

极限的四则运算.

极限的四则运算.

解
lim
x2
3x2 4x 2
lim3x2 lim4x lim2
x2
x2
x2
f x, 3lim x 4lim x 2 12 8 2 6
x2
x2
当函数 f x 是一个分式，分母的极限不为零，则可用极限的除法法则
进行计算
例
求
lim
x 1 x 1
lim
x
x 1
x 1 x 1
x 1
lim
2
x x 1 x 1
0
谢谢！
பைடு நூலகம்
极限的四则运算法则
主讲教师：冯静
设 lim f x A,lim g x B (自变量 在同一变化趋势下)，
根据极限的定义，可以证明如下法则的极限运算法则
法则1 两个具有极限的函数代数和的极限，等于这两个函数极限的代 数和，即
lim f x g x lim f x lim g x A B
法则2 两个具有极限的函数积的极限等于这两个函数极限的积，即
特别地，若 f x g x,则 lim f x g x lim f x2 A2
推广，lim f xn lim f xn 若 g x c, 则 lim f x g x limCf x limC lim f x C lim f x CA
冯静法则1两个具有极限的函数代数和的极限等于这两个函数极限的代法则2两个具有极限的函数积的极限等于这两个函数极限的积即自变量在同一变化趋势下根据极限的定义可以证明如下法则的极限运算法则limlimlim法则3两个具有极限的函数商的极限当分母的极限不为零时等于这两个函数极限的商即特别地若limlimlimlimlimlimlimlimlimlimlim第一极限的四则运算法则是以两个函数的极限都存在为前提的

等式两边求极限 四则运算法则

等式两边求极限 四则运算法则

等式两边求极限四则运算法则一、加法法则在等式两边求极限时，可以使用加法法则。

加法法则指出，如果等式两边的极限都存在，那么它们的和的极限等于各自极限的和。

具体而言，设函数f(x)和g(x)在某点a附近有定义，且极限lim(x->a)f(x)和lim(x->a)g(x)存在，则有lim(x->a)[f(x)+g(x)] = lim(x->a)f(x) + lim(x->a)g(x)。

例如，我们要求lim(x->0)(x+1)，可以先求出x->0时x的极限为0，再求出x->0时1的极限为1，因此根据加法法则，可以得到lim(x->0)(x+1) = lim(x->0)x + lim(x->0)1 = 0 + 1 = 1。

二、减法法则减法法则与加法法则类似，只是将加法运算改为减法运算。

减法法则指出，如果等式两边的极限都存在，那么它们的差的极限等于各自极限的差。

具体而言，设函数f(x)和g(x)在某点a附近有定义，且极限lim(x->a)f(x)和lim(x->a)g(x)存在，则有lim(x->a)[f(x)-g(x)] = lim(x->a)f(x) - lim(x->a)g(x)。

例如，我们要求lim(x->0)(x-1)，可以先求出x->0时x的极限为0，再求出x->0时1的极限为1，因此根据减法法则，可以得到lim(x->0)(x-1) = lim(x->0)x - lim(x->0)1 = 0 - 1 = -1。

三、乘法法则乘法法则是等式两边求极限中常用的法则之一。

乘法法则指出，如果等式两边的极限都存在，那么它们的乘积的极限等于各自极限的乘积。

具体而言，设函数f(x)和g(x)在某点a附近有定义，且极限lim(x->a)f(x)和lim(x->a)g(x)存在，则有lim(x->a)[f(x)*g(x)] = lim(x->a)f(x) * lim(x->a)g(x)。

第六节极限四则运算法则

第六节极限四则运算法则
第六节 极限的运算法则
极限的四则运算法则
复合函数的极限运算法则
由于根据极限的定义, 只能验证某个常数 A 是否为某个函 数ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的 计算问题, 下面介绍极限的运算法则.
一、 极限的四则运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
(1)=
lim
n
1

(1
1 (1)2n 1) …
(1

1)

