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多面体与球

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1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等；内心三侧面与底面所成的二面角相等；垂心相对的棱垂直。正三棱锥中相对的棱垂直；三棱锥三侧棱（侧面）两两垂直顶点在底面上的射影为三角形的垂心；三棱锥一个顶点在对面上的射影为三角形的垂心三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的垂心。

[举例1] 已知三棱锥S－ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是

解析：∵点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，∴点S在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心；又△ABC为正三角形，∴O为△ABC的中心，

即三棱锥S－ABC为正三棱锥。记SO=h（h< a），则AO=22ha，

于是有：AB=)(322ha,记三棱锥S－ABC体积为f(h)，则f(h)=hha)(4322，

f /(h)=)3(4322ha，∴fmax(h)=)33(af=63a.

[举例2] 下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.

④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱；其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.

解析：①侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影O是底面的内心，又底面是等边三角形，故O是底面三角形的中心，所以三棱锥是正三棱锥；②在三棱锥S－ABC中，令AB=BC=CA=SA=SB=2，SC=3，该三棱锥不是正三棱锥；③底面是等边三角形且侧面的面积都相等，则顶点到底面三边的距离相等，即顶点在底面上的射影O到底面三边的距离相等，但这不意味着O是底面三角形的内心，还有可能是旁心（一个内角的平分线与另一个角的外角平分线的交点），故三棱锥未必是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影O是底面的外心，侧面与底面所成的二面角都相等，则O是底面的内心，底面三角形的内、外心重合，则必为正三角形且O为其中心，故该三棱锥是正三棱锥。

[巩固1]已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为： （ ）

A． 8 B．10 C．20 D．30

[巩固2]对于四面体ABCD，给出下列四个命题

①若AB=AC，BD=CD，则BCAD ②若AB=CD，AC=BD，则ADBC

③若ABAC，BDCD，则BCAD ④若ABCD，BDAC，则BCAD

其中真命题的序号是 。（写出所有真命题的序号）

2．关注长方体对角线的性质：①长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角的余弦的平 上传您的资源，我们一起分享！

您的需求就是我们的追求，我们将竭诚为您服务！ A B C D A1 B1 C1 D1

C1

B1 A1 A C

C2

A2

B

图3-1 图3-2 A1 A C

B1 C1 B H 方和为1；②长方体的对角线与过一个顶点的三个面所成角的余弦的平方和为2；

[举例]已知锐角、、满足：cos2+ cos2+ cos2=1,则tantantan的最小值为 。

解析：本题若考虑三角变换，将不胜其烦；由cos2+ cos2+ cos2=1联想到锐角、、是长方体的对角线与过一个顶点的三条棱所成角，记该长方体过一个顶点的三条棱长分别为a、b、c,则tantantan=cbabcaacb222222≥cabbacabc222

=22，当且仅当a=b=c时，等号成立。

[巩固]已知空间三平面、、两两垂直，直线l与平面、所成的角都是300，则直线l与平面所成的角是 。

3．求多面体的体积常用“割补法”，关注组成多面体的个部分体积之间的比例关系；如同底等高的“柱”是“锥”的体积的3倍；求“锥”的体积关键是“高”，“等积转换”是常用的办法。

[举例1]以平行六面体相邻两个面上相互异面的两条对角线的端点为顶点的四面体的体积是平行六面体的体积的：

（ ）

A．61 B．41 C．31 D．51

解析：如图，以A1B和B1C的端点为顶点的四面体是

三棱锥A1-BB1C，将原平行六面体视为四棱柱

ADD1A1-BCC1B1，易见三棱锥的底面积是四棱柱

的底面积的一半，高相等，故三棱锥的体积是

四棱柱的体积的61，选A。

[举例2] 如图3-1是一个直三棱柱（以111ABC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知11111ABBC，11190ABC，14AA，12BB，13CC．求此几何体的体积．（07高考江西理20）

解析：过B作截面22BAC∥面111ABC，分别

交1AA,1CC于2A,2C．如图3-2，

原几何体可视为四棱锥B-ACC2A2

与三棱柱A1B1C1-A2BC2的组合体。

作22BHAC于H，则BH是四棱锥

的高，22BH，21222)21(2131312222BHSVAACCAACCB 上传您的资源，我们一起分享！

您的需求就是我们的追求，我们将竭诚为您服务！ 111122111BBSVCBABCACBA=1；故所求几何体体积为23。

[巩固1]在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面BCC1B1是矩形，C1B1⊥AB，求平面C1AB1把棱柱分成两部分的体积的比。

[巩固2] 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是

边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，

EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为（ ）

A．32 B．33

C．34 D．23

4．解决多面体表面上两点间距离最小值的问题，常运用侧面展开法，转化为平面图形两点间距离处理。（多面体展开时要注意各种不同的展开方式）。

[举例] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，BB1=2，∠ABC=900，E、F分别为AA1、

C1B1的中点，求沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度。

解析：题中E、F分别在AA1、C1B1上，所以“展开”后的图形中必须有AA1、C1B1；故“展开”方式有以下四种：

（ⅰ）沿CC1将面ACC1A1和面BCC1B1展开至同一平面，如图4-1，求得：EF2=22211；（ⅱ）沿BB1将面ABB1A1和面BCC1B1展开至同一平面，如图4-2，求得：EF2=2227；

