多面体的内切球及外接球
22221.,,16864..4.9392.,,,,,,,.3.4.63.ABCBCDPABCPAPBPCPAPBPCaaBaCaDa已知过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2,则球面面积是（）A.球面上四点且两两垂直，则球的面积为（）A.2有三个球和一个正方体，一球内切于正方体各个面，一球切正方体的各条棱，另一球过正方体的各个顶点，则这三个球233.123.123.1494.,________.6.________.7.6___________.BCDaa的体积之比为（）A.1:2：：：：：：：正四面体的内切球与外接球体积之比是（）A.1：3B.1：8C.1：27D.1：645.已知正八面体的棱长为则它的内切球的半径为棱长都是的正四棱锥的外接球的半径是球与正四面体的条棱都相切，则球与正四面体的体积的比是8.35,15__________.9.,________.10.22,,,anmnmSABCSASBSCABSABCOO长方体中，共顶点的三个侧面面积分别为，，，则它的外接球的面积为一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数那么积是已知三棱锥的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，，，设四点均在以为球心的某个球面上，则点到平,,1ABCMABCDMAMDMAABADM面的距离是_____________.11.设棱锥底面是正方形，且若△的面积为，试求能放入这个棱锥的最大球的半径。
12.ABCD如图，三棱锥的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径。
13.112在棱长为的正方体内，有两球外切并且又分别与正方体的面相切。求两球半径之和；问：两球的半径为多少时，两球体积之和最小？
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第5讲 竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题 第1页 /共 6页
第5讲 竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题
编写林国夫
班级___________姓名____________学号__________
一.多面体与球的问题
（1）多面体内接于球：若球O是多面体的外接球，则球O的球心O在多面体的各个表
面上的射影为该表面多边形的外心.根据这个性质我们可以确定球心的位置，结合截面法求
解相应的量.
（2）多面体的内切球：若球O内切多面体，则球O的球心到多面体各个表面的距离均
为球半径.根据这个性质，结合等体积法求解内切球的半径.
（3）球O被平面相截，所得的截面为圆截面，设截面圆的圆心为
1O，则
1OO平面.
（4）若多面体是通过长方体或正方体切割所得，则求其外接球的半径可以等价转化为求长
方体或正方体的外接球半径.
例1（1）如图，一个四面体棱长分别为6,6,6,6,6,9
，
则其外接球的半径为______________.
（2）如图，已知空间一球，SC
为其直径且||4,,SCAB
为球上两点，满足：
||3,30ABASCBSC
，则四面体SABC
的体积为___________.
OC
B
A
S
D
CB
AC
B
A
P
（3）在四面体ABCD
中,1ADDBACCB
，则四面体ABCD
体积最大时，它的
外接球半径R
.
（4
）（2018·浙江预赛）在四面体PABC中，
6,8,10PABCPBACPCAB,则
该四面体外接球的半径为_________.
D
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例2 （有关几何体中球的内切问题）
(1)
四棱锥PABCD
多面体概念、性质及其应用
[复习重点]：系统梳理落实多面体的有关概念、性质以及运用概念性质分析处理以多面体为依托的立体几何基本问题的基本方法。
[复习难点]：面积、体积计算中角度、方位的转换；―等体积法‖、―割补法‖的灵活运用；锥、台关系及截面问题的分析处理。
[范例分析]：
例1．过正方体的每三个顶点都可以确定一个平面，其中能与这个正方体的12条棱所成角都相等的不同平面有几个？
分析：由正方体的概性，12条棱中可分为3组，每组的四条棱互相平行，要找出与12条棱成角都相等的平面，只需找出与共点的三条棱成角的平面即可。
解：（法一）正方体的每个顶点和所在面的面对角线对应一个正三棱锥，如A点对应正三棱锥A-A1BD。这个正三棱锥的底面A1BD是合条件平面，8个顶点对应8个平面，即满足题设要求的平面有8个。
（法二）正方体8个顶点，每三点可以确定一个平面，共=56个，其中6个对角面中每三点所确定的平面与每个表面中每三个点所确定的平面均不符合条件，因此合条件的平面的个数是：
-6·=8（个）
[评注]：理解多面体的概念，是指不仅要知道这些概念，还应能灵活地运用这些概念所蕴含的性质正确推理，尤其是正方体，三棱锥的有关概性应更为关注。如本题关键的展开就在于运用正方体的性质把研究与12条棱或等角的问题简化为只研究与共点的三条棱成等角的问题。
例2．如图，三棱锥P-ABC中，PA=a, AB=AC=2a, ∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°, 求这个三棱锥的体积。
分析：由AB=AC，∠BAC=60°→ΔABC为正三角形，由∠PAB=∠PBC，点P在面ABC上的射影必在∠BAC的角平分线上。
解（法一）（直接用公式）：
作BC中点D，连结AD，PD；过P作PO⊥平面ABC于O，
∵∠PAB=∠PAC，AB=AC，∴ΔPAB≌ΔPAC，AD⊥BC，
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名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球（含答案解析）
●考试目标 主词填空
1.多面体欧拉公式
（1）欧拉公式V＋F－E＝2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式.
2. 球的概念和性质
（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球.
3.球面的距离
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.
4.球的表面积和体积
球的表面积和体积都是球半径R的函数.
(1)半径为R的球表面积公式是：S＝4πR2,
(2)半径为R的球体积公式是：S=334R.
●题型示例 点津归纳
【例1】 已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.
【解前点津】 设三角形晶面有x个，八边形晶面有y个.
则单晶铜的面数F=x+y,且棱数E=21(3x+8y).
又因为铜的单晶的顶点数V=24,且每个顶点处都有3条棱
所以棱数 E=21×（3×24）＝36
由欧拉公式得 24+(x+y)-36=2
所以x+y=14,再由 21(3x+8y)=36
可解得x=8,y=6
所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.
【解后归纳】 本题考查多面体，凸多面体和多面体的欧拉定理及其应用.
【例2】 一个简单多面体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，且只有三角形和五边形两种面，求该简单多面体中三角形和五边形的数目各是多少?
【解前点津】 设该简单多面体中三角形和五边形数目分别为x个、y个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.