2.
x
1时,f
(x)
(1
1 x2n
x ) lim n
1
x 2 n1
1
x
x
1时,f ( x) (1
x ) lim n
1
x2n 1
x2n
1 x

x1 x
所以
1 x
f
(
mn
m n, mn
分子, 分母同时除以自变量的最高次幂, 然后再求极限.
例5
已知
lim
x
x
x1997 ( x 1)
,
求常数 , .
解
lim
x
x
x1997 ( x 1)

lim
x
x 1

x1997
( 1)
x 2

... 1
解 lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3x lim 5

极限的四则运算

极限的四则运算

极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。

性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。

保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。

若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。

和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。

其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。

利用四则运算法则求极限

利用四则运算法则求极限

利用四则运算法则求极限
极限的四种算法可以分为两部分:数列极限的四种算法和函数极限的四种算法。

数列极限和函数极限的四种算法都包含了加减乘除四种算法，本文对此进行了说明。

若数列{a}和数列{b}都是收敛数列，则数列{a+b}、{a-b}、{a*b}都是收敛的数列，并且满足运算法则：
数列极限的除法法则：若b不等于0，且极限b不等于0，则{a/b}也是收敛数列，且(a/b)=[a]/[b]。

若函数极限f(x)=A，g(x)=B，那么有函数的四则运算法则：
函数极限的加法法则：[f(x)+g(x)]=f(x)+g(x)=A+B；
函数极限的减法法则：[f(x)-g(x)]=f(x)-g(x)=A-B；
函数极限的乘法法则：[f(x)*g(x)]=f(x)*g(x)=A*B；
函数极限的除法法则：若有函数极限g(x)=B不等于0，
则有[f(x)/g(x)]=f(x)/g(x)=A/B。

极限四则运算

极限四则运算

实。像这样喝一杯咖啡，还有令你感到满足的指甲美容，令你身体放松的推拿，适当地去享受它，都可以为你的生活增添欢乐。 所以，在你的预算中要有"享乐开支"，即使它可能只是偶尔，即使你正在实行你的"节俭预算"，它是让你的生活保持平衡一个砝码。如果没有任何的娱乐，
你会有贫穷感，你只会嫉妒他人，会只注意到你经济上的窘迫。这会影响你的乐观向上的心态。适当的享乐开支会使你保持赚钱的进取心。 ? 想象人生 ? 一个23岁的女孩子，除了有着丰富的想象力之外，与别人相比没有什么不同，平常的父母，平常的相貌，上的也是平常的大学。
xx0 g ( x) b
lim C f ( x) C a
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
例1： 求赞成你报复这破公司，一定要给它点颜色看看。不过你现在离开，还不是最好的时机。” A问：“为什么？” B说：“如果你现在走，公司的损失并不大。你应该趁着在公司的机会，拼命去为自己拉一些客户，成为公司独当一面的人物，然后带着这
些客户突然离开公司，公司才会受到重大损失，非常被动。” A觉得B说的非常在理，于是努力工作。事遂所愿，半年多的努力工作后，他有了许多忠实的客户。 再见面时B问A：“现在是时机了，要赶快行动哦！” ?A淡然笑道：“老总跟我长谈过，准备升我做总经理助理，我暂时没
的乐曲吸引了他。不远处，一位双目失明的老人正把弄着一件磨得发亮的乐器，向着寥落的人流动情地弹奏着。还有一点引人注目的是，盲人的怀中挂着一面镜子！ 年轻人好奇地上前，趁盲人一曲弹奏完毕时问道：“对不起，打扰了，请问这镜子是你的吗？” “是的，我的乐器和镜

极限四则运算

极限四则运算
极限的 四则运算
引入 1、当 x
∞时， 函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f ( x) a
x
x
x
x x 2 、 当
0 时，函数f(x)的极限
lim f (x) lim f (x) a lim f (x) a
x x0
1、lim x1
2x2 x3
x 2x2
1 1
２、lim x1
x 11 x2
3、lim x
2x2 x2
3x 1
４、lim x
tan 2 x

tan(
4

x)
4
5、lim x( x2 1 x2 1) 6、lim (1 1 )100
x
x
x x0
x x0
函数极限的四则运算：
如果 lim f ( x) a lim g( x) b 那么
x x0
x x0
lim [ f ( x) g( x)] a b x x0
lim [ f ( x) g ( x)] a b
lim xx0 f ( x) a (b 0)
xx0 g ( x) b
lim C f ( x) C a
x x0
lim [ f ( x)]n [lim f ( x)]n (n N )
x x0
x x0
注：1、上述法则可推广到有限个函数的加，减，乘，除。
2、上述法则对 x 的情况仍然成立。
例1： 求下列函数的极限。
例2：求下列极限
lim 1 2
n
( n2
) n
lim 2n2 n

