数与式的运算、因式分解(教师版)

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八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解第1课时因式分解及提公因式法教案华东师大版(202

八年级数学上册第12章整式的乘除12.5 因式分解第1课时因式分解及提公因式法教案（新版）华东师大版
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因式分解及提公因式法。

秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解第1课时因式分解及提公因式法导学课件新版华东师大版

12.5 因式分解
目标突破
目标一理解因式分解的概念
例 1 [教材补充例题] 下列变形属于因式分解的是( D ) A. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 B.x12－y12＝1x＋1y1x－1y C. x4y3＋x3y4－x2y4＝x2y2(x2y＋xy2－y2) D. a2b3＋ab2＝ab2(ab＋1)
【归纳总结】运用提公因式法分解因式的基本步骤： (1)确定应提取的公因式； (2)用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； (3)把多项式写成这两个因式的积的形式．
12.5 因式分解
注意：(1)公因式既可以是单项式，也可以是多项式． (2)确定一个多项式各项的公因式时，不仅要考虑字母因式，还要考虑系数．对于系数，取各项系数的最大公因数作为公因式的系数；对于字母因式，取相同字母因式的最低次幂． (3)若首项系数是负数，一般要先提出负号． (4)提公因式时，如果某项就是公因式或与公因式互为相反数，那么提取后不能漏掉±1. (5)将多项式分解因式时，必须分解到不能再分解为止．
12.5 因式分解
知识点二提公因式法
定义：把一个多项式的各项都含有的相同的因式提出来，将多项式写成因式的积的形式，这种因式分解的方法，叫做提公因法．
[点拨] 提公因式法的实质是逆用分配律．
12.5 因式分解
反思
计算：(x－2)2＋(x－2)(x＋6)．解：原式＝(x－2)(x－2＋x＋6) ＝(x－2)(2x＋4)＝2(x－2)(x＋2) ＝2(x2－4) ＝2x2－8. (1)错因分属于整式乘法．B项不是整式．C项还可以继续分解，犯了分解不彻底的错误．故选D.
12.5 因式分解
【归纳总结】因式分解的四点注意： (1)因式分解的对象是多项式，不是多项式的代数式的变形不能称为因式分解； (2)因式分解的结果是几个整式的积的形式，不是和或其他形式； (3)因式分解的结果中的每个因式都是整式(单项式或多项式)； (4)因式分解与整式乘法是两个互逆的运算过程．因式分解的结果是否正确，可以利用整式乘法将其还原成多项式来检验．

2020-2021学年北师大版数学八年级下册下册第四章因式分解(教案)

此外，实践活动环节，学生们动手操作实验，将因式分解的理论知识应用到实际中，这个过程对他们的理解有很大帮助。但我也发现，实验操作过程中，有些学生还是依赖性较强，希望我能够给出明确的指示。针对这一点，我打算在接下来的教学中，逐步培养学生们的独立思考能力，鼓励他们在实验中自主探索。
在学生小组讨论环节，我对每个小组的成果进行了点评，发现大家在分析问题和解决问题的能力上有所提高。但在讨论过程中，时间分配不够合理，导致有些小组的பைடு நூலகம்论不够充分。为了改善这个问题，我计划在下次教学中，更加注意时间管理，确保每个小组都有足够的时间进行讨论。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解因式分解的基本概念。因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式。它在简化计算、解决问题等方面具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分解多项式，展示因式分解在实际中的应用，以及它如何帮助我们简化计算和解决问题。
举例解释：
-重点讲解因式分解的基本原理，通过具体例题展示如何将多项式分解为因式的乘积。
-强调找公因式的重要性，并通过多个例题演示如何提取公因式。
-详细解释平方差公式(a²-b²)和完全平方公式(a±b)²，并通过练习题巩固应用。
-结合实际情境，展示如何利用因式分解求解问题，如计算长方形面积时，将多项式因式分解后求值。
2.教学难点
-难点在于理解多项式分解的必要性和可能性，以及如何选择合适的分解方法。
-对于提取公因式时，学生可能会遇到找不全或找错公因式的问题。
-在运用平方差公式和完全平方公式时，学生可能会混淆公式结构，导致应用错误。
-难以将因式分解的理论知识与解决实际问题有效结合。
举例解释：