（ⅲ）沿A1B1将面ABB1A1和面A1B1C1展开至同一平面，如图4-3，求得：EF2=227；

（ⅳ）沿A1C1将面ACC1A1和面A1C1B1展开至同一平面，如图4-4，求得：EF2=29；

E F

A B

C A1

C1 B1

E

A C A1 B1

B F C1

图4-1

E

A B A1 C1

C F B1

图4-2 E

A B A1 C1

F

B1

图4-3 E

A C A1 B1

F

C1

图4-4 上传您的资源，我们一起分享！

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C P

A

C P

B 可见EF的最小值为223。

[巩固]在正三棱锥S-ABC中，SA=1，∠ASB=300，过点A作三棱锥的截面AMN，求截面AMN周长的最小值.

5．平面截球所得到的截面是圆，圆心与球心的连线垂直于截面；截面圆的半径、圆心与球心的连线段、球的半径所构成的直角三角形是解决球的截面问题的“核心”图形。

[举例]如图，已知A，B，C是表面积为48的球面上的

三点，AB=2，BC=4，∠ABC=600，O为球心，则二面角O-AB-C

的大小为：

（ ）

A．3 B．4 C．arccos33 D．arccos1133

解析：球的半径为32；⊿ABC为直角三角形，斜边BC是其外接圆的直径，记BC的中点为O1，则OO1⊥面ABC，在Rt⊿OO1B中，OB=32，

BO1=2，∴OO1=22；取AB中点D，连OD、O1D，则AB⊥OD，AB⊥O1D，

∴∠ODO1是二面角O-AB-C的平面角，在Rt⊿ABC中O1D=21AC=3

故在Rt⊿OO1D中，OD=11,cos∠ODO1=113,∴∠ODO1= arccos1133,选D。

[巩固]过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与求的表面积的比为 。

6．求多面体的外接球半径一般需确定球心的位置；长方体（正方体）的对角线是其外接球的直径；将多面体“补”成长方体（正方体）是研究多面体外接球的常用的办法。

[举例1] 三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA=AC=2，则该三棱锥的外接球的体积是 。

解析：思路一：“找球心”（到三棱锥

四个顶点距离相等等的点）。

注意到PC是Rt⊿PAC和Rt⊿PBC的

公共的斜边，记它的中点为O，

则OA=OB=OP=OC=21PC=1，即该三棱锥

的外接球球心为O，半径为1，故它的体积为：34 上传您的资源，我们一起分享！

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O

O1 方法二：“补体”，将三棱锥补成长方体，如图所示；它的对角线PC是其外接球的直径。

[举例2]正四棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上，

若该正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为62，则

这个球的表面积为 。

解析：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，

记为O，PO=AO=R，PO1=4，OO1=R-4，或OO1=4-R（此时O

在PO1的延长线上），在Rt⊿AO1O中，R2=8+(R-4)2得R=3，∴球的表面积S=36

[巩固1] 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为62cm、42cm和32cm，那么它的外接球的体积是 。

[巩固2] 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是：（ ） （07高考陕西理6）

（A）433 (B)33 (C) 43 (D) 123

[迁移]点P在直径为2的球面上，过P两两垂直的3条弦，若其中一条弦长是另一条的2倍，则这3条弦长之和的最大值是 。

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第5讲 竞赛和自主招生专题——立体几何中与球关于的问题

第5讲 竞赛和自主招生专题——立体几何中与球关于的问题

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第5讲 竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题 第1页 /共 6页

第5讲 竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题

编写林国夫

班级___________姓名____________学号__________

一.多面体与球的问题

（1）多面体内接于球：若球O是多面体的外接球，则球O的球心O在多面体的各个表

面上的射影为该表面多边形的外心.根据这个性质我们可以确定球心的位置，结合截面法求

解相应的量.

（2）多面体的内切球：若球O内切多面体，则球O的球心到多面体各个表面的距离均

为球半径.根据这个性质，结合等体积法求解内切球的半径.

（3）球O被平面相截，所得的截面为圆截面，设截面圆的圆心为

1O，则

1OO平面.

（4）若多面体是通过长方体或正方体切割所得，则求其外接球的半径可以等价转化为求长

方体或正方体的外接球半径.

例1（1）如图，一个四面体棱长分别为6,6,6,6,6,9

，

则其外接球的半径为______________.

（2）如图，已知空间一球，SC

为其直径且||4,,SCAB

为球上两点，满足：

||3,30ABASCBSC



，则四面体SABC

的体积为___________.

OC

B

A

S

D

CB

AC

B

A

P

（3）在四面体ABCD

中,1ADDBACCB

，则四面体ABCD

体积最大时，它的

外接球半径R

.

（4

）（2018·浙江预赛）在四面体PABC中，

6,8,10PABCPBACPCAB,则

该四面体外接球的半径为_________.

