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球与多面体的组合体问题

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仅供个人学习参考 问题一：多面体与球的组合体问题

纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.

一、球与柱体的组合体

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

1.1 球与正方体

如图1所示，正方体1111ABCDABCD，设正方体的棱长为a，,,,EFHG为棱的中点，O为球的球心.

常见组合方式有三类：

一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH和其内切圆，则2aOJr；

二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH和其外接圆，则22GORa；

三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACAC和其外接圆，则132AORa.

通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

例1棱长为1的正方体1111ABCDABCD的8个顶点都在球O的表面上，EF，分别是棱1AA，1DD的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）

A．22 B．1 C．212 D．2

【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）

仅供个人学习参考 A．2 B．4 C．8 D．16

1.2 球与长方体

长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,abc其体对角线为l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22labcR

例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()

A. B.4π C. D.

【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.

1.3 球与正棱柱

球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABCABC的高为,h底面边长为a，如图2所示，D和1D分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD的中点O，3,,,23hODAORADa借助直角三角形AOD的勾股定理，可求223()()23hRa.

例3正四棱柱1111ABCDABCD的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.

【牛刀小试】直三棱柱111ABCABC的六个顶点都在球O的球面上，若1ABBC，0120ABC，123AA，则球O的表面积为（）

A．4B．8C．16D．24

二、球与锥体的组合体

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进

仅供个人学习参考 行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

2.1球与正四面体

正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体SABC的棱长为a，内切球半径为r，外接

球的半径为R,取AB的中点为D，E为S在底面的射影，连接,,CDSDSE为正四面体的高.在截面三角形SDC,作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O.此时，,COOSROEr,23,,33SEaCEa则有2222233aRraRrCE，=，解得：66,.412Rara这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.

例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()

A.3263B.2+263C.4+263D.43263

2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥

球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：

一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5，三棱锥111AABD的外接球的球心和正方体1111ABCDABCD的外接球的球心重合.

设1AAa，则32Ra.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.2222244abclR(l为长方体的体对角线长).

例5在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且AMMN,若侧棱23SA,则正三棱锥

仅供个人学习参考 SABC外接球的表面积是.

【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()

A．12B．43C．3D．123

2.3球与正棱锥

球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.

例6在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）

A． B.3 C.4 D.43

【牛刀小试】已知正三棱锥PABC,点P,A,B,C都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为____________.

2.4球与特殊的棱锥

球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.

如图8，三棱锥SABC,满足,,SAABCABBC面取SC的中点为O,由直角三角形的性质可得：,OAOSOBOC所以O点为三棱锥SABC的外接球的球心,则2SCR.

例7矩形ABCD中，4,3,ABBC沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD,则四面体ABCD的外接球的体积是()

A.12125B.9125C.6125D.3125

仅供个人学习参考 例8三棱锥ABCD中，2,ABCD==5ACADBDBC，则三棱锥ABCD的外接球的半径是.

三、球与球的组合体

对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.

例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）

A.(－1)R B.(－2)R

C.R D.R

四、球与几何体的各条棱相切

球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位

置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24ra.

例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）

A．l03cm B．10cm

C．102cm D．30cm

五、与三视图相结合的组合体问题

本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还

原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.

例11【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外

接球的球面面积为（）

A.5π B.12π C.20π D.8π

【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

仅供个人学习参考 ( )

A.πB.πC.πD.π

综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.

【针对训练】

1.【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC则此球的表面积等于（）

A．952B．20C．8D．352

2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P－ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,23ACAB,若四面体P－ABC的体积为32,则该球的体积为（）

A．43B．433C．83D．833

3．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）

A．4B．283C．443D．20

4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱111ABCABC的六个顶点都在半径为1的半球面上，ABAC，侧面11BCCB是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABBA的面积为（）

