第五章能控性、能观性与传递函数

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控制系统的能控性和能观性课件

唯一的，因为我们关心的只是它能否将
驱动到
，而不计较
的轨迹如何。
2. 线性连续时变系统的能控性定义
线性连续时变系统:
3. 离散时间系统这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统:
3
3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型
3.1 能控性的定义 3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题 3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观
一地确定任意初始状态矢量
，则系统是完全能观的，现根据此定义推
导能观性条件。从式(1)，有:
(3)
若系统能观，那么在知道
时，应能确定
出
，
，现从式(7)可得：
写成矩阵形式:
16
(4) 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于。这个系数矩阵称为能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即
(5)
17
3.5 时变系统的能控性与能观性
3.5.1 能控性判别 1.有关线性时变系统能控性的几点说明 1)定义中的允许控制，在数学上要求其元在绝对平方可积的，即
区间是
这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。 2)定义中的，是系统在允许控制作用下，由初始状态目标状态(原点)的时刻。
转移到
3)根据能控性定义, 可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。 4)非奇异变换不改变系统的能控性。

线性控制系统的能控性与能观测性修改

6
几点说明：根据初始状态和终端状态的不同位置，可以分为：
1、系统的状态能控性：（常用）初始状态为状态空间任意非零有限点；终端状态为状态空间原点，即零态。
如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在[t0, t f ] 的有限时间内使得系统的某一初始状态 x(t0) 转移到零态 x(tf ) 0 ，则称系统是状态能控的。
x1 1 2 2 x1 2
Байду номын сангаас
x 2
0
1
1
x2
0
u
x3 1 0 1 x3 1
[解]：
2
1）构造能控性判别矩阵： B 0,
1
1 2 2 2 4
AB
0
1
1
0
1
1 0 1 1 1
1 2 2 4 0
A2B
0
1
1
1
0
1 0 1 1 5
x4
4 0
0 4
1
x1 1
x2
1
x3 0
0
4
x4
3
0 2 0 6
1
3 u 状态不完全能控
0 9
18
二、秩判据
对于线性连续定常系统：x Ax Bu 状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：
M [B AB A2B An1B] 满秩
即： rankM rank[B AB A2B An1B] n
x1 7 0 0 x1 2
1）
x 2
0
5
0
x2
5
u
x3 0 0 1 x3 7
状态完全能控
x1 7 0 0 x1 2
2）
x 2
0

能控性与能观性

c11 c12 c c22 21 y (t ) c m1 cm 2 c1n e1t x10 c2 n e2t x20 nt cmn e xn 0
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32

3-3 能控性、能观性与传递函数

B PO B
CO
y [1 0
C CPO 1
线性变换后
0 xO 2 xO 2
0 0 x O 1 u 0 x O 1 1
xO 0 ] xO
即：
s n y ( s ) a n 1 s n 1 y ( s ) a1 sy ( s ) a0 y ( s ) β0 u ( s ) y ( n ) a n 1 y ( n 1) a1 y a0 y β0 u
进行拉普拉斯反变换选择系统的状态变量
（51）
3.9
实现问题
在基于状态空间方法分析和设计控制系统时，要知道系统的状态空间表达式。然而在有的情况下，只知道系统的传递函数（矩阵），这时就要将给定的传递函数（矩阵）描述变成与之输入输出特性等价的状态空间表达式描述。这个问题称为系统实现问题。这里只讨论SISO系统的实现问题。
如果给定一个传递函数 g (s ) ，求得一个系统方程
（37）
y β0
a1
β1
β n 1 x du
3.7
能控性、能观性与传递函数的关系
x Ax B u y Cx
1
考察SISO线性定常系统（40）
其传递函数为
g ( s ) C [ sI A] b
C adj[ sI A] b det[ sI A]
x Ax B u y Cx

（52）（53）
或者
x Ax bu y Cx du
注：当传递函数分子的阶次小于分母的阶次时，有（52）式形式；当传递函数分子的阶次等于分母的阶次时，有（53）式形式。

