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现代控制理论的能控性和能观性分析

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能控性与能观性

能控性与能观性

c11 c12 c c22 21 y (t ) c m1 cm 2 c1n e1t x10 c2 n e2t x20 nt cmn e xn 0
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
现代控制理论实验报告

现代控制理论实验报告

现代控制理论实验报告实验一系统能控性与能观性分析一、实验目的1.理解系统的能控和可观性。

二、实验设备1.THBCC-1型信号与系统·控制理论及计算机控制技术实验平台；三、实验容二阶系统能控性和能观性的分析四、实验原理系统的能控性是指输入信号u对各状态变量x的控制能力，如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间把系统所有的状态引向状态空间的坐标原点，则称系统是能控的。

对于图21-1所示的电路系统，设iL和uc分别为系统的两个状态变量，如果电桥中则输入电压ur能控制iL和uc状态变量的变化，此时，状态是能控的。

反之，当时，电桥中的A点和B点的电位始终相等，因而uc不受输入ur的控制，ur只能改变iL的大小，故系统不能控。

系统的能观性是指由系统的输出量确定所有初始状态的能力，如果在有限的时间根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。

为了说明图21-1所示电路的能观性，分别列出电桥不平衡和平衡时的状态空间表达式：平衡时：由式（2）可知，状态变量iL和uc没有耦合关系，外施信号u只能控制iL的变化，不会改变uc的大小，所以uc不能控。

基于输出是uc，而uc与iL无关连，即输出uc中不含有iL的信息，因此对uc的检测不能确定iL。

反之式（1）中iL与uc有耦合关系，即ur的改变将同时控制iL和uc的大小。

由于iL与uc的耦合关系，因而输出uc的检测，能得到iL 的信息，即根据uc的观测能确定iL（ω）五、实验步骤1．用2号导线将该单元中的一端接到阶跃信号发生器中输出2上，另一端接到地上。

将阶跃信号发生器选择负输出。

2．将短路帽接到2K处，调节RP2，将Uab和Ucd的数据填在下面的表格中。

然后将阶跃信号发生器选择正输出使调节RP1，记录Uab和Ucd。

此时为非能控系统，Uab和Ucd没有关系（Ucd始终为0）。

3．将短路帽分别接到1K、3K处，重复上面的实验。

控制系统的能控性和能观测性

控制系统的能控性和能观测性


解
根据定理3-5， 系统（1）能控 ； 系统（2）不能控
（定理（3-4）、定理（3-5）不仅可以判断系统能控性，而且对 于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。） 说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们 的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等 价的。
2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此， 能控性判据同样可以判断能达性。
一般情况下，系统方程可以表示为
Ax Bu x y Cx
（1）
状态能控与否，不仅取决于B 阵（直接关系），还取决于A 阵（间 接关系）。 系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。
y(t )为输出量，两个电 例3-3 电路如下图所示。选取 u(t )为输入量， 感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为
λi Ji 0
1 λi
0 1 阵 B 中与每一个约当子块最下面 一行对应行的元素不全为零。
例3-7 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。
0 4 1 0 （1） x 0 4 0 x 4 u 0 2 0 3 0 4 1 4 2 （2） x 0 4 0 x 0 0 u 0 2 0 3 0
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能 控的。 4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。
x(0) e Aτ Bu( τ ) d τ
0
t1
（3）
5）当系统中存在不依赖于 u(t ) 的确定性干扰 f (t ) 时，f (t ) 不会改 变系统的能控性。 Ax Bu f (t ) x （4）
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性

第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性

第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。

能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。

能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。

但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。

所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。

4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。

反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。

对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。

4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。

现代控制理论基础实验报告

现代控制理论基础实验报告

紫金学院计算机系实验报告现代控制理论基础实验报告专业：年级：姓名：学号：提交日期：实验一 系统能控性与能观性分析1、实验目的：1.通过本实验加深对系统状态的能控性和能观性的理解；2.验证实验结果所得系统能控能观的条件与由它们的判据求得的结果完全一致。

