依题意得
m>0 g(4)<0
解得- 19 <m<0.
13
m<0
或 g(4)>0,
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考点四 二分法的应用 用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间［1,1.5］内的一 个零点(精确度0.1). 【分析】依据二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤.
【解析】由于f(1)=1-1-1=-1<0, f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0, ∴f(x)在区间［1,1.5］上存在零点, 取区间［1,1.5］作为计算的初始区间,
由根与系数的关系可得 21
(2m+14)+2(m+3)+1<0,即4m+21<0,解得m<- 4 . 解法二:由于函数图象开口向上,
故依题意,只需f(1)<0,
即1+2(m+3)+2m+14<0, 即4m+21<0,解得m<- 21 .
4
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(2)令g(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14,
令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意;
若a≠0,则f(x)=ax2-x-1是二次函数,
故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0,
1
解得a=- 4 .
综上所述,a=0或a=-
1 4
.
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(2)若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点, 即|4x-x2|+a=0有四个根, 即|4x-x2|=-a有四个根. 令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 作出g(x)的图象如图所示,由图象可知,如果要使|4xx2|=-a有四个根, 那么g(x)与h(x)的图象 应有4个交点. 故需满足0< -a<4,即-4<a<0. ∴a的取值范围是(-4,0).
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考点三 零点性质的应用 （1）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数 a的值； （2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取 值范围.
【分析】 (1)二次项系数含有字母,需分类讨论. (2)利用函数图象求解.
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【解析】 (1)若a=0,则f(x)=-x-1,
x -2 x1
, 则 f(x)=0 的解
即为f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x)与f2(x)图象交点的
横坐标.
在同一坐标系中,作出函数f1(x)=ax(a>1)与f2(x)=x - 2 3 1 的图象（如图所示）. x 1 x1
两函数图象有且只有
一个交点,即方程 f(x)=0有
且只有一个根.
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【评析】此类方程根的分布问题,通常有两种解法.一 是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图 象 求解;二是构造两个函数分别作出图象,利用数形结合法求 解.此类题目也体现了函数与方程、数形结合的思想.
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＊对应演练＊
(1)函数f(x)=x2+2(m+3)x+2m+14有两个零点,且一个 大于1,一个小于1,求实数m的取值范围;
(2) 精确度与精确到是两个不同的概念,精确度最后 的结果不能四舍五入,而精确到只需区间两个端点的函数 值满足条件即取近似值之后相同,则此时四舍五入的值即 为零点的近似值.
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＊对应演练＊
利用计算器,求方程lgx=3-x的近似解(精确到0.1). 如图,由函数 y=lgx 与 y=3-x的图象可以发现 , 方程 lgx=3-x有唯一解,记为x1,并且这个解在区间(2,3)内.
(2)关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且 一根大于4,一根小于4,求实数m的取值范围.
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(1)解法一:设方程x2+2(m+3)x+2m+14=0的两根分别为
x1,x2(x1<x2).
依题意,只需满足(x1-1)(x2-1)<0.
即x1x2-(x1+x2)+1<0.
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用二分法逐次计算列表如下:
端(中) 点坐标
1.25 1.375 1.3125
中点函数值符号 零点所在区间 |an-bn|
f(1.25)<0
［1,1.5］
0.5
［1.25,1.5］
0.25
f(1.375)>0 ［1.25,1.375］ 0.125
f(1.312 5)<0 ［1.312 5,1.375］ 0.062 5
∵|1.375-1.312 5|=0.062 5<0.1, ∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间［1.312 5,1.375］内. 故函数零点的近似值为1.312 5.
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【评析】 (1)求函数零点的近似值的关键是利用二分 法求值过程中区间长度是否小于精确度ε,当区间长度小 于精确度ε时, 运算即告结束,而此时取的中点值即为所 求,当然也可取区间端点的另一个值.
=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3),
解x3-7x+6=0,即(x-1)(x-2)(x+3)=0,
可得x1=-3,x2=1,x3=2. ∴函数y=x3-7x+6的零点为-3,1,2.
(2)x+ 2 -3= x2-3x 2(x-1)-(2x)0 .
x
x
x
解x+ 2ຫໍສະໝຸດ x-3=0,即(x-1)(x-2)0 ,可得x=1或x=2. x
∴函数y=x+ 2 -3的零点为1,2.
x
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考点二 零点个数问题 求函数y=lnx+2x-6的零点个数. 【分析】该问题转化为求函数y=lnx与y=6-2x的 图象的交点个数,因此只需画出图象,数形结合即可.
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【解析】在同一坐标系 中画出y=lnx与y=6-2x的图 象如图所示, 由图已知两图 象只有一个交点,故函数y= lnx+2x-6只有一个零点.
【评析】函数的零点存在性问题常用的办法有三种: 一是用定理,二是解方程,三是用图象.
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＊对应演练＊
求下列函数的零点: (1)y=x3-7x+6; (2)y=x+ 2 -3.
x
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(1)∵x3-7x+6=(x3-x)-(6x-6)
=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)
【评析】若采用基本作图法,画出函数y=lnx+2x-6的
图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=lnx与y=6-2x,用
数形结合法求交点,则简洁明快.
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＊对应演练＊ x -2
已知函数f(x)=ax+ x 1 (a>1).判断f(x)=0的根的个数.
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设f1(x)=ax(a>1),f2(x)= -