传函与能控和能观性之间的关系

能控性；若在c(sI-A)-1和c(sI-A)-1b的计算均有零极点对消发生，即同时发生ห้องสมุดไป่ตู้输出
方程和状态方程中，则影响能观性和能控性；若零极点对消发生在预解矩阵 (sI-A)-1中， A的最小多项式阶次小于其特
征多项式阶次，表明约当标准型中等特征值对应多个约当块，可以证明，系统必是不能控、不能观的。
可见把单输入单输出系统两个串联子系统的位置次序互换，在传递函数发生零极点相消时，其能控性与能观性的结论也将互换。
能控、能观性和传递函数的关系
同一个系统的不同状态空间模型会带来能控性和能观性的差异
利用零极点对消判断单-单系统的能控性、能观性
W (s) c(sI A)1 b
若零极点对消发生在 c(sI-A)-1 的计算中，即发生在输出方程中，则影响能观性；若零极点对消发生在 c(sI-A)-1b的计算中，即发生在状态方程中，则影响
W (s) c(sI A)1 b
的分子分母无零极点对消。若W(s)出现零极点对消，辅以传递函数实现的具体结构，可
以判断不能控或不能观的具体情况。
中的零极点对消
若传递函数存在零极点对消,则传递函数的部分分式中缺少相应项.
例4.33 分析α=γ时系统的能控性与能观性。
U(s)
s s
X2(s)
1 s
Y(s) X1(s)
为串联关系
W ( s)
s 1 s s
W (s) 1 s
若α=γ，出现零极点对消。
系统状态结构图为
u
s 1 s s
-

x

2
∫
x2
-

x

课件-现代控制理论-刘豹第三版-第5章

能控性与能观性的判别方法
能观性判别方法
能控性判别方法
表示系统是否可以通过输入控制实现任意状态转移。若系统完全能控，则可以通过设计合适的控制器实现任意状态轨迹的跟踪或镇定；若部分能控或不能控，则存在状态无法被有效控制的风险。
能控性的物理意义
表示系统状态是否可以通过输出完全反映出来。若系统完全能观，则可以通过观测输出信号来准确估计系统状态；若部分能观或不能观，则存在状态无法被准确观测的风险，进而影响控制性能的实现。
控制系统稳定性分析是控制理论的核心内容之一，对于确保控制系统的正常运行具有重要意义。
章节内容结构
稳定性概念及定义
介绍稳定性的基本概念和定义，包括Lyapunov稳定性和BIBO稳定性等。
线性系统稳定性判据
详细阐述线性系统稳定性的判据，如Routh-Hurwitz判据、Nyquist判据和Bode图等。
图解法
状态转移矩阵的计算方法
1
2
3
状态转移矩阵反映了系统在时间间隔内从初始状态到最终状态的动态变化过程。
描述系统状态的动态变化过程
若系统稳定，则状态转移矩阵将逐渐趋于零，表示系统状态将逐渐趋于稳定。
反映系统稳定性
状态转移矩阵是进行系统分析和设计的重要工具，可用于研究系统的稳定性、能控性、能观性等性质。
非线性系统稳定性分析
介绍非线性系统稳定性分析方法，如相平面法、Lyapunov直接法等。
熟练掌握线性系统稳定性的判据和分析方法，能够应用所学知识分析和设计线性控制系统。
了解非线性系统稳定性分析方法的基本原理和应用范围，能够运用所学知识分析和设计简单的非线性控制系统。
掌握稳定性的基本概念和定义，理解不同稳定性定义之间的联系与区别。

能控性和能观性

状态能控性判据（三）
如果输入u(t)对状态X(t)的传递函数（阵）没有零极点对消，那么系统可控，否则系统不可控。
( sI − A ) −1 B
状态能控性判据例子5
状态能控性判据 MATLAB 实现
MATLAB中可以用ctrb(A,B)函数求系统的能控判别矩阵M，并用RANK（M）求M的秩。
A=[1 2 0;3 -1 1;0 2 0]; B=[2;1;1]; C=[0 0 1]; D=0; To1=obsv(A,C) [Ao1,Bo1,Co1,Do1]=ss2ss(A,B,C,D,To1)
Ex_2ObsvI.m
离散时间系统的可控性/可观性
（略，自学）
若系统（A,B）具有两两相异的特征值，则系统状态完全能控的充要条件为：系统经过线性变换成对角规范型后， + Bu ⎥ λn ⎥ ⎦
B 不包含元素全为0的行。
状态能控性判据例子3
⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 5 ⎥ u ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 7 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 4 0 ⎥ ⎡ u1 ⎤ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢u ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 7 5 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 0 ⎥ u ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 9 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(整理)控制系统的能控性和能观测性