2、实验内容：1.线性系统能控性实验;2. 线性系统能观性实验。

3、实验原理：系统的能控性是指输入信号u 对各状态变量x 的控制能力。

如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态变量转移到状态空间的坐标原点。

则称系统是能控的。

系统的能观性是指由系统的输出量确定系统所有初始状态的能力。

如果在有限的时间内，根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。

对于图10-1所示的电路系统，设i L 和u c 分别为系统的两个状态变量，如果电桥中4321R R R R ≠，则输入电压u 能控制i L 和u c 状态变量的变化，此时，状态是能控的；状态变量i L 与u c 有耦合关系，输出u c 中含有i L 的信息，因此对u c 的检测能确定i L 。

即系统能观的。

反之，当4321R R ＝R R 时，电桥中的c 点和d 点的电位始终相等， u c 不受输入u 的控制，u 只能改变i L 的大小，故系统不能控；由于输出u c 和状态变量i L 没有耦合关系，故u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。

1.1 当4321R RR R ≠时u L u i R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L u i C L C L ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫+++-+-+-⎝⎛+-+-+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01)11(1)(1)(1)(143214343212143421243432121 (10-1)y=u c =[01]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c L u i (10-2)由上式可简写为bu Ax x+= cx y =式中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C L u i x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫+++-+-+-⎝⎛+-+-+++-=)11(1)(1)(1)(143214343212143421243432121R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01L b 1] [0=c由系统能控能观性判据得][Ab brank =2 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡cA c rank故系统既能控又能观。

现代控制理论第三章

现代控制理论第三章

方法一： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
现代控制理论第三章

现代控制理论第三章


B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性

现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性


1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。
现代控制理论能控性和能观测性

现代控制理论能控性和能观测性


I A1
B
I A
B f
(3-21)
式中B 为元素埏是I A的伴随矩阵。方程(3-21)两端右 乘 I A得：
BI A f I
(3-22)
由于 B 的元素 I A代数余子式，均为 n 1 次多项式，
故据矩阵加法运算规则，可将其分解为n个矩阵之和：
B
B n1 n1
B n2 n2
Bn1 I
Bn2 Bn1A an1I
Bn3 Bn2A an2I
M
B0 B1A a1I
B0A a0I
Bn1An An
Bn2An1 Bn1An an1An1
Bn3An2 Bn2An1 an2An2 M
0 1 M 1 －2 M 2 3
S2 G2 G2 L 2G2 0 0 M 0 1 0 M 0
0 M 0 0 1 M 1 －2
显见出现全零行，rankS2 2 3 ，故不能控。
多输入系统能控阵 S2，其行数小于列数，在计算列写能控阵时， 若有显时见可通过矩计S阵2算的秩为Sn的2，秩S便T2 是不否必为把n来判矩断S阵2多的输所入有系列统都的写能出控。性。 这只是需因计为算，一当次n阶非行奇列S异式2 时即，可确定能必S控非2 性奇ST2，异但，在而计算 为S方2 S阵T2 ，
系统矩阵 的阶数，或系统特征方程的阶次数。
以上研究假定了终态 x 0 0。若令终态为任意给定状态xn
则方程(3-2)变为：
n 1
nx 0 x n n1igu i
i0
(3-9)
方程两端左乘 n ，有
x 0－nx n 1g 2g L
u0
ng
u 1
M
u n 1
(3-10)
能控性和能观测性分析