数学八年级上册第十四章第三节《因式分解》

设计意图：学生通过学习目标，明确本节课的学习方向以及要掌握的主要知识点，便于更好的开展学习。
说设计
四、导学交流，探究发现一（4分钟）
想一想： a2-b2=(a+b)(a-b) ， a2-2ab+b2 = (a-b)2 ， x2-x=x(x-1) 这三个等式从运算过程看有什么共同点？由此你能得出因式分解的定义吗？
且学习了整式的乘法运算。因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习因式分解打下了良好基础。
学生已有的学习方式和学习习惯：由整式乘法寻求因式分解的方
法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，在教学当中尽量要让学生自己去探索如何去解决问题。本班的个别学生观察、讨论、发现归纳能力较差，因此在教学过程中教师要多加引导，并结合星级评价提高学生自主学习及合作学习的热情。
设计意图：学生通过观察，交流，归纳总结，得出因式分解的概念，提升学生的分析、归纳能力，渗透化归的数学思想方法。遵循从具体到抽象的原则，让学生经历从具体实例中抽象出概念的活动，从而顺利地掌握重点。
1
b 说设计
五、应用训练，巩固新知一（3分钟）
1.下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ； (2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)； (3)2m(m-n)=2m2-2mn； (4)4x2-4x+1=(2x-1)2； (5)3a2+6a=3a（a+2）； (6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x； (7) 据我们数学学科的特点，及数学新授课模式，确定本节课模式：

冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》(同步教学设计)

冀教版七年级数学下册第十一章《因式分解》（同步教学设计）单元备课第 11单元本单元所需课时数5课时课标要求1.在经历建立因式分解概念的过程中,了解分解因式的意义。

2.能用提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)分解因式。

3.引导学生经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识的内在联系。

4.在建立因式分解概念与探索分解因式方法的过程中，进一步发展学生观察、归纳和概括的能力，发展学生的运算能力和推理能力。

教材分析本章内容主要用于代数式的恒等变形，是数与代数知识后续学习的基础。

因式分解是以整式运算为基础的，是整式的一种恒等变形，也是后续学习分式的化简与运算、解一元二次方程的重要基础.同时,它还有助于进一步发展学生的观察、发现、归纳和概括的能力以及分析问题和解决问题的能力。

主要内容本章的主要内容是因式分解的概念和分解因式的两种方法.提公因式法是分解因式最基本的方法,它实质上是单项式和多项式或多项式和多项式相乘的逆过程。

公式法是逆用整式的乘法公式，对某些多项式进行分解因式的方法。

教学目标1.在经历建立因式分解概念的过程中,了解分解因式的意义。

2.能用提公因式法、公式法(平方差公式、完全平方公式)分解因式。

3.引导学生经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识的内在联系。

4.在建立因式分解概念与探索分解因式方法的过程中，进一步发展学生观察、归纳和概括的能力，发展学生的运算能力和推理能力。

课时分配11.1 因式分解 1课时11.2 提公因式法 1课时11.3 公式法 2课时教学活动回顾与反思 1课时教与学建议1.要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解,培养学生逆向思考问题的习惯。

因式分解与整式乘法之间具有互为逆过程的关系。

在因式分解概念教学时,要重视运用这种关系进一步加深对因式分解的理解,在探索因式分解的方法的活动中,教师要坚持运用这种关系更好地促进学生领会提公因式法因式分解与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系，领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系,进一步巩固“因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验”，从而培养学生逆向思考。