第三章控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。

可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。

二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：x 2不能控y2则系统不能控，若2121,C C R R ==⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有：根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。

判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：⎰-+=ft f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ⎰⎰---=--=-ff t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 01)()()()()()()0(τττφφτττφφ⎰--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1)()(n k kk A A eτατφτ∑⎰⎰∑-=-=-=-=101)()()()()0(n k t k k t n k k k ff d u B A d Bu A x ττταττταkt k u d u f=⎰)()(ττταUQ u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k kk -=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=--=∑ 321121],,,[)0(能控性矩阵Q C =[B ，AB ，A 2B ，…A n-1B]满秩。

对于单输入系统，Q C =[b ，Ab ，A 2b ，…A n-1b] 如果系统是完全能控的，称（A 、B ）或（A 、b ）为能控对。

现代控制理论课后答案(俞立)第五章

《现代控制理论》第5章习题解答5.1 已知系统的状态空间模型为Cx y Bu Ax x =+=, ，画出加入状态反馈后的系统结构图，写出其状态空间表达式。

答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为：u Kx =−+v ()xA BK x Bv y Cx=−+=相应的闭环系统结构图为闭环系统结构图5.2画出状态反馈和输出反馈的结构图，并写出状态反馈和输出反馈的闭环系统状态空间模型。

答：具有状态反馈的闭环系统状态空间模型为u Kx =−+v ()xA BK x Bv y Cx=−+=相应的反馈控制系统结构图为具有输出反馈的闭环系统状态空间模型为u Fy =−+v ()x A BFC x Bv y Cx=−+=相应的反馈控制系统结构图为后案网 ww w.kh d5.3 状态反馈对系统的能控性和能观性有什么影响？输出反馈对系统能控性和能观性的影响如何？答：状态反馈不改变系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。

输出反馈不改变系统的能控性和能观性。

5.4 通过检验能控性矩阵是否满秩的方法证明定理5.1.1。

答：加入状态反馈后得到闭环系统K S ，其状态空间模型为()x A BK x Bv y Cx=−+=开环系统的能控性矩阵为0S 1[,][]n c A B BAB A B −Γ="闭环系统K S 的能控性矩阵为 1[(),][()()]n cK A BK B B A BK B A BK B −Γ−=−−"由于222()()()()(A BK B AB BKBA BKB A ABK BKA BKBK B)A B AB KB B KAB KBKB −=−−=−−+=−−−#以此类推，总可以写成的线性组合。

因此，存在一个适当非奇异的矩阵U ，使得()m A BK B −1,,,m m A B A B AB B −[(),][,]cK c A BK B A B U Γ−=Γ由此可得：若rank([,])c A B n Γ=，即有个线性无关的列向量，则n [(),]cK A BK B Γ−也有个线性无关的列向量，故n rank([(),])cK A BK B n Γ−=5.5 状态反馈和输出反馈各有什么优缺点。

传递函数存在零极点对消,系统能控能观

传递函数存在零极点对消，系统能控能观[中括号]：传递函数的零极点对消对系统的控制与观测性引言传递函数是描述连续时间线性时不变系统的数学工具，它能够帮助我们理解系统的特性以及系统的控制能力和观测性。

传递函数中的零点和极点对系统的控制和观测性起着关键作用。

本文将通过详细的步骤和分析，探讨传递函数中零极点对消的概念，以及如何实现系统的控制和观测能力。

一、传递函数的定义与实例传递函数是描述系统输入与输出关系的函数，它可以表示为H(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别是系统的分子部分和分母部分。

