(完整版)初高数学衔接第一讲数与式的运算

第一章数与式的运算1、1 绝对值知识清单1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零，即(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。

3.两个数的差的绝对值的几何意义：ba-表示在数轴上，数a和数b之间的距离。

4.两个重要绝对值不等式：axaxaaxax＞或＜）＞（＞，＜＜）＞（＜-⇔-⇔0axaa；问题导入：问题1：化简：（1）：12-x（2) : 31-+-xx问题2：解含有绝对值的方程（1）642=-x; （2）: 5223=--x、问题3：至少用两种方法解不等式 41＞-x知识讲解例1：化简下列函数，并分别画出它们的图象：（1）！（2）x y =; （2）32+-=x y .例2：解不等式：431＞-+-x x{巩固拓展：1.（1）若等式a a -= , 则成立的条件是----------（2）数轴上表示实数 x 1,x 2 的两点A,B 之间的距离为--------2.已知数轴上的三点A,B,C 分别表示有理数a ，1，-1，那么1+a表示（ ）A 、 A,B 两点间的距离 B 、 A,C 两点间的距离C 、 A,B 两点到原点的距离之和D 、 A,C 两点到原点的距离之和 3.<4.如果有理数x ，y 满足()01212=+-+-y x x ，则=+22y x ______5.化简：（1）3223+=-x x ; （2）31--x6.已知 x= -2是方程612-=--m x 的解，求m 的值。

;6.已知a ，b ，c 均为整数，且 1=-+-a c b a ,求: c b b a a c -+-+-的值)方法指导学习本节知识，要充分领会绝对值的代数意义，从数和形两方面去研究，体会分类讨论与数形结合的两种数学思想方法。

1、2 二次根式与分式知识清单1.二次根式（1）二次根式的定义：形如a (a ≥0）的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义。

高中数学初高衔接教材精编版第一讲数与式的运算（选上）第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca 证明：?(a?b?c)2?[(a?b)?c]2?(a?b)2?2(a?b)c?c2?a2?2ab?b2?2ac?2bc?c2a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca?等式成立212x?)23122解：原式=[x?(?2x)?]3【例1】计算：(x?111?(x2)2?(?2x)2?()2?2x2(?2)x?2x2??2??(?2x)3338221?x4?22x3?x2?x?339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方和公式)证明: (a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：(a?b)(a?ab?b)2222322223332233 1解：原式=[a?(?b)][a2?a(?b)?(?b)2]?a3?(?b)3?a3?b3 我们得到：【公式3】(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：（1）(4?m)(16?4m?m2)（2）(m?151111n)(m2?mn?n2) 225104（3）(a?2)(a?2)(a4?4a2?16) （4）(x2?2xy?y2)(x2?xy?y2)2 解：（1）原式=4?m?64?m（2）原式=(m)?(n)?3331531231313m?n 1258（3）原式=(a2?4)(a4?4a2?42)?(a2)3?43?a6?64 （4）原式=(x?y)2(x2?xy?y2)2?[(x?y)(x2?xy?y2)]2?(x3?y3)2?x6?2x3y3?y6说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．1的值． x312解：?x?3x?1?0 ?x?0 ?x??3x1211122原式=(x?)(x?1?2)?(x?)[(x?)?3]?3(3?3)?18xxxx2【例4】已知x?3x?1?0，求x?3 说明：本题若先从方程x2?3x?1?0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知a?b?c?0，求111111a(?)?b(?)?c(?)的值． bccaab解：?a?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c?a??b?原式=a?b?ca?ca?b?b??c? bcacaba(?a)b(?b)c(?c)a2?b2?c2????? ①bcacababc 2?a3?b3?(a?b)[(a?b)2?3ab]??c(c2?3ab)??c3?3abc?a3?b3?c3?3abc ②，把②代入①得原式=?3abc??3 abc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明：a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)二、根式式子a(a?0)叫做二次根式，其性质如下： (1) (a)2?a(a?0) (3)(2)a2?|a|bb?(a?0,b?0) aaab?a?b(a?0,b?0) (4)【例6】化简下列各式： (1)(3?2)2?(3?1)2 (2)(1?x)2?(2?x)2 (x?1)解：(1) 原式=|3?2|?|3?1|?2?3?3?1?1?(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)(2) 原式=|x?1|?|x?2|??(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2) ?说明：请注意性质a2?|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)32?3 (2)11? ab(3) 2x?x3?8x 2解：(1) 原式=3(2?3)(2?3)(2?3)?3(2?3)22?3?6?33a?ba2b?ab2?(2) 原式= abab(3) 原式=22x?x?x2?2?22x?2x?xx?22x?32x?xx 2?2说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数3或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如32?3)或被开方数有分母(如axxx)．这时可将其化为形式(如可化为) ，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，22b2要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如32?3化为3(2?3)(2?3)(2?，其中2?3与2?3叫做互为有理化因式)．3)【例8】计算：(1) (a?b?1)(1?a?b)?(a?b)2(2)aa?ab?aa?ab解：(1) 原式=(1?b)2?(a)2?(a?2ab?b)??2a?2ab?2b?1(2) 原式=aa(a?b)?aa(a?b)??1a?b?1a?b?(a?b)?(a?b)(a?b)(a?b)2a a?b说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设x?2?32?3?,y?2?32?3，求x3?y3的值．解：x?2?32?3(2?3)222?3?7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1原式=(x?y)(x2?xy?y2)?(x?y)[(x?y)2?3xy]?14(142?3)?2702说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式AA的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两BBx 1?xx?1x?x种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例10】化简4感谢您的阅读，祝您生活愉快。