能控性和能观测性分析


.1.2 能控性判据 按定义，要求寻找到一个具体的控制律。 由 可得 矩阵指数函数 可以表示成有限项的和 记 则转化成线性方程组的求解问题
例检验由以下状态方程描述的系统的能控性： 解 能控性检验矩阵 不是满秩的，故系统不能控。
例3.1.2 倒立摆系统线性化状态空间模型的系数矩阵是 能控性检验矩阵 故系统是能控的。
3.3 能控能观性的对偶原理
由于 定理3.3.1 能控的充分必要条件是 能观 能观标准型（能控标准型的转置）是能观的
对于互为对偶的系统 系统（I）能控（能观）的充分必要条件是系统（II）能观（能控）。 优点：能观（能控）性问题可以转化为能控（能观）性问题来处理。 例 能观与能控标准型互为对偶系统(特征多项式同)
2。若 非奇异，则可以构造出将非零初始状态转移到零状态的控制律
3。若系统能控，由（1），可在任意短时间内将非零状态转移到零状态 称为能控格拉姆矩阵
定理的说明
.1.3 能控性的性质 能控性基于状态方程系数矩阵A、B定义。 定理3.1.3 等价的状态空间模型具有相同的能控性。 由T是非奇异矩阵可得结论。
在 中的零极相消 考虑 没有零极相消的充分必要条件是 ，能控！
在 中无零极相消 考虑 类似可得 是能观的充分必要条件。 例 判别系统的能控性 显然系统不能控！
例3.1.8 判断以下系统的状态和输出能控性 系统的状态能控性矩阵 由于 ，故系统不是状态完全能控的。 输出能控性矩阵 显然它是行满秩的，故输出能控。 结论：系统输出能控，但不是状态能控的。
3.2 系统的能观性
所考虑的系统 状态变量未必都可以从外部观测到！ 1。检测手段的限制； 2。一些状态变量不是物理量。 问题：如何（可否）通过输入输出信息来了解系统内部的状态？
现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性

现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性

3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。

当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。

这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。

并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。

还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。

并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。

能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。

第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。

状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。

系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。

可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。

下面来进行一般分析。

设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。

初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。

单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。

线性控制系统的能控性和能观性

C 1, C 2 Cn 满足G = C ? = C 3性无关。

,则把向量 X 「X 2 X n 叫做线11 1 0L 1X i 二 01 1X 2 二 1X 3_0 _0第三章 线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性和能观性是卡尔曼(Kalma n )在I960年首先提出来的，它是最优控制和最优估值的设计基 础。

能控性和能观性是分别分析 u(t)对状态x(t)的控制能力 以及输出y(t)对状态x(t )的反映能力。

§3—1能控性的定义能控性所研究的只是系统在控制作用 u(t)的作用下，状态 矢量x(t)的转移情况，而与输出y(t)无关。

矢量的线性无关与线性相关：如果G xi * C 2x2 C 3X 3C n xn= 0式中的常数无关。

若向量X i ,x 2…x n 中有一个向量Xi 为其余向量的线性组 合,□便是线性例如向量C nX i不全为零。

故为线性相关。

具有约旦标准型系统的能控性判据 1 •单输入系统先将线性定常系统进行状态变换， 又例如在式中X 3X 2, X i3X ^ 0式中系数并把状态方程的A 阵和B相关。

阵化为约旦标准型（A, E?）,再根据B 阵确定系统的能控性。

具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为即：Xi、C j X j j=i j-i则称向量X i ,X 2 x n 为线性相关。

例如向量X iX3二 2_4便是线性x 八 x bu 或 x 二 Jx bu2,各根互异。

其中：（特征值有重根的）10 11 0111 Jnb 2bX11C2c 1xc 2x 2y cy(t)u(t)b1X1C2_b n卜面列举两个二阶系统，对其能控性加以剖析。

「0 例:1)厂匕x 2 二 2X 2 pu 0 0X u 2 巾2m 2故为状态不完全能控的，11X_b 2例：2)y约旦型)c 2 ]xX 厂'1x 1 x 2X 2= 2X 2 b ?u （为y = GN c 2x 2lL （t ）从上式看出X 1与u 无关，即不受u 控制，因而只有一个特— 01 殊状态。

