第三课时 集合间的基本关系
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一、复习引入：
（1）回答概念：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图
（2）用列举法表示下列集合：
①}022|{23xxxx {-1，1，2}
②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50}
（3）用描述法表示集合：}51,41,31,21,1{}5,1|{*nNnnxx且
（4）集合中元素的特性是什么？
（5）用列举法和描述法分别表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”}3|2||{xZx {-1，5}
问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}
（2）A=N，B=Q
（3）A={-2，4}，}082|{2xxxB
（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）
例1．用列举法和描述法表示方程2230xx的解集。
例2．下列各式中错误的是（）
（1）{奇数}={|21,}xxkkZ（2）{|*,||5}{1,2,3,4}xxNx
（3）1{(,)|}2xyxyxy{(2,1),(1,2)}（4）33N
例3.求不等式235x的解集
例4.求方程2210xx的所有实数解的集合。
例5．已知2{2,,},{2,2,}MabNab，且MN，求,ab的值
例6．已知集合2210,RAxaxxx，若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
第三课时1.2 集合间的基本关系
知识点一、子集
[提出问题]
具有北京市东城区户口的人组成集合A，具有北京市户口的人组成集合B.
问题1：A中元素与集合B有关系吗？
提示：有关系，A中每一个元素都属于B.
问题2：集合A与集合B有什么关系？
提示：集合B包含集合A.
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集
记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.
(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C
对子集概念的理解
(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．
(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作A⃘B或B⊉A.
(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N，而不能写成0⊆N.
[例1] (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
知识点二、集合相等
设A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．
问题1：三边相等的三角形是何三角形？
提示：等边三角形．
问题2：两集合中的元素相同吗？
提示：相同．
问题3：A是B的子集吗？B是A的子集吗？
提示：是，是．
集合相等的概念
如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.
对两集合相等的认识
(1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．
(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.
知识点三、真子集
[提出问题]
给出下列集合：
A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．
问题1：集合A与集合B有什么关系？
提示：A⊆B.
问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？
提示：集合B中的元素a，b，c都在A中，但元素d，e不在A中．
定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集
记法 记作AB(或BA)
图示
结论 (1)AB且BC，则AC；
(2)A⊆B且A≠B，则AB
对真子集概念的理解
(1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.
(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.
判断集合间关系的方法
(1)用定义判断．
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；
若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.
(2)数形结合判断．
对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．
[活学活用]
能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(
)
经典例题：已知A=｛x|x=8m+14n，m、n∈Z｝，B=｛x|x=2k，k∈Z｝，问：
（1）数2与集合A的关系如何?
（2）集合A与集合B的关系如何?
知识点四、空集
[提出问题]
一个月有32天的月份组成集合T.
问题1：含有32天的月份存在吗？
提示：不存在．
问题2：集合T存在吗？是什么集合？
提示：存在，是空集．
定义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集
记法 ∅
规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A
特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅
(2)A≠∅，则∅⊆A
∅与{0}的区别
(1)∅是不含任何元素的集合；
(2){0}是含有一个元素的集合，∅⊆{0}．
题型一、有限集合子集的确定
例题：写出集合{a,b,c}的所有子集并指出，真子集、非空真子集.
解：集合{a,b,c}子集：
，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
集合{a,b,c}真子集
，{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}
集合{a,b,c}的非空真子集
{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}
[例2] (1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．
(2)由题意可得{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；
含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；
含有五个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足题意的集合M共有7个．
[答案] (1)B (2)7
公式法求有限集合的子集个数
(1)含n个元素的集合有2n个子集．
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．
例题：非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．
解析：由“若a∈S，则6－a∈S”知和为6的两个数都是集合S中的元素，则( )
集合S中含有1个元素：{3}；
集合S中含有2个元素：{2,4}，{1,5}； 集合S中含有3个元素：{2,3,4}，{1,3,5}；
集合S中含有4个元素：{1,2,4,5}；
集合S中含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足题意的集合S共有7个．
答案：7
题型二、集合间关系的应用
[例3] 已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
[解] 当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；
当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得 a＋3≥2a，a＋3<－1或 a＋3≥2a，2a>4，解得a<－4或2
综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.
2.设集合{|12}Mxx,{|0}Nxxk,若MN,求k的取值范围.
3.已知含有３个元素的集合,,1bAaa,2,,0Baab,若Ａ＝Ｂ，求20102010ab的值.
4.已知集合|03Axx,|4Bxmxm,且BA，求实数m的取值范围.
利用集合关系求参数应关注三点
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．
例题：已知集合A＝{x|1
