现代控制理论能控性、能观测性

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现代控制理论

定理3.4 对于n阶连续时间线性定常系统 x=Ax+Bu y=Cx+Du
输出完全能控的充要条件;是
r a n k C B C A B C A n - 1 B D m
2 能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统
xAx+Bu
若存在一个分段连续的输入ut;能在有限时间区间t0; tf 内;将状态xt从原点转移到任一指定的终端目标状态xtf;则称系统是能达的&
对线性定常系统;能控性和能达性是完全等价的&
分析状态能控性问题时 xAx+Bu 简记为 Σ(A, B)
现代控制理论基础
测性的关系 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解
现代控制理论基础
1
3.1 能控性和能观测性的概念
ut能否引起xt 的变化？
yt能否反映xt 的变化？
能控性已知系统的当前时刻及其状态;研究是否存在一
个容许控制;使得系统在该控制的作用下在有限时间内到
达希望的特定状态&
能观测性已知系统及其在某时间段上的输出;研究可否
7 0 0 0 1
(III) x0 0
5 0
0x4 1 7
50uu12
7 0 0 0 (II) x0 5 0x5u
0 0 1 7
7 0 0 0 0
(IV) x0 0
5 0
0x4 1 7
05uu12
解 A阵具有互不相同的特征值&系统I和III是能控的&
注意：特征值互不相同条件& 某些具有重特征值的矩阵;也能化成对角线标准形&
现代控制理论基础
19
3.2 连续时间线性定常系统的能控性
2 4 5 1

能控性与能观性

c11 c12 c c22 21 y (t ) c m1 cm 2 c1n e1t x10 c2 n e2t x20 nt cmn e xn 0
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32

控制系统的能控性和能观测性

解
根据定理3-5，系统（1）能控；系统（2）不能控
（定理（3-4）、定理（3-5）不仅可以判断系统能控性，而且对于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。）说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等价的。
2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此，能控性判据同样可以判断能达性。
一般情况下，系统方程可以表示为
Ax Bu x y Cx
（1）
状态能控与否，不仅取决于B 阵（直接关系），还取决于A 阵（间接关系）。系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。
y(t )为输出量，两个电例3-3 电路如下图所示。选取 u(t )为输入量，感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为
λi Ji 0
1 λi
0 1 阵 B 中与每一个约当子块最下面一行对应行的元素不全为零。
例3-7 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。
0 4 1 0 （1） x 0 4 0 x 4 u 0 2 0 3 0 4 1 4 2 （2） x 0 4 0 x 0 0 u 0 2 0 3 0
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。 4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。
x(0) e Aτ Bu( τ ) d τ
0
t1
（3）
5）当系统中存在不依赖于 u(t ) 的确定性干扰 f (t ) 时，f (t ) 不会改变系统的能控性。 Ax Bu f (t ) x （4）

第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性

第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。

能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。

能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。

但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。

所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。

4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。

反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。

对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。

4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。

现代控制理论-线性控制系统的能控性与能观性例题精选全文完整版

x Ax Bu
如果线性定常系统： y Cx 是状态不完全能控的，它的能控性判别矩阵的秩
rankM n1 n
则存在非奇异变换：x Rcxˆ
将状态空间描述变换为：
xˆ y
Aˆ xˆ Cˆ xˆ
Bˆ u
n1 n n1
其中：
xˆ
xˆ1
xˆ
2
n1
n n1
Aˆ
R c1AR c
Aˆ 11 0
3.6.1 线性系统的对偶关系
线性系统1、2如下：
1：yx 11
A1x1 C1x1
B1u1
2：
x 2 y 2
A2x2 C2x2
B2u2
如果满足如下关系
A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
则称两系统是互为对偶的.
u1(t) B
x1(t)
x1(t)
++
∫
y1(t) C
A
y2(t) BT
0
A 0 1 0 , b 0, c 1 1 1
1 4 3
1
解：能控性矩阵
0 1 4
M b Ab A2b 0 0
0
1 3 8
rankM 2 n1 dim A n 3 不能控
构造变换矩阵
0 1 0 Rc 0 0 1
1 3 0
✓与前2个列向量线性无关； ✓尽可能简单
结构分解
u
co
y
co
依据能控能观性，将系统分解
co
为四个子系统
co
x Ax Bu
y Cx Du
特殊的线性变换
x xTco xTco xTco xTco
分解步骤：
1、将系统分解成能控与不能控子系统；