现代控制工程-第5章能控性和能观性分析


传递函数判据
如果系统的传递函数的极点和零 点都位于复平面的左半部分，则 该系统是能控的。
能控性的应用
系统设计和ห้องสมุดไป่ตู้化
在系统设计和优化过程中，能控性分析可以帮助确定系统的可控性 和可观性，从而更好地选择和设计控制器和观测器。
控制性能评估
通过能控性分析，可以对系统的控制性能进行评估和比较，从而选 择更优的控制方案。
现代控制工程-第5章能控性 和能观性分析
目录
• 能控性分析 • 能观性分析 • 能控性和能观性的关系 • 系统设计中的能控性和能观性 • 现代控制工程其他章节概述
01
能控性分析
定义与概念
能控性定义
对于一个给定的线性时不变系统，如果存在一个状态反馈控制器，使得系统的任何初始状态都能通过 该控制器在有限的时间内被控制到任意指定的状态，则称该系统是能控的。
快速性
系统应具有快速的响应能力，以便在短时间 内达到设定值或消除外部扰动。
准确性
系统应具有高精度的输出，以满足各种控制 要求和保证产品质量。
可靠性
系统应具有高的可靠性和稳定性，以确保长 期稳定运行和减少故障率。
系统设计中的能控性和能观性考虑
能控性考虑
在系统设计中，需要考虑系统的能控性，即 能否通过输入信号控制系统的输出状态。对 于不能控制的系统，需要采取措施进行改进 或重新设计。
描述
分解性是控制系统分析中的一个重要性质。在大型复杂系统中，如果系统具有分解性， 那么我们可以将系统分解为若干个子系统，分别对子系统进行能控性和能观性分析，从
而简化系统分析和设计的难度。
04
系统设计中的能控性和能观 性
系统设计的基本原则
稳定性

现代控制理论实验报告三系统的能控性、能观测性分析

end
nc =
3
system is completely state controllable
system is completely state observe
（3）
A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0];
Uc=ctrb(A,B);
p1=[0,0,1]*inv(Uc);
else
disp('system is not completely state controllable')
end
if nc==n2
disp('system is completely state observe')
else
disp('system is not completelystate observe')
3、构造变换阵，将一般形式的状态空间描述变换成能控标准形、能观标准形。
六、数据处理
题3.1已知系数阵A和输入阵B分别如下，判断系统的状态能控性
，
解：
A=[6.666,-10.6667,-0.3333;1,0,1;0,1,2];B=[0;1;1];
Uc=ctrb(A,B)
n=det(Uc);%de计算矩阵对应的行列式的值,abs为求n的绝对值
Co=C*T
T =
-0.5000 0 -1.0000
0.5000 0 2.0000
1.0000 1.0000 0
Ao =
0 0 -10
1 0 12
0 1 1
Co =
0 0 1
七、分析讨论
1、掌握了能控性和能观测性的概念。学会了用MATLAB判断能控性和能观测性。

现代控制理论-4-线性系统的能控性和能观测性-第7讲


能控性的定义
能控性是指对于一个线性系统，如果 存在一个控制输入，使得系统状态能 够在有限的时间内从任意初始状态转 移到任意目标状态，则称该系统为能 控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩 阵，如果该矩阵满秩，则系统能控。
能观测性的定义
能观测性是指对于一个线性系统，如果存在一个观测器，能够通过系统的输出测量并估计出系统的所有状态，则称该系统为 能观测的。
传递函数判据
对于线性时不变系统，如果传递 函数的零点和极点个数满足一定 条件，则系统能观测；否则系统 不能观测。
03
能控性和能观测性的应用
在控制系统设计中的应用
系统性能分析
通过分析系统的能控性和能观测性，可以评估系统的稳定 性和动态性能，从而优化系统设计。
控制器设计
在控制器设计中，需要考虑系统的能控性和能观测性，以 确保控制器能够有效地控制系统的状态并观测系统的状态。
初始状态和目标状态
系统初始和目标状态的定义，以及它们对最优控 制策略的影响。
最优控制问题的求解方法
动态规划
将最优控制问题分解为一系列子问题， 通过求解子问题的最优解逐步逼近原问
题的最优解。
极大值原理
通过求解极值条件来找到最优控制输 入，适用于具有特定性能指标的最优
控制问题。
线性二次调节器
通过最小化状态和控制输入的二次范 数来求解最优控制问题，适用于线性 二次最优控制问题。
现代控制理论-4-线性系统 的能控性和能观测性-第7讲
目录
• 线性系统的能控性和能观测性的 定义
• 能控性和能观测性的判定方法 • 能控性和能观测性的应用 • 线性系统的状态反馈和状态观测
器设计
目录
• 线性系统的最优控制问题 • 现代控制理论的发展趋势和前沿