作为一个例子，我们考虑一个简单的一阶系统传递函数H(s)=1/(s+1)。

二、传递函数的零点和极点传递函数中的零点和极点是指使得传递函数取得零值和无穷值的输入信号。

对于上述的例子H(s)=1/(s+1)，传递函数的极点为s=-1。

极点的位置对系统的动态响应和稳定性具有重要影响。

三、传递函数的零极点对系统稳定性和控制性的影响传递函数的极点位置决定了系统的稳定性。

如果系统的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。

相反，如果系统的极点存在于右半平面，系统则是不稳定的。

对于例子H(s)=1/(s+1)来说，它的极点位于s=-1，因此系统是稳定的。

另一方面，传递函数的零点位置对系统的控制性能有着重要影响。

零点相当于系统对输入信号的特殊灵敏度，它们可以导致更好的系统响应和稳定性。

如果系统具有零点，那么对于某些输入信号，系统可以减小或者抵消输出信号。

对于例子H(s)=1/(s+1)来说，系统没有零点，因此无法通过零极点对消的方法来控制输出。

四、零极点对消的概念与实现零极点对消是一种通过调整传递函数中的参数，使得系统的零点和极点相互抵消，从而改变系统的特性和性能的方法。

这种方法可以用于增加或减小系统对某些输入信号的灵敏度，提高系统的控制性能。

具体实现零极点对消方法有很多种，这里我们以反馈控制为例进行说明。

反馈控制可以通过引入额外的控制信号和传递函数来改变系统的特性。

江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第5章

* * 第2步：由期望的闭环系统特征值 1* , 2 ,, n ，计算期
望的闭环系统特征多项式
* n 1 * 1 * * ( s) ( s i* ) s n an s a s a 1 1 0 i 0 n
第5章状态反馈
江苏大学电气学院
第3步：写出通过非奇异变换 x Px 将（A，b）化成能控
第5章状态反馈
江苏大学电气学院
系统经输出反馈后，其系统矩阵变成了 A -BFC ，此处 FC的相当于状态反馈中的K。可见，选择 F 也可以改变系
统矩阵的值使系统特征根位置发生改变。
虽然状态反馈和输出反馈都可改变系统矩阵，但两者是有区别的。状态变量包含了系统所有的运动信息，而系
统输出量是状态变量的线性组合。当输出矩阵 C 为单位矩
变成了一个单输入能控系统 ( A BK, bi ) 。利用这一结论，在随后的多输入系统状态反馈极点配置相关的结论证明中，可以方便地将多输入能控系统变成单输入系统来讨论，从而利用单输入系统的极点配置的相关结论。
第5章状态反馈
江苏大学电气学院
5.3 系统的极点配置
一. 极点配置的概念
由前面的讨论可知，状态反馈使原系统的系统矩阵由 A变成了A－BK，通过选择不同的反馈增益矩阵 K ，可改变系统的特征值。后面将看到，当系统完全能控且完全能观时，系统的特征值也就是闭环传递函数矩阵的极点。由经典控制理论可知，闭环系统传统意义上的一些主
1.状态反馈与输出反馈的概念 2.反馈对能控性和能观性的影响 3.系统与输出反馈的极点配置 4.状态反馈的解耦
第5章状态反馈
江苏大学电气学院
5.1 状态反馈与输出反馈的概念
经典控制理论以输出量作为反馈量，使系统得以稳定或使系统性能指标得到改善。在系统的状态空间描述中，

《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案(最完整版)

第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CC L L R L L R x x x 。

现代控制理论习题解答(第五章)

第五章状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。

(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。

)(t y题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：[]x y u x x10112101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=23111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=cc Urank U系统能控，可以设计状态反馈阵。

设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kxr u -=求希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求加入反馈后的系统特征多项式：)22()3()(1212k s k k sbK A sI s f ++-++=+-=依据极点配置的定义求反馈矩阵：]1316[131634)22(6)3(21112=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-K k k k k k方法二：[][][]1316)346(311110)(*10211=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--I A AA f U K c方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发）求系统传递函数写出能控标准型：2321)111()()(2++-=+-+=s sss s s U s Y[]xy u x x10103210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求状态反馈矩阵K ~：[][][]33236234~21=--==k k K[][][][]5.05.031111010111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--Ab b P⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=105.05.011A P P P[]1316~==P K K【解】：依据系统传递函数写出能控标准型sss s s s s U s Y 2310)2)(1(10)()(23++=++=[]xy u x x0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：464]1)1)[(2()(*232+++=+++=s s s s s s f求状态反馈矩阵：[][][]144342604321=---==k k k K 。