2019年中考数学总复习第一单元数与式第03课时整式运算与因式分解课件湘教版201901151110

UNIT ONE第一单元　数与式第 3 课时　整式运算与因式分解课前双基巩固考点聚焦考点一　整式的相关概念数和课前双基巩固次数最高相同课前双基巩固考点二　整式的运算系数课前双基巩固课前双基巩固课前双基巩固考点三　因式分解【温馨提示】因式分解必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.课前双基巩固对点演练题组一　教材题DB课前双基巩固85课前双基巩固题组二　易错题【失分点】混淆幂的运算法则;对完全平方公式和平方差公式张冠李戴;因式分解时分解不彻底;对单项式的系数、次数的概念理解不清,容易出现错误.DB课前双基巩固A3课堂考点探究[方法模型](1)列代数式表示实际问题中的数量关系时,首先要准确分析出问题中存在的数量关系,然后用数或字母表示出来;(2)用代数式表示规律时,首先从简单的情况入手,找出图形或算式变化与序数(数字)之间的关系,并用特殊情况验证这一变化规律,从而得出答案.课堂考点探究探究二　求代数式的值【命题角度】(1)根据已知条件,用直接代入法求代数式的值;(2)将已知条件或待求式变形,利用整体代入法求值;(3)根据程序运算求值.课堂考点探究图3-2课堂考点探究52[方法模型](1)代入求值时,当字母的值是负数时,要注意加上括号;(2)字母的取值必须使代数式有意义;(3)在代入数值计算之前,要先将代数式化为最简形式;(4)当字母的值没有给出或不易求出时,可考虑整体代入求值.课堂考点探究针对训练课堂考点探究探究三　整式及其运算考向1　整式的相关概念课堂考点探究考向2　幂的运算CD课堂考点探究考向3　整式的化简及求值课堂考点探究强化训练CBA课堂考点探究课堂考点探究探究四　因式分解的概念与方法【命题角度】(1)运用提公因式法、公式法进行因式分解;(2)利用因式分解进行化简求值.D课堂考点探究课堂考点探究针对训练BC课堂考点探究探究五　几何拼图与乘法公式【命题角度】利用几何图形验证公式.图3-3课堂考点探究针对训练图3-4。

《因式分解》公开课教学PPT课件【北师大版八年级数学下册】

ma+mb+mc=(m)( a+b+c)
m2-16 =( m+4 )( m-4 )
y2-6y+9 =( y-3 )2
a3-a =( a )( a+Байду номын сангаас)( a-1 )
新课讲解
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到 a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
拓展应用
解：根据题意可得，
2 R 2 r 10
2 (R r) 10
R r 10
2
R–r
所以，铁丝与赤道之间均匀的间隙为
10
2
米.
课堂小结
1. 把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式;
2. 分解因式与整式乘法是互逆过程; 3. 分解因式的结果要以积的形式表示； 4. 分解后的每个因式必须是整式，次数都低于原来的多项式的次
拓展应用
2. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004
=2004(2004+1) =2004×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
拓展应用
假如用一根比地球赤道长10米的铁丝将地球赤道围起来, 那么铁丝与赤道之间均匀的间隙能有多大(赤道看成圆形，设地球的半径为r，铁丝围成圆形的半径为R)?
数； 5. 必须分解到每个多项式不能再分解为止. 6. 分解因式在实际问题中的应用.