现代控制理论第三章

方法一：直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三：传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性方法三：
3.2 线性连续系统的能控性例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例：若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2

现代控制理论第三章

B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)，那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系统在各个瞬时的状态。（2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的，所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n

自动化--能控性与能观测性

能控性与能观测性现代控制理论的能控性能观测性是建立在状态空间描述的基础上，状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程，输出方程则描述了由状态的变化引起输出y(t)的变化，能控性能观测性就是分析输入u(t)对状态x(t)的控制能力和输出y(t)对状态的反映能力，一个系统若具有能控性和能观测性，人们就可以对它实施最优控制。

一、引言1960年卡尔曼提出系统的能控性和能观测性问题，它是系统的两个基本特征。

对经典控制理论所讨论的SISO(单输入单输出系统)，它的输入量和输出量之间的动态关系可唯一的由系统的传递函数确定，即唯一输入对应唯一输出，而且输出可观测也可唯一确定输入。

现代控制理论着眼于分析、优化和控制MIMO（多输入多输出）系统内部特性和动态变化状态，其状态变量向量维数一般比输入向量维数高，并且有时还不能测量，所以存在系统内部状态能量控制和能观测问题。

二、能控性能控系统：假设系统初时刻处于状态空间任一点x=x(t0),倘若能够找到容许控制函数(输入)u在有限时间区间j内将系统由初态x转移到状态空间原点x(tj)=0则称为能控系统。

能达系统：假设系统初始时刻位于状态原点x(t)=0,倘若能够找到容许函数(输入)u 在有限时间内将系统由初态转移到状态空间任一点x(t)=x则称系统为能达系统。

对于线性连续系统，能控和能达是等价的，对线性离散系统则不同。

线性定常系统状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵QK=[B AB……An-1B]满秩(代数判据)，如果A为某个特征值有一个或者多个约旦矩阵则系统能控的充要条件是对于A的每个特征值的约旦块的B分块的最后一行都不全为零。

线性定常连续系统的输出的能控性判据为能控矩阵[CB CAB……CAn-1B]满秩（模态判据）。

能控性判据可以通过MATLAB直接得出矩阵的秩。

三、能观测性为了抑制干扰，降低参数灵敏度以构成最优系统，控制系统大多采用反馈形式，而反馈信息一般由系统的状态变量组合而成，但并非所有的状态变量在物理上都能测取到，于是提出能否通过输出的测量获得全部变量信息的问题，既可观测性。

现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)

0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3

0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有

0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3

1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况：若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：

能控性及能观测性

第三章：控制系统的能控性及能观测性(第五讲)内容介绍：能控性和能观测性定义、判据、对偶关系、标准型、结构分解。

能控性和能观测性是现代控制理论中最基本概念，是回答：“输入能否控制状态的变化”及“状态的变化能否由输出反映出来”这样两个问题。

换句话说，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制x(t)变化”。

能观测性问题是：“能否通过输出y(t)观测到状态的变化。

”一、能控性定义及判据给出一个多变量系统（多输入、多输出）若系统G(s)在适当的控制u(t)作用下，每个状态都受影响，亦在有限的时间内能使系统G 由任意初始状态转移到零状态，或者说在有限的时间内能使系统由零状态转移到任意指定状态。

这说明：输入对状态的控制能力强，反之若G 的某一状态根本不受影响，那么在有限时间内就无法利用控制使这个状态变量发生变化。

说明输入对状态控制能力差。

可见：反映输入对状态控制能力的概念是能控性概念。

1．定义：若对系统，在时刻的任意状态x()都存在一个有限的时间区间（ξt t ,0）（0t t 〉ξ）和定义在[]ξt ,t 0上适当的控制u(t),使在u(t)作用下x()=0。

则称系统在时刻是状态能控的。

如果系统在有定义的时间区域上的每一时刻都能控，称系统为完全能控。

()x u x 01011012=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=考查能控性？状态变量图（信号流图）：y2由于u 的作用只影响不影响，故()t x 2为不能控。

某一状态不能控，则称系统不能控。

2．判据：u 1 ： y1：对线性定常系统=Ax+Bu ，若对某一时刻能控，则称系统完全能控。

设： p输出 n n A *、p n B *、n m C *给出一定理：由=Ax+Bu 所描述的系统是状态完全能控的必要且充分条件为下列n ×np 阵的秩等于n 。

=BAB ……B A n 1-称为能控性阵。

换言之：系统的状态完全能控的必要且充分的条件是能控性阵的秩为n 。

线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性

An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控，则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2，，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!

