★ 专题一 数与式的运算
【要点回顾】 1．绝对值
[1]绝对值的代数意义： ．即
||a = ．
[2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]
两
个
绝
对
值
不
等
式:
||(0)x a a <>⇔
；
||(0)x a a >>⇔
．
2．乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
[1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++=
[公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3]
33a b =- (立方差公式)
说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式
[1]0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：
(1) 2
= ；(2)
= ；(3) = ； (4)
= ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a 的平方根，记作
0)x a =≥(0)a ≥叫做a 的算术平方根．
[3]立方根的概念： 叫做a 的立方根，记为
x =4．分式
[1]分式的意义 形如
A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A
B
为分式．当M ≠0
时，分式
A
B
具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式
A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B
就叫做繁分式，如2m n p
m n p
+++，
说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
【例题选讲】
例1 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4． 例2 计算： （1
）2
2
1
()3
x +
（2）2211111
()()5225104
m n m mn n -
++ （3）4
2
(2)(2)(416)a a a a +-++ （4）2
2
2
22
(2)()x xy y x xy y ++-+
例3 已知2
310x x -==，求3
31
x x +
的值． 例4 已知0a b c ++=，求111111
()()()a b c b c c a a b
+++++的值．
例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
（1）
（2）
1)x ≥
（3）
（4）
例6
设x y =
=
33
x y +的值． 例7 化简：（1）11x
x x x x
-+
- （2）222
396127962x x x x x x x x ++-+---+ （1）解法一：原式
=
22
2(1)1
1(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
++=====--⋅+-++--+-++ 解法二：原式=22(1)1
(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
++====
-⋅-+-++-
-+-⋅ （2）解：原式
=222
3961161
(3)(39)(9)2(3)3(3)(3)2(3)
x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=---++-+-+--
22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)
x x x x x x x x x x +-------===+-+-+
说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再
进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．
【巩固练习】
1． 解不等式
327x x ++-<
2．
设x y ==22
x xy y x y +++的值．
3． 当2
2
320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22
a b a b b a ab
+--的值．
4．
设x =
，求42
21x x x ++-的值． 5． 计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-
6．化简或计算：
(1) 3÷
(2)
(4) ÷
1 A 0 C |x －1|
|x －3|
答案：
例1 （1）解法1：由20x -=，得2x =；
① 若2x >，不等式可变为21x -<，即3x <；
② 若2x <，不等式可变为(2)1x --<，即21x -+<，解得：1x >． 综上所述，原不等式的解为13x <<．
解法2： 2x -表示x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等
式21x -<的几何意义即为x 轴上坐标为x 的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为13x <<．
解法3：2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<，所以原不等式的解为13x <<．
（2）解法一：由10x -=，得1x =；由30x -=，得3x =；
①若1x <，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1，∴x ＜0；
②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4， 解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4．
综上所述，原不等式的解为x ＜0，或x ＞4．
解法二：如图，1x -表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA |，即|PA |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x
－3|．
所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA |＋|PB |＞4．由可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．
所以原不等式的解为x ＜0，或
x ＞4． 例2（1）解：原式=2
2
1[()
]3
x ++
222222111
()()()2(22()333
x x x x =
++++
⨯+⨯⨯
4
3
281339
x x x =-+
-+ 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． （2）原式=3
3
33
1
111()()5
2
1258
m n m n -=
- （3）原式=2
4
2
2
23
3
6
(4)(44)()464a a a a a -++=-=- （4）原式=2
2
22
2
2
2
()()[()()]x y x xy y x y x xy y +-+=+-+
3326336()2x y x x y y =+=++
例3 解：
2310x x -== 0x ∴≠ 1
3x x
∴+
= 原式=222
21111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x +-+=++-=-=
例4 解：
0,,,a b c a b c b c a c a b ++=∴+=-+=-+=-
