极限的四则运算(1)

2.5极限的四则运算(1)教学目的：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a ,那么就说数列}{n a 以a 为极限．记作lim n n a a →∞=．2.几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{nq （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞→q q nn3.函数极限的定义:(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .即lim ,x C C →∞=∞→x lim f (x )存在，表示+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义5. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→6. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限二、讲解新课：1. 对于函数极限有如下的运算法则：如果B x g A x f oox x x x ==→→)(lim ,)(lim ，那么B A x g x f ox x +=+→)]()([lim ;B A x g x f ox x ⋅=⋅→)]()([lim ; )0()()(lim≠=→B BAx g x f ox x 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时:)(lim )]([lim x f C x Cf oox x x x →→=,n x x n x x x f x f oo)](lim [)]([lim →→=这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.*lim (),ok ko x x x x k N →=∈ *1lim0()k x k N x→∞=∈ 三、讲解范例： 例1 求)3(lim 22x x x +→解：22222lim(3)lim lim34610x x x x x x x →→→+=+=+=例2 求1212lim 2321-+++→x x x x x .解：1lim 2lim lim 1lim lim 2lim )12(lim )12(lim 1212lim121311121231212321→→→→→→→→→-+++=-+++=-+++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 211211112232=-⨯+++⨯= 这个题目可以把x =1代入函数的解析式1212232-+++x x x x 中，就可以了.所以求某些函数在某一点x =x 0处的极限值时，只要把x =x 0代入函数的解析式中，就得到极限值.这种方法叫代入法.例2 求121lim 221---→x x x x .分析：这个题目如果用代入法做，则分子、分母都为0，所以不能求解.将分子分母因式分解，共有x －1这个因子.因为x 无限趋近于1，不包含x =1即x ≠1，所以可约去公因式，化简再求极限.解：)12(lim )1(lim 121lim )12)(1()1)(1(lim 121lim 1111221++=++=+--+=---→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 3211211=+⋅+= 当用代入法时，分子、分母都为0，可对分子、分母因式分解，约去公因式来求极限.就是先要对原来的函数进行恒等变形.称因式分解法.例3 求112lim 231++-→x x x x解：32323211111111lim(21)lim 2lim lim1212lim 11lim(1)lim lim12x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→-+-+-+====+++例4 求416lim 24--→x x x分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即可求出函数的极限. 解：24444416(4)(4)limlim lim(4)lim lim 444844x x x x x x x x x x x x →→→→→--+==+=+=+=-- 例5 求133lim 22++-∞→x x x x分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算解：222222221313133lim(3)lim3lim lim 33lim lim 311111lim(1)lim1lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞-+-+-+-+====++++ 例6 求1342lim 232+--+∞→x x x x x分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了解：223232332333214214214lim()lim lim lim 24lim lim 111111313lim(3)lim3lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞+-+-+-+-====-+-+-+-+例7 求下列极限. (1))1)(12()2)(1(lim -+-+∞→x x x x n ; (2)12144lim 232+++-∞→x x x x n解： (1)2222112211lim 122lim )1)(12()2)(1(limxx x x x x x x x x x x x x x ----=----=-+-+∞→∞→∞→ 210020011lim 1lim 2lim 2lim 1lim1lim 22=----=----=∞→∞→∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x(2)3323322321lim 2lim 1lim 1lim 4lim 4lim 121144lim 12144lim x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+++-=+++-=+++-0001000=+++-=.四、课堂练习： 1.求下列极限: (1)1lim →x (3x 2－2x +1) (代入法.)解：1lim →x (3x 2－2x +1)=1lim →x 3x 2－1lim →x 2x +1lim →x 1=3×12－2×1+1=2.(2))6)(5()12)(3(lim1-+-+-→x x x x x . (代入法)解：)6)(5(lim )12)(3(lim )6)(5()12)(3(lim 111-+-+=-+-+-→-→-→x x x x x x x x x xx 143)61)(51()12)(31()6(lim )5(lim )12(lim )3(lim 1111=--+---+-=-+-+=-→-→-→-→x x x x x x x x(3)24lim 22--→x x x . (因式分解法.)解：4)2(lim 2)2)(2(lim 24lim2222=+=--+=--→→→x x x x x x x x x . (4)201213lim2+--∞→x x x x (分子、分母同除x 的最高次幂.)解：02012113lim 201213lim 222=+--=+--∞→∞→xx x x x x x x x (5)4228lim24---→x x x . (分子有理化.)解：)228)(4()22(8lim 4228lim222424+----=---→→x x x x x x x .=22284442284lim)228)(4()4)(4(lim22424=+-+=+-+=+---+→→x x x x x x x x五、小结 ：有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限 .求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x 的最高次幂；④分子有理化法. 六、课后作业：1.（1）)432(lim 31++-→x x x ;（2）35lim 222-+→x x x ;（3）12lim 21++→x x xx ;（4）)1413(lim 20+-+-→x x x x ;（5）13lim 2423++-→x x x x ;（6）245230233lim x x x x x x -++→; （7）42lim 22--→x x x ;（8）11lim 21-+-→x x x ;（9）623lim 2232--++-→x x x x x x ;（10）x m m x x 220)(lim -+→;（11）)112(lim 2xx x +-∞→ ;（12）1221lim 22-++∞→x x x x 答案：⑴-1 ⑵9 ⑶2/3 ⑷3/4 ⑸0 ⑹-1/2 ⑺1/4 ⑻-1/2 ⑼ -2/5 ⑽2m ⑾2 ⑿ 1/2 七、板书设计（略）八、课后记：。

极限的四则运算（1）【目的要求】1. 掌握涵数极限四则运算法则的前提条件及涵数极限四则运算法则。

2. 会用极限四则运算法则求较复杂涵数的极限。

【教学过程】1. 提问入手，导入新课对简单涵数，我们可以根据它的图象或通过分析涵数值的变化趋势直接写出它们的极限。

如 1lim→x x21=21, limx=1.对于复杂一点的涵数, 如何求极限呢? 例如计算 1lim →x (x+x 21)1lim →x (x+x 21)即1lim→x x x 2122+，显然通过画图或分析涵数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的。

因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂涵数的极限问题转化为求简单涵数的极限。

板书课题：极限的四则运算。

2．特殊探路，发现规律 考察1lim→x x x 2122+，完成下表：根据计算（用计算器）和极限概念，得出1lim →x x x 2122+=23，与1lim →x x21=21、11lim →=x x 对此发现： 1lim→x x x 2122+=1lim →x （X+X 21）=1lim →x x +1lim→x x21=1+21=23.由此得出一般结论：涵数极限的四则运算法则： 如果0lim x x →f(x)=a, 0lim xx →g(x)=b, 那麽lim xx →[ f(x)+g(x)]=a +b 0lim xx →[f(X)•g(X)]=a b •][)()(0lim X g x f xx →=ba (b )0≠ 特别的 （1）0lim x x →[C )(X f •]=C •0lim xx →f(X) (C 为常数)（2）0lim x x →[f(X)]n =[0lim x x →f(X)]n (n ∈N *)（3）这些法则对X ∞→的情况仍然成立（4）两个常用极限0lim x x n x →=X n0, ∞→x limnx1=0 (n ∈N *)3．应用举例， 熟悉法则 例1 求1lim→x 12122232-+++x x x x问：已知涵数中含有哪些简单涵数？它是经过怎样的运算结合而成的？是否适用法则？适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写出解答过程。

极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。

极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。

下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。

1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。