现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性

3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。

当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。

这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。

并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。

还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。

并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。

能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。

第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。

状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。

系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。

可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。

下面来进行一般分析。

设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。

初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。

单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。

现代控制理论_第3章_能控性和能观测性

x 初态为 x n 2 1 0 ，试选择x 0 ， 1 ， 2 使系统状态在 x n 3时转移到零。提示：点击观看
T
解令0，1，2，得状态序列
2 1 x 1 x 0 gu 0 2 0 u 0 1 1
x2 k 1 2 x2 k u k
初始状态为：x1 0 1，x2 0 1 用递推法可解得状态序列：
k 0 k 1 k k 1, x1 k x1 k 1 1
k
x1 1 x1 0 1 x2 1 2 x2 0 u 0 2 u 0 x1 2 x1 1 1
故能控。
例3-3
设、x 0
g 同例3-1， 1 2 1，试判断能控性。
T
1 1 1 2 S1 rank g g g rank 2 2 2 1 3 解 rank 1 1 1 故不能控。
关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系统。设系统状态方程为：
rankS1 rank g g 2g n2g n1g n
(3-7)
(3-8)
使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至 S 式(3-8)均称为能控性判据。 1，S1均称为单输入离散系统能控性矩阵，由该式显见状态能控性取决于系统矩阵及输入矩阵g 。当rank S1 n时，系统不可控，不存在能使任意x 0 转移到x n 0 的控制。
点击观看
第一节
线性定常系统的能控性
能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：

现代控制理论实验报告三系统的能控性、能观测性分析

end
nc =
3
system is completely state controllable
system is completely state observe
（3）
A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0];
Uc=ctrb(A,B);
p1=[0,0,1]*inv(Uc);
else
disp('system is not completely state controllable')
end
if nc==n2
disp('system is completely state observe')
else
disp('system is not completelystate observe')
3、构造变换阵，将一般形式的状态空间描述变换成能控标准形、能观标准形。
六、数据处理
题3.1已知系数阵A和输入阵B分别如下，判断系统的状态能控性
，
解：
A=[6.666,-10.6667,-0.3333;1,0,1;0,1,2];B=[0;1;1];
Uc=ctrb(A,B)
n=det(Uc);%de计算矩阵对应的行列式的值,abs为求n的绝对值
Co=C*T
T =
-0.5000 0 -1.0000
0.5000 0 2.0000
1.0000 1.0000 0
Ao =
0 0 -10
1 0 12
0 1 1
Co =
0 0 1
七、分析讨论
1、掌握了能控性和能观测性的概念。学会了用MATLAB判断能控性和能观测性。

现代控制理论-4-线性系统的能控性和能观测性-第7讲

能控性的定义
能控性是指对于一个线性系统，如果存在一个控制输入，使得系统状态能够在有限的时间内从任意初始状态转移到任意目标状态，则称该系统为能控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩阵，如果该矩阵满秩，则系统能控。
能观测性的定义
能观测性是指对于一个线性系统，如果存在一个观测器，能够通过系统的输出测量并估计出系统的所有状态，则称该系统为能观测的。
传递函数判据
对于线性时不变系统，如果传递函数的零点和极点个数满足一定条件，则系统能观测；否则系统不能观测。
03
能控性和能观测性的应用
在控制系统设计中的应用
系统性能分析
通过分析系统的能控性和能观测性，可以评估系统的稳定性和动态性能，从而优化系统设计。
控制器设计
在控制器设计中，需要考虑系统的能控性和能观测性，以确保控制器能够有效地控制系统的状态并观测系统的状态。
初始状态和目标状态
系统初始和目标状态的定义，以及它们对最优控制策略的影响。
最优控制问题的求解方法
动态规划
将最优控制问题分解为一系列子问题，通过求解子问题的最优解逐步逼近原问
题的最优解。
极大值原理
通过求解极值条件来找到最优控制输入，适用于具有特定性能指标的最优
控制问题。
线性二次调节器
通过最小化状态和控制输入的二次范数来求解最优控制问题，适用于线性二次最优控制问题。
现代控制理论-4-线性系统的能控性和能观测性-第7讲
目录
• 线性系统的能控性和能观测性的定义
• 能控性和能观测性的判定方法 • 能控性和能观测性的应用 • 线性系统的状态反馈和状态观测
器设计
目录
• 线性系统的最优控制问题 • 现代控制理论的发展趋势和前沿