D

CBA2021届春晖中学高二特长班能力提升专题资料系列 精心编写 用心演练 精益求精

第5讲 竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题 第2页 /共 6页

例2 （有关几何体中球的内切问题）

(1)

四棱锥PABCD

多面体的外接球和内切球(解析版)

多面体的外接球和内切球(解析版)

1多面体的外接球和内切球

一、

结论

1、球与多面体的接、切

定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面

体的外接球。

定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。

球的内切问题(等体积法)

例如：在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O，求球半径r.

方法如下：

V

P-ABCD=V

O

-ABCD+V

O-PBC

+V

O-PCD+

V

O-PAD+V

O-

PAB

即：V

P-ABCD=1

3S

ABCD⋅r+1

3S

PBC⋅r+1

3S

PCD⋅r+1

3S

PAD⋅r+13S

PAB⋅r，可求出r.

球的外接问题

1.公式法

正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点

2.补形法(补长方体或正方体)

①墙角模型(三条线两个垂直)

题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)

②对棱相等模型(补形为长方体)

题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB=

CD，AD=BC，AC=BD)

23.单面定球心法(定+算)

步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，

确定其外接圆圆

心O

1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=a

sinA)；

②过外心O

1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO

1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段

PO

1上)PO

1上；

③计算求半径R:在直线PO

1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O

1A2+OO

12

可计算出

球半径R.

4.双面定球心法(两次单面定球心)

如图：在三棱锥P-ABC中：

①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O

1

②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O

2

③分别过O

1做面ABC的垂线，和O

2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.

二、

典型例题

1(2023

春·湖南湘潭·高二统考期末)棱长为1的正方体的外接球的表面积为()

多面体与球的内切和外接常见类型归纳

多面体与球的内切和外接常见类型归纳

1

多面体与球的内切和外接常见类型归纳

在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系， 是培

养学生的立体感，空间想象能力的好教材。 可是学生在两个几何

体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教

学中有关这方面的习题加以总结和归类如下:

・正四面体与球

如图所示，设正四面体的棱长为 a, r为内切球

的半径，R为外接球的半径。则高 SE=、岸a,斜

高 SD= £ a , OE=r=SE-SO ,

SD=BD,BD=SE-OE,贝U在 直角OEB中 0E2 + EB2 = BD2 = (SE-

OE)2 S

又

A B

C

r=^a。R=SO=OB=^a

12 4

特征分析:

1・ 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外

接球的球心为同一个。

46 76

2. R=3r.「=卷 R=a。

12 4 此结论可以记忆。

例题一。1、一个四面体的所有棱长都为 72，四个顶点在同一球

面上，则此球的表面积为（

分析：借助结论，R=< = £乐負所以s=g=3J 2 D C

2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积

之比是( )

分析：借助R=3r，答案为9: 1。

、特殊三棱锥与球

四个面都是直角三角形的三棱锥。

SA丄面ABC , ABC为直角三角形，BC丄AB

因为SA丄AC，SB丄BC，球心落在 SC

的中点处。所以R=SC。

2

三.正方体与球。 C

1.正方体的外接球

即正方体的8个定点都在球面上。

RW。

2 关键找出截面图:ABCD为正方体

的体对角面。设正方体的边长为 a,

贝y AB= 72 a, BD=2R ,

AD=a ,

2. 正方体的内切球。

(1)与正方体的各面相

切。如图：ABCD为正方

体的平行侧面的正方形。 3

R=a 2

(2)与正方体的各棱相切。

如图：大圆是正方形 ABCD的外接圆。

AB=CD=a ,

多面体欧拉公式与球

多面体欧拉公式与球

1 / 1 第 48 讲 多面体、欧拉公式与球

（第课时）

多面体、欧拉公式与球

多面体的内切球体积面积计算球面距离截面球的性质球的概念球正多面体的概念欧拉公式多面体的概念多面体

重点：1．多面体、正多面体的概念；2．欧拉公式；3．球的概念和性质。

难点：1．球的性质及应用；2．有关球的组合体。

1．了解多面体、正多面体的概念；2．了解多面体的欧拉公式；3．了解球的概念，掌握球的性质4. 掌握球的表面积、体积公式。

1．有关多面体、正多面体以及欧拉公式不会太难；2．有关球的考查一般以小题出现。

1．多面体

由若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做面，两个面的公共边叫棱，棱的端点叫顶点，不在同一个面内的两个顶点间的线段叫对角线。有n个面的多面体叫n面体（4n）。

凸多面体：若把一个多面体的任意一个面沿展成平面，其余各面都在这个平面的同侧时，则称这个多面体为凸多面体。

简单多面体：表面能通过连续变形变为球面的多面体，叫做简单多面体。

2．欧拉公式

对于简单多面体，有： 顶点数（V）+面数(F)-棱数（E）= 2 。

例．一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有3条棱，则n等于 （ ）

A. 4 ； B. 5 ； C. 6 ； D. 7 。

分析： 先计算正n面体的棱数，然后应用欧拉公式来解。神经网络 准确记忆！

重点难点 好好把握！

考纲要求 注意紧扣！

命题预测 仅供参考！

考点热点 一定掌握！

解：由题意有 8V ，12283E ，则 682122VEF ，故选C。

例．已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目。