现代控制理论线性控制系统的能控与能观性


判断线性控制系统稳定性的方法有多 种，如劳斯判据、赫尔维茨判据等。
03
能控性与能观性概念
能控性概念
能控性是指对于一个线性控制系统，如果存在一个控 制输入，使得状态变量从任意初始状态能够被驱动到
任意目标状态，则称该系统是能控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩阵，如果该矩阵 非奇异，则系统是能控的，否则系统不能控。
线性控制系统是控制系统的一种重要 类型，其能控性和能观性是评价系统 性能的重要指标。
研究意义
能控性和能观性是现代控制理论中的基本概念，对线性控制系统的分析和设计具有重要意义。
研究线性控制系统的能控性和能观性有助于深入了解系统的动态行为，为优化控制策略和控制系统的 稳定性提供理论支持。
02
线性控制系统基础
04
线性控制系统的能控性分析
能控性的判断方法
矩阵判据
通过判断线性系统的状态矩阵是否满足能控性矩阵的 条件，从而判断系统的能控性。
传递函数判据
根据线性系统的传递函数，通过分析其极点和零点， 判断系统的能控性。
状态方程判据
通过分析线性系统的状态方程，判断其是否具有能控 性。
能控性的改善方法
增加控制输入
能观性分析
能观性分析在智能交通系统中同样重要，它 有助于确定交通系统的状态是否能被其传感 器完全监测。这涉及到对传感器精度、道路 条件以及传感器布局等因素的考虑。
07
结论与展望
研究结论
1
线性控制系统能控性与能观性是现代控制理论中 的重要概念，对于系统的分析和设计具有重要意 义。
2
通过研究线性控制系统的能控性和能观性，可以 深入了解系统的动态特性和行为，为控制系统设 计和优化提供理论支持。
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rank(Γc [ A, B]) = rank [ B
(
AB L An−1B] = n
)
Γc [ A, B ] 能控性检验矩阵。
特点：只依赖状态矩阵A和输入矩阵B，和时间长短无关
Γc [ A, B ]
是否满秩的方法：
SISO：计算 Γc [ A, B ] 的行列式 MIMO：计算行列式 (Γc [ A, B])(Γc [ A, B])T MATLAB命令：ctrb(A,B) SISO：det(ctrb(A,B)) MIMO：det(ctrb(A,B)*ctrb(A,B)’)
k k =0Βιβλιοθήκη 0n −1则x0 = −∑ A B ∫ ak (τ )u (τ )dτ
k T k =0 0
n −1
= ∑ Ak B β k = ⎡ ⎣B
k =0
n −1
⎡ β0 ⎤ ⎢β ⎥ ⎢ 1 ⎥ AB L An −1 B ⎤ ⎦⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ β ⎣ n −1 ⎦
其中的 β k
= − ∫ ak (τ )u (τ )dτ
例3.1.1 检验由以下状态方程描述的系统的能控性：
&1 ⎤ ⎡1 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡x ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥u ⎢& ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎣0 − 1⎦ ⎣ x2 ⎦ ⎣0⎦
解 能控性检验矩阵
Γc [ A, B] = [ B ⎡ ⎡1⎤ ⎡ 1 1⎤ ⎡1⎤ ⎤ ⎡1 1⎤ AB] = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 0 0 1 0 0 0 − ⎦ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦ ⎣
u
θ
M
l
能控性检验矩阵
Γc [ A, B ] = [ B
AB
A2 B
det(Γ c [ A, B ]) = 100 ≠ 0
1 0 1⎤ ⎡ 0 ⎢ 1 0 ⎥ 1 0 ⎥ A3 B ] = ⎢ ⎢ 0 −1 0 − 11⎥ ⎢ ⎥ − 1 0 − 11 0 ⎣ ⎦
故系统是能控的。
&] T & θ θ 解释！系统的状态 x = [ y y
现代控制理论
Modern Control Theory
能控性和能观性分析
能控性和能观性分析
状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系。
u x y
& = Ax + Bu 状态方程反映控制输入对状态的影响；x
输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖。
