多面体与球的内切和外接常见类型归纳
在平常教学中，立体几何的多面体与球的位置关系，是培养学生的立体感，空间想象能力的好教材。可是学生在两个几何体的组合后，往往感到无从下手。针对这种情况，笔者把日常教学中有关这方面的习题加以总结和归类如下：
一．正四面体与球
如图所示，设正四面体的棱长为a，r为内切球的半径，R为外接球的半径。则高SE=32a,斜高SD=43a，OE=r=SE-SO，又SD=BD,BD=SE-OE,则在
r=a126。R=SO=OB=a46
特征分析：
1． 由于正四面体是一个中心对成图形，所以它的内切球与外接球的球心为同一个。
2． R=3r. r=a126 R=a46。此结论可以记忆。
例题一。1、一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
分析：借助结论，R=a46=462=23,所以S=42R=3。
2、球的内接正四面体又有一个内切球，则大球与小球的表面积之比是（ ） C B
D A O S
E F 分析：借助R=3r，答案为9：1。
二、特殊三棱锥与球
四个面都是直角三角形的三棱锥。
SAABBCABCABC为直角三角形，面,
因为SAAC，SBBC，球心落在SC
的中点处。所以R=2SC。
三．正方体与球。
1．正方体的外接球
即正方体的8个定点都在球面上。
关键找出截面图:ABCD为正方体的体对角面。设正方体的边长为a，则AB=2a，BD=2R，AD=a，
R=23a。
C
2． 正方体的内切球。
（1）与正方体的各面相
切。如图：ABCD为正方
体的平行侧面的正方形。
R=2a
（2）与正方体的各棱相切。
如图：大圆是正方形ABCD的外接圆。O
C
B A S
A
O B
D B A C D
A
D B
C C D AB=CD=a，
R=22a。
3． 在正方体以一个顶点为交点的三条棱组成的三棱锥，特征是：三棱锥的三条侧棱互相垂直且相等，它的外接球可把三棱锥补形成正方体的外接球，再求解。
多面体外接球半径常见的5种求法
若是一个多面体的各个极点都在同一个球面上，那么称那个多面体是球的内接多面体，那个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，而且还要专门注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到相当重要的作用.
公式法
例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的极点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，那么那个球的体积为 .
解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，那么有263,1,2936,384xxxhh．
∴正六棱柱的底面圆的半径12r，球心到底面的距离32d.∴外接球的半径221Rrd.43V球.
小结 此题是运用公式222Rrd求球的半径的，该公式是求球的半径的经常使用公式.
多面体几何性质法
例2 已知各极点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，那么那个球的表面积是
A.16 B.20 C.24 D.32
解 设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，那么有2416x，解得2x.
∴222222426,6RR .∴那个球的表面积是2424R.选C.
小结 此题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
补形法
例3 假设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，那么其外接球的表面积是 .
解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把那个三棱锥能够补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球确实是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为R，那么有222223339R.∴294R.
常见多面体外接球的有关计算
多面体外接球的计算方法
多面体是指具有若干个面、边和顶点的几何图形。而外接球则是指一个球，其球心恰好位于多面体的外部，球面恰好与多面体的顶点相切。
在计算多面体外接球的过程中，我们需要考虑多面体的几何属性以及球的几何属性。以下是关于多面体外接球计算的方法。
1. 零维多面体（顶点）
对于零维多面体，也就是单个顶点，其外接球就是该点本身。因为只有一个点，所以球心和球面都与该点重合。
2. 一维多面体（线段）
对于一维多面体，也就是线段，其外接球是将线段的中点作为球心，并使球面与线段两个端点相切。
3. 二维多面体（三角形、四边形等）
对于二维多面体，我们以三角形为例来进行说明。首先，我们需要计算三角形的垂直平分线，然后求得三条垂直平分线的交点，该交点即为外接球的球心。球面则通过任意一个顶点与球心的距离来确定。
4. 三维多面体（四面体、正六面体等）
对于三维多面体，我们以四面体为例来进行说明。计算四面体的外接球需要球心和球面两个要素。首先，我们需要计算四面体的外接圆球，即通过四个顶点所确定的圆球。然后，我们将四面体的外接圆球的圆心作为外接球的球心，圆球的半径作为外接球的半径。 无论是二维多面体还是三维多面体，计算外接球的主要思路都是找到合适的几何属性来确定球心和球面。根据不同多面体的特征，我们可以得出相应的计算方法。
需要注意的是，当多面体的顶点过多时，计算外接球可能会变得复杂且耗费较长的时间。在这种情况下，可以考虑使用计算机辅助的几何软件或算法来进行计算。
综上所述，多面体外接球的计算方法可以根据不同维度的多面体来进行相应的推导和计算。这些方法可以帮助我们更好地理解和计算多面体的几何性质，并在实际问题中得到应用。
多面体与球的接切问题
一、球的体积V=______,表面积S=_________
二、如何确定简单多面体的外接球以及内切球
学习目标：
1.会计算简单多面体与球的接切问题。
2.提高空间想象能力以及计算能力。
专 题 要 点
(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分) (2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：
①外接球：球心是正方体中心；半径r＝32a(a为正方体的棱长)；
②内切球：球心是正方体中心；半径r＝a2(a为正方体的棱长)；
③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝22a(a为正方体的棱长)．
①外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝64a(a为正四面体的棱长)；
②内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a(a为正四面体的棱长)．
专题讲解
例、求棱长为1的正四面体的外接球的体积
例、棱长为3的正方体的顶点都在一个球面上，求该球的表面积
链接高考
小结：
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．
结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．
结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．
结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
