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课时作业13：2.3.1 变量之间的相关关系~ 2.3.2 两个变量的线性相关

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2.3.1 变量之间的相关关系

2.3.2 两个变量的线性相关

1．下列变量是线性相关的是( )

A．人的体重与视力

B．圆心角的大小与所对的圆弧长

C．收入水平与购买能力

D．人的年龄与体重

2. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )

A.y∧＝1.5x＋2

B.y∧＝－1.5x＋2

C.y∧＝1.5x－2

D.y∧＝－1.5x－2

3.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图所示，则以下结论正确的是( )

A．直线l过点(x，y)

B．回归直线必通过散点图中的多个点

C．直线l的斜率必在(0,1)

D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )

A．身高一定是145.83 cm

B．身高在145.83 cm以上

C．身高在145.83 cm以下

D．身高在145.83 cm左右

5．下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体；

②回归方程一般都有局限性；

③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；

④回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．

正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．

6．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量，得到数据(单位均为cm)如表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：i＝110 (xi－x)(yi－y)＝577.5，i＝110 (xi－x)2＝82.5；某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5 cm，则估计案发嫌疑人的身高为________cm.

脚长 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

身高 141 146 154 160 169 176 181 188 197 203

7．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，

月份x 1 2 3 4

用水量y 4.5 4 3 2.5

由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归直线方程是y∧＝－0.7x＋a∧，则a∧＝________.

8．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)，与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表

x 3 4

5 6 7 8 9

y 66 69 73 81 89 90 91

已知i＝1nx2i＝280，i＝1ny2i＝45 209，i＝1nxiyi＝3 487.

(1)求x，y；

(2)求回归方程．

9．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据

x 6 8 10 12 y 2 3 5 6

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y∧＝b∧x＋a∧；

(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．

(相关公式：b∧＝i＝1nxiyi－nx yi＝1nx2i－nx2，a∧＝y∧－b∧x)

参考答案

1.【解析】B为确定性关系；A，D不具有线性关系，故选C.

【答案】C 2.【解析】设回归方程为y∧＝b∧x＋a∧，由散点图可知变量x，y之间负相关，回归直线在y轴上的截距为正数，所以b∧＜0，a∧＞0，因此方程可能为y∧＝－1.5x＋2.

【答案】B

3.【解析】A是正确的；回归直线可以不经过散点图中的任何点，故B错误；回归直线的斜率不确定，故C错误；分布在l两侧的样本点的个数不一定相同，故D错误．

【答案】A

4.【解析】当x＝10时，y＝145.83 cm，所以身高在145.83 cm左右，选D.

【答案】D

5.【解析】样本或总体具有线性相关关系时，才可求回归方程，而且由回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此回归方程有一定的局限性．所以①④错．

【答案】②③

6.【解析】 回归方程的斜率b∧＝i＝110 （xi－x）（yi－y）i＝110 （xi－x）2＝577.582.5＝7，x＝24.5，y＝171.5，截距a∧＝y－b∧x＝0，即回归方程为y∧＝7x，当x＝26.5时，y＝185.5.

【答案】 185.5

7.【解析】x＝14(1＋2＋3＋4)＝52，

y＝14(4.5＋4＋3＋2.5)＝72.

又∵52，72在y∧＝－0.7x＋a∧上，

∴72＝－0.7×52＋a∧，

解得a∧＝5.25.

【答案】5.25

8.解：(1)x＝17×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，

y＝17×(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)＝5597.

(2)b∧＝3 487－7×6×5597280－7×36＝194，

∴a∧＝5597－194×6＝71914， ∴所求回归方程为y∧＝194x＋71914.

9.解：(1)如图：

(2)i＝1nxiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，

x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4，

i＝1nx2i＝62＋82＋102＋122＝344，

b∧＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，

a∧＝y－b∧x＝4－0.7×9＝－2.3，

故线性回归方程为y∧＝0.7x－2.3.

(3)由回归直线方程预测，记忆力为9的同学的判断力约为4.