初三升高一数学暑假班衔接课：01—数与式的运算-教师版

高一数学暑假班（教师版）高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）1 / 27在初中，我们已经学习了实数，知道字母可以表示数，用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式、分式、根式，它们具体细分又会包含单项式、多项式、绝对值、数幂等不同的小的类型，它们都具有实数的属性，可以进行运算．由于在高中学习中我们会经常遇到由代数式组成的各种混合运算，因此也需要较为复杂的公式结构和几何意义来进行辅助，比如：绝对值的几何意义、立方和差公式、杨辉三角公式、三种常见非负数形式等．一、绝对值1、绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）3 / 274 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．3、两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．【例1】解不等式：13x x -+-＞4．【难度】★★【答案】0<x 或4>x【解析】解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =；①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4，解得x ＞4．又x ≥3，∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，5 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4．【例2】（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值.（4）求987-+-+-x x x 的最小值.【难度】★★【答案】（1）当x=3时，3-x =0为最小值；（2）当x=-2时，25+-x =5为最大值；（3）当54≤≤x 时取最小，则54-+-x x =1为最小值；（4）当x=8时取最小，则987-+-+-x x x =2为最小值.【例3】（1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，6 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）当A 、B 两点中一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=； ②如图3，点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=； ③如图4，点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=.综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=.图1 图2 图3 图4 （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是，如果2=AB ，那么x 为；③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是；④求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值.【难度】★★★【答案】①3，3,4；②|x+1|,1或-3；③21≤≤-x ；④找到1~1997的中间数999，当x=999时取得.B AO B (A)O B A O oA O o7 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）【巩固训练】1.解绝对值方程：321-=---x x x ．【难度】★★ 【答案】4=x【解析】分类讨论：x ＜1，1≤x ＜2，x ≥2，根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据解方程，可得答案．解：当x ＜1时，原方程等价于1﹣x ﹣（2﹣x ）=x ﹣3．解得x=2（不符合范围，舍）；当1≤x ＜2时，原方程等价于x ﹣1﹣（2﹣x ）=x ﹣3．解得x=0（不符合范围，舍）；当x ≥2时，原方程等价于x ﹣1﹣（x ﹣2）=x ﹣3．解得x=4，综上所述：x=4．本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，此外也可以通过数形结合来解题．二、乘法公式（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+；（3）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（5）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（6）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；8 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）（7）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．引申：n 次方差公式；()()()()()()???322344223322=-+++-=-++-=-+-=-n n b a b ab b a ab a b a b ab a b a b a b a b a b a根据以上规律，可以归纳出乘法公式：()()n n n n n n b a b ab b a a b a -=++++-----1221 （n 为非零自然数）将等号左右两边倒一下得：()()1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a （n 为非零自然数）这个公式称为n 次方差公式；由这个公式易得())(n n b a b a --；定理：若n 为正偶数，则())(n n b a b a --与())(n n b a b a -+同时成立；【例4】计算：（1）22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++；（2）22222))(2(y xy x y xy x +-++；（3）22312(+-x x ；（4）()()()()1111842++++a a a a ．【难度】★★【答案】（1）解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++=61x -．9 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．（2）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=．（3）原式2231)2([+-+=x x222222111()()()2(22()333x x x x =++++⨯+⨯⨯4328139x x x =-++．（4）1116--=a a 原式．【例5】已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【难度】★★【答案】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【例6】分解因式：（1）2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++；（2）432673676x x x x +--+．【难度】★★【答案】（1）原式=22[(48)2][(48)]x x x x x x ++++++ =22(68)(58)x x x x ++++ =2(2)(4)(58)x x x x ++++10 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）（2）原式=4226(1)7(1)36x x x x ++--=422226[(21)2]7(1)36x x x x x x -+++-- =22226(1)7(1)36x x x x -+-- =22[2(1)3][3(1)8]x x x x ---+ =22(232)(383)x x x x --+- =(21)(2)(31)(3)x x x x +--+．【巩固训练】1．已知335252-++=x ，求533-+x x 的值．【难度】★★ 【答案】1- 【解析】()()()()()1552525131353333531152,52,52,52332233333333-=-++-=-+++++=-+++++=-+++=-=⇒-=⇒+=-==+=-ab b ab a b a b a ab b a b a b a b a ab ab b a b a 原式即令2．已知96333=-+z y x ，4=xyz ，12222=++-++xz yz xy z y x ，求z y x -+的值．【难度】★★★ 【答案】911 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）【解析】()()()()[]()()()()9123333310812963222222222233333333=-+∴=-++++-++++-+=-+-++++-+=+---+=+-+=+=+-+z y x xy yz xz z y x xy yz xz z y x z y x z y x xy z y x z y x z y x xyzxy y x z y x xyzz y x xyz z y x 解：3．分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-．【难度】★★【答案】令a x y =+，b xy =，则原式=2(1)(2)(2)b a a b -+-- =221222a b a b ab ++-+- =2(1)a b -- =2(1)x y xy +-- =2[(1)(1)]x y --- =22(1)(1)x y --三、二次根式1、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程．2a==,0,,0.a aa a≥⎧⎨-<⎩【例7】试比较下列各组数的大小：（1；（2和【难度】★★【答案】见解析【解析】（11===，===，>，．（2）∵===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，＜【例8】化简：（1（21)x<<．12 / 27高一数学暑假课程数与式的运算（教师版）13 / 27【难度】★★ 【答案】见解析【解析】（1）原式===2=2=．（2）原式1x x=-， ∵01x <<，∴11x x>>，所以，原式＝1x x-．【例9】化简22)1(111+++n n ，所得的结果为（） A ．1111+++n nB ．1111++-n nC ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【难度】★★ 【答案】C【解析】方法一：通过通分，然后整理配平方来解题1111)()1(2222+-+=+++=n n n n n n数与式的运算（教师版）方法二：可利用特值法将A、B、D一一排除。