A．2B．22C．2D．1

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多面体的内切球及外接球问题

多面体的内切球及外接球问题

多面体的内切球及外接球

22221.,,16864..4.9392.,,,,,,,.3.4.63.ABCBCDPABCPAPBPCPAPBPCaaBaCaDa已知过球面上三点的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2,则球面面积是（）A.球面上四点且两两垂直，则球的面积为（）A.2有三个球和一个正方体，一球内切于正方体各个面，一球切正方体的各条棱，另一球过正方体的各个顶点，则这三个球233.123.123.1494.,________.6.________.7.6___________.BCDaa的体积之比为（）A.1:2：：：：：：：正四面体的内切球与外接球体积之比是（）A.1：3B.1：8C.1：27D.1：645.已知正八面体的棱长为则它的内切球的半径为棱长都是的正四棱锥的外接球的半径是球与正四面体的条棱都相切，则球与正四面体的体积的比是8.35,15__________.9.,________.10.22,,,anmnmSABCSASBSCABSABCOO长方体中，共顶点的三个侧面面积分别为，，，则它的外接球的面积为一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为的正三角形，这样两个多面体的内切球半径之比是一个既约分数那么积是已知三棱锥的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，，，设四点均在以为球心的某个球面上，则点到平,,1ABCMABCDMAMDMAABADM面的距离是_____________.11.设棱锥底面是正方形，且若△的面积为，试求能放入这个棱锥的最大球的半径。

12.ABCD如图，三棱锥的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径。

13.112在棱长为的正方体内，有两球外切并且又分别与正方体的面相切。求两球半径之和；问：两球的半径为多少时，两球体积之和最小？

多面体与球的接切问题练习题

多面体与球的接切问题练习题

多面体与球的接切问题

 一、球的体积V=______,表面积S=_________

 二、如何确定简单多面体的外接球以及内切球

学习目标：

 1.会计算简单多面体与球的接切问题。

 2.提高空间想象能力以及计算能力。

专 题 要 点

(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分) (2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：

①外接球：球心是正方体中心；半径r＝32a(a为正方体的棱长)；

②内切球：球心是正方体中心；半径r＝a2(a为正方体的棱长)；

③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝22a(a为正方体的棱长)．

①外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝64a(a为正四面体的棱长)；

②内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a(a为正四面体的棱长)．

专题讲解

 例、求棱长为1的正四面体的外接球的体积

 例、棱长为3的正方体的顶点都在一个球面上，求该球的表面积

链接高考

 小结：

 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．

 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．

 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．

 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．

 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到

 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。  1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。

