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3第三章 能控性和能观测性

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第三章 线性系统的能控性与能观测性

第三章 线性系统的能控性与能观测性



。 显见第二、三行元素相同。 rank Qk 2 3 故不能控。
例6 桥式电路图中，若取电感L的电流 i及电容 L C的电压 v 为状态变量，取 为输出变量，则系 iL c 统方程为：
R R 1 R R iL ( 1 2 3 4 ) d L R1 R2 R3 R4 1 dt ( R2 R4 ) vC C R1 R2 R3 R4 1 R3 1 R1 ( ) iL L R1 R2 R3 R4 L u 1 1 1 ( ) vC 0 C R1 R2 R3 R4
1 0 ~ 2 A n 0 中，输入矩阵
~ b11 ~ ~ b21 , B ~ bn1
~ b12 ~ b21 ~ bn 2

~ b1r ~ b2r ~ bnr
(3.4)
.
表明: 状态变量 , x1 都可通过选择输入u而 x2 由始点 终点完全能控。 输出y只能反映状态变量 ,所以 不能观测。 x x
2
1
完全能控，不完全能观系统！
例3: 桥式电路如图所示， 选取电感L的电流为 为 状态变量， i (t ) x(t )
u (t ) 为电桥输 入，输出
量为 y (t ) 。 解: 从电路可以直观看出，如果 x(t 0 ) 0 u (t ，则不论 如何 ) 选取，对于所有 ，有 t 0 ，即ut(t)不能控制x(t)的变化， x( ) 0 t 故系统状态为不能控。 若u(t)=0，则不论电感L上的 x(t 0 ) 初始电流 取为多少， 对所有时刻 t 都恒有y(t)=0,即状态x(t)不能由输出y(t)反映，故 t0 系统是状态不能观测的。 该电路为状态既不能控，也不能观测系统。

第三章 线性系统的能控性

第三章 线性系统的能控性
• 从中必可找出n个线性无关的列或行。 • 不同的找法，会找出不同的列（行）。由它们构成
的变换矩阵将原系统方程变换成不同的规范形。
1 搜索线性无关的列（行）的两种方案
以从Qc中找寻线性无关的列或行为例。
系统完全能控，rank Qc=n.Qc中有且最多仅有n个线性无关的列。 如何找出它们？用格栅图表示。 方案 I 列搜索
第三章 线性系统的能控性和能观测性
3.1 能控性和能观测性的定义
• 能控性
– 状态点的能控性 对t0,x0， 存在t1>t0 和容许控制u(t), t属于[t0,t1], 使系统状态从x0→x(t1)=0 称此x0在t0时刻能控。
– 系统的能控性 状态空间中的所有x0 ，在t0时刻都能控，则称系统在t0时刻完全 能控。
该搜索方法的特点是， Ai bi 是其左边的向量的线性组合。
方案II 行搜索
先找[b1,b2, ,b p ]中的线性无关列； 再找[Ab1， Ab2， ， Ab p ]中的线性无关列；
直到找够n个线性无关列。 找够后， 再排列成如下形式
{b1，
Ab1， ， A11b1；
b
，
2
Ab2， ，
A2 1b2； ；
e11 e12 e1v1 ; ; el1 el2 elvl
的表达。 而B的第1列b1就是e1v1 , 所以其表达为
0 0 1； ; 0 0 0T
余类推。 所以，Bc的形式如前所示。
3 龙伯格规范形
3.8 线性系统的结构分解
• 能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。 • 线性定常系统按能控性的结构分解
Q
np
B p
AB p
A 1B p
p

现代控制理论第三章

现代控制理论第三章
方法一： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2

现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性

现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性

1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。

能控性和能观测性

能控性和能观测性

0 0
0 0
−1 0
0 2
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
x
+
⎢⎢0 ⎢0
0 0
04⎥⎥⎥u
⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 2 0 0⎥ ⎢1 2 0⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0 0 0 2 0⎥⎥
⎢⎢0 3 3⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 5⎥⎦ ⎣⎢3 0 0⎥⎦
解：此为8阶系统，n＝8
19
S=
⎡0 0 0 1 0 0 −2 0 0 3 0 0 −4 0 0 5 0 0 −6 0 0 7 0 0 ⎤
再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。
同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一
定存在一个非零的向量α使
α T [B AB L An−1B] = 0,
α T Ai B = 0,i = 1,2,Ln −1
12
α T Ai B = 0, i = 1,2,Ln −1
根据凯莱－哈密尔顿定理 α T Ai B = 0, i = n, n +1,L
α T e−At B = α T [I − At + 1 A2t 2 − 1 A3t3 + L]B
2!
3!
= α T B −α T ABt + 1 α T A2Bt 2 − 1 α T A3Bt 3 + L = 0
2!
3!
∫t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0
0
∫ ∫ t1 α T e−Aτ BBT e−ATταdτ = α T t1 e−Aτ BBT e−ATτ dτα