人教版八年级数学上册教案第十五章整式的乘除与因式分解

人教版八年级数学上册教案第十五章整式的乘除与因式分解一、教学目标1.了解整式的概念，掌握整式的加减乘除等基本运算法则。

2.能够将一个多项式因式分解为一次项的积和二次项的积等形式，并掌握利用整除关系和公式进行因式分解的方法。

3.能够运用简单数的知识，解决实际问题，提高逻辑思维能力。

二、教学重点和难点重点1.整式的概念和基本运算法则。

2.多项式的因式分解，利用整除关系和公式进行因式分解。

难点1.将多项式因式分解为一次项的积和二次项的积等形式。

2.利用简单数的知识解决实际问题。

三、教学内容和方法教学内容1.整式的概念和基本运算法则，包括多项式的加减乘除。

2.多项式的因式分解。

教学方法1.讲解法：通过讲解，让学生掌握整式的概念和基本运算法则，并将多项式分解为一次项的积和二次项的积等形式。

2.练习法：通过练习，巩固知识点，提高解题能力。

3.探究法：通过探究实际问题，激发学生解决实际问题的兴趣和能力。

四、教学过程1. 整式的概念和基本运算法则1.引入例：小明拿到了如下一张表格，请你们看看这张表格，表格中的运算都有什么特点呢？a b c d23574610148122028在本章中，我们要学习的就是多项式的运算，它与这个表格有一定的联系。

你们能看出来吗？2.知识点讲解•定义1：若ax2+b（a e0，b为常数）是一个代数式，则称其为一个二次多项式（简称二次式），其中x是未知数。

•定义2：若多项式中每一项的次数都相同，则称其为整式。

•加减法：整式相加或相减时，将同类项的系数相加或相减，不同类项的系数保持不变。

•乘法：整式相乘时，将每一项的系数分别相乘，幂次相加，再将各项和起来即可，注意化简。

•除法：整数的除法不能简单地用分数表示，同样地，整式的除法也不能简单地用分母式来表示。

此处需要老师进行解释，建议采用韦达定理进行讲解。

3.练习请同学们将以下整式相加或相减：•(3x2+5x−2)+(2x2−3x+1)参考答案：5x2+2x−12. 多项式的因式分解1.引入在上面的练习中，我们要完成的就是两个整式的加减运算。

§1.1 数与式的运算(1.2.3)_教师版

大良总校：0757-2222 2203 大良北区：0757-2809 9568 大良新桂：0757-2226 7223 大良嘉信：0757-2232 3900 容桂分校：0757-2327 9177 容桂体育：0757-2361 0393 容桂文华：0757-2692 8831 龙江分校：0757-2338 6968 北滘分校：0757-2239 5188 乐从分校：0757-2886 6441 勒流分校：0757-2566 8686 伦教分校：0757-2879 9900 均安分校：0757-2550 6122 南海桂城：0757-8633 8928 南海黄岐：0757-8599 0018 金色家园：0757-8630 6193 禅城玫瑰：0757-8290 0090 南海大沥：0757-8118 0218 南海丽雅：0757-8626 3368 佛山高明：0757-8828 2262 中山小榄：0760-2225 9911 石岐北区：0760-8885 2255 石岐东区：0760-8888 0277 §1.1 数与式的运算(1. 绝对值、2.二次根式、3.乘法公式)【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义：1.正数的绝对值是它的本身．2. 负数的绝对值是它的相反数．3. 零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩[2]绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离的距离．[3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示_表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．[4]两个绝对值不等式：（1）||(0)x a a a x a <>⇔-<<；（2）||(0)x a a x a >>⇔<-或x a >． [5]两个负数比较大小：绝对值大的反而小。