现代控制理论第3章

x(2) Gx(1) hu(1) 6 2u(0) 0u(1)
0 1
1
例双输入线性定常离散系统的状态方程为：
2 2 1
0 0
x(k
1)
0
2
0
x(k
)
0
1u (k )
1 4 0
1 0
试判断其能控性，并研究使x(1)=0的可能性
解 Qc H
GH
0 G2H 0
0 1
1 0
2：线性定常系统
定理一:对于线性定常系统，其能观测的充要条件是
W (0, t1)
t1 e AT tC T Ce At dt
0
满秩,或C(t) 的列线性无关.
定理二：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是能观测性矩阵QO满秩，即
C
CA
rank QO
rank CA2
n
CAn
1
定理三：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是(n+m)× n型矩
2 2
2 0
4
4
1 0 0 4 1 10
rankQc 3
系统是能控的
1 2
令x(1)=0
x(0)
G 1Hu(0)
0
2
1 2 1 2 x1(0)
A
0
2
123,
A~
0 2
1
2 3
x2 (0) x3 (0)
1 u1(0) 23u2 (0)
若 rankA rankA~ 则可以求出u(0)，使x(1)=0
由于eAiT可用I、A、A2、…An-1线性表示，故
rank[B, e AT B,eA(n1)T B] rank[B, AB, An1B]

现代控制理论第二版王孝武第3章

k k tf k 0 0
n 1
x(0)
t f n 1
0

k 0
k
( ) A Bu ( )d A B k ( )u ( )d
k k tf k 0 0
n 1
令则其中

tf
0
k ( )u( )d vk
n 1 k 0
x (0) Ak Bvk QcV
系统中存在不依赖于u(t)的确定性干扰f(t)不改变系统的能控性。
Ax Bu f (t ) x
t1 三：线性时变系统的能控性判据 x(t ) (t , t ) x(t ) (t , ) B ( )u ( )d 1 1 0 0

t0
1
t1 定义：设线性时变系统状态方程为 T t0
2
n
r11 r B P 1 B 21 rn1
r12 r22 rn 2
r1r r2 r rnr
此时系统能控的条件为 B 中任一行的元素不全为零。如果某一行的元素全为零，说明对应的状态变量不能控。
例
2 x 0
1 1 x 0u 1
判断系统的能控性解
1 P 0
1 1 0 1
2 A P 1 AP 0 1 b P 1b 0
系统不能控
判据4：一般情况下，当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，如果对应A的各重特征值只能找到一个独立的特征向量，其状态完全能控的条件是：与每个约当块最后一行对应的B阵中，这一行的元素不全为零。
W (t0 , t1 ) (t0 , ) B( ) BT ( ) T (t0 , )d