(整理)控制系统的能控性和能观测性

(整理)控制系统的能控性和能观测性

第三章 控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据 一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。

可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。

二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：x 2不能控y2则系统不能控，若2121,C C R R ==⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令 上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。

判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：⎰-+=ft f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ⎰⎰---=--=-ff t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 01)()()()()()()0(τττφφτττφφ⎰--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1)()(n k kk A A eτατφτ∑⎰⎰∑-=-=-=-=101)()()()()0(n k t k k t n k k k ff d u B A d Bu A x ττταττταkt k u d u f=⎰)()(ττταUQ u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k kk -=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=--=∑ 321121],,,[)0(能控性矩阵Q C =[B ，AB ，A 2B ，…A n-1B]满秩。

对于单输入系统，Q C =[b ，Ab ，A 2b ，…A n-1b] 如果系统是完全能控的，称（A 、B ）或（A 、b ）为能控对。

第3章 能控性和能观性


t 0, t 1
0
W (0, t1 ) 奇异，
与已知条件矛盾
rank W n
说明：1.
在应用格拉姆矩阵判据时计算矩阵指数
函数以及积分的计算量非常大，所以这一判据主要 用在理论分析中。 2. 矩阵W可以利用Matlab函数ctrb(A,B)来计算， 不过其计算在数值上容易导致病态，所以建议使用
1.2 可观性
［例］电路 ((信息)观测的可能性)
如果 u 0，不管电容储存了多少电荷, 由于 y 0 无法知道状态（信息） 图 假定输入恒为0
u
R
R C R
y
R
(信息)观测的可能性
y ce At x0 （未知量
有输入时
At t
(u 0) x0 ）
y y ce
0
y ce x0 ce A(t )bu( )d

, T An1B 0
B AB
T

系统不可控。
n1 T A B W 0 rank W n
充分性：证明过程与上相反。
所以输入维数增加 那么特征值 i 不可控。 约当标准形判据 线性定常系统可控的充分必要条件是 系统可控的可能性增加。
T i T i
t 0 A( t )
bu ( )d 可将它看做输出
已知
可观性的直观意义和定义
所谓系统可观是指通过观测系统的外部变量即输 入输出变量就能正确地知道系统的内部状态。 定义 如果基于有限长的输入输出数据:
u(t ), y(t ),
0 t T
能唯一地确定系统的初始状态 x0 ，则称点 x0 可观 测。进一步，如果状态空间中任意的初始状态 x0 都可观测，则称系统可观测。

能控性及能观测性

第三章：控制系统的能控性及能观测性(第五讲)内容介绍：能控性和能观测性定义、判据、对偶关系、标准型、结构分解。

能控性和能观测性是现代控制理论中最基本概念，是回答：“输入能否控制状态的变化”及“状态的变化能否由输出反映出来”这样两个问题。

换句话说，能控性是“能否找到一向量u(t)有效控制x(t)变化”。

能观测性问题是：“能否通过输出y(t)观测到状态的变化。

”一、能控性定义及判据 给出一个多变量系统（多输入、多输出）若系统G(s)在适当的控制u(t)作用下，每个状态都受影响，亦在有限的时间内能使系统G 由任意初始状态转移到零状态，或者说在有限的时间内能使系统由零状态转移到任意指定状态。

这说明：输入对状态的控制能力强，反之若G 的某一状态根本不受影响，那么在有限时间内就无法利用控制使这个状态变量发生变化。

说明输入对状态控制能力差。

可见：反映输入对状态控制能力的概念是能控性概念。

1． 定义：若对系统，在时刻的任意状态x()都存在一个有限的时间区间（ξt t ,0）（0t t 〉ξ）和定义在[]ξt ,t 0上适当的控制u(t),使在u(t)作用下x()=0。

则称系统在时刻是状态能控的。

如果系统在有定义的时间区域上的每一时刻都能控，称系统为完全能控。

()x u x 01011012=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=考查能控性？状态变量图（信号流图）：y2由于u 的作用只影响不影响，故()t x 2为不能控。

某一状态不能控，则称系统不能控。

2．判据：u 1 ： y1：对线性定常系统=Ax+Bu ，若对某一时刻能控，则称系统完全能控。

设： p输出 n n A *、p n B *、n m C *给出一定理：由=Ax+Bu 所描述的系统是状态完全能控的必要且充分条件为下列n ×np 阵的秩等于n 。