[6]非负数的应用：若,0=+b a 则a=_0且b=_0_。

初中数学课件-因式分解经典课件北师大版3

4. 如何找公因式。
带着以上问题，自学课本 p114115
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复习分解因数：
(1)6 23 ;
(2)122 23;
一个整数写成什么形式？把一个整数写成几个整数的乘积的
形式叫做因数分解。
1、分别写出下列多项式的公因式：
(1) axay
( a)
(2) 3x3y412x2y
( 3x2y )
(3) 2a 3 5 b 2 1a 2 5 b 5 a 3 b 3 ( 5a2b )
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18和30的最小公倍数是 2×3×3×5＝90
把所有的除数和最后的两个商连乘起来，就得到这两个数的最小公倍数
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教学目标
1．什么叫因式分解？
2. 整式乘法与因式分解的区别
3. 什么是公因式？
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因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积
的形式，叫做把这个多项式因式分解 (分解因式)。
ma mb m (ab)
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因式分解
公因式
a 3x
③4a2b+10ab2 2ab
④x4y3+x3y3

北师大版初中数学因式分解教案

教案北师大版初中数学因式分解教案教学目标：1. 理解因式分解的概念和意义。

2. 学会运用提公因式法和公式法进行因式分解。

3. 能够解决实际问题中的因式分解问题。

教学重点：1. 因式分解的概念和意义。

2. 提公因式法和公式法的运用。

教学难点：1. 公式法的运用。

2. 解决实际问题中的因式分解问题。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 练习题。

教学过程：一、导入1. 引导学生回顾已学的乘法运算，如 a(b+c)=ab+ac。

2. 提问：能否将一个多项式表示为几个整式的乘积形式？二、新课讲解1. 讲解因式分解的概念和意义。

2. 讲解提公因式法，并通过例题进行演示。

3. 讲解公式法，包括平方差公式和完全平方公式，并通过例题进行演示。

三、课堂练习1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 教师巡回指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调因式分解的概念和意义。

五、课后作业1.布置相关的因式分解练习题，要求学生在课后独立完成。

教学反思：本节课通过讲解、演示和练习，让学生掌握了因式分解的概念、意义和运用方法。

在教学过程中，要注意引导学生理解因式分解的意义，培养学生运用提公因式法和公式法进行因式分解的能力。

同时，要加强课堂练习，及时解答学生疑问，提高学生的学习效果。

教案探索自然之美——初中生物生态系统的教案教学目标：1. 理解生态系统的概念和组成。

2. 掌握生态系统中生产者、消费者和分解者的作用。

3. 学会分析不同类型的生态系统，如森林、草原、湿地等。

教学重点：1. 生态系统的概念和组成。

2. 生产者、消费者和分解者的作用。

教学难点：1. 生态系统中各组成部分之间的相互关系。

2. 分析不同类型的生态系统。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 相关的生态系统图片或视频资料。

3. 练习题。

教学过程：一、导入1. 引导学生观察教室内的植物，提问：植物是如何生存的？2. 引导学生思考植物与其他生物之间的关系。

(完整版)因式分解复习教案(教师版)

因式分解复习教案(教师教学案)教学目标： 1。

复习巩固用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式的方法。

2.会综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式.教学重点：综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式。

教学难点：根据题目的结构特点，合理选择方法。

教师活动一、引入本章我们学习了分解因式，学习分解因式同学们要掌握以下知识：（1）什么叫分解因式？（2）怎样分解因式？或者分解因式有哪些方法？下面我们一起带着这些问题进行复习二、教授新课知识点1：分解因式的定义（教师和学生一起复习定义及特征,强调因式分解与整式的乘法的关系）思考：什么是分解因式?因式分解与整式的乘法有何关系分解因式的特征,左边是 , 右边是。