y (t ) = Cx (t ) + Du(t )
3.1 系统的能控性
系统模型
& = Ax + Bu x
定义 对系统的一个状态x0，存在某个时间段[0, T] 上定义的控制信号u，使得在该控制信号的作用下， 系统状态从x0转移到x(T)=0， 则称状态x0是能控的。 若系统的所有状态都是能控的， 则称系统是完全能控的,
O x
x0
也简称为能控的。有时也称矩阵对
AT o
T
e
AT
x0 = − ∫ e A(T −τ ) Bu (τ )dτ
o
T
⇒
e
− Aτ n−1 k =0
x0 = − ∫ e − Aτ Bu (τ )dτ
0
k
T
= ∑ α k (τ ) A
⇒
x0 = − ∫
T n −1
0
k a ( τ ) A Bu (τ )dτ ∑ k k =0
T
= −∑ A B ∫ ak (τ )u (τ )dτ
0 T − At T − ATt
BB e
dt
是非奇异的。 构造控制律
u(t ) = − B e
AT T 0
T − ATt
Wc−1 (0, T ) x 0
x (T ) = e x0 + ∫ e A(T −τ ) Bu(τ )dτ
= e x0 − ∫ e
运动分析揭示了输入和初始状态对系统运行状况的影响 问题：希望系统有期望的运行，能否通过适当的外部输 入来实现呢？
有两个问题：系统是否有这样的能力？ 如何来设计相应的控制器？ 前一个问题是分析，提出了能控性概念！ 后一个问题是设计，需要有各种设计方法！ 能控性是系统的一种能力，状态能控性和输出能控； 卡尔曼提出了能控性概念，奠定了现代控制理论基础。 作业：查阅能控性的原始文章 报告文章中的原始思想
0
T
即：如果系统能控，则线性方程组 [ B AB L A n −1 B] β = x 0 一定有解。 理论上可以证明：以上结果的逆也是成立的。 从而，能控性问题转化为线性方程组的可解性问题！ 线性方程组 Ax = b 对所有的b有解的充分必要条件是系数 矩阵A 满秩。
定理3.1.1 系统完全能控的充分必要条件是
( A, B) 是能控的。
T
t
问题：如何来判断能控性呢？
能控性判据 根据定义，能控性判断要求找到到使得闭环系统状态从 初始状态转移到零状态的一个控制律。 由运动分析：x (T ) = e AT x0 + ∫0 e A(T −τ ) Bu (τ )dτ
x (T ) = 0
T
⇒ ⇒
0 = e x0 + ∫ e A(T −τ ) Bu (τ )dτ
⇒
0 ⎡0 1 Γc [ A, B ] = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣1 − a 2
1 ⎤ − a2 ⎥ ⎥ 2 − a1 + a 2 ⎥ ⎦
能控性检验矩阵总是非奇异的。 故系统是能控的。 能控标准形：能控的； 特殊的结构。
定理 系统完全能控的充分必要条件是存在常数T > 0， 使得n 维矩阵
Wc (0, T ) = ∫ e
⎛ ⎡1 1⎤ ⎞ ⎟ det(Γc [ A, B ]) = det⎜ ⎜ ⎢0 0 ⎥ ⎟ = 0 ⎦⎠ ⎝⎣
⇒
Γc [ A, B ]
不是满秩的
故系统不能控。
例3.1.2 考虑倒立摆系统
y
m mg
线性化状态空间模型的 系数矩阵是
⎡0 ⎢0 A=⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 1 0 0⎤ 0 −1 0 ⎥ ⎥, 0 0 1⎥ ⎥ 0 11 0 ⎦ ⎡ 0⎤ ⎢ 1⎥ B=⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦
例3.1.4 考虑能控标准型
&1 ⎤ ⎡ 0 ⎡x ⎢x &2 ⎥ = ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ &3 ⎥ ⎢ ⎣x ⎦ ⎢ ⎣ −a0 1 0 −a1 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ x ⎥ + ⎢0⎥ u 1 ⎥ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ − a2 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
⎡ 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎥, 2 ⎢ −a ⎥ 1 AB = ⎢ ( ) = = A B A AB 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎢ ⎣ − a2 ⎥ ⎦ ⎣ −a1 + a2 ⎥ ⎦