多面体的外接球及内切球

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多面体的外接球及内切球

一、长方体、正方体

（1）球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a，球半径为R。如图3，截面图为正方形EFGH的内切圆，得2aR；

（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得aR22。

（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA作截面图得，圆O为矩形CCAA11的外接圆，易得aOAR231。

（4）长方体的外接球：𝑅=12√𝑎2+𝑏2+𝑐2

例1、在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且aPCPBPA,那么这个球的表面积是______.

练习1、已知三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝5，AC＝2，BC⊥AD，则该三棱锥的外接球的表面积为( )

A．6π B．6π

C．5π D．8π

答案 B

解析 ∵由勾股定理易知AB⊥BC，DA⊥BC，∴BC⊥平面DAB．

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∴CD＝BD2＋BC2＝6．∴AC2＋AD2＝CD2．∴DA⊥AC．

取CD的中点O，由直角三角形的性质知O到点A，B，C，D的距离均为62，其即为三棱锥的外接球球心．故三棱锥的外接球的表面积为4π×622＝6π．

练习2、如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为( )

A.2 B．62

C.112 D．52

【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝12 12＋12＋22＝62.故选B.

【答案】 B

二、根据性质确定球心

1、正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)．

外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝64a(a为正四面体的棱长)．

内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a(a为正四面体的棱长)．

例2、正四面体的外接球和内切球的半径是多少？

2、其它多面体

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例3、正三棱锥A­BCD内接于球O，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O的表面积为________．

【解析】

如图，M为底面△BCD的中心，易知AM⊥MD，DM＝1，AM＝3.在Rt△DOM中，OD2＝OM2＋MD2，即OD2＝(3－OD)2＋1，解得OD＝233，故球O的表面积为4π×2332＝163π.

【答案】 163π

练习3、已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．

【解析】设球O的半径为R，因为SC为球O的直径，所以点O为SC的中点，连接AO，OB，因为SA＝AC，SB＝BC，所以AO⊥SC，BO⊥SC，因为平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，所以AO⊥平面SCB，所以VS­ABC＝VA­SBC＝13×S△SBC×AO＝13×(12×SC×OB)×AO，即9＝13×(12×2R×R)×R，解得R＝3，所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.

练习4、如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，表面积为S1，球O的体积为V2，表面积为S2，则V1V2的值是__________，S1S2＝________.

【解析】 (1)设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，所以V1V2＝πR2·2R43πR3＝32.S1S2＝2πR·2R＋2πR24πR2＝32.

【答案】 (1)32 32

例4、在边长为32的菱形ABCD中，60BAD，沿对角线BD折成二面角CBDA为120的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为．

【解析】取BD的中点M，ABD△和CBD△的外接圆半径为221rr，ABD△和CBD△的外心21,OO到弦BD的距离（弦心距）为121dd，四边形21MOOO的外接圆直径2OM，7R，

2 28πS．

三、空间向量法在外接球中的应用

例5、在四面体ABCD中BC=CD=BD=AB，90ABC，二面角A­BC­D的平面角为150，则求四面体ABCD外接球的表面积。

同步练习

1．(2020·广东茂名一模)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，D1B与DC所成的角是60°，则长方体的外接球的表面积是( )

A．16π B．8π

C．4π D．42π

解析：选A.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，因为DC∥AB，所以相交直线D1B与AB所成的角是异面直线D1B与DC所成的角．

连接AD1，由AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥AD1，所以在Rt△ABD1中，∠ABD1就是D1B与DC所成的角，即∠ABD1＝60°，又AB＝2，AB＝BD1cos 60°，

所以BD1＝ABcos 60°＝4，设长方体ABCD­A1B1C1D1外接球的半径为R，则由长方体的体对角线就是长方体外接球的直径得4R2＝D1B2＝16，则R＝2，

所以长方体外接球的表面积是4πR2＝16π.故选A.

2．已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．

解析：如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，

因为△ABC是正三角形，

所以AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．

因为AB＝BC＝23，

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所以S△ABC＝33，DE＝1，PE＝2.

所以S表＝3×12×23×2＋33＝36＋33.

因为PD＝1，所以三棱锥的体积V＝13×33×1＝3.

设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小棱锥，

则r＝3336＋33＝2－1.

答案：2－1

3．已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为________．

解析：正四面体的表面积为S1＝4×34×a2＝3a2，其内切球半径r为正四面体高的14，即r＝14×63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2πa26＝63π.

4.(2020·四川成都一诊)如图，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1.现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为(

)

A．24π

B．6π

C.163π

D．83π

解析：选C.由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱，底面等边三角形外接圆的半径为23×12－122＝33.因为三棱柱的高为BC＝2，所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1，则三棱柱外接球的半径为R＝332＋12＝233，所以三棱柱外接球的表面积S＝4πR2＝16π3.故选C.

5．(2020·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)在底面是边长为2的正方形的四棱锥P­ABCD中，点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为2.若四棱锥P­ABCD的内切球半径为r，外接球的半径为R，则rR＝( )

A.23 B．25

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C.12 D．13

解析：

选B.如图，取E，F分别为AB，CD的中点，连接EF，PE，PF.由题意知，P­ABCD为正四棱锥，底面边长为2.因为BC∥AD，所以∠PBC即为异面直线PB与AD所成的角．因为∠PBC的正切值为2，所以四棱锥的斜高为2，所以△PEF为等边三角形，则正四棱锥P­ABCD的内切球的半径r即为△PEF的内切圆的半径，为33.

设O为正四棱锥外接球的球心，连接OA，AH.由题可得AH＝2，PH＝3.在Rt△OHA中，R2＝(2)2＋(3－R)2，解得R＝536，所以rR＝25.

6．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )

A．36π B．64π

C．144π D．256π

答案 C

解析：如图，设点C到平面OAB的距离为h，球O的半径为R，因为∠AOB＝90°，所以S△OAB＝12R2，要使VO－ABC＝13·S△OAB·h最大，则OA，OB，OC应两两垂直，且(VO－ABC)max＝13×12R2×R＝16R3＝36，此时R＝6，所以球O的表面积为S球＝4πR2＝144π．故选C．

7．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )

A．26 B．36

解析：因为△ABC是边长为1的正三角形，且球半径为1，所以四面体O－ABC为正四面体，所以△

2 ABC的外接圆的半径为33，所以点O到面ABC的距离为1－332＝63，所以三棱锥S－ABC的高为263，所以三棱锥S－ABC的体积为13×12×1×32×263＝26，选A．

8.如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( )

A.3π4 B．2π

C.3π2 D．9π4

解析：选C.正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为3×2π4＝3π2.故选C.

9．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上的四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D­ABC体积的最大值为( )

A．123 B．183

C．243 D．543

解析：选B.如图，E是AC的中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝34AB2＝93，

所以AB＝6，BM＝23BBE＝23AB2－AE2＝23 .易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝OB2－BM2＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥D­ABC的体积取得最大值，且最大值Vmax＝13S△ABC×(4＋OM)＝13×93×6＝183.故选B.

10．已知半球O的半径r＝2，正三棱柱ABC­A1B1C1内接于半球O，其中底面ABC在半球O的大圆面内，点A1，B1，C1在半球O的球面上．若正三棱柱ABC­A1B1C1的侧面积为63，则其侧棱的长是________．

解析：依题意O是正三角形ABC的中心，设AB＝a，分析计算易得0