针对练习:下列选项,哪一个是分解因式（）（学生自主完成此题，并指出错在哪里）A ．x x x x x 6)3)(3(692+-+=+-B 。

103)2)(5(2-+=-+x x x xC 。

22)4(168-=+-x x xD 。

y x x y x ⋅⋅=552知识点2：分解因式的第一种方法—-——--提公因式法思考：如何提公因式?（教师强调公因式公有的意思-——你有我有大家有才是公有）注意：(学生一起读一遍）公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数:取系数的最大公约数；（3）字母:取字母(或多项式）的指数最低的;（4）所有这些因式的乘积即为公因式（5）某一项被作为公因式完全提出时,应补为例如:1．的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________2．多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是（）A ．24ab c -B ．38ab -C ．32abD ．3324a b c3。

342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________提公因式法分解因式分类：1.直接提公因式的类型：（1)3442231269b a b a b a +-=________________；（2）11n n n a a a +--+=____________（3）423)()()(b a b a y b a x -+---=_____________（4）不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值 2.首项符号为为负号的类型：（1)33222864y x y x y x -+- =_________（2)若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时）如： 22188y x +-练习：1．多项式：aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-，那么另一个因式是( ）y x A 431..+-- y x B 431..-+ C y x 431--- D 。

北师版九年级数学 2.4用因式分解法求解一元二次方程(学习、上课课件)

方程的方法来求得一元二次方程的解. 这种解一元二次
方程的方法称为因式分解法.
体现了转化思想.
感悟新知
知1－讲
2. 用因式分解法求解一元二次方程的理论依据若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，
即若ab= 0，则a=0 或b=0.
达到降次的目的.
感悟新知
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知1－讲
3. 用因式分解法求解一元二次方程的基本思想通过因式分解实现“降次”，将一元二次方程转化
易错：千万不能将方程两边同时
除以(x－5) ，否
则方程会漏掉
x=5 这一根.
感悟新知
2-1. 解下列方程：
知2－练
①(x－2)2=5，② x2－2x＋1=0，③ x2＋ 2 x－3=0. 适当的方法为( A ) A. ①直接开平方法，② 因式分解法， ③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，② 公式法， ③ 因式分解法
方程的解
x1=0，x2=－b x1=a，x2=－a
x1=x2= a x1=－p，x2=－q
感悟新知
特别解读 ★用因式分解法解一元二次方程的关键：
知1－讲
1.将方程的右边化为0;
2.熟练掌握多项式因式分解的方法;
3.方程两边不能同时除以含有未知数的相同整式.
★常用的因式分解的方法：
1.提公因式法：ma＋mb＋mc=m(a＋b＋c)；
∴ x =－182±×2 332=－9±2 83.
∴ x1=－9＋2 83，x2=－9－2 83.
感悟新知
知2－练
(4)(x－5)2=2(x－5).
解：(因式分解法)移项，得(x－5)2－2(x－5)=0，

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数与式的运算一、乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： ⑴平方差公式22()()a b a b a b +-=-；⑵完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：⑴立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； ⑵立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；⑶三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；⑷两数和完全立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； ⑸两数差完全立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+- 【例1】计算：⑴)749)(7(2x x x +-+⑵)1)(1)(1)(1(22+-+++-a a a a a a(3)+ (4)2222[(2)][(2)]x y x y -+++答案：（1）3343x + （2）61a - （3）a cb +--(4)42242228816x x y y x y ++-++例题的设计意图(1)(2)两个例子让学生熟悉立方和与立方差公式（3）（4）利用整体代换思想简化运算。

二、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2(0)a a =≥(2)(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩(3)0,0)a b =≥≥(4)0,0)a b =>≥ 三、分式当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例2】化简（1（2）11xx x x x-+-例题的设计意图（1）考查根式的性质（2）繁分式的化简，我个人比较倾向解法二，运算速度快（1）解法一：因为222=+22426==+=0>=解法二：==2======2=====解法一：利用到a =和2a =，先计算原式的平方，然后再开方．（2）解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x++=====--⋅+-+-+++--+ 解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、求根法和分组分解法等等。