=BAB ……B A n 1-称为能控性阵。

换言之：系统的状态完全能控的必要且充分的条件是能控性阵的秩为n 。

能控性和能观测性分析


.1.2 能控性判据 按定义，要求寻找到一个具体的控制律。 由 可得 矩阵指数函数 可以表示成有限项的和 记 则转化成线性方程组的求解问题
例检验由以下状态方程描述的系统的能控性： 解 能控性检验矩阵 不是满秩的，故系统不能控。
例3.1.2 倒立摆系统线性化状态空间模型的系数矩阵是 能控性检验矩阵 故系统是能控的。
3.3 能控能观性的对偶原理
由于 定理3.3.1 能控的充分必要条件是 能观 能观标准型（能控标准型的转置）是能观的
对于互为对偶的系统 系统（I）能控（能观）的充分必要条件是系统（II）能观（能控）。 优点：能观（能控）性问题可以转化为能控（能观）性问题来处理。 例 能观与能控标准型互为对偶系统(特征多项式同)
2。若 非奇异，则可以构造出将非零初始状态转移到零状态的控制律
3。若系统能控，由（1），可在任意短时间内将非零状态转移到零状态 称为能控格拉姆矩阵
定理的说明
.1.3 能控性的性质 能控性基于状态方程系数矩阵A、B定义。 定理3.1.3 等价的状态空间模型具有相同的能控性。 由T是非奇异矩阵可得结论。
在 中的零极相消 考虑 没有零极相消的充分必要条件是 ，能控！
在 中无零极相消 考虑 类似可得 是能观的充分必要条件。 例 判别系统的能控性 显然系统不能控！
例3.1.8 判断以下系统的状态和输出能控性 系统的状态能控性矩阵 由于 ，故系统不是状态完全能控的。 输出能控性矩阵 显然它是行满秩的，故输出能控。 结论：系统输出能控，但不是状态能控的。
3.2 系统的能观性
所考虑的系统 状态变量未必都可以从外部观测到！ 1。检测手段的限制； 2。一些状态变量不是物理量。 问题：如何（可否）通过输入输出信息来了解系统内部的状态？

现代控制理论基础_周军_第三章能控性和能观测性

3.1 线性定常系统的能控性线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。

当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。

这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。

并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。

还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。

并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。

能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态空间结构的关系。

第一节线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。

状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：一、离散系统的状态可控性引例设单输入离散状态方程为：初始状态为：用递推法可解得状态序列：可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。

系统中只要有一个状态变量不受控制，便称作状态不完全可控，简称不可控。

可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。

下面来进行一般分析。

设单输入离散系统状态方程为：(3-1)式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩阵：表示离散瞬时，为采样周期。