现代控制工程-第5章能控性和能观性分析

传递函数判据
如果系统的传递函数的极点和零点都位于复平面的左半部分，则该系统是能控的。
能控性的应用
系统设计和ห้องสมุดไป่ตู้化
在系统设计和优化过程中，能控性分析可以帮助确定系统的可控性和可观性，从而更好地选择和设计控制器和观测器。
控制性能评估
通过能控性分析，可以对系统的控制性能进行评估和比较，从而选择更优的控制方案。
现代控制工程-第5章能控性和能观性分析
目录
• 能控性分析 • 能观性分析 • 能控性和能观性的关系 • 系统设计中的能控性和能观性 • 现代控制工程其他章节概述
01
能控性分析
定义与概念
能控性定义
对于一个给定的线性时不变系统，如果存在一个状态反馈控制器，使得系统的任何初始状态都能通过该控制器在有限的时间内被控制到任意指定的状态，则称该系统是能控的。
快速性
系统应具有快速的响应能力，以便在短时间内达到设定值或消除外部扰动。
准确性
系统应具有高精度的输出，以满足各种控制要求和保证产品质量。
可靠性
系统应具有高的可靠性和稳定性，以确保长期稳定运行和减少故障率。
系统设计中的能控性和能观性考虑
能控性考虑
在系统设计中，需要考虑系统的能控性，即能否通过输入信号控制系统的输出状态。对于不能控制的系统，需要采取措施进行改进或重新设计。
描述
分解性是控制系统分析中的一个重要性质。在大型复杂系统中，如果系统具有分解性，那么我们可以将系统分解为若干个子系统，分别对子系统进行能控性和能观性分析，从
而简化系统分析和设计的难度。
04
系统设计中的能控性和能观性
系统设计的基本原则
稳定性

能控性能观测与传递函数的关系

第六节能控性、能观测性与传递函数的关系
Monday, October 12,
1
2020
用数学模型描述系统，通常有两种描述方法：外部描
述（使用传递函数阵）和内部描述（动态方程，状态空间描
述）。这两种描述是否等价呢？应该说，内部描述比外部描述
更深刻。Kalman指出：两种描述的等价是有条件的，不是绝对
y 1
1
x1 x2
u
其特征值为1，-5，所以A 阵可以转化为对角阵。
1 A 0
0 5,
e
At
et
P
0
0 e5t
P
1
状态方程的解为：x eAt x(0)
有项t，则随x着1(t)或x2 (t)，
t 0
e
A(t
)
Bu
(
)d
e At
e。t 中
，即在系统中间
存在、隐藏着不稳定的因素。
1 3 9 27
2 2 2
2
0 0 0 0
0 0 0
0
rank
P 2 Monday,
20c20
Oct4ob,e所 r 12以, 系统状态不完全可控。
6
可观测性矩阵：Po CT AT CT ( AT )2 CT ( AT )3CT
0 0 0 0 1 1 1 1
1 2 4 8 0 0 0 0
下面我们用内部描述来分析。选择状态变量如下图：
u(t)
5
x1
-
s 1
x1
+ y(t)
-
4
+
x2
s 1
x2
-
1
状态方程M2o0为n2d0ay：, Octxxob12er12,y5(ux2

传递函数的能控和能观测标准型实现方法

（８）
ｘ１＝ｑ
（９）
·
ｘ２＝ｑ
（１０）
，，ｎｏｎｉｃａｌｆｏｒｍｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｂｏｔｈｍｅｔｈｏｄｓｈａｖｅｂｅｅｎｄｅｓｃｒｉｂｅｄｉｎｄｅｔａｉｌｓｈｏｗｉｎｇｔｈｅｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅｏｆｔｈｅ
ｓｔａｔｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｉａｇｒａｍｍｅｔｈｏｄ．
：；；；ＫｅｙｗｏｒｄｓｓｔａｔｅｓｐａｃｅｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｃａｎｏｎｉｃａｌｆｏｒｍＭａｓｏｎｆｏｒｍｕｌａｓｔａｔｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｉａｇｒａｍ
ｓ＋ｂ０＋ａ０
其中
＝
ｂ３
＋
ｓ３
β２ｓ２＋＋ａ２ｓ２
β１ｓ＋ β０＋ａ１ｓ＋ａ０
（５）
β２＝ｂ２－ａ２ｂ３ β１＝ｂ１－ａ１ｂ３ β０＝ｂ０－ａ０ｂ３
１时域法
１．１能控标准Ⅰ型实现对式（５），引入中间变量ｑ，令
（）（）
Ｑｓ
＝
ｓ３
＋
ａ２ｓ２
１＋
ａ１ｓ
＋
Ｕａ０
ｓ
式（）变形为５
（６）
·· ·
（）ｙ＝ｂ３ｕ＋ β２ｑ＋ β１ｑ＋ β０ｑ式（）进行拉氏反变换得６
（７）
··· ·· ·
对式（），选择状态变量ｑ＋ａ２ｑ＋ａ１ｑ＋ａ０ｑ＝ｕ８
－１ｓｎ１ｓｎ－
－１
１＋＋
＋ｂ１ｓ＋ｂ０＋ａ１ｓ＋ａ０
２
由式（）或者式（）建立如下式（）的状态空１