第一讲 数与式的运算知识链接 1、平方差公式 ：22()()a b a b a b +-=-；2、完全平方公式 ：222()2a b a ab b ±=±+．3a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩0)a ≥ 4、分式的性质：A A MB B M ⨯=⨯ A A M B B M÷=÷知识延伸 1、三项平方公式：2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++2、立方和公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+3、立方差公式：2233()()a b a ab b a b -++=-4、和立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++5、差立方公式：33223()33a b a a b ab b -=-+- 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．例3 将下列式子化为最简二次根式：（1 （2）0)a ≥； （30)x <．例4若54(2)2x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值．例5（1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯ ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+ ．例6 化简：（1 （21)x <<例7已知x y ==22353x xy y -+的值 ．．例8 试比较下列各组数的大小：（1 （2和.例9 c e a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．例10 化简：20042005⋅．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；（3）2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．（4）对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；（5＝__ ___；（6(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（7）=__ ___；（8）若x =+=______ __． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数（3）若223x y x y -=+，则x y ＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）65（4=成了的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．计算（1）正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值． （2）1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．（3）若b =，求a b +的值．（4）比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．。

第一讲数与式1、绝对值（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．（3）两个数的差的绝对值的几何意义： a b 表示在数轴上，数a和数b之间的距离．2、绝对值不等式的解法（1）含有绝对值的不等式① f (x) a(a 0), 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a f ( x) a 。

② f (x) a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 f (x) a或f (x) a 。

③ 2 2f (x) g(x) f (x)g (x)。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：①找到使多个绝对值等于零的点．②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论．③将分段求得解集，再求它们的并集．例1. 求不等式3x 5 4的解集例2. 求不等式2x 1 5的解集例3. 求不等式x 3 x 2 的解集例4. 求不等式| x＋2| ＋| x－1| ＞3 的解集．1例5. 解不等式| x－1| ＋|2 －x| ＞3－x．例6. 已知关于x 的不等式| x－5| ＋| x－3| ＜a 有解，求 a 的取值范围．练习解下列含有绝对值的不等式：（1）x 1 x 3 ＞4+x（2）| x+1|<| x－2|（3）| x－1|+|2 x+1|<4（4）3x 2 7(5) 5x 7 83、因式分解乘法公式（1）平方差公式 2 2(a b)( a b) a b（2）完全平方公式 2 2 2(a b) a 2ab b（3）立方和公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（4）立方差公式 2 2 3 3(a b)(a ab b ) a b（5）三数和平方公式 2 2 2 2(a b c) a b c 2(ab bc ac)（6）两数和立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b2（7）两数差立方公式 3 3 2 2 3(a b) a 3a b 3ab b因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：2（1）x －3x＋2；（2）26x 7x 2（3） 2 ( ) 2x a b xy aby ；（4）xy 1 x y ．2．提取公因式法例2. 分解因式：2 （2）x3 9 3x2 3x （1）ab 5 a 5 b3．公式法例3. 分解因式：（1）a4 16 （2） 23x 2y x y2 4．分组分解法2例4. （1）x xy 3y 3x （2）2 22x xy y 4x 5y 65．关于x 的二次三项式ax2+bx+c( a≠0) 的因式分解．若关于x 的方程 2 0( 0)ax bx c a 的两个实数根是x1 、x2 ，则二次三项式2 ( 0)ax bx c a 就可分解为a(x x )(x x ).1 2例5. 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1） 2 2 1x x ；（2）2 4 4 2 x xy y ．3练习 （1） 25 6xx （2） 21 x ax a（3） 2 11 18xx （4）24m 12m 9（5）25 7x 6x（6） 2212xxy 6y2q p （ 7） 6 2p q 1123（ 8 ）35a 2b 6ab2a（ 9 ）24 2 4 xx2（10） x 42x 2 1 （11） x 2 y 2 a 2 b 2 2ax 2by（12） a 24ab 4b 2 6a 12b 9(13) x 2－2x －1（14） 31a；（15）4 24x 13x 9 ；（16）2 22 2 2b cab ac bc ；（17）2 23x 5xy 2y x 9y 4第二讲 一元二次方程与二次函数的关系1、一元二次方程 (1) 根的判别式2对于一元二次方程 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1） 当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝，2＝24 bbac 2a；（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－ b 2a；（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）2如果 ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是 x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝b a ，x 1· x 2＝c a．这一关系也被称为韦达 定理．2、二次函数2y ax bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb 2a，顶点坐标为 2b4ac b ， 。