函数极限的四则运算法则证明过程

函数极限的四则运算法则证明过程

函数极限的四则运算法则证明过程函数极限的四则运算法则是指在计算函数极限时，如果两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，并且满足一定的运算规则。

下面我们来逐步证明四则运算法则的正确性。

1. 和的极限法则证明：设函数序列{f_n(x)}和{g_n(x)}分别收敛于函数f(x)和g(x)，即lim{n→∞}f_n(x) = f(x)和lim{n→∞}g_n(x) = g(x)。

我们要证明lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) +g(x)。

根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在N1和N2，当n>N1时有|f_n(x) - f(x)| < ε/2，当n>N2时有|g_n(x) - g(x)| < ε/2。

取N = max{N1, N2}，则当n>N时有|f_n(x) + g_n(x) - (f(x) + g(x))| = |(f_n(x) -f(x)) + (g_n(x) - g(x))| ≤ |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < ε/2 + ε/2 = ε。

因此，lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) + g(x)。

2. 差的极限法则证明：类似地，我们可以证明lim{n→∞}(f_n(x) - g_n(x)) = f(x) - g(x)。

3. 积的极限法则证明：要证明lim{n→∞}(f_n(x) * g_n(x)) = f(x) * g(x)，我们可以利用极限的乘法法则进行证明。

具体证明步骤略。

4. 商的极限法则证明：对于lim{n→∞}(f_n(x) / g_n(x)) = f(x) / g(x)，我们需要额外假设g(x) ≠ 0，以避免出现除以零的情况。

具体证明步骤略。

综上所述，通过以上证明过程，我们可以得出函数极限的四则运算法则的正确性。

在实际计算函数极限时，可以根据这些法则简化计算过程，提高计算的效率。

极限的运算法则

极限的运算法则

( lim x )2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
3
商的极限等 于极限的商
3 2 x 1 1 7 x2 . lim 2 2 3 3 x2 x 3 x 5 lim ( x 3 x 5)
lim [ f ( x ) g( x )] A B
lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
以上运算法则对有限个函数成立. 于是有
x x0
lim [ f ( x )]n [ lim f ( x )]n
x x0
—— 幂的极限等于极限的幂
lim f ( x ) g ( x ) 是否一定不存在？
一定不存在.（可用反证法证明） 答：
n 1 2 3 2. lim 2 2 2 2 ? n n n n n
n ( n 1) 1 1 1 解 原式 lim lim ( 1 ) . 2 n 2n n 2 n 2
例5 分析 解
12 1 求 lim 3 . x 2 x 2 x 8
( 型 )
型，先通分，再用极限法则.
22 x (x 22 xx 8 4 ) 12 0 ( ) 原式 lim lim 3 0 2 2 x3 x x x8 8
2 x3 3 x2 5 例4 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
分析
( 型)
x 时,分子,分母都 趋于 无穷.
可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限. 3 5 2 3 3 2 2x 3x 5 x x “ 抓大头” 解 lim lim 4 1 x x 7 x 3 4 x 2 1 7 3 x x 3 5 lim ( 2 3 ) 2 x x x . 4 1 lim (7 3 ) 7 x x x

极限运算的四则法则

极限运算的四则法则

极限运算的四则法则极限运算是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点附近的行为。

而四则法则是指在进行极限运算时，可以按照加法、减法、乘法和除法的规则进行计算。

本文将围绕极限运算的四则法则展开，详细介绍其定义和应用。

一、加法法则加法法则指出，在计算函数极限时，如果两个函数的极限都存在，那么它们的和的极限等于两个函数的极限之和。

换句话说，如果函数f(x)和g(x)在x=a处的极限分别为L和M，那么它们的和在x=a 处的极限为L+M。

例如，考虑函数f(x)=3x+2和g(x)=2x-1，在x=1处的极限分别为5和1，则根据加法法则，它们的和函数h(x)=f(x)+g(x)=5x+1在x=1处的极限为6。