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2.3变量之间的相关关系(练习)

2.3变量之间的相关关系(练习)

第二章统计2.3变量之间的相关关系（练习）

科目 高一数学 班级 姓名 时间 2014-3-21

一、选择题：

1．下列两个变量之间的关系不具有相关关系的是( )

A．小麦产量与施肥量 B．球的体积与表面积

C．蛋鸭产蛋个数与饲养天数 D．甘蔗的含糖量与生长期的日照天数

2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( ) A.y^＝1.5x＋2 B.y^＝－1.5x＋2

C.y^＝1.5x－2 D.y^＝－1.5x－2

4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元) 4 2 3 5

销售额y(万元) 49 26 39 54

根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )

A．63.6万元 B．65.5万元C．67.7万元 D．72.0万元

5．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )

A.y^＝－10x＋200 B.y^＝10x＋200 C.y^＝－10x－200 D.y^＝10x－200

6．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y^＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )

A．身高一定是145.83 cm B．身高在145.83 cm以上

2.3变量间的相关关系(1)

2.3变量间的相关关系(1)

§2.3 变量间的相关关系

§2.3.1 变量之间的相关关系

§2.3.2 两个变量的线性相关

一、教材分析

变量之间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”,引导学生考察变量之间的关系.在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.随后,通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）.教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学生展示创造性思维的过程,帮助学生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并且可能犯的错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性.

二、教学目标

1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.

2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.

3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．

三、重点难点

教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．

教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思想.

四、课时安排

2课时

五、教学设计

第1课时

（一）导入新课

思路1

在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?

必修三 第二章 统计 2.3变量的相关性2.3.1-2.3.2变量间的相关关系和两个变量的线性相关学案

必修三 第二章 统计 2.3变量的相关性2.3.1-2.3.2变量间的相关关系和两个变量的线性相关学案

【高一数学导学案】

变量间的相关关系和两个变量的线性相关

主备人：孙芳芳 审核人：葛红 时间：

一、学习目标：了解变量的相关关系，能借助计算器求回归直线方程

二、自主学习

1、变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是 的函数关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的 ，它们的关系是带有 的，我们说这两个变量具有 关系。相关关系有 相关和 相关之分。

2、式子 叫做Y对x的回归直线方程，b叫做 。要确定回归直线方程，只要确定 与回归系数 。

3、用最小二乘法求回归直线方程中的a，b有下面的公式：

b= ； a 。

三、典型例题

自学课本73页例题。

（A）变式训练1：5个学生的数学和物理成绩如下表： 学生

学科 A B C D E

数学 80 75 70 65 60

物理 70 66 68 64 62

画出散点图，并判断它们是否有相关关系。

自学课本74页例1，课本76页例2.

（B）变式训练2：

某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

x 2 4 5 6 8

y 30 40 60 50 70

（1）画出散点图；

（2）求回归直线方程。

(C)例：一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：

转速x（转/秒） 16 14 2 8

每小时生产有缺点

的零件数y（件） 11 9 8 12

对变量y与x进行相关性检验；

（1）如果y与x有线性相关关系，求回归直线方程；

第二章 2.3.1-2.3.2 变量之间的相关关系、两个变量的线性相关

第二章 2.3.1-2.3.2 变量之间的相关关系、两个变量的线性相关

2．3.1 变量之间的相关关系

2．3.2 两个变量的线性相关

学习目标 1.了解变量间的相关关系，会画散点图；2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系；3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程．

知识点一 变量间的相关关系

思考1 粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？

答案 在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所以是正相关．

思考2 怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？

答案 画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系．

梳理

1．相关关系的定义

变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系．

2．散点图

将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图．

3．正相关与负相关 (1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．

(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．

知识点二 两个变量的线性相关

思考 任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？

答案 用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的线性回归方程是无意义的．

梳理 回归直线的方程

(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

(2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程．

(3)最小二乘法：

求线性回归方程y^＝b^x＋a^时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

 b^＝i＝1n xi－xyi－yi＝1n xi－x2＝i＝1nxiyi－n x yi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x，