专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1．实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。

2．乘法公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+ 完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 二、目标要求1． 理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。

2． 掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。

三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式 （1）ab x b a x b x a x +++=++)())((2 （2）bd x bc ad acx d cx b ax +++=++)())((2 （3）立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+ （4）立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++- （5）两数和的立方公式：3223333)(b ab b a a b a +++=+ （6）两数差的立方公式：3223333)(b ab b a a b a -+-=-（7）三数和的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 四、典型例题 例1、计算：（1）)5)(2(-+x x （2）)23)(32(-+x x （3）3)12(-x （4）2)2(c b a -+例2：已知3=+y x ，8=xy ，求下列各式的值（1）22y x +；（2）22y xy x +-；（3）2)(y x -；（4）33y x +分析：（1）xy y x y x 2)(222-+=+ （2）xy y x y xy x 3)(222-+=+-（3）xy y x y x 4)()(22-+=-（4）]3))[(())((22233xy y x y x y xy x y x y x -++=+-+=+ 例3：已知4=++c b a 4=++ac bc ab 求222c b a ++的值 分析：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++= 变式：已知：0132=+-x x ，求331xx +的值。

绵阳开元中学高2019级“初高中数学衔接” 专题一：数与式的运算制卷：王小凤 学生姓名一．绝对值 【知识归纳】绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 【练习提高】1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b =________；若21=-c ，则c =________. 2．选择题：下列叙述正确的是( )A ．若a b =，则a b =B ．若a b >，则a b >C ．若a b <，则a b <D ．若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（5x >）．二．乘法公式【知识归纳】我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b -++=-； （3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c a c++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【练习提高1】1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164m m =++( )；(3 ) 2222(2)4a b c a b c +-=+++ ( )． 2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于( )A ．2mB ．214mC ．213m D ．2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值( ) A ．总是正数 B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数 三．二次根式【知识归纳】 一般地，形如(0)a a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a 与a ，36+与36-，2332-与2332+，等等．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程.2．二次根式2a 的意义:2a a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1）12b ； （2）2(0)a b a ≥； （3）64(0)x y x <． 解： （1）1223b b =；（2）2(0)a b a b a b a ==≥；（3）633422(0)x y x y x y x ==-<．例2 计算：3(33)÷-．解:3(33)÷-＝333-＝3(33)(33)(33)⋅+-+＝33393+-＝3(31)6+＝312+．例3 比较大小：1211-和1110-； 解： ∵1211(1211)(1211)11211112111211--+-===++，1110(1110)(1110)11110111101110--+-===++， 又12111110+>+， ∴1211-＜1110-．例4 化简：20042005(32)(32)+⋅-．解：20042005(32)(32)+⋅-＝20042004(32)(32)(32)+⋅-⋅-＝2004(32)(32)(32)⎡⎤+⋅-⋅-⎣⎦＝20041(32)⋅-＝32-．例 5 化简：（1）945-； （2）2212(01)x x x+-<<． 解：【练习提高2】 1．填空：（1）1313-+＝__ ___； （2）若2(5)(3)(3)5x x x x --=--，则x 的取值范围是_ _ ___； （3）4246543962150-+-=__ ___； （4）若52x =，则11111111x x x x x x x x +--++-+=++-+--______ __． 2．等式22x xx x =--成立的条件是( ) A ．2x ≠ B ．0x > C ．2x > D ．02x <<3．若22111a ab a -+-=+，求a b +的值．4．比较大小：2－ 3 5－4（填“＞”，或“＜”）．四．分式 【知识归纳】 1．分式的意义：形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称AB为分式．当0M ≠时，分式A B 具有下列性质：A A M B B M ⨯=⨯； A A MB B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式:像ab c d+，2m n pm n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++，∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩ 解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯；（1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++，∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知 1111223910+++⨯⨯⨯11111(1)()()223910=-+-++- 1110=-＝910．例3 设ce a=，且1e >，222520c ac a -+=，求e 的值．解：在222520c ac a -+=两边同除以2a ，22520e e -+=， ∴()()2120e e --= ∴112e =<，舍去；或2e = ∴2e =．【练习提高3】1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)；2．若223x y x y -=+，则xy＝( ) A ．1 B ．54 C ．45 D ．653．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．（2）原式=21()x x -1x x =-，∵01x <<， ∴11x x>>， 所以，原式＝1x x-．（1）原式5454=-+22(5)2252=-⨯⨯+ 2(25)=- 25=- 52=-．。