线性系统的能控性和能观性

3.约当规范型矩阵
若A是约当阵，且B阵中与每个约当块最后一行相对应的行的元素不全为零，则系统可控。反之为零一行所对应的状态不可控。
例.判断能控性
• 4 1. x 0
0 5
x1 x2
12u
7 0 0 2
•
2. x
0
5
0
x
0
0 0 3 7
1 1 0 4 2
3.
•
x
0
e3t
0
te3t
e3t
t
x(t) e At x(0) e A(t )Bu( )d
0
x1(t)
x2
(t
)
e3t
0
te3t e3t
x1(0)
x2
(0)
t 0
e 3(t
0
)
(t
)e3(t e3(t )
)
10u(
)d
t
x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
0
t
x2 (t) e3t x2 (0) e3(t )u( )d
0
t
y(t) x1(t) e3t x1(0) te3t x2 (0) (t )e3(t )u( )d
可见：1.两个状态变量中均有输入的作用，可0 控
2.输出中有两个状态变量的出现，输出可以反映初始状态，可测
例.如图所示，1、2表示蓄水池，u1、u2表示输入流量，R1、 R2液阻，H1、H2液面高度A1、A2截面积，问（1）仅用一个调节阀，应放在何处？（2）仅用一个液位计，应放在何处？
Z (S ) U (S )
S
2.5 1
S2
1 1.5S