二、减法法则减法法则是加法法则的逆运算，它指出，在计算函数极限时，如果两个函数的极限都存在，那么它们的差的极限等于两个函数的极限之差。

换句话说，如果函数f(x)和g(x)在x=a处的极限分别为L和M，那么它们的差在x=a处的极限为L-M。

举个例子，考虑函数f(x)=3x+2和g(x)=2x-1，在x=1处的极限分别为5和1，则根据减法法则，它们的差函数h(x)=f(x)-g(x)=x+3在x=1处的极限为2。

三、乘法法则乘法法则指出，在计算函数极限时，如果两个函数的极限都存在，那么它们的积的极限等于两个函数的极限之积。

换句话说，如果函数f(x)和g(x)在x=a处的极限分别为L和M，那么它们的积在x=a 处的极限为L*M。

举个例子，考虑函数f(x)=3x+2和g(x)=2x-1，在x=1处的极限分别为5和1，则根据乘法法则，它们的积函数h(x)=f(x)*g(x)=(3x+2)*(2x-1)在x=1处的极限为6。

四、除法法则除法法则是乘法法则的逆运算，它指出，在计算函数极限时，如果两个函数的极限都存在且除数的极限不为零，那么它们的商的极限等于两个函数的极限之商。

换句话说，如果函数f(x)和g(x)在x=a 处的极限分别为L和M，且M不等于0，那么它们的商在x=a处的极限为L/M。

极限的运算和两个重要极限

极限的运算和两个重要极限

3 x 2x 例5 求 lim( ) . x 2 x
解
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) e2 . x x2 x2
小结
1.两个准则
迫敛准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小,
sin 0 1 lim 1; 某过程
1 令t , x
x 0
1t lim(1 x ) lim(1 ) e. x 0 t t
1 x
1 x
lim(1 x ) e
模式
1

1 x 例4 求 lim(1 ) . x x
解
1 1 x 1 原式 lim[(1 ) ] lim x x 1 x x (1 ) x 1 . e
2
0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 ( 型 ) . 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
x1 1 . lim x 的四则运算
二、两个重要极限 三、无穷小量的比较
说明：记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程， 实际上，下面的定理对x→X0及x→∞都成立。我们 只证明x→X0的情形。
一、极限的四则运算
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
( x a) lim 3 2 3 x a x ax 3 a 2
3 2
令u x a
lim 3 u 2
u 0 3
3 a
2
0．
小结
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极限的四则运算（1）【目的要求】1. 掌握涵数极限四则运算法则的前提条件及涵数极限四则运算法则。

2. 会用极限四则运算法则求较复杂涵数的极限。

【教学过程】1. 提问入手，导入新课对简单涵数，我们可以根据它的图象或通过分析涵数值的变化趋势直接写出它们的极限。

如 1lim→x x21=21, limx=1.对于复杂一点的涵数, 如何求极限呢? 例如计算 1lim →x (x+x 21)1lim →x (x+x 21)即1lim→x x x 2122+，显然通过画图或分析涵数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的。

因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂涵数的极限问题转化为求简单涵数的极限。

板书课题：极限的四则运算。

2．特殊探路，发现规律 考察1lim→x x x 2122+，完成下表：根据计算（用计算器）和极限概念，得出1lim →x x x 2122+=23，与1lim →x x21=21、11lim →=x x 对此发现： 1lim→x x x 2122+=1lim →x （X+X 21）=1lim →x x +1lim→x x21=1+21=23.由此得出一般结论：涵数极限的四则运算法则： 如果0lim x x →f(x)=a, 0lim xx →g(x)=b, 那麽lim xx →[ f(x)+g(x)]=a +b 0lim xx →[f(X)•g(X)]=a b •][)()(0lim X g x f xx →=ba (b )0≠ 特别的 （1）0lim x x →[C )(X f •]=C •0lim xx →f(X) (C 为常数)（2）0lim x x →[f(X)]n =[0lim x x →f(X)]n (n ∈N *)（3）这些法则对X ∞→的情况仍然成立（4）两个常用极限0lim x x n x →=X n0, ∞→x limnx1=0 (n ∈N *)3．应用举例， 熟悉法则 例1 求1lim→x 12122232-+++x x x x问：已知涵数中含有哪些简单涵数？它是经过怎样的运算结合而成的？是否适用法则？适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写出解答过程。