一、公式法(立方和、立方差公式)【公式1】2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++【公式2】3223333()a a b ab b a b +++=+【公式3】3223333()a a b ab b a b -+-=- 【公式4】3322()()a b a b a ab b +=+-+ 【公式5】3322()()a b a b a ab b -=-++ 【例1】把下列各式分解因式： ⑴33827x y --= ； ⑵3314()()2x y x y --+= ； ⑶32238365427x x y xy y -+-= ；⑷76x xy -= ；【答案】（1）22(23)(469)x y x xy y -+-+ （2）221(3)(763)2x y x xy y --+ （3）（3）3(23)x y -（4）2222()()()()x x y x xy y x y x xy y +-+-++二、十字相乘法一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解。

大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c写成1122a c a c⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．注意：1、十字相乘法思路：分解二次三项式，尝试十字相乘法。

分解二次常数项，交叉相乘做加法；叉乘和是一次项，十字相乘分解它。

2、并非所有的二次三项式都能用十字相乘法分解分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，【例2】把下列各式分解因式：⑴228x x +-=_______________ ；⑵276x x -+=___________ ；⑶2576x x +-=_______________ ；（4）226x xy y +- =_____________ （5）222()8()12x x x x +-++=______________ 【答案】⑴228(4)(2)x x x x +-=+-；⑵276(1)(6)x x x x -+=--；⑶2576(2)(53)x x x x +-=+-；（4）(3)(2)x y x y +-（5）(3)(2)(2)(1)x x x x +-+-【变式】用十字相乘法求下列方程的根⑴2280x x +-= ⑵2760x x -+=⑶25760x x +-= （4）222()8()120x x x x +-++=【答案】（1）4,2-（2）1,6（3）32,5-（4）3,2,1,2-- 【拓展】双十字相乘法对于某些二元二次六项式(22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++)，我们也可以用十字相乘法分解因式。

例如，分解因式2227225353x xy y x y ---+-．我们将上式按x 降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为 222(75)(22353)x y x y y -+--+可以看作是关于x 的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 222353(23)(111)y y y y -+-=--+。

再利用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解.所以原式=[(23)][2(111)](23)(2111)x y x y x y x y +-+-+=+--+上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法(双十字相乘法)。

具体步骤:分解形如22ax bxy cy dx ey f +++++的二次六项式,在草稿纸上，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如下图所示,j p m如果,,mq np b pk qj e mk nj d +=+=+=，即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则。

则22ax bxy cy dx ey f +++++()()mx py j nx qy k =++++【例】把下列各式分解因式：⑴222332x xy y x y +-+++=____________________________________________；⑵222341x xy y x y +----=____________________________________________； ⑶22414672x xy y x y -+-+-=____________________________________________；【答案】⑴222332(32)(1)x xy y x y x y x y +-+++=++-+ ⑵222341(231)(1)x xy y x y x y x y +----=++-- ⑶22414672(421)(32)x xy y x y x y x y -+-+-=-+-- 三、求根法如果关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个实数根21,x x ，那么多项式c bx ax ++2可以分解为))((212x x x x a c bx ax --=++。

由22121212()()()ax bx c a x x x x ax a x x x ax x ++=--=-++，比较系数得1212()a x x b ax x c -+=⎧⎨=⎩故1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩就得到韦达定理。

韦达定理：设12,x x 是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根，则1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【例3】把下列各式分解因式：⑴244x x +-=_________________；(2)2231x x +-=【答案】⑴244(22x x x x +-=+-++；(2))4173)(4173(21322+-++--=-+x x x x【例4】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494，∴| x 1－x 2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158．【点评】利用韦达定理求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等【重要结论】：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1b x -=，2b x -=， ∴| x 1－x 2|=||||a a ==．于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．【变式】已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得 m 2－16m －17＝0，解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m ＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可。