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0 1 0 0
0
0
1
0
A
0
0
0
1
a1 a2 a3 an1
0
0
b 0
1
且：
证明： PA AP (由A PAP1 推得 )
P1A P2
P2 A P1A2 P3
Pn2 A P1 An2 Pn1 Pn1 A P1 An1 Pn
例：
. 1 1 1 求x能控1标准0型x． 1u
设线性定常连续系统状态空间表式： . x Ax Bu y Cx Du
1. 定义：对任意给定u(t)，在[t0 , t f ]
rank P1[B AB An1B]
rank[B AB An1B]
rank SC
P1 满秩矩阵
系统的能控性不变
7. 定理4：
.
设 x Ax bu
如则果必系存统在能一控个，非则奇异SC变换[BXABPA1nx1B]
可将状态方程化为能控标准型：
.
x Ax bu
其中：
A PAP1 b pb
第八章现代控制理论能控性、能观测性
一、线性系统能控性和能观性的概念二、线性定常系统的输出能控性三、线性定常连续系统的能观性四、线性定常连续系统的能观性
例1: 给定系统的状态空间描述:
.
x1
.
x 2
4 0
0 5
x1 x2
1 2u
解:展开 y 0. 6x
.
x1 4x1 u x2 5x2 2u
rank Sc =rank[Sc ScT ]nn
.
3. 定理2：若x Ax Bu ，
若Ａ为对角型，则状态完全能控的充要条件为：
Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
x1
1
x1
b11u1b12u2
b1 pu p
x2 2 x2 b21u1b22u2 b2 pu p
.
例：线性系统的状态方程为x Ax bu
.
例：设系统的状态方程为 x Ax bu
其中：
A
பைடு நூலகம்
1
0
1
2
b
b1 b2
试判断系统的能控性．
解： Sc [b Ab]
b 而Sbc 1是b任A意b值，bb12且ra1nbk11Sb2cb2=2
20
2
则该系统能控．
5.
当Ａ的特征值 l ( l重根）,
1
(1重根）1
22
(2重根l ）n
u只能控制 iL，
0
不可控，不可观测．
一、线性系统能控性和能观性的概念含义：
能控性：u(t) x(t) 状态方程能观性：y(t) x(t) 输出方程
1. 定义：
.
设 x Ax Bu
若存在一分段连续控制向量u(t)，
能移在到任[t0意t终f ]内态将x系(t统f )从，任则意该系状统态x完(t0转全)
能控．
说明：
① 任意初态 x(t0 ) x(状态空间中任
一点),零终态 x(t f ) ＝０能控
② 零初态x(t0) 0
任意终态 x(t f ) x
能达
2. 定理1
设 x Ax Bu
状态完全可控的充要条件是能控性矩阵：
Sc B AB
An1B的秩为n
即： rankSc rank B AB
An1B n
1 3 2 2 1
例：
.
x
0
2
0 x
1
1 u
0 1 3 1 1
.
x
x1
x2
.
u
u1 u2
判x3断能控性
解： Sc [B AB A2B]
2 1 3 2 5 4
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
rank =2<3,不能控
Sc
对于：
行数＜列数的情况下求秩时：
其中：
A
1
0
0
2
b
b1 b2
试判断该系统的能控性．
解： Sc [b Ab]
Sc b Ab
如果rank S c
b1 b2
=2,
1b1 2b2
b1b2 (2
1)
则必须要求b1 0, b2 0
.
4. 定理3：设x Ax Bu ，
若Ａ为约当型，则状态完全能控的充要条件是：
对应的每一个约当块的最后一行相应的Ｂ阵中所有的行元素不全为零．
解：rank[CB CABD]=rank[1 -2 0]=1=q
输出能控
rankSc=rank[b Ab]=1<2
状态不能控
三、线性定常连续系统的能观性
在实际工程实践中,往往需要知道状态变量,而由于各种原因,不一定都能直接获取, 但输入变量总是可以获取和测量的.
能观性—能否通过对输出的测量来确定系统的状态变量．
，
且
x Px
则可以经过
将A化为约当型.
如下:
且 ri1 ri2 rii i
由 Bik (k 1,2,,i ) 的最后一行组
成的矩阵：
Bir
bri1 bri 2
对i
1, 2,
brii
则系统能控
, l均为行线性无关
.
例：设 x Ax Bu ，已知
0 0 0
1
0
0
0 1 0
.
x Ax Bu y Cx Du
x Rn, y Rq,u Rp 定义:在 [t0 , t f上] ,任意 y(t0 ) y(t f ) 0
解出u(t), 输出能控．
2. 定理：
系统输出完全能控的充要条件：
例： . 4 1 1
x
2
3x 2u
判断系y统是1否输0出x 能控．
y 6x2
表明:状态变量 x1, x2 都可通过选择输入u而由
始点终点完全能控.
输出y只能反映状态变量能观测.
x
2
,所以
x1
不
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入,
y= uc --输出.
L
+ iL R1
(1)当 R1R4 R2R3 R2 状态可控，可观测
u -
R3 uc
R4
(2)当 R1R4 R2R3 uc
B 0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 0 0
Br 1
0 1
1 0
0 0
行线性无关
B
r 2
1
0
0
不全为零
能控
6. 线性变换后系统的能控性不变
设
.
x Ax Bu
令
x
SPC
x
[
B
AB . An1B] 则：x Ax Bu
其中：A P1AP, B P1B
SC
[B
AB
n1
A
B]
rank Sc rank[P1B (P1AP)P1B(P1AP)n1 P1B] rank[P1B P1AB P1An1B]
解：
1 0
SC [b Ab] 1 1
rank Sc=2 能控
SC
1
1 1
0 1
1 P1 [01]1
0 1
1
1
P
P1
P1
A
1
0
1 1
P
1
1
0
1 1
则
A
PAP1
0 1
1 1
b
Pb
0 1
二、线性定常系统的输出能控性
在分析和设计控制中,系统的被控量往往不是系统的状态,而是系统输出,必须研究系统的输出是否能控.设:

现代控制理论能控性、能观测性

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