解：1lim→x 1212232-+++x x x x =12312)12lim()12lim(→→-+++x x x x x x =1121311211lim 2lim 1lim lim 2lim →→→→→→-+++x x x x x x ximx l x x =11211112232-⨯+++⨯=2 （1）讲解时注意提问每一步的依据，做到“言必有据”，培养严谨的思维。

（2）书写时，由于极限符号“lim”有运算意义，因此在未求出极限值时，丢掉符号是错误的。

点评：例1说明，求某些涵数（到底是哪些涵数，学了2。

6节就知道了。

激发学生学习积极性，为讲连续涵数埋下伏笔）在某一点x=x 0处的极限值时，只要把x=x 0代入涵数解析式中就可得到极限值，此种求极限值的方法不妨叫代入法。

巩固练习：求1lim→x 12122---x x x问：本题还能用代入法求其极限值吗？为什么？引导分析：如果把x=1直接代入12122---x x x 中，那磨分子、分母都为零。

虽然分子分母的极限都存在，但不适合用商的法则（为什么？），不能简单用代入法求这个极限。

根据极限概念和思想，所求极限只取决于点x=1处附近的点（即可认为x ≠1），故可把分子、分母分解因式后约去公因式x-1，从而转化为可用代入法求极限的情形。

通过本例，不仅对法则的适用条件加深了理解，而且进一步深化了对极限概念和思想本质的认识。

解：原式=1lim→x )12)(1()1)(1(+-+-x x x x =1lim→x 121++x x =11)12()1lim(→→++x x x im l x =11111lim 2lim 1lim lim →→→→++x x x x x x =11211+⨯+=32点评：函数在某一点的极限，考察的是函数值的变化趋势，与函数在这一点是否有定义、是否等于在这一点的函数值无关，故本例可约去公因式x-1。

巩固练习：教科书第88页练习第2题。

4．回顾总结（1）函数极限四则运算法则。

（2）一般的，中学阶段接触的函数，若要求其在某一点处的极限值，通常可直接用代入法，或者是先变形（主要是约去公因式），转化为可用代入法求极限的情形。

5．达标检测思考题：已只3lim→x 3222--++/x x b ax x =5，求常数a 、b 的值。

答案：a=14， b=-51极限的四则运算（2）【目的要求】1. 了解由一般到特殊这种演绎思想2. 会分析已知数列是由哪些简单数列经过怎样的运算结合而成的。

3.掌握数列极限的运算法则，会求数列极限。

【教学过程】1. 复习引入，演绎结论提问：（1）函数极限的四则运算法则（2）数列是一种特殊的函数（自变量为n ，函数值为n a ）,引入数列的极限是函数极限的特例。

数列极限的运算法则也是函数极限四则运算法则的特例。

得出数列极限的四则运算法则： 如果∞→n lim n a =a,∞→n lim n b =b.,那麽∞→n lim （na +_n b ）=a +_b∞→n lim (n a •n b )=a •b ,特别地 ，∞→n lim （C •n a ）=C •∞→n lim (C 为常数)∞→n limn n b a =ba（b ≠0） 说明（1）法则的前提条件是∞→n lim n a 、∞→n lim n b 都存在（如果是商的运算，∞→n lim n b =b ≠0）（2）法则可推广到有限多个情形 （3）几个常用极限：∞→n lim C=C ,∞→n limn1=0 ,∞→n lim n q =0 (q <1)2. 法则应用 ，掌握规律 例3 求下列极限 （1） ∞→n lim （21n +n2）； （2）∞→n limn n 23- ； （3）∞→n lim 23222++n nn ； （4） ∞→n lim 24323nn n n -+分析：（1）数列由哪几个数列组成？经过怎样的运算而成？能否直接用法则？为什麽可直接用？用哪个法则？（2）本题不能直接用法则，应该如何变形？变形的目的是什么？ （3）本题不能直接套用法则，如何转化才能出现极限？与（2）的式子变形有何不同？用了哪几个法则？可得出什么结论？ （4）本题与（1）（2）（3）有何不同？分子分母同除3n 行吗？可得到一个什么结论？ 解：（见教科书）总结：（1）当分子分母是关于n 的次数相同的多项式时，这个分式在∞→n 时的极限值是分子、分母中最高次项 的系数之比。