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n1 + n2 = rank ⎡ ⎣B
第五章能控性、能观性与传递函数
马树萍
§5.1 线性定常系统的结构分解
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解考虑线性定常系统 (5.1.1) x = Ax + Bu , y = Cx x 为 n 维状态向量，u 为 p 维输入向量，y 为 q 维 A, B, C 分别为 n × n, n × p, n × q 维的实常阵。输出向量，问题：若 ( A, B, C ) 同时为不完全能控不完全能观的，是否可通过引进非奇异线性变换，将其能控能观部分与不能控不能观部分及能控不能观，不能控能观部分同时分离呢？答案是肯定的
n1 , n2 , n3 , n4 维分状态, 联合(5.1.8)－(5.1.10)即有系统 ˆ 下, 结构形式为(5.1.2)。 (5.1.1)在非奇异线性变换 x = Tx
10
§5.1-1 不完全能控不全能观系统的结构分解
⎡ A11 下面证明 ( ⎢ ⎣0 A12 ⎤ ⎡ B1 ⎤ , ⎢ ⎥ ) 能控。因为 ⎥ A22 ⎦ ⎣ B2 ⎦
⎡ F1T ⎤ ⎢ T⎥ F2 ⎥ −1 ⎢ T = T ⎢ F3 ⎥ ⎢ T⎥ ⎢ ⎣ F4 ⎥ ⎦
(5.1.4)
6
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解
F1T T2 = 0, F1T T3 = 0, F1T T4 = 0 F2T T1 = 0, F2T T3 = 0, F2T T4 = 0 F3T T1 = 0, F3T T2 = 0, F3T T4 = 0 F4T T1 = 0, F4T T2 = 0, F4T T3 = 0
7
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解
ˆ. 对系统(5.1.1)作非奇异线性变换 x = Tx
由 X C , X No 是 A 的不变子空间, AT1 , AT2 各列仍属于 X C , AT1 , AT3 各列仍属于 X No , 及 (5.1.6),(5.1.7)推得
⎡ F1T AT1 ⎢ T F2 AT1 −1 ⎢ ˆ A = T AT = T ⎢ F3 AT1 ⎢ T ⎢ ⎣ F4 AT1 F1T AT2 F2T AT2 F3T AT2 F4T AT2 F1T AT3 F2T AT3 F3T AT3 F4T AT3 F1T AT4 ⎤ ⎥ F2T AT4 ⎥ F3T AT4 ⎥ ⎥ T F4 AT4 ⎥ ⎦
n4 = n − (n1 + n2 + n3 ),
5
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解
T = [T1 T2 T3 T4 ]
分析 T −1 的性质。
(5.1.3)
F1 , F2 , F3 , F4 分别为 n × n1 , n × n2 , n × n3 , n × n4 维矩阵。由 T −1T = I 推得：
3
A12 A22 0 0
A13 0 A33 0
A14 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ B1 ⎤ ⎢ x ⎥ ⎢B ⎥ A24 ⎥ ⎥ ⎢ 2⎥ + ⎢ 2⎥u A34 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A44 ⎦ ⎣ x4 ⎦ ⎣ 0 ⎦
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ y = [ 0 C2 0 C4 ] ⎢ 2 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ ⎥ 并且： x 4⎦ ⎣ ⎡ A11 A12 ⎤ ⎡ B1 ⎤ (1) ( ⎢ , ⎢ ⎥ ) 能控， ⎥ ⎣ 0 A22 ⎦ ⎣ B2 ⎦ ⎡ A22 A24 ⎤ (2) ( ⎢ , [C2 C4 ]) 能观， ⎥ ⎣ 0 A44 ⎦
2
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解定理5.1（Kalman规范分解定理）对不完全能控不完全能观系统(5.1.1), 通过非奇异线性变换可实现系统结构的规范分解, 其规范分解的表达式
⎡ x1 ⎤ ⎡ A11 ⎢x ⎥ ⎢ 0 ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ x4 ⎦ ⎣ 0
8
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解
⎡ A11 A12 A13 A14 ⎤ ⎢0 A ⎥ 0 A 22 24 ⎥ =⎢ ⎢0 0 A33 A34 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 A44 ⎦ ⎣0 由 B 的各列属于 X C 及(5.1.7)推得: ⎡ F1T B ⎤ ⎡ B1 ⎤ ⎢ T ⎥ ⎢ ⎥ F2 B ⎥ ⎢ B2 ⎥ −1 ⎢ ˆ B =T B = T = ⎢ F3 B ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ T ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ F4 B ⎥ ⎦ ⎣0⎦
(5.1.5a) (5.1.5b) (5.1.5c) (5.1.5d)
由 (5.1.5b), (5.1.5d), F2 , F4 的各列与 X No 的基底正交，故 F2 ∈ X O , F4 ∈ X O (5.1.6) 由(5.1.5c), (5.1.5d), F3 , F4 的各列与 X C 的基底正交，故 F3 ∈ X Nc , F4 ∈ X Nc (5.1.7)
4
(3)
(5.1.2)
( A22 , B2 , C2 ) 能控能观。
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解证明：选取变换矩阵。取
T1 为 n × n1 维矩阵,其列构成子空间 X C ∩ X No 的基底；
T2 为 n × n2 维矩阵,其列构成子空间 X C − X C ∩ X No 的基底； T3 为 n × n3 维矩阵,其列构成子空间 X No − X C ∩ X No 的基底。则 T1 , T2 , T3 的各列线性无关, 且 n1 + n2 + n3 ≤ n. T4 为 n × n4 维使 [T1 T2 T3 T4 ] 为非奇异矩阵的任意矩阵。
(5.1.8)
(5.1.9)
9
§5.1-1 不完全能控不完全能观系统的结构分解由 C T 的各列属于 X O 推得
ˆ = CT = [CT CT C 1 2 CT3 CT4 ] = [ 0 C2
T 4 T
0 C4 ] (5.1.10)
ˆ=⎡ 令x ⎣x
T 1
x
T 2
x
T 3
x ⎤ ⎦ , x1 , x2 , x3 , x4 分别为