巧解多面体内切球和外接球问题

巧解多面体内切球和外接球问题

探索篇·课题荟萃　巧解多面体内切球和外接球问题　韩晓娟　（甘肃省岷县第一中学，甘肃定西）　摘　要：多面体的内切球和外接球问题是一直困扰广大高考考生的一个数学难点，但作为球体与多面体的一个综合运用，它又是　高考的热门考点，它不仅对空间图形的想象力有很高要求，而且对不同问题之间的转化能力也有一定难度．如何找到多面体的内切球　与外接球与多面体结构之间的关系？如何运用多面体几何特征与球的半径之间的关系？是高考备考的一个重要考点，如何将这个重点　让学生既轻松又灵活地掌握是探究的主要任务。　关键词：内切球；外接球；多面体；体积；面积　多面体的内切球和外接球问题是一直困扰广大高考考生的　一个难点，又是高考的热点，如何快速简单地解决这个问题呢？下　面谈谈我的几点认识。　巧解一：用特殊图形体对角线求直径　１．与正方体或长方体的外接球的有关问题　题１．一个长宽高长分别为３、４、５的长方体，它的外接球的表　面积为——。　解析：长方体的体对角线为：Ｘ／—３２＋４ｚ—＋５２＝Ｖ＇５０＝５、／　，　．。肛　所以该长方体的外接球体积为ｓ＝４１ＴＲ：＝４盯ｆ半）：＝５０丌　．．．　，所以在ＲＴＧＯＭＣ中，ＯＣ＝ＯＭ％ＭＣ　ｊ　解得：Ｒ＝　ｏ　所以内切球表面积为ｓ＝４１ＴＲ２＝４盯×（　Ⅱ）　＝　题４．已知侧棱和底面边长都是３的正四棱锥，则其外接球的　半径是多少？　解析：依题意，过顶点Ｐ做下底面的垂线，垂足为　则外接　球的球心在线段ＰＭ上，设为０点，连接　，在ＲＴＡＯＭＡ中，　ＯＡ＝　，ＰＭ＝、／（３、／ｌ２）乙（争）　＝３，ＯＭ＝ＰＭ—Ｒ＝３一Ｒ，ＭＡ＝３，又　ＯＡ　＝Ｄ　＋　Ｉ　，解得：尺＝３　巧解二：补形法（出现相互垂直的“墙角”时。可补形为正方体　或长方体）　巧解思路：如果在一个三棱锥中，同一顶点处有三条互相垂　直的侧棱，就可以将这个三棱锥补形成一个长方体，于是长方体　的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径。出现互相垂直的　三条共点棱或互相垂直的三个共点面结构时用补形方法，联系长　方体可将复杂的问题巧妙转化为简单问题从而轻松解决。　题５．如图３为某四棱锥的　三视图，则求该四棱锥的外接球　的表面积为　解析：由三视图可得该几何　４　体为一条侧棱垂直于下底面的正视图　侧视图　俯视图　四棱锥，且下底面为正方形，由　图３　此可从该棱垂足处的三条相互垂直的棱将该四棱锥补形成长方　体，所以该长方体的外接球也是原四棱锥的外接球，又直径＝　，　—　、／　：　，所以半径尺＝　：　，所以外接球表面积ｓ＝　／　／　—　＼　４　２＝４￣ｘｆ　１　＝３４＇ｒｒ　＼　２　／　巧解三：由多面体体积和表面积利用公式求内切球半径　题６．已知某几何体的　三视图如图４所示，则该几　何体内切球的表面积为一　巧解思路：将一个三棱正视图　侧视图　俯视图　锥按内切球球心与各定点　图４　连线可分成四个等高的小三棱锥，高都为内切球的半径，而四个　底则为原三棱锥四个侧面，由四个小三棱锥的体积和为大三棱锥　体积，可得公式：　＝　１　Ｓ　Ｒ，由此可直接求得内切球半径。此方　ｊ　法适合表面积和体积易求的三棱锥中。　解析：由三视图可得，该几何体是一个三棱锥，则其表面积　为：ｓ＝２×　×２×２、／　＋２×　×２、／丁×４＝１２　一；体体积为Ｖ＝｝　二　二　Ｊ　×　１　ｘ２、／　ｘ２ｘ２、／丁＝４；现设其内切球半径为ｒ，由Ｖ＝＿＿１　Ｓｔ＝　Ｚ　．　Ｊ　４ｘ／３　ｒ＝４，解得　：　，所以Ｓ　：４，．ａ－ｒ￣：４１Ｔ×（　）：＝　。　ｊ　、　ｊ　／　Ｊ　相信有了这些解题思路和方法，多边形的内切球和外接球再　也不是困扰大家的难题了！　注：本文系２０１７年甘肃省教育科学“十三五”规划“陇原名　师”专项课题“中学数学教学中图形教学的策略及效果研究”（立　项号：ＧＳ［２０１７］ＭＳＺＸ０５７）的成果之一。　·编辑鲁翠红　一

高中数学 多面体与球组合体问题专题训练

高中数学 多面体与球组合体问题专题训练

多面体与球组合体问题专题训练

1.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .

2.高为24的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为

（A）24

（B）22 () 1 (D) 2

3.已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=2r，则球的体积与三棱锥体积的比值是 .

4. 直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,

120BAC，则此球的表面积等于 。

5.正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点SABCD、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .

6. 在矩形ABCD中，4,3ABBC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为

A.12512 B.1259 C.1256 D.1253

7.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .

8.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a,侧棱长为2a.

（1）求它的外接球的体积；

（2）求它的内切球的表面积.

9．四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC= BD=23，则该球的表面积为 。

10.四面体ABCD中，AB=CD=5，AD=BC=34,AC=BD=41，则四面体ABCD的外接球体积为 。

11．四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32AC，CDABSO1图3CAODB图46BD，则该球的表面积为 （ ）