（2）当分子、分母都是关于n 的多项式，.这个分式在∞→n 时的极限是0。

想一想：将例3中每题里的n 换成x.,问题就成为求∞→x （包含∞+-）时，函数的极限 。

这样改换后，解法与答案有变化吗？3.变式训练，培养能力变式训练1：求下列极限：（1）∞→x lim12)2)(1(2++--x x x x 。

（答案：21） （2）∞→x lim 17612332++--x x x x （答案：0）课堂练习：教科书第90页第1题、第2（1）、（3）、（5）、（7）题。

要求：详细写出解答过程，对（5）、（7）题可提问：是否一定要把多项式展开？对比展开与不展开的结果。

口答第2（2）、（4）、（6）、（8）题。

变式训练2：已知∞→n lim 22531n n an -++=25，求常数a 的值 分析：题中a 在一个式子中,如何求出他的值？(只要得到一个含a 的方程就可以求出)如何得到这个方程呢？（先求极限）如何求极限呢？分子分母同除2n ，即可用法则求出来）解：∞→n lim 22531nn an -++=∞→n lim 531122-++n n n a =)53(lim )11(lim 22-++∞→∞→nn n a n n =5lim 3lim 1lim 1lim lim 22∞→∞→∞→∞→∞→+++n n n n n n n n a =5000-++a =-5a由-5a =25， 得a=-225 点评：本题既培养了学生方程的思想、转化的思想，有培养了逆向思维能力，培养了变形能力，巩固了法则的应用。

4.回顾总结（1）数列极限四则运算法则，法则成立的条件，运算过程（防止结果对，推理过程错）要掌握好，确保运算结果正确。

（2）当分子分母都是关于n 的多项式时，分子、分母同除分子、分母中关于n 的最高次幂，再用法则求极限。

5.达标检测（1）已知)23(lim 2bn n an n -++∞→=1，求常数a 、b 的值 （2）求nn n n n 3232lim 11-+++∞→ （3）求nn n n n a a 55lim +-∞→（a>0）。

（4）若)6(lim n n n b a -∞→=7，)43(lim n n n b a -∞→ =-1，求)3(lim n n n b a +∞→的值。

答案：（1）a=b=21. (2) -3(3)0<a<5时，-1；a=5时, 0; a.>5时,1. (4) 2极限的四则运算（3）【目的要求】进一步熟练掌握极限的四则运算法则，理解法则的简单应用，通过有限项的和与无限项的和之间的辩证关系，加深对极限概念的理解。

【教学回顾】 1.复习回顾（1）极限概念是通过什麽引入例字的？ （2）极限概念及思想的要点是什么？ 2.问题解决例 在半经为R 的圆内接正n 边形中，n r 是边心距，n p 是周长，n S 是面积（n =3，4，5，…）（1）n S 与n r 、n p 有什麽关系？ （2）求∞→n lim n r 与∞→n lim n p 。

（3）利用（1）、（2）的结果，说明圆面积公式S=πR 2。

解：（1）n S =21n r •n p（2）分析：随着n 的增加，n p 在变化，但n p 始终表示正n 边形的周长，无论n 取多大的整数，n p 都是圆周长的近似值。

从这些近似值的精确度的无限增加中，探索无穷数列{}n p 的变化趋势（∞→n lim n p ），从而得出圆周长的精确值2πR 。

一旦得出2πR ，量变就引起了质变。

2πR 不再是正多边形的周长了，而是圆周长的精确值了。

通过分析，深化对极限概念的认识。

∞→n lim n r =R ，∞→n lim n p =2πR 。

(3)S=∞→n lim n S =)21(lim n n n p r ∞→=n n r ∞→lim 21·n n p ∞→lim =21R ·2πR=πR 2点拨： 点拨：n r 、n p 、n S 也可用n 、R 表示：nR r n πcos =，,sin2nR p n ππ=,2sin 212nnR S n π=提问：R R p n n n n πππ2)sin 2(lim lim ==∞→∞→，•∞→n n lim 002sinlim =⋅∞⋅=∞→R nn π错在何处？为什麽错了？虽然n n p ∞→lim 是存在的，如何计算，以后学了某一重要极限后就会做了。