初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方便，且不失一般性地假定。

单输入离散系统状态可控性定义如下：在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。

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5
3.1.2 线性系统能控性的判据
x&(t) = Ax(t) + Bu(t)
1、线性定常连续系统可控性的格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统{A，B} 状态完全可控的充要条件是：存在时
刻t1>0，使如下定义的可控性格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。
∫Δ
Wc (0, t1) =
t1 e− Aτ BB T e− ATτ dτ
,τ
)dτ
10
2、线性定常连续系统能控性的秩判据
线性定常连续系统{A，B} 状态完全能控的充要条件是：
能控性判别阵S行满秩，其中
为能控性判别阵。S = [BM ABM A2BMLM An−1B]
证明:充分性：已知S满秩，证系统能控。
用反证法，假设rankS=n，而系统不能控，那么根据格拉姆矩
阵判据可知
第三章 线性系统的 能控性和能观测性
1
3.1 线性连续系统的能控性 线性连续系统的能控性概念 线性连续系统的能控性判据 线性连续系统的能控性指数
2
3.1.1 线性连续系统能控性的概念
1、状态能控
x&(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
对于系统{A(t)，B(t)} 及某一个特定的初始状态xi(t0)。若 对每一个tf＞t0，总有定义在时间域[t0，tf]上的控制函数u(·)，能 把系统{A(t)，B(t)}从初始状态xi (t0)，转移到状态xi (tf)=0，则 称该系统的这一特定状态xi (t0)在t0时刻是能控的。 若xi (t0)对所有初始时刻都是能控的，则称xi (t)为一致能控的。
3
2、系统状态完全能控 如果系统的每一个状态xi (t0)(i=1~n)都能控，则称该系
统为状态完全可控，简称状态能控。 物理意义是： 不论初始状态在何处，通过控制函数u(t)，可以将初始状态 转移到原点位置。 相关概念——能达性：初始状态在原点位置，可以通过控制 函数u(t)，可以将初始状态转移到状态空间中任意指定位置。
∫Δ
Wc (0, t1) =
t1 e− Aτ BB T e− ATτ dτ
0
为奇异，即存在一个非零n维向量α使
∫ α TWc (0, t1)α =
t1 α T e− Aτ BB T e− ATταdτ
0
∫= t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0 0
α T e− Aτ B = 0, ∀t ∈[0, t1]
采用反证法，假设系统能控，而Wc(0,t1)是奇异，那么一定存在
一个非零的向量 x0 使下式成立
x0TWc (0, t1)x0 = 0
∫t1
0
x0T e− Aτ BBT e− ATτ
⋅ x0dτ
=
0
∫t1 [BT e−ATτ
0
⋅ x0 ]T BT e−ATτ
⋅ x0dτ
=
0
∫t1
0
BT e− ATτ
线性定常连续系统{A，B} 状态完全能控的充要条件是：存在时
刻t1>0，使如下定义的格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。对于
∫Δ
Wc (0, t1) =
t1 e− Aτ BB T e− ATτ dτ
0
对于初始时刻不为零的情况，格拉姆（Gram)矩阵为
∫ τ Δ
Wc (t0 , t1) =
e BB e d t1 − A(τ −t0 )
4
3、线性连续系统的输出能控性
x&(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)})及某一个特定的初始输出y(t0)。 若对每一个tf＞t0，总存在定义在时间域[t0，tf]上的控制函数 u(·)，能把系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)}从初始输出y(t0)，转 移到任意输出y(tf)，则称该系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)}为输 出完全能控的。 物理意义是： 不论初始输出在何处，通过控制函数u(t)，可以将初始输出 转移到指定位置。 这个问题实际上是系统设计的基本问题。
0
=0
∫ ∫ x0
= −e− At1
t1 e A(t1−τ ) Bu (τ )dτ
0
= − t1 e−Aτ Bu(τ )dτ 0
∫ x0
2
=
x0T x0
= [−
t1 0
e−
Aτ
Bu
(τ
)dτ
]T
x0
∫ =
−
t1 0
u
T
Hale Waihona Puke (τ)BT
e
−
ATτ
x0
dτ
=0
向量 x0 为零，与假设矛盾，必要性得证。
9
1、线性定常连续系统可控性的格拉姆矩阵判据
⋅ x0
2
dτ
=0
BT e− ATt ⋅ x0 = 0, ∀t ∈[0, t1]
8
BT e− ATt ⋅ x0 = 0, ∀t ∈[0, t1]
其中 x0 ≠ 0,
而因为系统完全能控，对于这样一个非零向量 x0 找到一个控制
量u，使得
∫ x(t1) = eAt1 x0 +
t1 e A(t1−τ ) Bu (τ )dτ
T − AT (τ −t0 )
t0
实际上，对于线性时变系统也存在类似的能控性判据
线性时变连续系统{A(t)，B (t)} 状态完全能控的充要条件是：存
在时刻t1> t0 ，使如下定义的格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。
∫Δ
Wc (t0 , t1) =
t1 t0
Φ(t0
,τ
)
B(t
)
BT
(t
)Φ
T
(t
0
⋅Wc−1(0, t1)x0
= 0 = e At1 x0 − e At1 ⋅Wc (0, t1) ⋅Wc−1(0, t1)x0
结果表明，对于任一x0≠0，存在有限时间t1>0和控制量u(t)， 使状态由x0转移到t1时刻x(t1 ) ＝0。充分性得证。
7
再证必要性：即系统能控那么Wc(0,t1)一定非奇异。
t1
)
x0
,
t ∈[0, t1]
∫ x(t1) = e At1 x0 +
t1 e A(t1−τ ) Bu (τ )dτ
0
∫ = e At1 x0 − e At1
t1 0
e
−
Aτ
BB
T
e
−
ATτ
Wc−1
(0,
t1
)
x0
dτ
∫ = e At1 x0 − e At1
t1 0
e− Aτ
BB T
e− ATτ
dτ
0
证明:充分性，已知Wc(0,t1)非奇异，证明系统完全能控。 因为Wc(0,t1)非奇异，那么Wc-1存在,因此对任意非零初始状态 x0，可构造控制u(t)为
u (t )
=
−BT
e−
AT
W t −1 c
(0,
t1 ) x0
,
t ∈[0, t1]
6
u (t )
=
−BT
e−
AT
W t −1 c
(0,